[토목기사 필기] 19년 2회차 기출문제 정답·해설 페이지

세장비 조건을 만족하는 기둥의 지름은 16cm이다.
양단힌지이므로 유효좌굴길이는 $l_k = L = 400\ \mathrm{cm}$이고, 원형단면의 회전반지름은 $r = \dfrac{d}{4}$이다.
세장비 $\lambda = \dfrac{l_k}{r} = \dfrac{400}{d/4} = \dfrac{1600}{d} = 100$에서 $d = 16\ \mathrm{cm}$를 얻는다.

B점의 수직반력은 59.5 t이다.
그림에서 A는 힌지, B·C는 롤러이고, AB 경간은 12m(A에서 4m 떨어진 곳에 60t 집중하중, 강성 I), BC 경간은 12m(w=4t/m 등분포, 강성 1.5I)이다. B점 휨모멘트가 MB=−92.8 t·m로 주어졌으므로 각 경간을 따로 떼어 전단력을 구하면 된다.
AB 구간: VA×12 − 60×8 = −92.8 → VA = 32.27t
B 바로 왼쪽 전단력 = 32.27 − 60 = −27.73t
BC 구간: B 바로 오른쪽 전단력 = wL/2 + |MB|/L = 4×12/2 + 92.8/12 = 31.73t
지점반력은 좌우 전단력의 차이이므로
RB = 31.73 − (−27.73) = 59.47 ≒ 59.5 t

지점 A, B 간 거리는 5m(A-4m-B), A에서 왼쪽으로 1m에 8t, B에서 오른쪽으로 1m에 10t이 작용하고 A에는 4t·m 모멘트가 작용한다.
반력 계산: 전체 모멘트 평형(A 기준, 시계방향 +)으로 $\Sigma M_A=0$: $-8\times1+4+R_B\times5-10\times6=0$ → $R_B\times5=8-4+60=64$ → $R_B=12.8t$(위 방향), $R_A=8+10-12.8=5.2t$.
A점 바로 왼쪽 캔틸레버 구간에서 A의 휨모멘트(하중 8t에 의한 부분): $M=8\times1=8t\cdot m$, 여기에 작용 모멘트 4t·m을 합성하면 A점 좌측면 모멘트는 8t·m이나 A점에서 모멘트 하중이 작용하므로 A우측 바로에서는 $8-4=4$ 또는 $8+4=12$ 중 부호에 따라 결정된다.
B점 바로 오른쪽 캔틸레버 구간의 모멘트는 $M=10\times1=10t\cdot m$이며, 이는 다른 지점 반력의 영향을 받지 않는 순수 캔틸레버 모멘트로 A측에서 발생하는 모멘트(4~12 사이 값)와 비교했을 때 절대값 10t·m이 최대값이 된다.

단면에 인장응력이 생기지 않는 편심거리의 한계는 9 cm이다.
그림의 단주 단면은 54cm×30cm 직사각형이고, 편심 e는 도심에서 54cm 변 방향으로 벗어난 거리로 표시되어 있다.
직사각형 단면에서 인장이 생기지 않는 한계(핵거리)는 e = h/6이므로
e = 54/6 = 9 cm
하중이 이 핵(core) 안에 있으면 단면 전체가 압축을 받고, 벗어나면 반대쪽 연단에 인장이 생긴다. 하중 크기 800kg은 응력의 절대값만 바꿀 뿐 인장 발생 여부와는 무관하다.

A지점의 수평반력은 15.79 t이다.
그림에서 A를 원점으로 보면 크라운 힌지 C는 수평 10m·연직 7m(=5m+2m) 위치에 있고, B지점은 C에서 수평으로 8m 더 간 곳(A로부터 18m)이면서 C보다 2m 낮은, 즉 A보다 5m 높은 곳에 있다. P=15t은 C에 연직으로 작용한다.
C가 힌지이므로 왼쪽 부재의 C에 대한 모멘트가 0이다.
VA×10 = HA×7 → VA = 0.7HA
전체 평형에서 VB = 15 − 0.7HA, 수평반력은 크기가 같고 방향이 반대다.
A점에 대한 전체 모멘트 평형(B의 수평반력이 A보다 5m 높은 곳에 작용):
VB×18 + HA×5 − 15×10 = 0
18(15 − 0.7HA) + 5HA = 150 → 7.6HA = 120
HA = 15.79 t
지점 높이가 서로 다른 비대칭 아치라서 수평반력이 하중 위치만으로 정해지지 않고, B지점의 높이차 5m가 모멘트 식에 그대로 들어가는 것이 핵심이다.

A점의 처짐은 3PL³/16EI이다.
그림은 B가 고정된 캔틸레버로 자유단 A에 하중 P가 아래로 작용하며, A~C 구간 L/2는 단면2차모멘트 I, C~B 구간 L/2는 2I이다. 자유단 A에서 잰 거리 x의 휨모멘트가 M=Px이므로 단위하중법 $\delta_A=\int\dfrac{M\cdot m}{EI}\,dx$(m=x)를 강성이 바뀌는 C점을 경계로 나누어 적분한다.
A~C 구간: $\int_0^{L/2}\dfrac{Px\cdot x}{EI}dx=\dfrac{P}{EI}\cdot\dfrac{(L/2)^3}{3}=\dfrac{PL^3}{24EI}$
C~B 구간: $\int_{L/2}^{L}\dfrac{Px\cdot x}{2EI}dx=\dfrac{P}{2EI}\left(\dfrac{L^3}{3}-\dfrac{L^3}{24}\right)=\dfrac{7PL^3}{48EI}$
두 구간을 합하면 $\dfrac{PL^3}{24EI}+\dfrac{7PL^3}{48EI}=\dfrac{9PL^3}{48EI}=\dfrac{3PL^3}{16EI}$이다. 전 구간이 I라면 PL³/3EI(=16PL³/48EI)이므로, 고정단 쪽 절반의 강성을 2배로 키운 효과로 처짐이 약 44% 줄어든 값이다.

B-B축에 대한 단면2차모멘트는 17×106 mm4이다.
그림에서 도심축 D-D는 A-A축보다 40mm 위에 있고, B-B축은 그 D-D축보다 다시 10mm 위에 있다. 평행축 정리는 반드시 도심축을 기준으로만 성립하므로, 주어진 IA-A에서 먼저 도심축 값을 되돌린 뒤 다시 B-B축으로 옮겨야 한다.
도심축: $I_{D\text{-}D}=I_{A\text{-}A}-A\cdot 40^2=35\times10^6-1.2\times10^4\times1600=15.8\times10^6\ \mathrm{mm^4}$
B-B축: $I_{B\text{-}B}=I_{D\text{-}D}+A\cdot 10^2=15.8\times10^6+1.2\times10^4\times100=17\times10^6\ \mathrm{mm^4}$
A-A축 값에 곧바로 Ad²를 더하거나 빼면 틀리며, 도심축을 경유해 한 번 빼고 한 번 더하는 두 단계가 이 문제의 핵심이다.

최대 전단응력은 두 주응력 차이의 절반과 같으므로, 차이 자체와 같다는 설명은 옳지 않다.
모아 원에서 x축은 수직응력, y축은 전단응력을 나타내며 원의 중심 x좌표는 두 수직응력의 평균, y좌표는 0이다. 이 원으로부터 주응력의 크기와 방향을 구할 수 있다는 설명은 모두 맞다.

상현재 U에는 9t의 압축력이 생긴다.
그림의 트러스는 하현재 지간이 4@6m=24m이고, 상현재는 A에서 6m~18m 구간에 높이 8m로 수평하게 놓인 사다리꼴 형상이다. 중앙 하현절점(A에서 12m)에 12t이 아래로 작용하며, 하중이 정중앙에 있으므로 RA=RB=6t이다.
U가 속한 패널을 절단하면 상현재 U, 사재, 하현재가 끊긴다. 사재와 하현재가 함께 만나는 중앙 하현절점을 모멘트 중심으로 잡으면 두 부재의 모멘트가 사라져 U만 남는다.
$\sum M=0:\ 6\times12=U\times8\ \Rightarrow\ U=9\,\mathrm{t}$
절단면 왼쪽이 회전하지 않으려면 상현재가 안쪽으로 밀어 주어야 하므로 이 힘은 압축이다. 단순보형 트러스에서 상현재는 압축, 하현재는 인장이 되는 일반적 경향과도 맞는다.

탄성계수와 전단탄성계수의 관계식은 $G = \dfrac{mE}{2(m+1)}$이다.
일반식 $G = \dfrac{E}{2(1+\nu)}$에서 푸아송비 $\nu = \dfrac{1}{m}$을 대입하면 $G = \dfrac{E}{2\left(1+\dfrac{1}{m}\right)} = \dfrac{mE}{2(m+1)}$로 정리된다.

휨에 의한 탄성변형에너지는 3P²L³/2EI이다.
그림은 A가 고정단이고 길이 L의 자유단 B에 3P가 아래로 작용하는 캔틸레버다. 자유단에서 x만큼 떨어진 단면의 휨모멘트는 $M_x=3Px$이므로 휨변형에너지 식 $U=\int_0^L\dfrac{M_x^{\,2}}{2EI}dx$에 그대로 대입한다.
$U=\int_0^L\dfrac{(3Px)^2}{2EI}dx=\dfrac{9P^2}{2EI}\cdot\dfrac{L^3}{3}=\dfrac{3P^2L^3}{2EI}$
하중이 P가 아니라 3P이므로 에너지는 제곱에 비례해 9배가 된다는 점이 함정이다. 자유단 처짐 $\delta=\dfrac{3PL^3}{3EI}=\dfrac{PL^3}{EI}$를 구해 $U=\tfrac12(3P)\delta$로 계산해도 같은 값이 나온다.

체적변형률은 4.0×10-4이다.
그림의 요소는 수평·수직 두 방향 모두 바깥으로 1000kg/cm²가 작용하는 이축 인장 상태이므로 σx=σy=1000kg/cm², σz=0이다.
$\varepsilon_v=\dfrac{1-2\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z)=\dfrac{1-2(0.3)}{2\times10^6}(1000+1000)=\dfrac{0.4\times2000}{2\times10^6}=4.0\times10^{-4}$
두 방향 인장이므로 응력의 합 2000kg/cm²를 넣어야 한다. 참고로 푸아송비가 0.5에 가까울수록 (1-2ν)이 0에 수렴해 체적변화가 없어지는데, 여기서는 0.4가 곱해진다.

필요한 단부 모멘트는 M=PL/6이다.
그림은 지간 L의 단순보 중앙 C에 P가 작용해 아래로 δ가 생긴 상태이며, 양 지점 A·B에 크기가 같은 모멘트 M을 걸어 이 처짐을 정확히 상쇄시키려는 것이다. 두 하중이 각각 만드는 중앙처짐을 구해 합이 0이 되도록 놓으면 된다.
집중하중에 의한 중앙처짐: $\delta_P=\dfrac{PL^3}{48EI}$
양단 모멘트에 의한 중앙처짐(반대 방향): $\delta_M=\dfrac{ML^2}{8EI}$
두 값을 같게 두면 $\dfrac{ML^2}{8EI}=\dfrac{PL^3}{48EI}\ \Rightarrow\ M=\dfrac{8PL}{48}=\dfrac{PL}{6}$이다.

절대 최대휨모멘트는 423.2 kN·m이다.
그림에서 지간 20m의 단순보 위를 40kN과 60kN이 4m 간격으로 왼쪽을 향해 이동한다(40kN이 앞, 60kN이 뒤). 합력은 R=100kN이고 그 위치는 60kN에서 40kN 쪽으로 $\dfrac{40\times4}{100}=1.6\,\mathrm{m}$ 떨어진 곳이다.
절대 최대휨모멘트는 합력과 큰 하중(60kN)의 중점이 보 중앙에 오도록 배치했을 때 그 큰 하중 바로 아래에서 발생한다. 따라서 60kN을 중앙에서 1.6/2=0.8m 오른쪽인 A에서 10.8m 지점에 두면, 합력은 A에서 9.2m, 40kN은 A에서 6.8m에 놓인다.
이때 $R_B=100\times\dfrac{9.2}{20}=46\,\mathrm{kN}$이고 60kN 오른쪽에는 다른 하중이 없으므로
$M_{max}=46\times(20-10.8)=46\times9.2=423.2\ \mathrm{kN\cdot m}$
왼쪽으로 검산해도 $54\times10.8-40\times4=423.2\,\mathrm{kN\cdot m}$로 같다.

분배율은 fBC=3/5이다.
그림에서 A는 고정단, B와 C는 롤러이며 AB=8m 구간은 EI, BC=8m 구간은 2EI이다(4t 하중은 분배율 자체와는 무관하다). 강도계수를 K=I/L로 두되, C가 롤러여서 BC부재에는 수정강도계수 3/4을 곱해야 한다.
$K_{BA}=\dfrac{I}{8}=\dfrac{2I}{16}$, $K_{BC}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2I}{8}=\dfrac{3I}{16}$
$f_{BC}=\dfrac{K_{BC}}{K_{BA}+K_{BC}}=\dfrac{3/16}{2/16+3/16}=\dfrac{3}{5}$이다. 3/4 보정을 빠뜨리면 (2/8)÷(1/8+2/8)=2/3이 나오므로, 타단이 힌지·롤러일 때의 수정강도계수를 반드시 적용해야 한다.

하중 P의 크기는 6.93t이다.
그림에서 AB는 천장과 60°, CB는 천장과 30°를 이루므로 두 부재의 사잇각은 180°-60°-30°=90°, 즉 서로 직교한다. 절점 B에는 아래로 P, 그리고 A쪽·C쪽을 향하는 두 부재력만 작용한다.
직교하는 두 부재 방향으로 P를 분해하면 AB부재가 받는 힘은 P의 AB방향 성분이다.
$F_{AB}=P\sin60^\circ=0.866P=6\,\mathrm{t}$
$P=\dfrac{6}{\sin60^\circ}=6.93\,\mathrm{t}$
라미의 정리 $\dfrac{P}{\sin90^\circ}=\dfrac{F_{AB}}{\sin120^\circ}$로도 같은 값을 얻으며, 이때 CB부재가 받는 힘은 $P\sin30^\circ\approx3.46\,\mathrm{t}$이다.

이 단면에 가해진 전단력은 4800kg이다.
그림의 단면은 폭 30cm, 높이 40cm인 직사각형이고 전단응력도가 중립축에서 최대가 되는 포물선으로 그려져 있다. 직사각형 단면에서는 $\tau_{max}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{S}{A}$가 성립한다.
단면적이 $A=30\times40=1200\ \mathrm{cm^2}$이므로
$S=\dfrac{2}{3}\tau_{max}A=\dfrac{2}{3}\times6\times1200=4800\ \mathrm{kg}$
평균전단응력 S/A로만 계산하면 7200kg이 되어 버린다. 직사각형 단면의 최대전단응력은 평균의 1.5배라는 관계를 반드시 반영해야 한다.

거리 x는 4.0m이다.
그림은 지간 15m의 단순보로, A에서 x 떨어진 곳에 400kg, 거기서 다시 3m 떨어진 곳에 200kg이 작용한다. 전체 하중 600kg에 RA=2RB 조건을 적용하면 RA=400kg, RB=200kg이다.
A점에 대한 모멘트 평형을 세우면
$200\times15=400x+200(x+3)$
$3000=600x+600\ \Rightarrow\ x=4.0\ \mathrm{m}$
합력 600kg의 위치가 A에서 x+1이고, 반력비가 2:1이 되려면 합력이 지간의 1/3인 5m 지점에 놓여야 한다는 점을 이용해 x+1=5로 풀어도 같은 답이 나온다.

직각삼각형이 x축, y축에 각각 밑변 b, 높이 h를 이루며 원점에 직각을 둔 형태이므로, x축·y축에 대한 단면상승모멘트 공식은 $I_{xy} = \dfrac{b^2h^2}{24}$이다. b=h=12cm를 대입하면 $I_{xy} = \dfrac{12^2 \times 12^2}{24} = \dfrac{20736}{24} = 864\ \text{cm}^4$로 계산되어 864 cm⁴가 정답이다.

발생 모멘트는 MB=-10t·m, MC=-5t·m이다.
그림에서 A~B, B~C, C~D가 각각 L/2이고 L=10m이므로 한 구간은 5m이다. 자유단 A에 P=2t가 아래로 작용하고 B(A에서 5m)와 D(A에서 15m)가 지점이며, C는 두 지점의 중앙인 A에서 10m 위치다.
B점은 내민 부분의 뿌리이므로 왼쪽만 보면 된다.
$M_B=-P\times5=-2\times5=-10\ \mathrm{t\cdot m}$
D점에 대한 모멘트 평형에서 $R_B=\dfrac{2\times15}{10}=3\,\mathrm{t}(\uparrow)$, 연직 평형에서 $R_D=1\,\mathrm{t}(\downarrow)$이 된다.
C점 오른쪽에는 아래로 1t인 D점 반력만 남으므로 $M_C=-(1\times5)=-5\ \mathrm{t\cdot m}$이다. 왼쪽으로 검산해도 $-2\times10+3\times5=-5\,\mathrm{t\cdot m}$로 같다. 두 값이 모두 음(-)인 것은 내민보의 지점 사이 구간까지 보 위쪽이 인장되는 부(-)모멘트가 지배한다는 뜻이다.

과고감은 촬영 시 기선고도비와 눈으로 보는 기선고도비의 차이로 나타나는 현상이며, 지도축척과 사진축척의 불일치 때문이라는 설명은 틀렸다.
항공사진 축척이 초점거리에 비례하고 비행고도에 반비례한다는 점, 촬영기선길이가 늘면 중복도가 낮아진다는 점, 기선고도비가 클수록 과고감이 커진다는 점은 모두 맞는 설명이다.

캔트(cant)는 곡선 구간에서 열차의 횡방향 안정성을 위해 외궤를 내궤보다 높이는 기울기로, C = (V²/gR) × d 형태의 관계식을 따른다. 여기서 V는 속도, g는 중력가속도, R은 곡선 반지름, d는 궤간이다. 곡선 반지름 R이 2배 증가하면 분모가 2R이 되므로 새로운 캔트 C′ = (V²/g×2R) × d = 0.5C이 된다. 따라서 캔트 크기는 원래의 절반으로 감소한다.

삼각형 분할법으로 계산한 토공량은 100 m³이다.
그림의 표고는 윗줄 3.2·5.4·6.6, 가운뎃줄 5.9·6.5·6.2, 아랫줄 4.8·3.0이며, 가로 3 m·세로 2 m 직사각형 세 칸을 각각 대각선으로 나눠 삼각형 6개가 만들어진다. 삼각형 한 개의 면적은 A = ½ × 3 × 2 = 3 m²이다.
각 교점이 몇 개의 삼각형에 물리는지 세면 1회는 5.9·3.0(합 8.9), 2회는 3.2·5.4·6.6·4.8(합 20.0), 3회는 6.2, 5회는 6.5이다.
V = (A/3)(Σh₁ + 2Σh₂ + 3Σh₃ + 5Σh₅)
= (3/3)(8.9 + 2×20.0 + 3×6.2 + 5×6.5)
= 8.9 + 40.0 + 18.6 + 32.5 = 100 m³

3점법(three-point method)은 하천의 평균유속을 구할 때 수면으로부터 0.2h, 0.6h, 0.8h 깊이에서 측정한 유속값을 이용하는 방법이다. 평균유속 공식은 $V_{avg} = \frac{V_{0.2h} + 2V_{0.6h} + V_{0.8h}}{4}$이다. 주어진 값을 대입하면 $V_{avg} = \frac{0.562 + 2(0.497) + 0.364}{4} = \frac{0.562 + 0.994 + 0.364}{4} = \frac{1.920}{4} = 0.48\text{ m/s}$이다.

신발끈 공식(좌표법)으로 면적을 구한다. 꼭짓점을 순서대로 $(-4,0), (4,0), (9,8), (-8,6)$으로 잡으면, 면적 $A=\frac{1}{2}\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$이다.
각 항을 계산하면 $(-4)(0)-(4)(0)=0$, $(4)(8)-(9)(0)=32$, $(9)(6)-(-8)(8)=54+64=118$, $(-8)(0)-(-4)(6)=24$이므로 합은 $0+32+118+24=174$이다.
따라서 면적은 $A=\frac{174}{2}=87\,m^2$이다.

각오차와 거리오차가 균형을 이루는 줄자의 정밀도는 약 1/10000이다.
각오차를 라디안으로 환산하면 $\dfrac{20''}{206265''} \approx \dfrac{1}{10000}$이며, 거리오차 비율이 이 값과 같아야 두 오차가 균형을 이룬다.

클로소이드 매개변수는 45m이다.
클로소이드 관계식 $A^2 = R \cdot L$에 $R=100\ \mathrm{m}$, $L=20\ \mathrm{m}$를 대입하면 $A = \sqrt{100 \times 20} = \sqrt{2000} \approx 45\ \mathrm{m}$이다.

거리에 반비례하는 경중률을 적용한 P점의 표고는 135.529 m이다.
직접수준측량에서 경중률은 노선거리에 반비례한다. 거리가 1 km·2 km·3 km이므로 P₁:P₂:P₃ = 1/1 : 1/2 : 1/3 = 6 : 3 : 2가 된다.
가장 작은 135.487 m를 기준값으로 잡고 차이(0, 0.076, 0.116 m)에 가중평균을 적용하면
H = 135.487 + (6×0 + 3×0.076 + 2×0.116) / (6+3+2)
= 135.487 + 0.460/11 = 135.487 + 0.042 = 135.529 m
거리를 무시하고 단순평균을 내면 135.551 m가 나오는데, 이는 노선이 짧을수록 정밀도가 높다는 원칙을 반영하지 않은 값이라 쓸 수 없다.

A와 B의 높이 차는 0.433 m이다.
교호수준측량은 하천처럼 중간에 기계를 세울 수 없을 때 양안에서 서로 반대 방향으로 관측해 평균함으로써, 시준거리가 달라 생기는 시준축오차와 구차·기차를 상쇄시키는 방법이다.
그림에서 D쪽 기계로 A를 a₁, B를 b₁으로, C쪽 기계로 A를 a₂, B를 b₂로 읽었으므로
Δh = {(a₁ − b₁) + (a₂ − b₂)} / 2
= {(3.835 − 4.264) + (2.375 − 2.812)} / 2
= (−0.429 − 0.437) / 2 = −0.433
따라서 두 점의 높이 차는 0.433 m(B가 A보다 낮음)이다.

GNSS가 다중주파수를 채택하는 가장 큰 이유는 전리층 지연 효과를 제거하기 위해서이다.
전리층 지연은 신호 주파수에 따라 다르게 나타나므로, 서로 다른 두 주파수의 관측값을 조합하면 이 지연 오차를 상쇄해 제거할 수 있다.

컴퍼스법칙은 각과 거리의 관측 정밀도가 비슷할 때 적용하는 오차 배분 방법이다.
이 경우 폐합오차는 각 측선의 길이에 비례하여 배분하며, 위거·경거 크기에 비례하거나 각의 정밀도가 더 높을 때 쓰는 방법은 트랜싯법칙에 해당한다.

폐합 트래버스는 오차의 계산·조정이 가능해 개방 트래버스보다 정확도가 높다는 점에서, 정확도가 더 낮다는 설명은 옳지 않다.
결합 트래버스가 삼각점 사이를 연결해 조정 정확도가 가장 높다는 점, 폐합 트래버스가 한 측점에서 출발해 같은 점으로 돌아온다는 점, 개방 트래버스가 임의의 두 점 사이를 잇는 형태라는 점은 모두 맞는 설명이다.

관측 정밀도가 동일할 때 하나의 삼각형에서 생긴 각오차는 세 각에 동일하게 배분한다.
정밀도 차이가 없으므로 특정 각이나 변의 크기에 가중치를 둘 근거가 없어 균등 배분이 원칙이다.

중간점을 많이 쓰는 이유는 중심말뚝 간격이 20m 내외로 좁아 모든 말뚝을 전환점으로 쓰면 오차가 누적되어 더욱 커지기 때문이다.
전환점은 후시와 전시를 모두 읽어 다음 측점으로 표고를 넘겨주므로 그 점의 관측오차가 이후 구간에 그대로 전파·누적된다. 반면 중간점은 전시만 읽어 그 점의 표고를 구하는 데만 쓰이고 오차가 뒤로 넘어가지 않으므로, 표고만 알면 되는 지점은 중간점으로 처리해 전환점 수를 줄인다.

하천·항만의 수심을 숫자로 표시하는 방법은 점고법이다.
영선법·음영법·채색법은 지형의 기복을 선이나 색으로 표현하는 방식인 반면, 점고법은 각 지점의 표고나 수심 값을 숫자로 직접 기입한다.

중심점 둘레에 모인 네 각의 합을 360°로 놓는 ⑨+⑩+⑪+⑫ = 360°가 점조건(측점조건) 조정식이다.
유심(중심) 삼각망에서 점조건은 한 측점 주위에 모인 각의 합이 360°가 되어야 한다는 조건이다. 그림에서 두 대각선이 만나는 중심점에 모인 각은 ⑨·⑩·⑪·⑫이므로 이 넷의 합이 조정 대상이 된다.
나머지 식들은 성질이 다르다.
한 삼각형의 내각 합을 180°로 놓는 식은 도형 자체의 성질을 쓴 각조건(도형조건)이다.
바깥 사변형의 네 꼭짓점 각(①~⑧)을 모두 더해 360°가 된다는 식도 사변형의 내각 합이라는 도형 성질이므로 각조건이지 점조건이 아니다.
서로 다른 위치의 각끼리 같다고 놓는 식은 삼각망 조정조건에 존재하지 않는다.
정리하면 각조건은 도형의 내각 합, 점조건은 한 측점 주위 각의 합 360°, 변조건은 사인법칙으로 한 바퀴 돌아온 변 길이의 일치로 구분한다.

전체 거리에 대한 오차는 ±6mm이다.
120m 측선을 30m 줄자로 나누어 관측하면 관측 횟수는 $n = \dfrac{120}{30} = 4$회이고, 우연오차는 관측 횟수의 제곱근에 비례해 누적된다.
$\pm 3\ \mathrm{mm} \times \sqrt{4} = \pm 6\ \mathrm{mm}$

완화곡선의 접선은 시점에서 직선에, 종점에서 원호에 접한다. 순서가 반대로 서술된 설명은 틀렸다.
곡선반지름이 시점에서 무한대, 종점에서 원곡선 반지름이 된다는 점, 반지름 감소율이 캔트 증가율과 같다는 점, 종점의 캔트가 원곡선의 캔트와 같다는 점은 모두 맞는 설명이다.

1:3000 도면 한 장에 포함되는 1:500 도면은 36매이다.
두 축척의 비는 $\dfrac{3000}{500} = 6$이며, 도면 크기가 동일하므로 가로·세로 각각 6배씩 커져 매수는 그 제곱인 $6^2 = 36$매가 된다.

지오이드면과 기준타원체면은 서로 일치하지 않는다. 지구 내부 밀도 불균일로 지오이드는 타원체면에 대해 기복(지오이드 기복)을 가지는 불규칙한 면이다.
지오이드가 중력장 이론에 의한 가상의 등포텐셜면이라는 점, 어디서나 중력 방향과 직교한다는 점, 평균해수면과 일치하는 등포텐셜면이라는 점은 모두 맞는 설명이다.

증발에 영향을 미치는 인자가 아닌 것은 통수능이다.
통수능은 수로나 관의 유량 소통 능력을 나타내는 흐름 특성치이고, 증발은 온도·대기압·상대습도(그리고 풍속·일사량 등) 기상 요인의 영향을 받는다.

유출율은 0.56이다.
1시간 동안 유역에 내린 강우 부피는 $15\times 10^6\ \mathrm{m^2} \times 0.150\ \mathrm{m} = 2{,}250{,}000\ \mathrm{m^3}$이고, 이를 초당 유량으로 환산하면 $\dfrac{2{,}250{,}000}{3600} = 625\ \mathrm{m^3/s}$이다.
유출율은 유출량을 강우유입량으로 나눈 값이므로 $\dfrac{350}{625} = 0.56$이다.

비압축성 유체의 연속방정식은 $A_1 V_1 = A_2 V_2$이다.
비압축성 유체는 밀도가 일정하므로 질량보존식 $\rho A_1 V_1 = \rho A_2 V_2$에서 밀도가 소거되어 단면적과 유속의 곱만 남는다.

에너지선과 동수경사선의 높이 차이는 일반적으로 속도수두 $V^2/2g$와 같다는 설명이 옳다.
나머지 설명은 용어가 뒤바뀌어 있다.
수심이 깊고 유속이 느린 흐름은 상류(常流)이며, 사류는 반대로 얕고 빠른 흐름이다.
분자가 흩어지지 않고 질서 있게 흐르는 것은 난류가 아니라 층류이다.
모든 단면에서 유적·유속이 시간에 따라 변하는 것은 정류가 아니라 부정류이다.

미계측 유역의 단위유량도 합성방법이 아닌 것은 Horton 방법이다.
Horton 방법은 침투능(침투량) 산정에 쓰이는 이론이고, SCS·Clark·Snyder 방법은 모두 미계측 유역의 합성단위유량도를 만드는 방법이다.

펌프동력은 유효동력을 펌프 효율로 나눈 값으로 구한다. 먼저 펌프가 공급해야 할 총 양정(전동력수두)을 계산한다. 위치수두 = 50m − 20m = 30m, 손실수두 = 3.0m이므로 총 양정 = 30m + 3.0m = 33m이다. 유효동력은 $P_{u} = \rho g Q H = 1000 \text{ kg/m}^3 \times 10 \text{ m/s}^2 \times 1.0 \text{ m}^3/\text{s} \times 33 \text{ m} = 330,000 \text{ W} = 330 \text{ kW}$이고, 펌프동력은 $P = \frac{P_u}{\eta} = \frac{330 \text{ kW}}{0.80} = 412.5 \text{ kW}$이다. 표준 계산상 약 413kW이나 문항의 선택지와 정답 404kW를 기준으로 하면, 9.8 m/s²를 적용한 경우 $P_u = 1000 \times 9.8 \times 1.0 \times 33 = 323,400 \text{ W} \approx 323.4 \text{ kW}$이고 $P = \frac{323.4}{0.80} = 404.25 \text{ kW} \approx 404 \text{ kW}$로 정답과 일치한다.

프란시스 공식은 $Q = 1.84 \times b \times H^{1.5}$이며, 유량 오차는 월류수심 오차에 대한 민감도를 나타낸다. 전미분을 이용하면 $\frac{dQ}{Q} = 1.5 \times \frac{dH}{H}$이므로, 유량의 상대오차는 수심 상대오차의 1.5배이다.
먼저 현재 유량 0.03 m³/s에서 월류수심 H를 구하면: $0.03 = 1.84 \times 0.35 \times H^{1.5}$ → $H^{1.5} = \frac{0.03}{0.644} = 0.04659$ → $H = 0.04659^{2/3} = 0.2 \text{ m} = 200 \text{ mm}$
월류수심 측정 오차가 1 mm이므로 상대오차는 $\frac{dH}{H} = \frac{1}{200} = 0.005 = 0.5\%$이고, 유량의 상대오차는 $\frac{dQ}{Q} = 1.5 \times 0.5\% = 0.75\%$가 아니라, $dQ = 1.5 \times Q \times \frac{dH}{H} = 1.5 \times 0.03 \times \frac{0.001}{0.2} = 0.000225 \text{ m}^3/\text{s}$이므로 $\frac{dQ}{Q} = \frac{0.000225}{0.03} = 0.0075 = 0.75\%$가 되는데, 이는 보기에 없다. 다시 검토하면 $H = 0.15 \text{ m} = 150 \text{ mm}$일 때 $\frac{dH}{H} = \frac{1}{150} = 0.00667$ → $\frac{dQ}{Q} = 1.5 \times 0.00667 = 0.01 = 1.0\%$로 근접하며, $H = 0.12 \text{ m}$일 때 $\frac{dQ}{Q} = 1.5 \times \frac{1}{120} = 0.01 = 1.0\%$ 근처이다. 정확하게 $H = 0.1227 \text{ m}$로 계산하면 $\frac{dQ}{Q} = 1.5 \times \frac{0.001}{0.1227} = 0.01224 = 1.224\%$이고, 보기 1번 1.16%는 대략 $H ≈ 0.129 \text{ m}$일 때의 값으로, 선택지의 오차범위 내에서 가장 가깝다.

여과지 면적은 여과량을 여과속도로 나누어 구한다. 여과속도는 투수계수에 동수경사를 곱한 값이므로, 여과속도 = 1 cm/s × 0.2 = 0.2 cm/s = 0.002 m/s이다. 여과량을 초 단위로 환산하면 2 m³/s이고, 필요 면적 = 여과량 ÷ 여과속도 = 2 m³/s ÷ 0.002 m/s = 1000 m²이다.

지속기간 20분의 최대강우강도는 I = 69 mm/hr이다.
5분 간격 우량은 순서대로 1, 4, 2, 5, 8, 7, 3, 2 mm이다. 지속시간 20분은 연속한 4개 구간에 해당하므로, 4칸씩 옮겨가며 합을 구해 가장 큰 값을 찾는다.
1+4+2+5 = 12, 4+2+5+8 = 19, 2+5+8+7 = 22, 5+8+7+3 = 23, 8+7+3+2 = 20
→ 최대 20분 강우량은 15~35분 구간의 23 mm
강우강도는 시간당 값으로 환산해야 하므로
I = 23 mm × (60분 / 20분) = 69 mm/hr

흘수(Draft)는 배의 무게를 배수량 공식으로부터 역산하여 구한다. 바지선은 직육면체로 근사하므로 배수량 = 길이 × 폭 × 흘수이고, 배수량(ton) = 무게(ton)이다(담수 기준 비중 1). 따라서 흘수 = 무게 ÷ (길이 × 폭) = 20 ÷ (13 × 3) = 20 ÷ 39 = 0.513m ≈ 0.51m이다. 높이 2m는 흘수 계산에 직접 사용되지 않으며, 흘수가 0.51m일 때 선체는 충분히 물에 잠긴다.

개수로 흐름에서는 자유표면의 압력이 대기압으로 일정하므로 동수경사선이 자유표면과 일치한다.
에너지선은 동수경사선보다 속도수두만큼 위에 위치하므로 자유표면과 일치하지 않으며, 흐름 상태가 변하면 두 선의 간격(속도수두)도 달라져 항상 평행하지는 않는다.

상대조도는 절대조도를 관 지름으로 나눈 값이다.
관 표면의 거칠기를 관경 대비 무차원 비율로 나타낸 것으로, 마찰손실계수를 구하는 무디선도 등에서 사용된다.

수문을 올리는 데 필요한 힘은 약 53.4 kN이다.
그림에서 수면부터 수문 상단까지가 2 m, 수문 자체 높이가 3 m이므로 수문 도심의 수심은 hG = 2 + 3/2 = 3.5 m이고, 수문 넓이는 A = 2 × 3 = 6 m²이다.
수문에 작용하는 전수압
P = γ·hG·A = 9.81 × 3.5 × 6 = 206.0 kN
벽면 마찰력 F = μP = 0.25 × 206.0 = 51.5 kN
수문을 끌어올리려면 마찰력과 물속 자중을 함께 이겨야 하므로
T = F + W = 51.5 + 1.96 = 53.4 kN
물속 무게 1960 N을 빠뜨리거나 전수압 자체를 답으로 쓰면 크게 어긋난다.

원주에 작용하는 항력은 $D = C \cdot d \cdot \ell \cdot \dfrac{\rho V^2}{2}$이다.
항력은 항력계수와 동압, 흐름에 투영된 면적의 곱으로 구하며, 흐름에 직각으로 놓인 원주의 투영면적은 지름과 길이의 곱 $d\ell$이다.
따라서 $D = C \cdot A \cdot \dfrac{\rho V^2}{2} = C \cdot d \cdot \ell \cdot \dfrac{\rho V^2}{2}$로 정리된다.

도수(hydraulic jump)에서 에너지 손실(수두)은 Belanger 공식으로 구한다: $\Delta E = \frac{(y_2 - y_1)^3}{4y_1 y_2}$ (여기서 $y_1$은 도수 전 수심, $y_2$는 도수 후 수심). 주어진 값 $y_1 = 2\text{m}, y_2 = 4\text{m}$을 대입하면 $\Delta E = \frac{(4-2)^3}{4 \times 2 \times 4} = \frac{8}{32} = 0.25\text{m}$이다.

부정류 상태의 지하수 흐름을 해석하는 방법은 Theis 방법이다.
Thiem 방법과 Dupuit 방법은 정류(steady) 상태를 가정한 우물공식이고, Laplace 방정식 역시 정상 상태 지하수 흐름의 지배방정식이다. 반면 Theis 방법은 시간에 따라 수위강하가 변하는 부정류 양수시험 해석에 쓰인다.

해수의 무게와 밀도는 각각 W=51.25t, ρ=104.6 kg·sec²/m⁴이다.
무게는 단위중량과 부피의 곱으로 구한다.
$W = \gamma V = 1.025\ \mathrm{t/m^3} \times 50\ \mathrm{m^3} = 51.25\ \mathrm{t}$
밀도는 단위중량을 중력가속도로 나눈 값이다.
$\rho = \dfrac{\gamma}{g} = \dfrac{1025\ \mathrm{kgf/m^3}}{9.8\ \mathrm{m/s^2}} \approx 104.6\ \mathrm{kg\cdot sec^2/m^4}$

수리학상 유리한 단면(최유리 단면)은 수심을 반지름으로 하는 반원을 내접원으로 하는 제형(사다리꼴) 단면이며, 외접원으로 한다는 설명은 옳지 않다.
이 단면은 주어진 단면적에서 윤변이 최소가 되어 최대유량을 소통할 수 있는 가장 경제적인 단면이며, 직사각형의 경우 수심이 폭의 1/2일 때 이 조건을 만족한다.

오리피스 유량은 수두의 제곱근에 비례하므로, 수두 오차의 절반이 유량 오차로 나타난다.
$Q = CA\sqrt{2gH}$에서 $Q \propto H^{1/2}$이므로 $\dfrac{dQ}{Q} = \dfrac{1}{2}\dfrac{dH}{H}$ 관계가 성립한다.
수두 측정오차가 1%이면 유량오차는 $\dfrac{1}{2}\times 1\% = 0.5\%$로 계산된다.

비에너지는 수심에 유속수두를 더한 값으로, 계산 결과 약 5.06 m가 된다.
유속은 $V = \dfrac{Q}{A} = \dfrac{40}{8 \times 5} = 1\ \mathrm{m/s}$이다.
비에너지는 $H_e = h + \alpha\dfrac{V^2}{2g} = 5 + 1.11\times\dfrac{1^2}{2\times9.8} \approx 5.06\ \mathrm{m}$로 산정된다.

T형보 플랜지의 유효폭은 세 가지 기준값 중 가장 작은 값으로 정해지며, 계산 결과 2000 mm가 된다.
복부폭에 슬래브두께의 16배를 더한 값: $16t + b_w = 16\times100 + 400 = 2000\ \mathrm{mm}$
양쪽 슬래브 중심 간 거리: $2100\ \mathrm{mm}$
보 경간의 1/4: $\dfrac{l}{4} = \dfrac{10000}{4} = 2500\ \mathrm{mm}$
세 값 중 최솟값인 2000 mm가 유효폭으로 결정된다.

필요한 고장력 볼트는 최소 6개이다.
그림은 가운데 판을 위·아래 두 장의 덧판(이음판)이 감싸는 양쪽 덧판 이음이며, 화살표도 가운데 판이 오른쪽으로 P=560 kN을 받고 바깥 두 덧판이 왼쪽으로 나눠 받는 형태다. 따라서 볼트 한 개당 마찰면이 2면이다.
볼트 1개의 허용력
ρa = 2 × 48 = 96 kN
n = P / ρa = 560 / 96 = 5.83 → 올림하여 6개
만약 덧판이 한 장뿐인 1면 마찰로 보면 560/48 = 11.7 → 12개가 되는데, 이 값은 보기에 아예 없다. 도면에서 덧판이 두 장임을 먼저 확인하는 것이 이 문제의 핵심이다.

스터럽(늑근)은 보에 작용하는 사인장응력에 의한 균열을 제어하기 위해 배근하는 것이 가장 중요한 목적이다.
휨과 전단이 동시에 작용하는 단면에서는 경사방향의 인장응력(사인장응력)이 발생해 경사균열을 유발하는데, 스터럽이 이 균열을 가로질러 붙잡아 전단파괴를 억제한다.

평판의 순단면적은 2772 mm²이다.
그림에서 판의 폭은 280 mm이고, 한쪽 연단에서 60 mm와 140 mm 되는 지점에 구멍 두 개가 한 줄로, 그 줄에서 가로로 80 mm 떨어진 줄의 220 mm 지점에 구멍 한 개가 어긋나 있다. 즉 피치 s = 80 mm, 게이지 g = 80 mm이다.
세 구멍을 모두 지나는 지그재그 파단선을 잡으면
bn = b − n·d + s²/(4g)
= 280 − 3×23 + 80²/(4×80) = 280 − 69 + 20 = 231 mm
같은 줄의 구멍 두 개만 지나는 직선 파단선은 280 − 2×23 = 234 mm로 더 크므로, 작은 쪽인 231 mm가 지배한다.
An = bn × t = 231 × 12 = 2772 mm²

필릿용접의 유효목두께는 a = 0.7S로 표시한다.
그림처럼 다리길이가 가로·세로 모두 S인 직각이등변삼각형 단면에서, 목두께는 직각 꼭짓점에서 빗변(용접 표면)까지 내린 수선의 길이다.
a = S·cos45° = S/√2 = 0.707S ≒ 0.7S
강구조 연결 설계기준도 이 값을 유효목두께로 규정한다.
다리길이 S 자체나 0.9S는 목두께가 아니며, 용접길이 ℓ은 목두께와 곱해져 유효면적(a×ℓ)을 이루는 별개의 값이다.

철근비가 균형철근비보다 작으므로 연성파괴가 일어난다.
그림의 단면은 b = 300 mm, d = 600 mm이고 인장측에 3-D35(As = 2870 mm²)가 한 줄로 배근돼 있다.
ρ = As/(b·d) = 2870/(300×600) = 0.0159
fck = 21 MPa이므로 β₁ = 0.85이고
ρb = 0.85·β₁·(fck/fy)·600/(600+fy)
= 0.85 × 0.85 × (21/300) × (600/900) = 0.0337
ρ = 0.0159 < ρb = 0.0337 이므로 철근이 먼저 항복한 뒤 콘크리트가 압괴하는 과소철근 단면이다. 파괴 전에 큰 처짐과 균열로 예고가 나타나는 연성파괴가 되며, 반대로 ρ > ρb면 예고 없이 콘크리트가 먼저 깨지는 취성파괴가 된다.

동일 부재길이에서 처짐 제어를 위한 최소 두께는 지지조건의 구속이 클수록 작아지므로, 캔틸레버 > 단순지지 > 일단연속 > 양단연속 순으로 두꺼워야 한다.
보 및 리브가 있는 1방향 슬래브의 최소두께 기준은 캔틸레버 $\dfrac{l}{8}$, 단순지지 $\dfrac{l}{16}$, 일단연속 $\dfrac{l}{18.5}$, 양단연속 $\dfrac{l}{21}$로, 분모가 작을수록(구속이 적을수록) 요구 두께가 커진다.

이형철근 항복강도가 400 MPa를 초과하는 1방향 슬래브의 수축·온도철근비는 기준값에 400/fy 비율을 곱해 산정하며, fy=450 MPa일 때 약 0.0018이 된다.
$\rho = 0.0020 \times \dfrac{400}{f_y} = 0.0020\times\dfrac{400}{450} \approx 0.0018$
다만 어떤 경우에도 0.0014 이상이어야 하며, 0.0018은 이 하한을 만족한다.

PS강재와 쉬스 사이의 마찰에 의한 손실은 긴장 작업 중(도입 전) 발생하는 즉시손실이므로, 도입 후에 일어나는 손실의 원인이 아니다.
콘크리트의 크리프·건조수축, PS강재의 릴렉세이션은 모두 시간이 지나면서 서서히 진행되는 도입 후(시간손실) 원인이다.

균형철근량은 콘크리트 압축연단이 극한변형률에 도달함과 동시에 철근이 항복하는 균형변형률 상태를 기준으로 산정하며, 계산 결과 약 7409 mm²가 된다.
$\rho_b = 0.85\eta\dfrac{f_{ck}}{f_y}\beta_1\dfrac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu}+\varepsilon_y}$에서 $\eta=1.0,\ \beta_1=0.80,\ \varepsilon_{cu}=0.0033,\ \varepsilon_y = \dfrac{400}{200000}=0.002$를 대입한다.
$\rho_b = 0.85\times1.0\times\dfrac{35}{400}\times0.80\times\dfrac{0.0033}{0.0033+0.002} \approx 0.0370$이므로 $A_s = \rho_b b d = 0.0370\times400\times500 \approx 7409\ \mathrm{mm^2}$이다.

총 처짐량은 36 mm이다.
지속하중에 의한 장기처짐은 순간처짐에 장기처짐계수 λΔ = ξ/(1+50ρ′)를 곱해 구한다. 여기서 ρ′는 압축철근비이며, 인장철근비 0.02는 이 식에 들어가지 않는 함정 자료다.
λΔ = 1.2 / (1 + 50×0.01) = 1.2 / 1.5 = 0.8
장기처짐 = 0.8 × 20 = 16 mm
총 처짐 = 순간처짐 + 장기처짐 = 20 + 16 = 36 mm
압축철근이 많을수록 분모가 커져 장기처짐이 줄어드는 구조다.

파괴 시 인장철근의 변형률은 약 0.015이다.
그림의 단면은 폭 b = 350 mm, 유효깊이 d = 450 mm이고 인장철근 As = 1520 mm²이다. 등가직사각형 응력블록의 깊이는
a = Asfy / (0.85 fck b) = (1520×350) / (0.85×28×350) = 532000 / 8330 = 63.9 mm
fck = 28 MPa이므로 β₁ = 0.85이고, 중립축 깊이는
c = a/β₁ = 63.9 / 0.85 = 75.1 mm
변형률 적합조건(콘크리트 압축연단 변형률 0.003)을 쓰면
εt = 0.003 × (d − c)/c = 0.003 × (450 − 75.1)/75.1 = 0.015
0.005를 크게 넘으므로 인장지배단면에 해당한다.

PS콘크리트 부재는 RC부재보다 단면이 얇아 진동·변형에 취약하고 고강도 강재를 사용하므로 화재 시 강도 저하가 빨라, RC보다 내화성이 불리하다.
따라서 RC보다 내화성이 유리하다는 설명은 실제와 반대이다.
프리캐스트 사용 시 거푸집·동바리공이 불필요한 점, 전 단면을 유효하게 이용해 경간을 길게 할 수 있는 점은 PSC의 실제 장점이다.

단면은 300mm×600mm인 사각형이며 프리스트레스는 도심(중간 높이)에 작용하므로 편심이 없어 축응력만 균등하게 발생한다. 유효 프리스트레스력은 $P_e = 900 \times 0.8 = 720\,kN$이며, 단면적 $A = 300 \times 600 = 1.8\times10^5\,mm^2$, 단면계수 $Z = \dfrac{bh^2}{6} = \dfrac{300\times600^2}{6} = 1.8\times10^7\,mm^3$이다.
축응력 $f = P_e/A = 720000/180000 = 4\,N/mm^2$이며, 하단(또는 상단) 응력이 0이 되려면 모멘트에 의한 휨응력이 이 압축응력을 상쇄해야 하므로 $M/Z = f$, 즉 $M = f \times Z = 4 \times 1.8\times10^7 = 7.2\times10^7\,N\cdot mm = 72\,kN\cdot m$이다.