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1[토목기사 필기] 19년 2회차

그림과 같은 캔틸레버 보에서 A점의 처짐은? (단, AC구간의 단면2차모멘트 I이고, CB구간은 2I이며, 탄성계수 E는 전 구간이 동일하다.)

 $\dfrac{2PL^3}{15EI}$

 $\dfrac{3PL^3}{16EI}$

 $\dfrac{5PL^3}{18EI}$

 $\dfrac{7PL^3}{24EI}$

해설

A점의 처짐은 3PL³/16EI이다.
그림은 B가 고정된 캔틸레버로 자유단 A에 하중 P가 아래로 작용하며, A~C 구간 L/2는 단면2차모멘트 I, C~B 구간 L/2는 2I이다. 자유단 A에서 잰 거리 x의 휨모멘트가 M=Px이므로 단위하중법  $\delta_A=\int\dfrac{M\cdot m}{EI}\,dx$ (m=x)를 강성이 바뀌는 C점을 경계로 나누어 적분한다.
A~C 구간:  $\int_0^{L/2}\dfrac{Px\cdot x}{EI}dx=\dfrac{P}{EI}\cdot\dfrac{(L/2)^3}{3}=\dfrac{PL^3}{24EI}$ 
C~B 구간:  $\int_{L/2}^{L}\dfrac{Px\cdot x}{2EI}dx=\dfrac{P}{2EI}\left(\dfrac{L^3}{3}-\dfrac{L^3}{24}\right)=\dfrac{7PL^3}{48EI}$ 
두 구간을 합하면  $\dfrac{PL^3}{24EI}+\dfrac{7PL^3}{48EI}=\dfrac{9PL^3}{48EI}=\dfrac{3PL^3}{16EI}$ 이다. 전 구간이 I라면 PL³/3EI(=16PL³/48EI)이므로, 고정단 쪽 절반의 강성을 2배로 키운 효과로 처짐이 약 44% 줄어든 값이다.

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