[경찰간부후보생 통계학] 23년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

네 분포의 평균을 비교하면 자유도 5인 $t$ 분포의 평균이 가장 작다.
$t$ 분포는 0을 중심으로 좌우대칭이고 자유도가 1보다 크면 평균이 존재하므로 $E(T) = 0$이다.
이항분포의 평균은 $np = 10 \times 0.4 = 4$이다.
포아송분포는 평균과 분산이 같으므로 분산이 5이면 평균도 5이다.
카이제곱분포는 분산이 자유도의 2배이므로 분산이 10이면 자유도가 5이고, 평균은 자유도와 같은 5이다.

베이즈 정리로 구하면 구하는 사후확률은 $\dfrac{8}{21}$이다.
먼저 각 그릇에서 빨간 공이 나올 확률은 $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{8}$이다.
전확률은 다음과 같다.
$P(R) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{8}$
$= \dfrac{8}{48} + \dfrac{8}{48} + \dfrac{5}{48} = \dfrac{21}{48}$
따라서 사후확률을 계산한다.
$P(B_{2} \mid R) = \dfrac{8/48}{21/48} = \dfrac{8}{21}$

적합도검정의 자유도는 3이고 검정통계량이 임곗값 7.815보다 작으므로 귀무가설을 채택한다.
$B(3, 1/2)$의 확률은 $\dfrac{1}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{1}{8}$이므로 기대도수는 10, 30, 30, 10이다.
검정통계량을 계산한다.
$\chi^{2} = \dfrac{25}{10} + \dfrac{25}{30} + \dfrac{25}{30} + \dfrac{25}{10} \approx 6.67$
범주가 4개이고 추정한 모수가 없으므로 자유도는 $4 - 1 = 3$이다.
자유도 3에서 임곗값보다 크다는 설명은 계산값 약 6.67과 맞지 않는다.
자유도 4를 쓴 채택 설명은 자유도가 범주 수에서 1을 빼야 한다는 점을 놓쳤다.
자유도 4를 쓴 기각 설명은 자유도와 대소 비교가 모두 틀렸다.

자유도 18의 임곗값 2.101보다 검정통계량이 크므로 귀무가설을 기각한다.
모상관계수 검정의 통계량은 자유도 $n - 2$인 $t$ 분포를 따르므로 자유도는 $20 - 2 = 18$이다.
통계량을 확인한다.
$t = \dfrac{r \sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - r^{2}}} = \dfrac{0.6 \sqrt{18}}{0.8} \approx 3.182$
자유도 18에서 임곗값보다 큰데 채택한다는 설명은 기각역에 든 값의 판정을 뒤집었다.
자유도 19에서 기각한다는 설명은 결론은 같지만 자유도를 $n - 1$로 잘못 잡았다.
자유도 19에서 채택한다는 설명은 자유도와 판정이 모두 틀렸다.

차 $X - Y$의 분포를 이용하면 구하는 확률은 $P(Z > 1/2)$이다.
독립인 정규변수의 차는 정규분포를 따르고, 분산은 더해진다.
$X - Y \sim N(0 - 1, \; 2 + 2) = N(-1, 4)$
표준화한다.
$P(X > Y) = P(X - Y > 0) = P\left(Z > \dfrac{0 - (-1)}{2}\right) = P\left(Z > \dfrac{1}{2}\right)$
$P(Z > -1/2)$는 평균의 부호를 반대로 잡은 값이다.
$P(Z > 1/4)$는 표준편차 2 대신 분산 4로 나눈 값이다.
$P(Z > -1/4)$는 평균의 부호와 나누는 값이 모두 틀렸다.

옳지 않은 것은 두 이항변수의 합이 $B(n_{1} + n_{2}, p_{1} + p_{2})$를 따른다는 설명이다.
독립인 이항변수의 합이 이항분포가 되려면 성공확률이 같아야 하며, 그때도 성공확률은 더해지지 않고 공통값 $p$를 유지해 $B(n_{1} + n_{2}, p)$가 된다.
$X = \dfrac{U/r_{1}}{V/r_{2}}$의 역수는 $\dfrac{V/r_{2}}{U/r_{1}}$이므로 $F(r_{2}, r_{1})$를 따른다는 설명은 옳다.
독립인 카이제곱변수의 합은 자유도가 더해지므로 $\chi^{2}(r_{1} + r_{2})$를 따른다는 설명은 옳다.
독립인 정규변수의 차는 평균은 빼고 분산은 더하므로 $N(\mu_{1} - \mu_{2}, \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2})$를 따른다는 설명은 옳다.

옳지 않은 것은 통계량이 임곗값보다 큰데 귀무가설을 채택한다는 설명이다.
37.17은 임곗값 13.28보다 크므로 기각역에 들고, 따라서 유의수준 1%에서 귀무가설을 기각한다.
자유도는 $(2 - 1)(5 - 1) = 4$이므로 자유도가 4라는 설명은 옳다.
자연대 여학생 셀의 기대도수는 $\dfrac{200 \times 140}{400} = 70$이므로 옳다.
독립성검정과 동질성검정은 검정통계량과 자유도의 계산이 같아 결과도 같으므로 옳다.

네 값을 계산하면 $\mathrm{Var}(X)$가 약 2.92로 가장 작다.
기댓값은 $E(X) = 3.5$이고 $E(X^{2}) = \dfrac{91}{6}$이다.
분산을 구한다.
$\mathrm{Var}(X) = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{35}{12} \approx 2.92$
$E(X) = 3.5$이다.
$E(2X - 4) = 2 \times 3.5 - 4 = 3$이다.
$\mathrm{Var}(2X - 4) = 4 \mathrm{Var}(X) = \dfrac{35}{3}$이다. 상수항은 분산에 영향을 주지 않는다.

확률을 정한 뒤 계산하면 분산은 $\dfrac{26}{49}$이다.
$P(X = 3) = p$로 두면 $P(X = 2) = 2p$, $P(X = 1) = 4p$이고 합이 1이므로 $p = \dfrac{1}{7}$이다.
적률을 구한다.
$E(X) = \dfrac{4 + 4 + 3}{7} = \dfrac{11}{7}$
$E(X^{2}) = \dfrac{4 + 8 + 9}{7} = 3$
분산을 구한다.
$\mathrm{Var}(X) = 3 - \dfrac{121}{49} = \dfrac{26}{49}$
$\dfrac{11}{7}$은 평균이다.
값 3은 이차적률 $E(X^{2})$로, 분산이 아니다.

$N(0, 4)$의 사분위수범위는 $0.675 \times 4$이다.
주어진 식에서 표준정규분포의 제1·3사분위수는 $\mp 0.675$이다.
$N(0, 4)$의 표준편차는 2이므로 사분위수는 $\mp 0.675 \times 2$이다.
사분위수범위는 두 사분위수의 차이다.
$\mathrm{IQR} = 0.675 \times 2 - (-0.675 \times 2) = 0.675 \times 4$
$0.675 \times 2$는 제3사분위수까지만 구한 값이다.
$0.675 \times \dfrac{1}{2}$은 표준편차로 곱하지 않고 나눈 값이다.
$0.675 \times \dfrac{1}{4}$은 분산으로 곱하지 않고 나눈 값이다.

$F = 4.5$가 $F_{0.05}(3, 12) = 3.49$보다 크므로 귀무가설을 기각한다.
수준이 4개이고 전체 16회이므로 처리 자유도는 $4 - 1 = 3$, 잔차 자유도는 $16 - 4 = 12$이다.
평균제곱과 검정통계량을 구한다.
$\mathrm{MST} = \dfrac{1800}{3} = 600, \; \mathrm{MSE} = \dfrac{1600}{12} \approx 133.3$
$F = \dfrac{600}{133.3} \approx 4.5$
$F_{0.05}(3, 12)$보다 작다는 설명은 계산값 4.5와 맞지 않는다.
$F_{0.05}(4, 12)$보다 작다는 설명은 처리 자유도를 수준 수로 잡았고 대소 비교도 틀렸다.
$F_{0.05}(4, 12)$보다 크다는 설명은 결론은 같지만 처리 자유도를 수준 수로 잘못 잡았다.

세 설명이 모두 옳으므로 가, 나, 다를 모두 고른다.
안울타리는 사분위수에서 $1.5 \times \mathrm{IQR}$만큼 떨어진 경계이고, 그 밖의 값을 이상점으로 표시한다.
수염은 안울타리 안에 있는 가장 바깥 관측값까지 그리므로 경계를 벗어나지 않는다.
상자그림은 사분위수 같은 순서 정보로 그리므로 범주형보다 연속형 자료에 적합하다.
어떤 값이 이상점이면 그보다 더 바깥의 값도 이상점이므로, 이상점이 하나뿐이면 그 값은 최솟값 또는 최댓값이다.

검정력은 $\lambda = 15$일 때 기각역에 들 확률이므로 $1 - \sum_{x = 0}^{12} \dfrac{e^{-15} 15^{x}}{x!}$이다.
검정력을 식으로 쓰고 여사건으로 바꾼다.
$P(X \ge 13 \mid \lambda = 15) = 1 - P(X \le 12 \mid \lambda = 15)$
$\lambda = 8$로 계산한 $1 - \sum_{x = 0}^{12} \dfrac{e^{-8} 8^{x}}{x!}$는 검정의 크기이다.
$\lambda = 8$로 계산한 누적합은 귀무가설 경계에서 기각하지 않을 확률이다.
$\lambda = 15$로 계산한 누적합은 기각하지 못할 확률, 곧 제2종 오류 확률이다.

총제곱합이 3100이므로 결정계수는 0.90이다.
총제곱합을 구한다.
$\mathrm{SST} = \sum y_{i}^{2} - \dfrac{(\sum y_{i})^{2}}{n} = 68710 - \dfrac{810^{2}}{10} = 3100$
결정계수를 구한다.
$R^{2} = 1 - \dfrac{\mathrm{SSE}}{\mathrm{SST}} = 1 - \dfrac{310}{3100} = 0.90$
0.10은 $\dfrac{\mathrm{SSE}}{\mathrm{SST}}$로, 설명되지 않는 변동의 비율이다.

옳은 것은 표준화된 두 변수의 공분산이 상관계수와 같다는 설명이다.
공분산의 쌍선형성으로 정리한다.
$\mathrm{Cov}\left(\dfrac{X - \mu_{1}}{\sigma_{1}}, \dfrac{Y - \mu_{2}}{\sigma_{2}}\right) = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_{1} \sigma_{2}} = \mathrm{Corr}(X, Y)$
$\mathrm{Cov}(aX + b, cY + d) = ac \, \mathrm{Cov}(X, Y)$이며, $ac$의 부호와 상관없이 음의 부호가 붙지 않는다.
상관계수가 0이면 선형관계가 없다는 뜻일 뿐이며 독립이 보장되지는 않는다.
공분산은 단위에 따라 값이 달라지고, 상관계수만 단위에 무관하다.

옳은 것은 $p$-값이 $P(X > 140)$라는 설명이다.
평균제곱과 검정통계량을 구한다.
$\mathrm{MSR} = \dfrac{140}{2} = 70, \; \mathrm{MSE} = \dfrac{10}{20} = 0.5$
$F = \dfrac{70}{0.5} = 140$
귀무가설 아래에서 $F$는 $F(2, 20)$를 따르고 큰 값이 기각 방향이므로 $p$-값은 $P(X > 140)$이다.
회귀의 $F$ 검정은 절편을 제외한 $H_{0} : \beta_{1} = \beta_{2} = 0$을 검정한다.
세 값의 합은 $70 + 0.5 + 140 = 210.5$이다.
오차분산의 불편추정값은 회귀 평균제곱 70이 아니라 잔차 평균제곱 0.5이다.

연속성 수정을 적용한 근사식은 $\Phi\left(\dfrac{19.5}{6}\right) - \Phi\left(-\dfrac{1}{12}\right)$이다.
평균은 $150 \times 0.4 = 60$, 분산은 $150 \times 0.4 \times 0.6 = 36$이므로 표준편차는 6이다.
$X$는 정수이므로 $60 \le X \le 79$이고, 연속성 수정으로 구간은 59.5에서 79.5까지이다.
$\dfrac{79.5 - 60}{6} = \dfrac{19.5}{6}, \; \dfrac{59.5 - 60}{6} = -\dfrac{1}{12}$
$\Phi(19.5/6) - \Phi(1/12)$는 하한의 부호가 틀렸다.
$\Phi(20.5/6) - \Phi(-1/12)$는 포함되지 않는 80까지 넣었다.
$\Phi(20.5/6) - \Phi(1/12)$는 상한과 하한의 처리가 모두 틀렸다.

옳지 않은 것은 반복 수가 3이라는 설명이고, 실제 반복 수는 2이다.
자유도에서 $A$의 수준 수는 4, $B$의 수준 수는 3이다. 반복 수를 $r$이라 하면 잔차 자유도는 $4 \times 3 \times (r - 1) = 12$이므로 $r = 2$이다.
평균제곱과 $F$를 구하면 (ㄱ) 40, (ㄴ) 80, (ㄷ) 12, (ㄹ) 5이고, (ㅁ) 8, (ㅂ) 16, (ㅅ) 2.4이다.
평균제곱의 크기 순서는 5, 12, 40, 80이므로 제시된 부등식은 옳다.
수준 수가 4와 3으로 다르다는 설명은 옳다.
세 $F$ 값의 합은 $8 + 16 + 2.4 = 26.4$로 25보다 크므로 옳다.

$A$는 기울기의 최소제곱추정량이므로 $\left(\beta, \dfrac{\sigma^{2}}{S_{xx}}\right)$이다.
적합식은 $\hat{y}_{i} = \bar{y} + \hat{\beta}(x_{i} - \bar{x})$로 쓸 수 있으므로 $A = \hat{\beta}$이다. 최소제곱추정량은 불편이고 분산은 $\dfrac{\sigma^{2}}{S_{xx}}$이다.
분산이 $\left(\dfrac{1}{n} + \dfrac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}}\right) \sigma^{2}$인 쪽은 절편 추정량의 분산을 쓴 것이다.
기댓값이 $\alpha$이고 분산이 $\dfrac{\sigma^{2}}{S_{xx}}$인 쪽은 기댓값을 절편으로 잘못 썼다.
기댓값이 $\alpha$이고 분산도 절편의 것인 쪽은 절편 추정량의 성질로, $A$와 맞지 않는다.

세 조건에 해당하는 검정법은 $t$ 검정이다.
정규모집단에서 분산을 모르는 소표본의 평균 비교는 표본분산을 쓰는 $t$ 통계량을 이용한다. 두 분산이 다르면 합동분산 대신 각 표본분산을 쓰는 이분산 $t$ 검정을 적용한다.
$Z$ 검정은 모분산을 알거나 표본이 클 때 쓴다.
$\chi^{2}$ 검정은 단일 모분산이나 적합도·독립성 검정에 쓴다.
이항검정은 성공과 실패로 나뉘는 자료의 비율을 검정할 때 쓴다.

표본평균이 2가 되려면 합이 4여야 하므로 구하는 확률은 0.28이다.
합이 4인 경우는 순서쌍 (1, 3), (3, 1), (2, 2)이다.
$2 \times 0.2 \times 0.3 + 0.4 \times 0.4 = 0.12 + 0.16 = 0.28$
0.12는 (2, 2)를 빠뜨린 값이다.
0.22는 (1, 3)과 (3, 1)을 한 경우로 센 값이다.
0.44는 (2, 2)를 두 번 센 값이다.

옳지 않은 것은 불편성이 반드시 가져야 하는 성질이라는 설명이다.
불편성은 바람직한 성질 중 하나일 뿐 필수 조건이 아니다. 약간의 편향이 있어도 평균제곱오차가 더 작은 추정량을 쓰기도 한다.
일치성은 표본크기가 커질 때 추정량이 모수로 수렴하는 성질이므로 옳은 설명이다.
$\mathrm{MSE} = \mathrm{Var} + \mathrm{Bias}^{2}$이고 불편추정량은 편향이 0이므로 평균제곱오차가 분산과 같다.
두 불편추정량 가운데 분산이 작은 쪽이 더 유효하다는 설명은 유효성의 정의이다.

학생 수를 가중치로 한 가중평균을 풀면 $A$학교 평균은 60점이다.
$B$학교 학생 수를 $n$, $A$학교 평균을 $a$라 하면 $A$학교 학생 수는 $2n$이다.
$\dfrac{2n \cdot a + n \cdot 75}{3n} = 65$
정리한다.
$2a + 75 = 195, \; a = 60$
55점은 학생 수를 무시하고 단순평균으로 푼 값이다.

옳지 않은 것은 유의확률을 대립가설 하의 분포로 구한다는 설명이다.
유의확률은 귀무가설이 참이라는 가정 아래에서 관측값만큼 또는 그보다 극단적인 값이 나올 확률이다.
유의수준은 자료를 보기 전에 정하고 유의확률은 관측값으로 계산하므로 옳은 설명이다.
유의수준은 제1종 오류 확률의 허용 상한으로 정하므로 옳은 설명이다.
유의확률이 작을수록 귀무가설과 자료가 어긋나는 정도가 크므로 옳은 설명이다.

결정계수가 0.64이고 기울기가 음수이므로 상관계수는 -0.80이다.
결정계수를 구한다.
$R^{2} = 1 - \dfrac{36}{100} = 0.64$
단순회귀에서 $r = \pm \sqrt{R^{2}} = \pm 0.8$이고, 부호는 기울기 -10의 부호를 따른다.
0.64는 결정계수이다.
0.80은 기울기가 음수라는 점을 놓친 값이다.
-0.64는 결정계수에 부호만 붙인 값이다.

드모르간 법칙을 쓰면 구하는 조건부확률은 $\dfrac{1}{3}$이다.
합사건의 확률을 구한다.
$P(A \cup B) = 0.7 + 0.6 - 0.4 = 0.9$
드모르간 법칙으로 $P(A^{c} \cap B^{c}) = 1 - 0.9 = 0.1$이고, $P(A^{c}) = 0.3$이다.
$P(B^{c} \mid A^{c}) = \dfrac{0.1}{0.3} = \dfrac{1}{3}$
$\dfrac{1}{4}$은 조건을 바꾼 $P(A^{c} \mid B^{c})$이다.
$\dfrac{4}{7}$은 $P(B \mid A)$이다.
$\dfrac{2}{3}$은 $P(B \mid A^{c})$이다.

잔차제곱합이 0.4이므로 $\sigma^{2}$의 불편추정값은 $\dfrac{2}{15}$이다.
적합값은 10.2, 8.6, 7.0, 5.4, 3.8이고 잔차는 -0.2, 0.4, 0, -0.4, 0.2이다.
$\mathrm{SSE} = 0.04 + 0.16 + 0 + 0.16 + 0.04 = 0.4$
회귀계수 2개를 추정했으므로 자유도 $n - 2 = 3$으로 나눈다.
$\hat{\sigma}^{2} = \dfrac{0.4}{3} = \dfrac{2}{15}$
$\dfrac{2}{5}$는 자유도로 나누지 않은 잔차제곱합이다.
$\dfrac{2}{25}$는 $n = 5$로 나눈 값으로, 불편추정값이 아니다.

등분산 가정의 $t$ 구간이므로 길이는 $2 \times t_{0.025}(18) \sqrt{\left(\dfrac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18}\right)\left(\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{9}\right)}$이다.
두 모분산이 같으므로 자유도로 가중한 합동분산을 쓴다.
$S_{p}^{2} = \dfrac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18}$
신뢰구간은 다음과 같다.
$(\bar{X} - \bar{Y}) \pm t_{0.025}(18) \, S_{p} \sqrt{\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{9}}$
구간의 길이는 이 오차한계의 2배이다.
2배가 없고 $\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{9}$를 쓴 식은 구간의 절반 길이이다.
2배가 있고 $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{8}$을 쓴 식은 표본크기 자리에 자유도를 넣었다.
2배가 없고 $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{8}$을 쓴 식은 두 오류를 모두 범했다.