경찰간부후보생 통계학 기출문제 전 회차를 한 권으로 — PDF 전자책(문제집·정답해설집)

23년 1회차

총 40문항 · 객관식 · A4 약 1장

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경찰간부후보생 통계학 기출문제모두CBT · moducbt.com

23년 1회차

총 40문항 · 객관식 · 정답·해설 포함

문제 1

다음 중 평균이 가장 작은 분포는?

1성공확률이 0.4이고 시행횟수가 10인 이항분포

2자유도가 5인

t

분포

3분산이 5인 포아송분포

4분산이 10인 카이제곱분포

정답 및 해설

네 분포의 평균을 비교하면 자유도 5인 $t$ 분포의 평균이 가장 작다.

$t$ 분포는 0을 중심으로 좌우대칭이고 자유도가 1보다 크면 평균이 존재하므로 $E(T) = 0$ 이다.

이항분포의 평균은 $np = 10 \times 0.4 = 4$ 이다.
포아송분포는 평균과 분산이 같으므로 분산이 5이면 평균도 5이다.
카이제곱분포는 분산이 자유도의 2배이므로 분산이 10이면 자유도가 5이고, 평균은 자유도와 같은 5이다.

문제 2

그룻

B_{1}

에는 빨간 공 3개와 흰 공 3개, 그룻

B_{2}

에는 빨간 공 1개와 흰 공 2개, 그룻

B_{3}

에는 빨간 공 5개와 흰 공 3개가 들어 있다. 각 그릇이 선택될 확률은

P ( B_{1} ) = \frac{1}{3} , \; P ( B_{2} ) = \frac{1}{2} , \; P ( B_{3} ) = \frac{1}{6}

이다. 실험은 주어진 확률로 그릇을 선택하고, 그 그릇에서 임의로 하나의 공을 추출한다. 추출된 공이 빨간색일 때, 이 공이 그릇

B_{2}

에서 나왔을 확률은?

\frac{1}{9}

\frac{7}{16}

\frac{8}{17}

\frac{8}{21}

정답 및 해설

베이즈 정리로 구하면 구하는 사후확률은 $\dfrac{8}{21}$ 이다.

먼저 각 그릇에서 빨간 공이 나올 확률은 $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{8}$ 이다.

전확률은 다음과 같다.
$P(R) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{8}$
$= \dfrac{8}{48} + \dfrac{8}{48} + \dfrac{5}{48} = \dfrac{21}{48}$

따라서 사후확률을 계산한다.
$P(B_{2} \mid R) = \dfrac{8/48}{21/48} = \dfrac{8}{21}$

문제 3

앞면이 나올 확률이 동일한 동전 3개를 독립적으로 던져 관측된 앞면의 수를

X

라 하자. 이 실험을 80번 반복해 앞면이 나온 동전의 수가 0, 1, 2, 3인 빈도가 각각 15, 25, 25, 15번이다. 유의수준 5%에서 귀무가설

H_{0} : X \sim B \left( 3 , \; \frac{1}{2} \right)

을 검정하고자 할 때, 다음 중 옳은 것은? 단,

\chi_{\alpha}^{2} ( k )

는 자유도

k

인 카이제곱분포의 제

100 ( 1 - \alpha )

백분위수이다.

1귀무가설 하에서 카이제곱 검정통계량은 자유도가 3인 카이제곱분포를 근사적으로 따르고, 계산한 값이 임곗값

\chi_{0.05}^{2} ( 3 ) = 7.815

보다 작으므로 귀무가설을 채택한다.

2귀무가설 하에서 카이제곱 검정통계량은 자유도가 3인 카이제곱분포를 근사적으로 따르고, 계산한 값이 임곗값

\chi_{0.05}^{2} ( 3 ) = 7.815

보다 크기 때문에 귀무가설을 기각한다.

3귀무가설 하에서 카이제곱 검정통계량은 자유도가 4인 카이제곱분포를 근사적으로 따르고, 계산한 값이 임곗값

\chi_{0.05}^{2} ( 4 ) = 9.488

보다 작으므로 귀무가설을 채택한다.

4귀무가설 하에서 카이제곱 검정통계량은 자유도가 4인 카이제곱분포를 근사적으로 따르고, 계산한 값이 임곗값

\chi_{0.05}^{2} ( 4 ) = 9.488

보다 크기 때문에 귀무가설을 기각한다.

정답 및 해설

적합도검정의 자유도는 3이고 검정통계량이 임곗값 7.815보다 작으므로 귀무가설을 채택한다.

$B(3, 1/2)$ 의 확률은 $\dfrac{1}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{1}{8}$ 이므로 기대도수는 10, 30, 30, 10이다.

검정통계량을 계산한다.
$\chi^{2} = \dfrac{25}{10} + \dfrac{25}{30} + \dfrac{25}{30} + \dfrac{25}{10} \approx 6.67$

범주가 4개이고 추정한 모수가 없으므로 자유도는 $4 - 1 = 3$ 이다.

자유도 3에서 임곗값보다 크다는 설명은 계산값 약 6.67과 맞지 않는다.
자유도 4를 쓴 채택 설명은 자유도가 범주 수에서 1을 빼야 한다는 점을 놓쳤다.
자유도 4를 쓴 기각 설명은 자유도와 대소 비교가 모두 틀렸다.

문제 4

어느 고등학교 학생 전체의 국어와 영어 성적이 이변량정규분포를 따른다고 할 때, 이들 성적 사이의 모상관계수(

\rho

)에 대한 가설

H_{0 \,\,} \, : \,\, \rho = 0

대

H_{1} : \rho \ne 0

을 유의수준 5%에서 검정하고자 한다. 이를 위해 학생

n = 20

명을 임의로 추출하여 표본상관계수

r = 0.6

, 검정통계랑

t = 3.182

를 얻었을 때 옳은 설명은? 단,

t_{\alpha} ( k )

는 자유도

k

인

t

분포의 제

100 ( 1 - \alpha )

백분위수이다.

1검정통계량

t = 3.182

가

t_{0.025} ( 18 ) = 2.101

보다 크므로 귀무가설을 기각한다.

2검정통계량

t = 3.182

가

t_{0.025} ( 18 ) = 2.101

보다 크므로 귀무가설을 채택한다.

3검정통계량

t = 3.182

가

t_{0.025} ( 19 ) = 2.093

보다 크므로 귀무가설을 기각한다.

4검정통계량

t = 3.182

가

t_{0.025} ( 19 ) = 2.093

보다 크므로 귀무가설을 채택한다.

정답 및 해설

자유도 18의 임곗값 2.101보다 검정통계량이 크므로 귀무가설을 기각한다.

모상관계수 검정의 통계량은 자유도 $n - 2$ 인 $t$ 분포를 따르므로 자유도는 $20 - 2 = 18$ 이다.

통계량을 확인한다.
$t = \dfrac{r \sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - r^{2}}} = \dfrac{0.6 \sqrt{18}}{0.8} \approx 3.182$

자유도 18에서 임곗값보다 큰데 채택한다는 설명은 기각역에 든 값의 판정을 뒤집었다.
자유도 19에서 기각한다는 설명은 결론은 같지만 자유도를 $n - 1$ 로 잘못 잡았다.
자유도 19에서 채택한다는 설명은 자유도와 판정이 모두 틀렸다.

문제 5

두 확률변수

X , \; Y

가 서로 독립이고 각각 정규분포

N ( 0 , 2 ) , \; N ( 1 , 2 )

를 따를 때 확률

P \, ( X > Y )

는? 단, 확률변수

Z

는 표준정규분포

N ( 0 , 1 )

을 따른다.

P \,\, \left( Z \, > \, - \frac{1}{2} \right)

P \, \left( Z \, > \, - \frac{1}{4} \right)

P \, \left( Z \, > \, \frac{1}{2} \right)

P \, \left( Z \, > \, \frac{1}{4} \right)

정답 및 해설

차 $X - Y$ 의 분포를 이용하면 구하는 확률은 $P(Z > 1/2)$ 이다.

독립인 정규변수의 차는 정규분포를 따르고, 분산은 더해진다.
$X - Y \sim N(0 - 1, \; 2 + 2) = N(-1, 4)$

표준화한다.
$P(X > Y) = P(X - Y > 0) = P\left(Z > \dfrac{0 - (-1)}{2}\right) = P\left(Z > \dfrac{1}{2}\right)$

$P(Z > -1/2)$ 는 평균의 부호를 반대로 잡은 값이다.
$P(Z > 1/4)$ 는 표준편차 2 대신 분산 4로 나눈 값이다.
$P(Z > -1/4)$ 는 평균의 부호와 나누는 값이 모두 틀렸다.

문제 6

확률분포에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은?

1확률변수

X

가

F \, ( r_{1} , \; r_{2} )

분포를 따를 때,

Y = \frac{1}{X}

은

F \,\, ( r_{2} , \; r_{1} )

분포를 따른다.

2서로 독립인 두 확률변수

X_{1} , \; X_{2}

가 각각 이항분포

B \,\, ( n_{1} , \quad p_{1} ) , \; B \,\, ( n_{2} , \quad p_{2} )

를 따를 때,

Y \quad = \quad X_{1 \,\,} \quad + \quad X_{2}

는

B \,\, ( n_{1} + n_{2} , \, \; p_{1} + p_{2} )

분포를 따른다.

3서로 독립인 두 확률변수

X_{1} , \; X_{2}

가 각각

\chi^{2} ( r_{1} ) , \; \chi^{2} ( r_{2} )

분포를 따를 때,

Y = X_{1} + X_{2}

는

\chi^{2} ( r_{1} + r_{2} )

분포를 따른다.

4서로 독립인 두 확률변수

X_{1} , \; X_{2}

가 각각 정규분포

N \,\, ( \mu_{1} , \quad \sigma_{1}^{2} ) , \; N \,\, ( \mu_{2} , \quad \sigma_{2}^{2} )

을 따를 때,

Y \quad = \quad X_{1} \quad - \quad X_{2}

는

N \,\, ( \mu_{1} - \mu_{2} , \quad \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} )

분포를 따른다.

정답 및 해설

옳지 않은 것은 두 이항변수의 합이 $B(n_{1} + n_{2}, p_{1} + p_{2})$ 를 따른다는 설명이다.

독립인 이항변수의 합이 이항분포가 되려면 성공확률이 같아야 하며, 그때도 성공확률은 더해지지 않고 공통값 $p$ 를 유지해 $B(n_{1} + n_{2}, p)$ 가 된다.

$X = \dfrac{U/r_{1}}{V/r_{2}}$ 의 역수는 $\dfrac{V/r_{2}}{U/r_{1}}$ 이므로 $F(r_{2}, r_{1})$ 를 따른다는 설명은 옳다.
독립인 카이제곱변수의 합은 자유도가 더해지므로 $\chi^{2}(r_{1} + r_{2})$ 를 따른다는 설명은 옳다.
독립인 정규변수의 차는 평균은 빼고 분산은 더하므로 $N(\mu_{1} - \mu_{2}, \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2})$ 를 따른다는 설명은 옳다.

문제 7

어느 대학 학부생들 중 임의로 추출된 400명 학생들을 그들이 속한 단과대학과 성별에 따라 분류한 표가 다음과 같다. 학생이 소속된 단과대학이 성별과 독립이라는 귀무가설 검정에 대한 설명 중 옳지 않은 것은?

	인문대	공대	경영대	간호대	자연대	합계
남	23	60	30	17	70	200
여	17	20	50	43	70	200
합계	40	80	80	60	140	400

1귀무가설 하에서 카이제곱 검정통계량은 근사적으로 자유도가 4인 카이제곱분포를 따른다.

2계산된 카이제곱 검정통계량 37.17이 유의수준 1%에서 임곗값 13.28보다 크므로 귀무가설을 채택한다.

3귀무가설 하에서 자연대 여학생 셀에 해당하는 기대도수의 추정값은 70명이다.

4이 독립성검정의 검정 결과는 각 단과대학에 속하는 확률이 남녀 간에 모두 같은지에 대한 동질성검정의 결과와 동일하다.

정답 및 해설

옳지 않은 것은 통계량이 임곗값보다 큰데 귀무가설을 채택한다는 설명이다.

37.17은 임곗값 13.28보다 크므로 기각역에 들고, 따라서 유의수준 1%에서 귀무가설을 기각한다.

자유도는 $(2 - 1)(5 - 1) = 4$ 이므로 자유도가 4라는 설명은 옳다.
자연대 여학생 셀의 기대도수는 $\dfrac{200 \times 140}{400} = 70$ 이므로 옳다.
독립성검정과 동질성검정은 검정통계량과 자유도의 계산이 같아 결과도 같으므로 옳다.

문제 8

공정한 육면체 주사위를 던져 나온 눈의 수를

X

라 하면, 확률변수

X

의 확률질량함수는

f ( x ) = \frac{1}{6} , \; x = 1 , 2 , \cdots , 6

이다. 다음 중 가장 작은 값은?

E ( X )

E ( 2 X - 4 )

\mathrm{Var} ( X )

\mathrm{Var} ( 2 X - 4 )

정답 및 해설

네 값을 계산하면 $\mathrm{Var}(X)$ 가 약 2.92로 가장 작다.

기댓값은 $E(X) = 3.5$ 이고 $E(X^{2}) = \dfrac{91}{6}$ 이다.

분산을 구한다.
$\mathrm{Var}(X) = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{35}{12} \approx 2.92$

$E(X) = 3.5$ 이다.
$E(2X - 4) = 2 \times 3.5 - 4 = 3$ 이다.
$\mathrm{Var}(2X - 4) = 4 \mathrm{Var}(X) = \dfrac{35}{3}$ 이다. 상수항은 분산에 영향을 주지 않는다.

문제 9

이산확률변수

X

의 가능한 값이 1, 2, 3이고

P ( X = 1 ) = 2 P ( X = 2 ) = 4 P ( X = 3 )

일 때,

X

의 분산은?

3

2

\frac{11}{7}

\frac{26}{49}

정답 및 해설

확률을 정한 뒤 계산하면 분산은 $\dfrac{26}{49}$ 이다.

$P(X = 3) = p$ 로 두면 $P(X = 2) = 2p$ , $P(X = 1) = 4p$ 이고 합이 1이므로 $p = \dfrac{1}{7}$ 이다.

적률을 구한다.
$E(X) = \dfrac{4 + 4 + 3}{7} = \dfrac{11}{7}$
$E(X^{2}) = \dfrac{4 + 8 + 9}{7} = 3$

분산을 구한다.
$\mathrm{Var}(X) = 3 - \dfrac{121}{49} = \dfrac{26}{49}$

$\dfrac{11}{7}$ 은 평균이다.
값 3은 이차적률 $E(X^{2})$ 로, 분산이 아니다.

문제 10

Z \,\, \sim \, N ( 0 , \quad 1 )

일 때, 다음 식이 성립한다.

P ( - 0.675 \, < Z < \, 0.675 ) \, = \, 0.5

이 사실을 이용하여

N ( 0 , \quad 4 )

분포의 사분위수범위(IQR)를 구하면?

0.675 \times \frac{1}{4}

0.675 \times \frac{1}{2}

0.675 \times 2

0.675 \times 4

정답 및 해설

$N(0, 4)$ 의 사분위수범위는 $0.675 \times 4$ 이다.

주어진 식에서 표준정규분포의 제1·3사분위수는 $\mp 0.675$ 이다.

$N(0, 4)$ 의 표준편차는 2이므로 사분위수는 $\mp 0.675 \times 2$ 이다.

사분위수범위는 두 사분위수의 차이다.
$\mathrm{IQR} = 0.675 \times 2 - (-0.675 \times 2) = 0.675 \times 4$

$0.675 \times 2$ 는 제3사분위수까지만 구한 값이다.
$0.675 \times \dfrac{1}{2}$ 은 표준편차로 곱하지 않고 나눈 값이다.
$0.675 \times \dfrac{1}{4}$ 은 분산으로 곱하지 않고 나눈 값이다.

문제 11

어떤 직물의 가공 시 처리액의 농도가 직물의 인장강도에 영향을 미치는지 알아보기 위해 네 가지 농도에서 반복 4회씩, 총 16회를 랜덤하게 실험하여 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같다. 처리액의 농도가 직물의 인장강도에 영향을 미치지 않는다는 귀무가설을 유의수준 5%에서 검정한 결과로 옳은 것은?

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$
처리	1800
잔차	1600
합계	3400

1검정통계량(

F

값)이

F_{0.05} ( 3 , 12 ) = 3.49

보다 작으므로 귀무가설을 채택한다.

2검정통계량(

F

값)이

F_{0.05} ( 3 , 12 ) = 3.49

보다 크므로 귀무가설을 기각한다.

3검정통계량(

F

값)이

F_{0.05} ( 4 , 12 ) = 3.26

보다 작으므로 귀무가설을 채택한다.

4검정통계량(

F

값)이

F_{0.05} ( 4 , 12 ) = 3.26

보다 크므로 귀무가설을 기각한다.

정답 및 해설

$F = 4.5$ 가 $F_{0.05}(3, 12) = 3.49$ 보다 크므로 귀무가설을 기각한다.

수준이 4개이고 전체 16회이므로 처리 자유도는 $4 - 1 = 3$ , 잔차 자유도는 $16 - 4 = 12$ 이다.

평균제곱과 검정통계량을 구한다.
$\mathrm{MST} = \dfrac{1800}{3} = 600, \; \mathrm{MSE} = \dfrac{1600}{12} \approx 133.3$
$F = \dfrac{600}{133.3} \approx 4.5$

$F_{0.05}(3, 12)$ 보다 작다는 설명은 계산값 4.5와 맞지 않는다.
$F_{0.05}(4, 12)$ 보다 작다는 설명은 처리 자유도를 수준 수로 잡았고 대소 비교도 틀렸다.
$F_{0.05}(4, 12)$ 보다 크다는 설명은 결론은 같지만 처리 자유도를 수준 수로 잘못 잡았다.

문제 12

자료의 상자그림 요약에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고른 것은?

가.수염(whisker)은 안울타리 경계를 벗어나지 않는다.
나. 상자그림은 범주형보다 연속형 자료에 적합한 요약 방법이다.
다. 이상점이 한 개만 존재한다면, 이 값은 자료의 최솟값 또는 최댓값이다.

1가, 나

2가, 다

3나, 다

4가, 나, 다

정답 및 해설

세 설명이 모두 옳으므로 가, 나, 다를 모두 고른다.

안울타리는 사분위수에서 $1.5 \times \mathrm{IQR}$ 만큼 떨어진 경계이고, 그 밖의 값을 이상점으로 표시한다.

수염은 안울타리 안에 있는 가장 바깥 관측값까지 그리므로 경계를 벗어나지 않는다.
상자그림은 사분위수 같은 순서 정보로 그리므로 범주형보다 연속형 자료에 적합하다.
어떤 값이 이상점이면 그보다 더 바깥의 값도 이상점이므로, 이상점이 하나뿐이면 그 값은 최솟값 또는 최댓값이다.

문제 13

X

가 평균이

\lambda

인 포아송분포를 따르는 확률변수일 때, 다음의 가설을 검정하려고 한다.

H_{0} : \lambda \le 8

대

H_{1} : \lambda > 8

기각역을

X \ge 13

으로 정할 때,

\lambda = 15

에서의 검정력은?

1 - \sum_{x = 0}^{12} \frac{e^{-8} 8^{x}}{x!}

\sum_{x = 0}^{12} \frac{e^{- 8} 8^{x}}{x!}

1 - \sum_{x = 0}^{12} \frac{e^{- 15} 15^{x}}{x!}

\sum_{x = 0}^{12} \frac{e^{- 15} 15^{x}}{x!}

정답 및 해설

검정력은 $\lambda = 15$ 일 때 기각역에 들 확률이므로 $1 - \sum_{x = 0}^{12} \dfrac{e^{-15} 15^{x}}{x!}$ 이다.

검정력을 식으로 쓰고 여사건으로 바꾼다.
$P(X \ge 13 \mid \lambda = 15) = 1 - P(X \le 12 \mid \lambda = 15)$

$\lambda = 8$ 로 계산한 $1 - \sum_{x = 0}^{12} \dfrac{e^{-8} 8^{x}}{x!}$ 는 검정의 크기이다.
$\lambda = 8$ 로 계산한 누적합은 귀무가설 경계에서 기각하지 않을 확률이다.
$\lambda = 15$ 로 계산한 누적합은 기각하지 못할 확률, 곧 제2종 오류 확률이다.

문제 14

모의고사 점수(

X

)와 본고사 점수(

Y

) 간의 관계를 알아보기 위해 다음과 같은 단순회귀모형을 고려한다.

Y_{i} = \alpha + \beta ( x_{i} - {\bar{x}} ) + \epsilon_{i} , \; \epsilon_{i} \sim N ( 0 , \sigma^{2} )

최소제곱법에 의한 회귀계수 추정을 위해 어느 반 학생 10명의 점수를 이용하여 다음과 같은 결과를 얻었다.

\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 810 , \; \; \sum_{i = 1}^{10} y_{i}^{2} = 68710

또한 잔차제곱합이

SSE = 310

일 때, 결정계수는?

10.10

20.85

30.90

40.95

정답 및 해설

총제곱합이 3100이므로 결정계수는 0.90이다.

총제곱합을 구한다.
$\mathrm{SST} = \sum y_{i}^{2} - \dfrac{(\sum y_{i})^{2}}{n} = 68710 - \dfrac{810^{2}}{10} = 3100$

결정계수를 구한다.
$R^{2} = 1 - \dfrac{\mathrm{SSE}}{\mathrm{SST}} = 1 - \dfrac{310}{3100} = 0.90$

0.10은 $\dfrac{\mathrm{SSE}}{\mathrm{SST}}$ 로, 설명되지 않는 변동의 비율이다.

문제 15

두 확률변수 간의 공분산과 상관계수에 대한 설명으로 옳은 것은? 단,

a , b , c , d

는 상수이다.

ac < 0

이면

\mathrm{Cov} ( aX + b , \,\, cY + d ) = - acCov ( X , \,\, Y )

이다.

\mathrm{Corr} ( X , \,\, Y ) = 0

이면

X

와

Y

는 서로 독립이다.

3표준화된 두 확률변수 간의 공분산

\mathrm{Cov} \left( \frac{X - \mu_{1}}{\sigma_{1}} , \,\, \frac{Y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} \right)

는

\mathrm{Corr} ( X , \,\, Y )

와 같다.

\mathrm{Cov} ( X , \,\, Y )

와

\mathrm{Corr} ( X , \,\, Y )

는 모두

X

와

Y

의 단위에 무관한 측도이다.

정답 및 해설

옳은 것은 표준화된 두 변수의 공분산이 상관계수와 같다는 설명이다.

공분산의 쌍선형성으로 정리한다.
$\mathrm{Cov}\left(\dfrac{X - \mu_{1}}{\sigma_{1}}, \dfrac{Y - \mu_{2}}{\sigma_{2}}\right) = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_{1} \sigma_{2}} = \mathrm{Corr}(X, Y)$

$\mathrm{Cov}(aX + b, cY + d) = ac \, \mathrm{Cov}(X, Y)$ 이며, $ac$ 의 부호와 상관없이 음의 부호가 붙지 않는다.
상관계수가 0이면 선형관계가 없다는 뜻일 뿐이며 독립이 보장되지는 않는다.
공분산은 단위에 따라 값이 달라지고, 상관계수만 단위에 무관하다.

문제 16

다중회귀모형

Y = \beta_{0} + \beta_{1} x_{1} + \beta_{2} x_{2} + \epsilon , \; \epsilon \sim N ( 0 , \sigma^{2} )

을 적합하여 아래의 분산분석표를 얻었을 때, 다음 중옳은 것은?

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$	$p$ -값
회귀	140	2	(ㄱ)	(ㄷ)	<0.001
잔차	10	20	(ㄴ)
합계	150	22

F

검정의 귀무가설은

H_{0} : \beta_{0} = \beta_{1} = \beta_{2} = 0

이다.

2(ㄱ)+(ㄴ)+(ㄷ)

= 200.5

이다.

X \sim F ( 2 , 20 )

일 때,

p

-값은

P ( X \, > 140 )

이다.

4오차분산에 대한 불편추정값은

{\hat{\sigma^{2}}} = 70

이다.

정답 및 해설

옳은 것은 $p$ -값이 $P(X > 140)$ 라는 설명이다.

평균제곱과 검정통계량을 구한다.
$\mathrm{MSR} = \dfrac{140}{2} = 70, \; \mathrm{MSE} = \dfrac{10}{20} = 0.5$
$F = \dfrac{70}{0.5} = 140$

귀무가설 아래에서 $F$ 는 $F(2, 20)$ 를 따르고 큰 값이 기각 방향이므로 $p$ -값은 $P(X > 140)$ 이다.

회귀의 $F$ 검정은 절편을 제외한 $H_{0} : \beta_{1} = \beta_{2} = 0$ 을 검정한다.
세 값의 합은 $70 + 0.5 + 140 = 210.5$ 이다.
오차분산의 불편추정값은 회귀 평균제곱 70이 아니라 잔차 평균제곱 0.5이다.

문제 17

X \sim B \, \left( 150 , \,\, \frac{4}{10} \right)

일 때, 확률

P ( 60 \le X < 80 )

에 대한 연속성 수정을 고려한 근사식은? 단,

\Phi ( \cdot )

는 표준정규분포의 누적분포함수이다.

\Phi \left( \frac{19.5}{6} \right) \, - \, \Phi \, \left( \frac{1}{12} \, \right)

\Phi \left( \frac{19.5}{6} \right) \, - \, \Phi \, \left( - \frac{1}{12} \, \right)

\Phi \left( \frac{20.5}{6} \right) \, - \, \Phi \, \left( \frac{1}{12} \, \right)

\Phi \left( \frac{20.5}{6} \right) \, - \, \Phi \, \left( - \frac{1}{12} \, \right)

정답 및 해설

연속성 수정을 적용한 근사식은 $\Phi\left(\dfrac{19.5}{6}\right) - \Phi\left(-\dfrac{1}{12}\right)$ 이다.

평균은 $150 \times 0.4 = 60$ , 분산은 $150 \times 0.4 \times 0.6 = 36$ 이므로 표준편차는 6이다.

$X$ 는 정수이므로 $60 \le X \le 79$ 이고, 연속성 수정으로 구간은 59.5에서 79.5까지이다.
$\dfrac{79.5 - 60}{6} = \dfrac{19.5}{6}, \; \dfrac{59.5 - 60}{6} = -\dfrac{1}{12}$

$\Phi(19.5/6) - \Phi(1/12)$ 는 하한의 부호가 틀렸다.
$\Phi(20.5/6) - \Phi(-1/12)$ 는 포함되지 않는 80까지 넣었다.
$\Phi(20.5/6) - \Phi(1/12)$ 는 상한과 하한의 처리가 모두 틀렸다.

문제 18

다음은 반복이 있는 이원배치 분산분석을 수행한 결과의 일부이다. 다음 중 옳지 않은 것은? 단, 인자

A , B

는 모두 모수인자이다.

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$
$A$	120	3	(ㄱ)	(ㅁ)
$B$	160	2	(ㄴ)	(ㅂ)
$A \times B$	72	6	(ㄷ)	(ㅅ)
잔차	60	12	(ㄹ)
합계	412	23

1(ㄹ)<(ㄷ)<(ㄱ)<(ㄴ)

2인자

A

와

B

의 수준 수는 다르다.

3반복 수는 3으로 동일하다.

4(ㅁ)+(ㅂ)+(ㅅ)

> 25

정답 및 해설

옳지 않은 것은 반복 수가 3이라는 설명이고, 실제 반복 수는 2이다.

자유도에서 $A$ 의 수준 수는 4, $B$ 의 수준 수는 3이다. 반복 수를 $r$ 이라 하면 잔차 자유도는 $4 \times 3 \times (r - 1) = 12$ 이므로 $r = 2$ 이다.

평균제곱과 $F$ 를 구하면 (ㄱ) 40, (ㄴ) 80, (ㄷ) 12, (ㄹ) 5이고, (ㅁ) 8, (ㅂ) 16, (ㅅ) 2.4이다.

평균제곱의 크기 순서는 5, 12, 40, 80이므로 제시된 부등식은 옳다.
수준 수가 4와 3으로 다르다는 설명은 옳다.
세 $F$ 값의 합은 $8 + 16 + 2.4 = 26.4$ 로 25보다 크므로 옳다.

문제 19

단순회귀모형

Y_{i} = \alpha + \beta x_{i} + \epsilon_{i} , \; \epsilon_{i} \sim N ( 0 , \sigma^{2} )

을 최소제곱법으로 적합한 결과를

{\hat{y}_{i}} - {\bar{y}} = A ( x_{i} - {\bar{x}} )

로 나타낼 때,

( E \, ( A ) , \, \; \, \mathrm{Var} ( A ) )

로 옳은 것은? 단,

S_{xx} = \sum_{i = 1}^{n} ( x_{i} - {\bar{x}} )^{2}

이다.

\left( \beta , \,\, \frac{\sigma^{2}}{S_{xx}} \right)

\left( \beta , \,\, \left( \frac{1}{n} + \frac{{\bar{x}}^{2}}{S_{xx}} \right) \sigma^{2} \right)

\left( \alpha , \,\, \frac{\sigma^{2}}{S_{xx}} \right)

\left( \alpha , \,\, \left( \frac{1}{n} + \frac{{\bar{x}}^{2}}{S_{xx}} \right) \sigma^{2} \right)

정답 및 해설

$A$ 는 기울기의 최소제곱추정량이므로 $\left(\beta, \dfrac{\sigma^{2}}{S_{xx}}\right)$ 이다.

적합식은 $\hat{y}_{i} = \bar{y} + \hat{\beta}(x_{i} - \bar{x})$ 로 쓸 수 있으므로 $A = \hat{\beta}$ 이다. 최소제곱추정량은 불편이고 분산은 $\dfrac{\sigma^{2}}{S_{xx}}$ 이다.

분산이 $\left(\dfrac{1}{n} + \dfrac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}}\right) \sigma^{2}$ 인 쪽은 절편 추정량의 분산을 쓴 것이다.
기댓값이 $\alpha$ 이고 분산이 $\dfrac{\sigma^{2}}{S_{xx}}$ 인 쪽은 기댓값을 절편으로 잘못 썼다.
기댓값이 $\alpha$ 이고 분산도 절편의 것인 쪽은 절편 추정량의 성질로, $A$ 와 맞지 않는다.

문제 20

두 모평균의 비교에서, 다음의 조건을 모두 만족하는 경우에 해당하는 검정법은?

가. 두 모집단은 정규분포를 따른다.
나. 모집단의 분산은 미지이며 같지 않다(

\sigma_{1}^{2} \ne \sigma_{2}^{2}

).
다. 표본의 크기(

n_{1} , \,\, n_{2}

)는 소표본으로 20보다 작다.

t

검정

Z

검정

\chi^{2}

검정

4이항검정

정답 및 해설

세 조건에 해당하는 검정법은 $t$ 검정이다.

정규모집단에서 분산을 모르는 소표본의 평균 비교는 표본분산을 쓰는 $t$ 통계량을 이용한다. 두 분산이 다르면 합동분산 대신 각 표본분산을 쓰는 이분산 $t$ 검정을 적용한다.

$Z$ 검정은 모분산을 알거나 표본이 클 때 쓴다.
$\chi^{2}$ 검정은 단일 모분산이나 적합도·독립성 검정에 쓴다.
이항검정은 성공과 실패로 나뉘는 자료의 비율을 검정할 때 쓴다.

문제 21

X_{1} , \quad X_{2}

를 아래 분포로부터의 크기 2인 확률표본이라 할 때, 확률

P \,\, \left( \frac{X_{1} + X_{2}}{2} = 2 \right)

는?

$x$	0	1	2	3
$P ( X = x )$	0.1	0.2	0.4	0.3

10.12

20.22

30.28

40.44

정답 및 해설

표본평균이 2가 되려면 합이 4여야 하므로 구하는 확률은 0.28이다.

합이 4인 경우는 순서쌍 (1, 3), (3, 1), (2, 2)이다.
$2 \times 0.2 \times 0.3 + 0.4 \times 0.4 = 0.12 + 0.16 = 0.28$

0.12는 (2, 2)를 빠뜨린 값이다.
0.22는 (1, 3)과 (3, 1)을 한 경우로 센 값이다.
0.44는 (2, 2)를 두 번 센 값이다.

문제 22

추정량과 관련된 다음 성질 중 옳지 않은 것은?

1일치성은 표본이 클 때의 추정량의 성질이다.

2불편추정량의 평균제곱오차는 분산과 같다.

3두 불편추정량 중 분산이 작은 쪽이 보다 유효한 추정량이다.

4불편성은 추정량이 반드시 가져야 하는 성질이다.

정답 및 해설

옳지 않은 것은 불편성이 반드시 가져야 하는 성질이라는 설명이다.

불편성은 바람직한 성질 중 하나일 뿐 필수 조건이 아니다. 약간의 편향이 있어도 평균제곱오차가 더 작은 추정량을 쓰기도 한다.

일치성은 표본크기가 커질 때 추정량이 모수로 수렴하는 성질이므로 옳은 설명이다.
$\mathrm{MSE} = \mathrm{Var} + \mathrm{Bias}^{2}$ 이고 불편추정량은 편향이 0이므로 평균제곱오차가 분산과 같다.
두 불편추정량 가운데 분산이 작은 쪽이 더 유효하다는 설명은 유효성의 정의이다.

문제 23

두 학교의 학생들이 동일한 시험을 치렀다. 학생 수는

A

학교가

B

학교의 2배이다.

B

학교 학생들의 평균 점수가 75점이고 두 학교를 합한 전체 학생의 평균 점수가 65점이었다면,

A

학교 학생들의 평균 점수는?

150점

255점

360점

462점

정답 및 해설

학생 수를 가중치로 한 가중평균을 풀면 $A$ 학교 평균은 60점이다.

$B$ 학교 학생 수를 $n$ , $A$ 학교 평균을 $a$ 라 하면 $A$ 학교 학생 수는 $2n$ 이다.
$\dfrac{2n \cdot a + n \cdot 75}{3n} = 65$

정리한다.
$2a + 75 = 195, \; a = 60$

55점은 학생 수를 무시하고 단순평균으로 푼 값이다.

문제 24

가설검정에서 유의수준과 유의확률에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

1유의수준은 검정통계량의 관측값과 무관하며, 유의확률은 유관하다.

2유의수준은 제1종 오류를 범할 확률의 최대 허용값으로 정한다.

3유의확률이 작을수록 관측된 자료가 귀무가설로부터 벗어난 정도가 큼을 의미한다.

4유의확률은 검정통계량의 대립가설 하에서의 분포로부터 구해진다.

정답 및 해설

옳지 않은 것은 유의확률을 대립가설 하의 분포로 구한다는 설명이다.

유의확률은 귀무가설이 참이라는 가정 아래에서 관측값만큼 또는 그보다 극단적인 값이 나올 확률이다.

유의수준은 자료를 보기 전에 정하고 유의확률은 관측값으로 계산하므로 옳은 설명이다.
유의수준은 제1종 오류 확률의 허용 상한으로 정하므로 옳은 설명이다.
유의확률이 작을수록 귀무가설과 자료가 어긋나는 정도가 크므로 옳은 설명이다.

문제 25

특정 자료에 대해 단순회귀모형

Y_{i} = \alpha + \beta x_{i} + \epsilon_{i} ,

\; \epsilon_{i} \sim N ( 0 , \sigma^{2} ) , \; i = 1 , 2 , \cdots , n

을 적합한 결과가 다음과 같을 때, 상관계수는?

{\hat{y}} \, = - 10 x + 5

\sum_{i = 1}^{n} ( y_{i} - {\bar{y}} )^{2} = 100

\sum_{i = 1}^{n} ( y_{i} - {\hat{y}}_{i} )^{2} = 36

10.64

20.80

3-0.64

4-0.80

정답 및 해설

결정계수가 0.64이고 기울기가 음수이므로 상관계수는 -0.80이다.

결정계수를 구한다.
$R^{2} = 1 - \dfrac{36}{100} = 0.64$

단순회귀에서 $r = \pm \sqrt{R^{2}} = \pm 0.8$ 이고, 부호는 기울기 -10의 부호를 따른다.

0.64는 결정계수이다.
0.80은 기울기가 음수라는 점을 놓친 값이다.
-0.64는 결정계수에 부호만 붙인 값이다.

문제 26

사건

A

와

B

에 대한 확률이 다음과 같이 주어졌다.

P \, ( A ) = 0.7 , \; P \, ( B ) = 0.6 , \, \; P \, ( A \cap B ) = 0.4

이때 조건부확률

P \, ( B^{c} | A^{c} )

는?

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{4}{7}

\frac{2}{3}

정답 및 해설

드모르간 법칙을 쓰면 구하는 조건부확률은 $\dfrac{1}{3}$ 이다.

합사건의 확률을 구한다.
$P(A \cup B) = 0.7 + 0.6 - 0.4 = 0.9$

드모르간 법칙으로 $P(A^{c} \cap B^{c}) = 1 - 0.9 = 0.1$ 이고, $P(A^{c}) = 0.3$ 이다.
$P(B^{c} \mid A^{c}) = \dfrac{0.1}{0.3} = \dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{4}$ 은 조건을 바꾼 $P(A^{c} \mid B^{c})$ 이다.
$\dfrac{4}{7}$ 은 $P(B \mid A)$ 이다.
$\dfrac{2}{3}$ 은 $P(B \mid A^{c})$ 이다.

문제 27

크기 5인 다음의 자료로부터 최소제곱법을 사용하여 단순회귀모형

Y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1} x_{i} + \epsilon_{i} , \; \epsilon_{i} \sim N ( 0 , \sigma^{2} )

\epsilon_{i}

는 서로 독립
을 적합한 결과 추정된 회귀식이

haty = 11.8 - 1.6 x

로 얻어졌다.

\sigma^{2}

의 불편추정값은?

$x$	1	2	3	4	5
$y$	10	9	7	5	4

\frac{2}{5}

\frac{2}{15}

\frac{2}{25}

\frac{2}{35}

정답 및 해설

잔차제곱합이 0.4이므로 $\sigma^{2}$ 의 불편추정값은 $\dfrac{2}{15}$ 이다.

적합값은 10.2, 8.6, 7.0, 5.4, 3.8이고 잔차는 -0.2, 0.4, 0, -0.4, 0.2이다.
$\mathrm{SSE} = 0.04 + 0.16 + 0 + 0.16 + 0.04 = 0.4$

회귀계수 2개를 추정했으므로 자유도 $n - 2 = 3$ 으로 나눈다.
$\hat{\sigma}^{2} = \dfrac{0.4}{3} = \dfrac{2}{15}$

$\dfrac{2}{5}$ 는 자유도로 나누지 않은 잔차제곱합이다.
$\dfrac{2}{25}$ 는 $n = 5$ 로 나눈 값으로, 불편추정값이 아니다.

문제 28

X_{1} \, , \, X_{2} \, , \, \cdots , \, X_{11}

은 정규분포

N ( \mu_{1} , \quad \sigma^{2} )

으로부터의 확률표본이고

Y_{1} \, , Y_{2} \, , \, \cdots , \, Y_{9}

은 정규분포

N ( \mu_{2} , \quad \sigma^{2} )

으로부터의 확률표본이며,

X_{1} \, , \, X_{2} \, , \, \cdots , \, X_{11}

과

Y_{1} \, , Y_{2} \, , \, \cdots , \, Y_{9}

은 서로 독립이다. 두 확률표본의 분산을 각각

S_{1}^{2}

S_{2}^{2}

이라 할 때,

\mu_{1} - \mu_{2}

에 대한 95% 신뢰구간의 길이는? 단,

t_{\alpha} ( k )

는 자유도

k

인

t

분포의 제

100 ( 1 - \alpha )

백분위수이다.

2 \times t_{0.025} ( 18 ) \sqrt{\left( \frac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18} \right) \left( \frac{1}{11} + \frac{1}{9} \right)}

t_{0.025} ( 18 ) \sqrt{\left( \frac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18} \right) \left( \frac{1}{11} + \frac{1}{9} \right)}

2 \times t_{0.025} ( 18 ) \sqrt{\left( \frac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18} \right) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{8} \right)}

t_{0.025} ( 18 ) \sqrt{\left( \frac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18} \right) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{8} \right)}

정답 및 해설

등분산 가정의 $t$ 구간이므로 길이는 $2 \times t_{0.025}(18) \sqrt{\left(\dfrac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18}\right)\left(\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{9}\right)}$ 이다.

두 모분산이 같으므로 자유도로 가중한 합동분산을 쓴다.
$S_{p}^{2} = \dfrac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18}$

신뢰구간은 다음과 같다.
$(\bar{X} - \bar{Y}) \pm t_{0.025}(18) \, S_{p} \sqrt{\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{9}}$

구간의 길이는 이 오차한계의 2배이다.

2배가 없고 $\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{9}$ 를 쓴 식은 구간의 절반 길이이다.
2배가 있고 $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{8}$ 을 쓴 식은 표본크기 자리에 자유도를 넣었다.
2배가 없고 $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{8}$ 을 쓴 식은 두 오류를 모두 범했다.

문제 29

주머니 속에 흰 공 5개와 검은 공 2개가 들어 있다.

A

B

두 사람이 게임을 하는데,

A

부터 시작해서 교대로 공을 하나씩 무작위로 비복원추출하여처음으로 검은 공을 꺼내는 사람이 승리하는 것으로 정하였다.

A

가 이길 확률은?

\frac{3}{7}

\frac{1}{2}

\frac{15}{28}

\frac{4}{7}

정답 및 해설

첫 검은 공의 위치별로 경우의 수를 세면 $A$ 가 이길 확률은 $\dfrac{4}{7}$ 이다.

7개의 추출 순서에서 검은 공 2개의 위치를 정하는 경우는 $\binom{7}{2} = 21$ 가지이고 모두 같은 확률이다.

첫 검은 공이 첫째, 둘째, 셋째, 넷째, 다섯째, 여섯째에 나오는 경우는 각각 6, 5, 4, 3, 2, 1가지이다.

$A$ 는 홀수째 추출에서 첫 검은 공이 나올 때 이긴다.
$\dfrac{6 + 4 + 2}{21} = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}$

문제 30

불량품이 만들어질 확률이 0.002인 공정에서 100개의 제품을 생산할 때, 만들어지는 불량품의 수를

X

라 하자. 확률

P ( X \ge 2 )

를 포아송분포 근사를 이용하여 구하면?

1 - 1.2 timese^{- 0.2}

1 - e^{- 0.2}

1.2 \times e^{- 0.2}

1.22 \times e^{- 0.2}

정답 및 해설

포아송 근사를 쓰면 구하는 확률은 $1 - 1.2 \times e^{-0.2}$ 이다.

근사의 모수는 $\lambda = np = 100 \times 0.002 = 0.2$ 이다.

여사건으로 계산한다.
$P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$
$= 1 - e^{-0.2} - 0.2 e^{-0.2} = 1 - 1.2 \times e^{-0.2}$

$1 - e^{-0.2}$ 는 $P(X \ge 1)$ 이다.
$1.2 \times e^{-0.2}$ 는 $P(X \le 1)$ 이다.
$1.22 \times e^{-0.2}$ 는 $P(X \le 2)$ 이다.

문제 31

연속형 자료의

n

개 관측값을 아래 표와 같이 적절히 나누어진

k

개의 각 구간에 몇 개의 관측값이 속하는지를 빈도로 요약하였다. 각 구간의 빈도는 충분히 크다고 가정한다.

구간	$I_{1}$	$I_{2}$	$\cdots$	$I_{k}$	합계
관측 빈도	$n_{1}$	$n_{2}$	$\cdots$	$n_{k}$	$n$

위의 자료를 이용하여 다음 가설에 대한 유의수준

\alpha

인 검정을 수행하고자 한다. 여기서

\mu

와

\sigma^{2}

은 미지의 모수이다.

H_{0} :

자료가

N ( \mu , \,\, \sigma^{2} )

을 따른다.

H_{1} :

H_{0}

가 아니다.
이때 (검정법, 임곗값)으로 올바르게 짝지어진 것은? 단,

\chi_{\alpha}^{2} ( r )

과

F_{\alpha} ( r_{1} , \, r_{2} )

는 각각 자유도가

r

인 카이제곱분포와 자유도가

( r_{1} , r_{2} )

인

F

분포의 제

100 ( 1 - \alpha )

백분위수이다.

1(카이제곱검정,

\chi_{\alpha}^{2} ( k - 1 )

)

2(카이제곱검정,

\chi_{\alpha}^{2} ( k - 3 )

)

F

검정,

F_{\alpha} ( 1 , \, k - 1 )

)

F

검정,

F_{\alpha} ( 1 , \, k - 3 )

)

정답 및 해설

구간 빈도로 분포를 검정하므로 (카이제곱검정, $\chi_{\alpha}^{2}(k - 3)$ )이 맞다.

범주화된 빈도에 정규분포가 맞는지 보는 적합도검정이며, 자유도는 범주 수에서 1을 빼고 다시 추정한 모수의 수를 뺀다.

미지의 모수 $\mu, \sigma^{2}$ 2개를 추정해야 하므로 자유도는 $k - 1 - 2 = k - 3$ 이다.

$\chi_{\alpha}^{2}(k - 1)$ 은 모수를 추정할 필요가 없을 때의 임곗값이다.
$F_{\alpha}(1, k - 1)$ 을 쓰는 $F$ 검정은 평균제곱의 비를 비교하는 검정으로, 빈도 적합도와 맞지 않는다.
$F_{\alpha}(1, k - 3)$ 을 쓰는 $F$ 검정도 같은 이유로 맞지 않는다.

문제 32

남자 8명과 여자 7명이 있다. 전체 15명 중 9명을 비복원추출할 때, 뽑히는 남자의 수로 가능한 값은 몇 가지인가?

410

정답 및 해설

뽑히는 남자의 수는 2명부터 8명까지이므로 가능한 값은 7가지이다.

뽑히는 남자의 수를 $X$ 라 하면 여자는 $9 - X$ 명이다.

여자는 7명뿐이므로 $9 - X \le 7$ 에서 $X \ge 2$ 이고, 남자는 8명뿐이므로 $X \le 8$ 이다.

따라서 $\max(0, 9 - 7) \le X \le \min(8, 9)$ 이고, 값의 개수는 $8 - 2 + 1 = 7$ 이다.

문제 33

확률분포와 관련된 다음 설명 중 옳지 않은 것은?

X \sim N ( \mu , \,\, \sigma^{2} )

일 때,

\left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^{2}

의 분포는

\chi^{2} ( 1 )

이다.

T \sim t ( r )

일 때,

T^{2}

의 분포는

F ( 1 , \,\, r )

이다.

X_{1} , \quad X_{2} , \quad \cdots , \quad X_{n}

이

N ( 0 , \,\, \sigma^{2}

)으로부터의 확률표본일 때,

\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}}{\sigma^{2}}

의 분포는

\chi^{2} ( n )

이다.

X_{1} , \quad X_{2} , \quad \cdots , \quad X_{n}

이 임의의 연속인 모집단으로부터의 확률표본일 때, 표본평균(

{\bar{X}}

)과 표본분산(

S^{2}

)은 서로 독립이다.

정답 및 해설

옳지 않은 것은 임의의 연속 모집단에서 표본평균과 표본분산이 독립이라는 설명이다.

$\bar{X}$ 와 $S^{2}$ 의 독립은 정규모집단에서 성립하는 성질이며, 임의의 분포에서는 성립하지 않는다.

표준정규변수의 제곱은 $\chi^{2}(1)$ 을 따르므로 옳은 설명이다.
$T = \dfrac{Z}{\sqrt{V/r}}$ 이면 $T^{2} = \dfrac{Z^{2}/1}{V/r}$ 이므로 $F(1, r)$ 를 따른다.
$\dfrac{X_{i}}{\sigma}$ 가 서로 독립인 표준정규변수이므로 제곱합은 $\chi^{2}(n)$ 을 따른다.

문제 34

어떤 농구선수의 자유투 성공률

p

에 대해 다음의 가설을 검정하려고 한다.

H_{0} : p \le 0.6

대

H_{1} : p > 0.6

이 선수가 자유투를 15회 시도하여 12회 성공했을 때 유의확률은?

\left( \begin{array}{c}15 \\ 12\end{array} \right) ( 0.6 )^{12} ( 0.4 )^{3}

\sum_{x = 0}^{12} \left( \begin{array}{c}15 \\ x\end{array} \right) ( 0.6 )^{x} ( 0.4 )^{15 - x}

\sum_{x = 12}^{15} \left( \begin{array}{c}15 \\ x\end{array} \right) ( 0.4 )^{x} ( 0.6 )^{15 - x}

\sum_{x = 0}^{3} \left( \begin{array}{c}15 \\ x\end{array} \right) ( 0.4 )^{x} ( 0.6 )^{15 - x}

정답 및 해설

유의확률은 실패 횟수로 바꾼 $\sum_{x = 0}^{3} \binom{15}{x} (0.4)^{x} (0.6)^{15 - x}$ 이다.

우측검정이므로 $p = 0.6$ 에서 12회 이상 성공할 확률이 유의확률이다.
$P(X \ge 12) = \sum_{x = 12}^{15} \binom{15}{x} (0.6)^{x} (0.4)^{15 - x}$

실패 횟수 $Y = 15 - X$ 는 $B(15, 0.4)$ 를 따르고 $X \ge 12$ 는 $Y \le 3$ 과 같으므로 위 식과 같다.

$\binom{15}{12} (0.6)^{12} (0.4)^{3}$ 은 정확히 12회 성공할 확률만 나타낸다.
$x = 0$ 부터 12까지 더한 식은 방향이 반대인 $P(X \le 12)$ 이다.
$x = 12$ 부터 15까지 더하며 0.4를 성공확률로 쓴 식은 성공확률을 뒤바꿨다.

문제 35

어떤 회사원의 출근 소요 시간이 평균 40분, 표준편차 5분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 사람이 회사에 늦지 않게 도착할 확률이

1 - \alpha

이상 되게 하려면 늦어도 업무 시작 시각보다 몇 분 이전에 출발하여야 하는가? 단,

0 < \alpha < 0.5

이며,

z_{\alpha}

는 표준정규분포의 제

100 ( 1 - \alpha )

백분위수이다.

40 + 5 z_{\alpha / 2}

40 + 5 z_{\alpha}

40 - 5 z_{\alpha}

40 - 5 z_{\alpha / 2}

정답 및 해설

조건을 만족하는 가장 늦은 출발은 업무 시작 $40 + 5 z_{\alpha}$ 분 전이다.

소요 시간을 $T$ , 여유 시간을 $t$ 라 하면 $P(T \le t) \ge 1 - \alpha$ 여야 한다.
$P\left(Z \le \dfrac{t - 40}{5}\right) \ge 1 - \alpha$

따라서 $\dfrac{t - 40}{5} \ge z_{\alpha}$ 이므로 최소 여유 시간은 $t = 40 + 5 z_{\alpha}$ 이다.

$40 + 5 z_{\alpha/2}$ 는 한쪽 확률을 $\alpha/2$ 로 잡은 값으로, 필요한 것보다 일찍 출발하게 된다.
$40 - 5 z_{\alpha}$ 는 평균보다 짧아 늦지 않을 확률이 0.5보다 작다.
$40 - 5 z_{\alpha/2}$ 도 평균보다 짧아 조건을 만족하지 못한다.

문제 36

평균이 5로 알려져 있고 분산은 알려져 있지 않은 정규모집단으로부터의 크기 15인 확률표본을

X_{1} , \, X_{2} , \, \cdots , \, X_{15}

라 할 때, 모분산

\sigma^{2}

에 대한 90% 신뢰구간은? 단,

\chi_{\alpha}^{2} ( k )

는 자유도

k

인 카이제곱분포의 제

100 ( 1 - \alpha )

백분위수이며,

barX

는 표본평균이다.

\left( \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - 5 )^{2}}{\chi_{0.05}^{2} ( 15 )} , \; \; \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - 5 )^{2}}{\chi_{0.95}^{2} ( 15 )} \right)

\left( \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - 5 )^{2}}{\chi_{0.05}^{2} ( 14 )} , \; \; \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - 5 )^{2}}{\chi_{0.95}^{2} ( 14 )} \right)

\left( \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - {\bar{X}} )^{2}}{\chi_{0.05}^{2} ( 15 )} , \; \; \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - {\bar{X}} )^{2}}{\chi_{0.95}^{2} ( 15 )} \right)

\left( \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - {\bar{X}} )^{2}}{\chi_{0.05}^{2} ( 14 )} , \; \; \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - {\bar{X}} )^{2}}{\chi_{0.95}^{2} ( 14 )} \right)

정답 및 해설

모평균이 5로 알려져 있으므로 $\sum (X_{i} - 5)^{2}$ 과 자유도 15를 쓴 구간이 답이다.

모평균을 알 때의 추축량은 다음과 같다.
$\dfrac{\sum_{i = 1}^{15} (X_{i} - 5)^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(15)$

평균을 추정하지 않으므로 자유도가 줄지 않는다. 이 추축량이 $\chi_{0.95}^{2}(15)$ 와 $\chi_{0.05}^{2}(15)$ 사이에 있을 확률이 0.90이므로, $\sigma^{2}$ 에 대해 풀면 해당 구간이 된다.

$\sum (X_{i} - 5)^{2}$ 에 자유도 14를 쓴 구간은 평균을 알면서 자유도를 줄였다.
$\sum (X_{i} - \bar{X})^{2}$ 에 자유도 15를 쓴 구간은 표본평균을 썼는데 자유도를 줄이지 않았다.
$\sum (X_{i} - \bar{X})^{2}$ 에 자유도 14를 쓴 구간은 모평균을 모를 때의 구간으로, 알려진 값 5를 쓰지 않았다.

문제 37

과거 자료를 분석한 결과, 두 종류 주가(

A , B

)의 일별 변화(움직임)에 대해 다음과 같은 확률분포표를 얻었다. 오늘 주가

A

가 상승했다는 것을 알고 있을 때, 주가

B

가 하락했을 확률은?

	주가 $B$
하락	상승
주가 $A$	하락	0.10	0.30
상승	0.45	0.15

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

\frac{3}{5}

\frac{4}{5}

정답 및 해설

조건부확률을 계산하면 구하는 확률은 $\dfrac{3}{4}$ 이다.

표에서 주가 $A$ 가 상승할 확률은 주변확률로 $0.45 + 0.15 = 0.60$ 이다.

주가 $A$ 가 상승하고 주가 $B$ 가 하락할 확률은 0.45이다.
$\dfrac{0.45}{0.60} = \dfrac{3}{4}$

문제 38

크기

n

인 자료로부터 최소제곱법을 사용하여 단순회귀모형

Y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1} x_{i} + \epsilon_{i}

를 적합한 결과 추정된 회귀식이

{\hat{y}} = 0.2 + 1.6 x

로 얻어졌다. 변환

x_{i}^{*} = 2 x_{i}

(

i = 1 , 2 , \cdots , n

)를 통해 새로운 변수

x^{*}

를 생성한 뒤

x^{*}

를 독립변수,

Y

를 종속변수로 하는 단순회귀모형을 최소제곱법으로 적합하였을 때 얻어지는 회귀식은?

{\hat{y}} = 0.4 + 3.2 x^{*}

{\hat{y}} = 0.2 + 3.2 x^{*}

{\hat{y}} = 0.4 + 0.8 x^{*}

{\hat{y}} = 0.2 + 0.8 x^{*}

정답 및 해설

독립변수를 2배 하면 기울기만 절반이 되므로 회귀식은 $\hat{y} = 0.2 + 0.8 x^{*}$ 이다.

$x = \dfrac{x^{*}}{2}$ 를 원래 식에 대입한다.
$\hat{y} = 0.2 + 1.6 \cdot \dfrac{x^{*}}{2} = 0.2 + 0.8 x^{*}$

적합값은 변하지 않고 절편도 그대로 유지된다.

$\hat{y} = 0.4 + 3.2 x^{*}$ 는 절편과 기울기를 모두 2배 했다.
$\hat{y} = 0.2 + 3.2 x^{*}$ 는 기울기를 2배 했다.
$\hat{y} = 0.4 + 0.8 x^{*}$ 는 절편을 2배 했다.

문제 39

크기

n

인 자료로부터 최소제곱법을 사용하여 아래의 단순회귀모형을 적합하였다.

Y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1} x_{i} + \epsilon_{i} , \; \epsilon_{i} \sim N ( 0 , \sigma^{2} )

\epsilon_{i}

는 서로 독립
다음 중 옳은 것만을 모두 고른 것은?

가.

{hatbeta}_{1}

은

\beta_{1}

의 불편추정량이다.
나.

{\hat{\beta}}_{0}

은

\beta_{0}

의 불편추정량이다.
다.독립변수의 값이

x

로 주어질 때

Y

의 기댓값에 대한 신뢰구간의 길이는

x

에 무관하다.

1가, 나

2가, 다

3나, 다

4가, 나, 다

정답 및 해설

옳은 것은 두 불편성 설명인 가, 나뿐이다.

오차의 기댓값이 0인 단순회귀에서 최소제곱추정량은 기울기와 절편 모두 불편이다.

$\hat{\beta}_{1}$ 이 $\beta_{1}$ 의 불편추정량이라는 설명은 옳다.
$\hat{\beta}_{0}$ 이 $\beta_{0}$ 의 불편추정량이라는 설명은 옳다.
신뢰구간의 길이가 $x$ 에 무관하다는 설명은 틀렸다. 표준오차에 $\sqrt{\dfrac{1}{n} + \dfrac{(x - \bar{x})^{2}}{S_{xx}}}$ 가 들어가 $x$ 가 $\bar{x}$ 에서 멀수록 길어진다.

문제 40

공정한 3개의 육면체 주사위를 던질 때 나오는 수의 합이 6일 확률은?

\frac{1}{6}

\frac{5}{54}

\frac{5}{108}

\frac{1}{36}

정답 및 해설

합이 6인 경우는 10가지이므로 구하는 확률은 $\dfrac{5}{108}$ 이다.

전체 경우의 수는 $6^{3} = 216$ 이다.

합이 6인 눈의 조합을 순서까지 고려해 센다.

눈이 1, 1, 4인 경우는 3가지이다.
눈이 1, 2, 3인 경우는 6가지이다.
눈이 2, 2, 2인 경우는 1가지이다.

따라서 확률은 $\dfrac{10}{216} = \dfrac{5}{108}$ 이다.

경찰간부후보생 통계학 기출문제모두CBT · moducbt.com

23년 1회차

총 40문항 · 객관식 · 정답·해설 포함

문제 1

다음 중 평균이 가장 작은 분포는?

1성공확률이 0.4이고 시행횟수가 10인 이항분포

2자유도가 5인

t

분포

3분산이 5인 포아송분포

4분산이 10인 카이제곱분포

정답 및 해설

네 분포의 평균을 비교하면 자유도 5인 $t$ 분포의 평균이 가장 작다.

$t$ 분포는 0을 중심으로 좌우대칭이고 자유도가 1보다 크면 평균이 존재하므로 $E(T) = 0$ 이다.

이항분포의 평균은 $np = 10 \times 0.4 = 4$ 이다.
포아송분포는 평균과 분산이 같으므로 분산이 5이면 평균도 5이다.
카이제곱분포는 분산이 자유도의 2배이므로 분산이 10이면 자유도가 5이고, 평균은 자유도와 같은 5이다.

문제 2

그룻

B_{1}

에는 빨간 공 3개와 흰 공 3개, 그룻

B_{2}

에는 빨간 공 1개와 흰 공 2개, 그룻

B_{3}

에는 빨간 공 5개와 흰 공 3개가 들어 있다. 각 그릇이 선택될 확률은

P ( B_{1} ) = \frac{1}{3} , \; P ( B_{2} ) = \frac{1}{2} , \; P ( B_{3} ) = \frac{1}{6}

이다. 실험은 주어진 확률로 그릇을 선택하고, 그 그릇에서 임의로 하나의 공을 추출한다. 추출된 공이 빨간색일 때, 이 공이 그릇

B_{2}

에서 나왔을 확률은?

\frac{1}{9}

\frac{7}{16}

\frac{8}{17}

\frac{8}{21}

정답 및 해설

베이즈 정리로 구하면 구하는 사후확률은 $\dfrac{8}{21}$ 이다.

먼저 각 그릇에서 빨간 공이 나올 확률은 $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{8}$ 이다.

따라서 사후확률을 계산한다.
$P(B_{2} \mid R) = \dfrac{8/48}{21/48} = \dfrac{8}{21}$

문제 3

앞면이 나올 확률이 동일한 동전 3개를 독립적으로 던져 관측된 앞면의 수를

X

라 하자. 이 실험을 80번 반복해 앞면이 나온 동전의 수가 0, 1, 2, 3인 빈도가 각각 15, 25, 25, 15번이다. 유의수준 5%에서 귀무가설

H_{0} : X \sim B \left( 3 , \; \frac{1}{2} \right)

을 검정하고자 할 때, 다음 중 옳은 것은? 단,

\chi_{\alpha}^{2} ( k )

는 자유도

k

인 카이제곱분포의 제

100 ( 1 - \alpha )

백분위수이다.

1귀무가설 하에서 카이제곱 검정통계량은 자유도가 3인 카이제곱분포를 근사적으로 따르고, 계산한 값이 임곗값

\chi_{0.05}^{2} ( 3 ) = 7.815

보다 작으므로 귀무가설을 채택한다.

2귀무가설 하에서 카이제곱 검정통계량은 자유도가 3인 카이제곱분포를 근사적으로 따르고, 계산한 값이 임곗값

\chi_{0.05}^{2} ( 3 ) = 7.815

보다 크기 때문에 귀무가설을 기각한다.

3귀무가설 하에서 카이제곱 검정통계량은 자유도가 4인 카이제곱분포를 근사적으로 따르고, 계산한 값이 임곗값

\chi_{0.05}^{2} ( 4 ) = 9.488

보다 작으므로 귀무가설을 채택한다.

4귀무가설 하에서 카이제곱 검정통계량은 자유도가 4인 카이제곱분포를 근사적으로 따르고, 계산한 값이 임곗값

\chi_{0.05}^{2} ( 4 ) = 9.488

보다 크기 때문에 귀무가설을 기각한다.

정답 및 해설

적합도검정의 자유도는 3이고 검정통계량이 임곗값 7.815보다 작으므로 귀무가설을 채택한다.

$B(3, 1/2)$ 의 확률은 $\dfrac{1}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{1}{8}$ 이므로 기대도수는 10, 30, 30, 10이다.

검정통계량을 계산한다.
$\chi^{2} = \dfrac{25}{10} + \dfrac{25}{30} + \dfrac{25}{30} + \dfrac{25}{10} \approx 6.67$

범주가 4개이고 추정한 모수가 없으므로 자유도는 $4 - 1 = 3$ 이다.

자유도 3에서 임곗값보다 크다는 설명은 계산값 약 6.67과 맞지 않는다.
자유도 4를 쓴 채택 설명은 자유도가 범주 수에서 1을 빼야 한다는 점을 놓쳤다.
자유도 4를 쓴 기각 설명은 자유도와 대소 비교가 모두 틀렸다.

문제 4

어느 고등학교 학생 전체의 국어와 영어 성적이 이변량정규분포를 따른다고 할 때, 이들 성적 사이의 모상관계수(

\rho

)에 대한 가설

H_{0 \,\,} \, : \,\, \rho = 0

대

H_{1} : \rho \ne 0

을 유의수준 5%에서 검정하고자 한다. 이를 위해 학생

n = 20

명을 임의로 추출하여 표본상관계수

r = 0.6

, 검정통계랑

t = 3.182

를 얻었을 때 옳은 설명은? 단,

t_{\alpha} ( k )

는 자유도

k

인

t

분포의 제

100 ( 1 - \alpha )

백분위수이다.

1검정통계량

t = 3.182

가

t_{0.025} ( 18 ) = 2.101

보다 크므로 귀무가설을 기각한다.

2검정통계량

t = 3.182

가

t_{0.025} ( 18 ) = 2.101

보다 크므로 귀무가설을 채택한다.

3검정통계량

t = 3.182

가

t_{0.025} ( 19 ) = 2.093

보다 크므로 귀무가설을 기각한다.

4검정통계량

t = 3.182

가

t_{0.025} ( 19 ) = 2.093

보다 크므로 귀무가설을 채택한다.

정답 및 해설

자유도 18의 임곗값 2.101보다 검정통계량이 크므로 귀무가설을 기각한다.

모상관계수 검정의 통계량은 자유도 $n - 2$ 인 $t$ 분포를 따르므로 자유도는 $20 - 2 = 18$ 이다.

통계량을 확인한다.
$t = \dfrac{r \sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - r^{2}}} = \dfrac{0.6 \sqrt{18}}{0.8} \approx 3.182$

자유도 18에서 임곗값보다 큰데 채택한다는 설명은 기각역에 든 값의 판정을 뒤집었다.
자유도 19에서 기각한다는 설명은 결론은 같지만 자유도를 $n - 1$ 로 잘못 잡았다.
자유도 19에서 채택한다는 설명은 자유도와 판정이 모두 틀렸다.

문제 5

두 확률변수

X , \; Y

가 서로 독립이고 각각 정규분포

N ( 0 , 2 ) , \; N ( 1 , 2 )

를 따를 때 확률

P \, ( X > Y )

는? 단, 확률변수

Z

는 표준정규분포

N ( 0 , 1 )

을 따른다.

P \,\, \left( Z \, > \, - \frac{1}{2} \right)

P \, \left( Z \, > \, - \frac{1}{4} \right)

P \, \left( Z \, > \, \frac{1}{2} \right)

P \, \left( Z \, > \, \frac{1}{4} \right)

정답 및 해설

차 $X - Y$ 의 분포를 이용하면 구하는 확률은 $P(Z > 1/2)$ 이다.

독립인 정규변수의 차는 정규분포를 따르고, 분산은 더해진다.
$X - Y \sim N(0 - 1, \; 2 + 2) = N(-1, 4)$

표준화한다.
$P(X > Y) = P(X - Y > 0) = P\left(Z > \dfrac{0 - (-1)}{2}\right) = P\left(Z > \dfrac{1}{2}\right)$

$P(Z > -1/2)$ 는 평균의 부호를 반대로 잡은 값이다.
$P(Z > 1/4)$ 는 표준편차 2 대신 분산 4로 나눈 값이다.
$P(Z > -1/4)$ 는 평균의 부호와 나누는 값이 모두 틀렸다.

문제 6

확률분포에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은?

1확률변수

X

가

F \, ( r_{1} , \; r_{2} )

분포를 따를 때,

Y = \frac{1}{X}

은

F \,\, ( r_{2} , \; r_{1} )

분포를 따른다.

2서로 독립인 두 확률변수

X_{1} , \; X_{2}

가 각각 이항분포

B \,\, ( n_{1} , \quad p_{1} ) , \; B \,\, ( n_{2} , \quad p_{2} )

를 따를 때,

Y \quad = \quad X_{1 \,\,} \quad + \quad X_{2}

는

B \,\, ( n_{1} + n_{2} , \, \; p_{1} + p_{2} )

분포를 따른다.

3서로 독립인 두 확률변수

X_{1} , \; X_{2}

가 각각

\chi^{2} ( r_{1} ) , \; \chi^{2} ( r_{2} )

분포를 따를 때,

Y = X_{1} + X_{2}

는

\chi^{2} ( r_{1} + r_{2} )

분포를 따른다.

4서로 독립인 두 확률변수

X_{1} , \; X_{2}

가 각각 정규분포

N \,\, ( \mu_{1} , \quad \sigma_{1}^{2} ) , \; N \,\, ( \mu_{2} , \quad \sigma_{2}^{2} )

을 따를 때,

Y \quad = \quad X_{1} \quad - \quad X_{2}

는

N \,\, ( \mu_{1} - \mu_{2} , \quad \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} )

분포를 따른다.

정답 및 해설

옳지 않은 것은 두 이항변수의 합이 $B(n_{1} + n_{2}, p_{1} + p_{2})$ 를 따른다는 설명이다.

$X = \dfrac{U/r_{1}}{V/r_{2}}$ 의 역수는 $\dfrac{V/r_{2}}{U/r_{1}}$ 이므로 $F(r_{2}, r_{1})$ 를 따른다는 설명은 옳다.
독립인 카이제곱변수의 합은 자유도가 더해지므로 $\chi^{2}(r_{1} + r_{2})$ 를 따른다는 설명은 옳다.
독립인 정규변수의 차는 평균은 빼고 분산은 더하므로 $N(\mu_{1} - \mu_{2}, \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2})$ 를 따른다는 설명은 옳다.

문제 7

	인문대	공대	경영대	간호대	자연대	합계
남	23	60	30	17	70	200
여	17	20	50	43	70	200
합계	40	80	80	60	140	400

1귀무가설 하에서 카이제곱 검정통계량은 근사적으로 자유도가 4인 카이제곱분포를 따른다.

2계산된 카이제곱 검정통계량 37.17이 유의수준 1%에서 임곗값 13.28보다 크므로 귀무가설을 채택한다.

3귀무가설 하에서 자연대 여학생 셀에 해당하는 기대도수의 추정값은 70명이다.

4이 독립성검정의 검정 결과는 각 단과대학에 속하는 확률이 남녀 간에 모두 같은지에 대한 동질성검정의 결과와 동일하다.

정답 및 해설

옳지 않은 것은 통계량이 임곗값보다 큰데 귀무가설을 채택한다는 설명이다.

37.17은 임곗값 13.28보다 크므로 기각역에 들고, 따라서 유의수준 1%에서 귀무가설을 기각한다.

자유도는 $(2 - 1)(5 - 1) = 4$ 이므로 자유도가 4라는 설명은 옳다.
자연대 여학생 셀의 기대도수는 $\dfrac{200 \times 140}{400} = 70$ 이므로 옳다.
독립성검정과 동질성검정은 검정통계량과 자유도의 계산이 같아 결과도 같으므로 옳다.

문제 8

공정한 육면체 주사위를 던져 나온 눈의 수를

X

라 하면, 확률변수

X

의 확률질량함수는

f ( x ) = \frac{1}{6} , \; x = 1 , 2 , \cdots , 6

이다. 다음 중 가장 작은 값은?

E ( X )

E ( 2 X - 4 )

\mathrm{Var} ( X )

\mathrm{Var} ( 2 X - 4 )

정답 및 해설

네 값을 계산하면 $\mathrm{Var}(X)$ 가 약 2.92로 가장 작다.

기댓값은 $E(X) = 3.5$ 이고 $E(X^{2}) = \dfrac{91}{6}$ 이다.

분산을 구한다.
$\mathrm{Var}(X) = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{35}{12} \approx 2.92$

$E(X) = 3.5$ 이다.
$E(2X - 4) = 2 \times 3.5 - 4 = 3$ 이다.
$\mathrm{Var}(2X - 4) = 4 \mathrm{Var}(X) = \dfrac{35}{3}$ 이다. 상수항은 분산에 영향을 주지 않는다.

문제 9

이산확률변수

X

의 가능한 값이 1, 2, 3이고

P ( X = 1 ) = 2 P ( X = 2 ) = 4 P ( X = 3 )

일 때,

X

의 분산은?

3

2

\frac{11}{7}

\frac{26}{49}

정답 및 해설

확률을 정한 뒤 계산하면 분산은 $\dfrac{26}{49}$ 이다.

$P(X = 3) = p$ 로 두면 $P(X = 2) = 2p$ , $P(X = 1) = 4p$ 이고 합이 1이므로 $p = \dfrac{1}{7}$ 이다.

적률을 구한다.
$E(X) = \dfrac{4 + 4 + 3}{7} = \dfrac{11}{7}$
$E(X^{2}) = \dfrac{4 + 8 + 9}{7} = 3$

분산을 구한다.
$\mathrm{Var}(X) = 3 - \dfrac{121}{49} = \dfrac{26}{49}$

$\dfrac{11}{7}$ 은 평균이다.
값 3은 이차적률 $E(X^{2})$ 로, 분산이 아니다.

문제 10

Z \,\, \sim \, N ( 0 , \quad 1 )

일 때, 다음 식이 성립한다.

P ( - 0.675 \, < Z < \, 0.675 ) \, = \, 0.5

이 사실을 이용하여

N ( 0 , \quad 4 )

분포의 사분위수범위(IQR)를 구하면?

0.675 \times \frac{1}{4}

0.675 \times \frac{1}{2}

0.675 \times 2

0.675 \times 4

정답 및 해설

$N(0, 4)$ 의 사분위수범위는 $0.675 \times 4$ 이다.

주어진 식에서 표준정규분포의 제1·3사분위수는 $\mp 0.675$ 이다.

$N(0, 4)$ 의 표준편차는 2이므로 사분위수는 $\mp 0.675 \times 2$ 이다.

사분위수범위는 두 사분위수의 차이다.
$\mathrm{IQR} = 0.675 \times 2 - (-0.675 \times 2) = 0.675 \times 4$

$0.675 \times 2$ 는 제3사분위수까지만 구한 값이다.
$0.675 \times \dfrac{1}{2}$ 은 표준편차로 곱하지 않고 나눈 값이다.
$0.675 \times \dfrac{1}{4}$ 은 분산으로 곱하지 않고 나눈 값이다.

문제 11

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$
처리	1800
잔차	1600
합계	3400

1검정통계량(

F

값)이

F_{0.05} ( 3 , 12 ) = 3.49

보다 작으므로 귀무가설을 채택한다.

2검정통계량(

F

값)이

F_{0.05} ( 3 , 12 ) = 3.49

보다 크므로 귀무가설을 기각한다.

3검정통계량(

F

값)이

F_{0.05} ( 4 , 12 ) = 3.26

보다 작으므로 귀무가설을 채택한다.

4검정통계량(

F

값)이

F_{0.05} ( 4 , 12 ) = 3.26

보다 크므로 귀무가설을 기각한다.

정답 및 해설

$F = 4.5$ 가 $F_{0.05}(3, 12) = 3.49$ 보다 크므로 귀무가설을 기각한다.

수준이 4개이고 전체 16회이므로 처리 자유도는 $4 - 1 = 3$ , 잔차 자유도는 $16 - 4 = 12$ 이다.

평균제곱과 검정통계량을 구한다.
$\mathrm{MST} = \dfrac{1800}{3} = 600, \; \mathrm{MSE} = \dfrac{1600}{12} \approx 133.3$
$F = \dfrac{600}{133.3} \approx 4.5$

$F_{0.05}(3, 12)$ 보다 작다는 설명은 계산값 4.5와 맞지 않는다.
$F_{0.05}(4, 12)$ 보다 작다는 설명은 처리 자유도를 수준 수로 잡았고 대소 비교도 틀렸다.
$F_{0.05}(4, 12)$ 보다 크다는 설명은 결론은 같지만 처리 자유도를 수준 수로 잘못 잡았다.

문제 12

자료의 상자그림 요약에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고른 것은?

1가, 나

2가, 다

3나, 다

4가, 나, 다

정답 및 해설

세 설명이 모두 옳으므로 가, 나, 다를 모두 고른다.

안울타리는 사분위수에서 $1.5 \times \mathrm{IQR}$ 만큼 떨어진 경계이고, 그 밖의 값을 이상점으로 표시한다.

수염은 안울타리 안에 있는 가장 바깥 관측값까지 그리므로 경계를 벗어나지 않는다.
상자그림은 사분위수 같은 순서 정보로 그리므로 범주형보다 연속형 자료에 적합하다.
어떤 값이 이상점이면 그보다 더 바깥의 값도 이상점이므로, 이상점이 하나뿐이면 그 값은 최솟값 또는 최댓값이다.

문제 13

X

가 평균이

\lambda

인 포아송분포를 따르는 확률변수일 때, 다음의 가설을 검정하려고 한다.

H_{0} : \lambda \le 8

대

H_{1} : \lambda > 8

기각역을

X \ge 13

으로 정할 때,

\lambda = 15

에서의 검정력은?

1 - \sum_{x = 0}^{12} \frac{e^{-8} 8^{x}}{x!}

\sum_{x = 0}^{12} \frac{e^{- 8} 8^{x}}{x!}

1 - \sum_{x = 0}^{12} \frac{e^{- 15} 15^{x}}{x!}

\sum_{x = 0}^{12} \frac{e^{- 15} 15^{x}}{x!}

정답 및 해설

검정력은 $\lambda = 15$ 일 때 기각역에 들 확률이므로 $1 - \sum_{x = 0}^{12} \dfrac{e^{-15} 15^{x}}{x!}$ 이다.

검정력을 식으로 쓰고 여사건으로 바꾼다.
$P(X \ge 13 \mid \lambda = 15) = 1 - P(X \le 12 \mid \lambda = 15)$

$\lambda = 8$ 로 계산한 $1 - \sum_{x = 0}^{12} \dfrac{e^{-8} 8^{x}}{x!}$ 는 검정의 크기이다.
$\lambda = 8$ 로 계산한 누적합은 귀무가설 경계에서 기각하지 않을 확률이다.
$\lambda = 15$ 로 계산한 누적합은 기각하지 못할 확률, 곧 제2종 오류 확률이다.

문제 14

모의고사 점수(

X

)와 본고사 점수(

Y

) 간의 관계를 알아보기 위해 다음과 같은 단순회귀모형을 고려한다.

Y_{i} = \alpha + \beta ( x_{i} - {\bar{x}} ) + \epsilon_{i} , \; \epsilon_{i} \sim N ( 0 , \sigma^{2} )

최소제곱법에 의한 회귀계수 추정을 위해 어느 반 학생 10명의 점수를 이용하여 다음과 같은 결과를 얻었다.

\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 810 , \; \; \sum_{i = 1}^{10} y_{i}^{2} = 68710

또한 잔차제곱합이

SSE = 310

일 때, 결정계수는?

10.10

20.85

30.90

40.95

정답 및 해설

총제곱합이 3100이므로 결정계수는 0.90이다.

총제곱합을 구한다.
$\mathrm{SST} = \sum y_{i}^{2} - \dfrac{(\sum y_{i})^{2}}{n} = 68710 - \dfrac{810^{2}}{10} = 3100$

결정계수를 구한다.
$R^{2} = 1 - \dfrac{\mathrm{SSE}}{\mathrm{SST}} = 1 - \dfrac{310}{3100} = 0.90$

0.10은 $\dfrac{\mathrm{SSE}}{\mathrm{SST}}$ 로, 설명되지 않는 변동의 비율이다.

문제 15

두 확률변수 간의 공분산과 상관계수에 대한 설명으로 옳은 것은? 단,

a , b , c , d

는 상수이다.

ac < 0

이면

\mathrm{Cov} ( aX + b , \,\, cY + d ) = - acCov ( X , \,\, Y )

이다.

\mathrm{Corr} ( X , \,\, Y ) = 0

이면

X

와

Y

는 서로 독립이다.

3표준화된 두 확률변수 간의 공분산

\mathrm{Cov} \left( \frac{X - \mu_{1}}{\sigma_{1}} , \,\, \frac{Y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} \right)

는

\mathrm{Corr} ( X , \,\, Y )

와 같다.

\mathrm{Cov} ( X , \,\, Y )

와

\mathrm{Corr} ( X , \,\, Y )

는 모두

X

와

Y

의 단위에 무관한 측도이다.

정답 및 해설

옳은 것은 표준화된 두 변수의 공분산이 상관계수와 같다는 설명이다.

$\mathrm{Cov}(aX + b, cY + d) = ac \, \mathrm{Cov}(X, Y)$ 이며, $ac$ 의 부호와 상관없이 음의 부호가 붙지 않는다.
상관계수가 0이면 선형관계가 없다는 뜻일 뿐이며 독립이 보장되지는 않는다.
공분산은 단위에 따라 값이 달라지고, 상관계수만 단위에 무관하다.

문제 16

다중회귀모형

Y = \beta_{0} + \beta_{1} x_{1} + \beta_{2} x_{2} + \epsilon , \; \epsilon \sim N ( 0 , \sigma^{2} )

을 적합하여 아래의 분산분석표를 얻었을 때, 다음 중옳은 것은?

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$	$p$ -값
회귀	140	2	(ㄱ)	(ㄷ)	<0.001
잔차	10	20	(ㄴ)
합계	150	22

F

검정의 귀무가설은

H_{0} : \beta_{0} = \beta_{1} = \beta_{2} = 0

이다.

2(ㄱ)+(ㄴ)+(ㄷ)

= 200.5

이다.

X \sim F ( 2 , 20 )

일 때,

p

-값은

P ( X \, > 140 )

이다.

4오차분산에 대한 불편추정값은

{\hat{\sigma^{2}}} = 70

이다.

정답 및 해설

옳은 것은 $p$ -값이 $P(X > 140)$ 라는 설명이다.

평균제곱과 검정통계량을 구한다.
$\mathrm{MSR} = \dfrac{140}{2} = 70, \; \mathrm{MSE} = \dfrac{10}{20} = 0.5$
$F = \dfrac{70}{0.5} = 140$

귀무가설 아래에서 $F$ 는 $F(2, 20)$ 를 따르고 큰 값이 기각 방향이므로 $p$ -값은 $P(X > 140)$ 이다.

회귀의 $F$ 검정은 절편을 제외한 $H_{0} : \beta_{1} = \beta_{2} = 0$ 을 검정한다.
세 값의 합은 $70 + 0.5 + 140 = 210.5$ 이다.
오차분산의 불편추정값은 회귀 평균제곱 70이 아니라 잔차 평균제곱 0.5이다.

문제 17

X \sim B \, \left( 150 , \,\, \frac{4}{10} \right)

일 때, 확률

P ( 60 \le X < 80 )

에 대한 연속성 수정을 고려한 근사식은? 단,

\Phi ( \cdot )

는 표준정규분포의 누적분포함수이다.

\Phi \left( \frac{19.5}{6} \right) \, - \, \Phi \, \left( \frac{1}{12} \, \right)

\Phi \left( \frac{19.5}{6} \right) \, - \, \Phi \, \left( - \frac{1}{12} \, \right)

\Phi \left( \frac{20.5}{6} \right) \, - \, \Phi \, \left( \frac{1}{12} \, \right)

\Phi \left( \frac{20.5}{6} \right) \, - \, \Phi \, \left( - \frac{1}{12} \, \right)

정답 및 해설

연속성 수정을 적용한 근사식은 $\Phi\left(\dfrac{19.5}{6}\right) - \Phi\left(-\dfrac{1}{12}\right)$ 이다.

평균은 $150 \times 0.4 = 60$ , 분산은 $150 \times 0.4 \times 0.6 = 36$ 이므로 표준편차는 6이다.

$X$ 는 정수이므로 $60 \le X \le 79$ 이고, 연속성 수정으로 구간은 59.5에서 79.5까지이다.
$\dfrac{79.5 - 60}{6} = \dfrac{19.5}{6}, \; \dfrac{59.5 - 60}{6} = -\dfrac{1}{12}$

$\Phi(19.5/6) - \Phi(1/12)$ 는 하한의 부호가 틀렸다.
$\Phi(20.5/6) - \Phi(-1/12)$ 는 포함되지 않는 80까지 넣었다.
$\Phi(20.5/6) - \Phi(1/12)$ 는 상한과 하한의 처리가 모두 틀렸다.

문제 18

다음은 반복이 있는 이원배치 분산분석을 수행한 결과의 일부이다. 다음 중 옳지 않은 것은? 단, 인자

A , B

는 모두 모수인자이다.

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$
$A$	120	3	(ㄱ)	(ㅁ)
$B$	160	2	(ㄴ)	(ㅂ)
$A \times B$	72	6	(ㄷ)	(ㅅ)
잔차	60	12	(ㄹ)
합계	412	23

1(ㄹ)<(ㄷ)<(ㄱ)<(ㄴ)

2인자

A

와

B

의 수준 수는 다르다.

3반복 수는 3으로 동일하다.

4(ㅁ)+(ㅂ)+(ㅅ)

> 25

정답 및 해설

옳지 않은 것은 반복 수가 3이라는 설명이고, 실제 반복 수는 2이다.

자유도에서 $A$ 의 수준 수는 4, $B$ 의 수준 수는 3이다. 반복 수를 $r$ 이라 하면 잔차 자유도는 $4 \times 3 \times (r - 1) = 12$ 이므로 $r = 2$ 이다.

평균제곱과 $F$ 를 구하면 (ㄱ) 40, (ㄴ) 80, (ㄷ) 12, (ㄹ) 5이고, (ㅁ) 8, (ㅂ) 16, (ㅅ) 2.4이다.

평균제곱의 크기 순서는 5, 12, 40, 80이므로 제시된 부등식은 옳다.
수준 수가 4와 3으로 다르다는 설명은 옳다.
세 $F$ 값의 합은 $8 + 16 + 2.4 = 26.4$ 로 25보다 크므로 옳다.

문제 19

단순회귀모형

Y_{i} = \alpha + \beta x_{i} + \epsilon_{i} , \; \epsilon_{i} \sim N ( 0 , \sigma^{2} )

을 최소제곱법으로 적합한 결과를

{\hat{y}_{i}} - {\bar{y}} = A ( x_{i} - {\bar{x}} )

로 나타낼 때,

( E \, ( A ) , \, \; \, \mathrm{Var} ( A ) )

로 옳은 것은? 단,

S_{xx} = \sum_{i = 1}^{n} ( x_{i} - {\bar{x}} )^{2}

이다.

\left( \beta , \,\, \frac{\sigma^{2}}{S_{xx}} \right)

\left( \beta , \,\, \left( \frac{1}{n} + \frac{{\bar{x}}^{2}}{S_{xx}} \right) \sigma^{2} \right)

\left( \alpha , \,\, \frac{\sigma^{2}}{S_{xx}} \right)

\left( \alpha , \,\, \left( \frac{1}{n} + \frac{{\bar{x}}^{2}}{S_{xx}} \right) \sigma^{2} \right)

정답 및 해설

$A$ 는 기울기의 최소제곱추정량이므로 $\left(\beta, \dfrac{\sigma^{2}}{S_{xx}}\right)$ 이다.

분산이 $\left(\dfrac{1}{n} + \dfrac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}}\right) \sigma^{2}$ 인 쪽은 절편 추정량의 분산을 쓴 것이다.
기댓값이 $\alpha$ 이고 분산이 $\dfrac{\sigma^{2}}{S_{xx}}$ 인 쪽은 기댓값을 절편으로 잘못 썼다.
기댓값이 $\alpha$ 이고 분산도 절편의 것인 쪽은 절편 추정량의 성질로, $A$ 와 맞지 않는다.

문제 20

두 모평균의 비교에서, 다음의 조건을 모두 만족하는 경우에 해당하는 검정법은?

가. 두 모집단은 정규분포를 따른다.
나. 모집단의 분산은 미지이며 같지 않다(

\sigma_{1}^{2} \ne \sigma_{2}^{2}

).
다. 표본의 크기(

n_{1} , \,\, n_{2}

)는 소표본으로 20보다 작다.

t

검정

Z

검정

\chi^{2}

검정

4이항검정

정답 및 해설

세 조건에 해당하는 검정법은 $t$ 검정이다.

$Z$ 검정은 모분산을 알거나 표본이 클 때 쓴다.
$\chi^{2}$ 검정은 단일 모분산이나 적합도·독립성 검정에 쓴다.
이항검정은 성공과 실패로 나뉘는 자료의 비율을 검정할 때 쓴다.

문제 21

X_{1} , \quad X_{2}

를 아래 분포로부터의 크기 2인 확률표본이라 할 때, 확률

P \,\, \left( \frac{X_{1} + X_{2}}{2} = 2 \right)

는?

$x$	0	1	2	3
$P ( X = x )$	0.1	0.2	0.4	0.3

10.12

20.22

30.28

40.44

정답 및 해설

표본평균이 2가 되려면 합이 4여야 하므로 구하는 확률은 0.28이다.

합이 4인 경우는 순서쌍 (1, 3), (3, 1), (2, 2)이다.
$2 \times 0.2 \times 0.3 + 0.4 \times 0.4 = 0.12 + 0.16 = 0.28$

0.12는 (2, 2)를 빠뜨린 값이다.
0.22는 (1, 3)과 (3, 1)을 한 경우로 센 값이다.
0.44는 (2, 2)를 두 번 센 값이다.

문제 22

추정량과 관련된 다음 성질 중 옳지 않은 것은?

1일치성은 표본이 클 때의 추정량의 성질이다.

2불편추정량의 평균제곱오차는 분산과 같다.

3두 불편추정량 중 분산이 작은 쪽이 보다 유효한 추정량이다.

4불편성은 추정량이 반드시 가져야 하는 성질이다.

정답 및 해설

옳지 않은 것은 불편성이 반드시 가져야 하는 성질이라는 설명이다.

불편성은 바람직한 성질 중 하나일 뿐 필수 조건이 아니다. 약간의 편향이 있어도 평균제곱오차가 더 작은 추정량을 쓰기도 한다.

일치성은 표본크기가 커질 때 추정량이 모수로 수렴하는 성질이므로 옳은 설명이다.
$\mathrm{MSE} = \mathrm{Var} + \mathrm{Bias}^{2}$ 이고 불편추정량은 편향이 0이므로 평균제곱오차가 분산과 같다.
두 불편추정량 가운데 분산이 작은 쪽이 더 유효하다는 설명은 유효성의 정의이다.

문제 23

두 학교의 학생들이 동일한 시험을 치렀다. 학생 수는

A

학교가

B

학교의 2배이다.

B

학교 학생들의 평균 점수가 75점이고 두 학교를 합한 전체 학생의 평균 점수가 65점이었다면,

A

학교 학생들의 평균 점수는?

150점

255점

360점

462점

정답 및 해설

학생 수를 가중치로 한 가중평균을 풀면 $A$ 학교 평균은 60점이다.

$B$ 학교 학생 수를 $n$ , $A$ 학교 평균을 $a$ 라 하면 $A$ 학교 학생 수는 $2n$ 이다.
$\dfrac{2n \cdot a + n \cdot 75}{3n} = 65$

정리한다.
$2a + 75 = 195, \; a = 60$

55점은 학생 수를 무시하고 단순평균으로 푼 값이다.

문제 24

가설검정에서 유의수준과 유의확률에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

1유의수준은 검정통계량의 관측값과 무관하며, 유의확률은 유관하다.

2유의수준은 제1종 오류를 범할 확률의 최대 허용값으로 정한다.

3유의확률이 작을수록 관측된 자료가 귀무가설로부터 벗어난 정도가 큼을 의미한다.

4유의확률은 검정통계량의 대립가설 하에서의 분포로부터 구해진다.

정답 및 해설

옳지 않은 것은 유의확률을 대립가설 하의 분포로 구한다는 설명이다.

유의확률은 귀무가설이 참이라는 가정 아래에서 관측값만큼 또는 그보다 극단적인 값이 나올 확률이다.

유의수준은 자료를 보기 전에 정하고 유의확률은 관측값으로 계산하므로 옳은 설명이다.
유의수준은 제1종 오류 확률의 허용 상한으로 정하므로 옳은 설명이다.
유의확률이 작을수록 귀무가설과 자료가 어긋나는 정도가 크므로 옳은 설명이다.

문제 25

특정 자료에 대해 단순회귀모형

Y_{i} = \alpha + \beta x_{i} + \epsilon_{i} ,

\; \epsilon_{i} \sim N ( 0 , \sigma^{2} ) , \; i = 1 , 2 , \cdots , n

을 적합한 결과가 다음과 같을 때, 상관계수는?

{\hat{y}} \, = - 10 x + 5

\sum_{i = 1}^{n} ( y_{i} - {\bar{y}} )^{2} = 100

\sum_{i = 1}^{n} ( y_{i} - {\hat{y}}_{i} )^{2} = 36

10.64

20.80

3-0.64

4-0.80

정답 및 해설

결정계수가 0.64이고 기울기가 음수이므로 상관계수는 -0.80이다.

결정계수를 구한다.
$R^{2} = 1 - \dfrac{36}{100} = 0.64$

단순회귀에서 $r = \pm \sqrt{R^{2}} = \pm 0.8$ 이고, 부호는 기울기 -10의 부호를 따른다.

0.64는 결정계수이다.
0.80은 기울기가 음수라는 점을 놓친 값이다.
-0.64는 결정계수에 부호만 붙인 값이다.

문제 26

사건

A

와

B

에 대한 확률이 다음과 같이 주어졌다.

P \, ( A ) = 0.7 , \; P \, ( B ) = 0.6 , \, \; P \, ( A \cap B ) = 0.4

이때 조건부확률

P \, ( B^{c} | A^{c} )

는?

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{4}{7}

\frac{2}{3}

정답 및 해설

드모르간 법칙을 쓰면 구하는 조건부확률은 $\dfrac{1}{3}$ 이다.

합사건의 확률을 구한다.
$P(A \cup B) = 0.7 + 0.6 - 0.4 = 0.9$

드모르간 법칙으로 $P(A^{c} \cap B^{c}) = 1 - 0.9 = 0.1$ 이고, $P(A^{c}) = 0.3$ 이다.
$P(B^{c} \mid A^{c}) = \dfrac{0.1}{0.3} = \dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{4}$ 은 조건을 바꾼 $P(A^{c} \mid B^{c})$ 이다.
$\dfrac{4}{7}$ 은 $P(B \mid A)$ 이다.
$\dfrac{2}{3}$ 은 $P(B \mid A^{c})$ 이다.

문제 27

크기 5인 다음의 자료로부터 최소제곱법을 사용하여 단순회귀모형

Y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1} x_{i} + \epsilon_{i} , \; \epsilon_{i} \sim N ( 0 , \sigma^{2} )

\epsilon_{i}

는 서로 독립
을 적합한 결과 추정된 회귀식이

haty = 11.8 - 1.6 x

로 얻어졌다.

\sigma^{2}

의 불편추정값은?

$x$	1	2	3	4	5
$y$	10	9	7	5	4

\frac{2}{5}

\frac{2}{15}

\frac{2}{25}

\frac{2}{35}

정답 및 해설

잔차제곱합이 0.4이므로 $\sigma^{2}$ 의 불편추정값은 $\dfrac{2}{15}$ 이다.

적합값은 10.2, 8.6, 7.0, 5.4, 3.8이고 잔차는 -0.2, 0.4, 0, -0.4, 0.2이다.
$\mathrm{SSE} = 0.04 + 0.16 + 0 + 0.16 + 0.04 = 0.4$

회귀계수 2개를 추정했으므로 자유도 $n - 2 = 3$ 으로 나눈다.
$\hat{\sigma}^{2} = \dfrac{0.4}{3} = \dfrac{2}{15}$

$\dfrac{2}{5}$ 는 자유도로 나누지 않은 잔차제곱합이다.
$\dfrac{2}{25}$ 는 $n = 5$ 로 나눈 값으로, 불편추정값이 아니다.

문제 28

X_{1} \, , \, X_{2} \, , \, \cdots , \, X_{11}

은 정규분포

N ( \mu_{1} , \quad \sigma^{2} )

으로부터의 확률표본이고

Y_{1} \, , Y_{2} \, , \, \cdots , \, Y_{9}

은 정규분포

N ( \mu_{2} , \quad \sigma^{2} )

으로부터의 확률표본이며,

X_{1} \, , \, X_{2} \, , \, \cdots , \, X_{11}

과

Y_{1} \, , Y_{2} \, , \, \cdots , \, Y_{9}

은 서로 독립이다. 두 확률표본의 분산을 각각

S_{1}^{2}

S_{2}^{2}

이라 할 때,

\mu_{1} - \mu_{2}

에 대한 95% 신뢰구간의 길이는? 단,

t_{\alpha} ( k )

는 자유도

k

인

t

분포의 제

100 ( 1 - \alpha )

백분위수이다.

2 \times t_{0.025} ( 18 ) \sqrt{\left( \frac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18} \right) \left( \frac{1}{11} + \frac{1}{9} \right)}

t_{0.025} ( 18 ) \sqrt{\left( \frac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18} \right) \left( \frac{1}{11} + \frac{1}{9} \right)}

2 \times t_{0.025} ( 18 ) \sqrt{\left( \frac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18} \right) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{8} \right)}

t_{0.025} ( 18 ) \sqrt{\left( \frac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18} \right) \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{8} \right)}

정답 및 해설

등분산 가정의 $t$ 구간이므로 길이는 $2 \times t_{0.025}(18) \sqrt{\left(\dfrac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18}\right)\left(\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{9}\right)}$ 이다.

두 모분산이 같으므로 자유도로 가중한 합동분산을 쓴다.
$S_{p}^{2} = \dfrac{10 S_{1}^{2} + 8 S_{2}^{2}}{18}$

신뢰구간은 다음과 같다.
$(\bar{X} - \bar{Y}) \pm t_{0.025}(18) \, S_{p} \sqrt{\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{9}}$

구간의 길이는 이 오차한계의 2배이다.

2배가 없고 $\dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{9}$ 를 쓴 식은 구간의 절반 길이이다.
2배가 있고 $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{8}$ 을 쓴 식은 표본크기 자리에 자유도를 넣었다.
2배가 없고 $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{8}$ 을 쓴 식은 두 오류를 모두 범했다.

문제 29

주머니 속에 흰 공 5개와 검은 공 2개가 들어 있다.

A

B

두 사람이 게임을 하는데,

A

부터 시작해서 교대로 공을 하나씩 무작위로 비복원추출하여처음으로 검은 공을 꺼내는 사람이 승리하는 것으로 정하였다.

A

가 이길 확률은?

\frac{3}{7}

\frac{1}{2}

\frac{15}{28}

\frac{4}{7}

정답 및 해설

첫 검은 공의 위치별로 경우의 수를 세면 $A$ 가 이길 확률은 $\dfrac{4}{7}$ 이다.

7개의 추출 순서에서 검은 공 2개의 위치를 정하는 경우는 $\binom{7}{2} = 21$ 가지이고 모두 같은 확률이다.

첫 검은 공이 첫째, 둘째, 셋째, 넷째, 다섯째, 여섯째에 나오는 경우는 각각 6, 5, 4, 3, 2, 1가지이다.

$A$ 는 홀수째 추출에서 첫 검은 공이 나올 때 이긴다.
$\dfrac{6 + 4 + 2}{21} = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}$

문제 30

불량품이 만들어질 확률이 0.002인 공정에서 100개의 제품을 생산할 때, 만들어지는 불량품의 수를

X

라 하자. 확률

P ( X \ge 2 )

를 포아송분포 근사를 이용하여 구하면?

1 - 1.2 timese^{- 0.2}

1 - e^{- 0.2}

1.2 \times e^{- 0.2}

1.22 \times e^{- 0.2}

정답 및 해설

포아송 근사를 쓰면 구하는 확률은 $1 - 1.2 \times e^{-0.2}$ 이다.

근사의 모수는 $\lambda = np = 100 \times 0.002 = 0.2$ 이다.

여사건으로 계산한다.
$P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$
$= 1 - e^{-0.2} - 0.2 e^{-0.2} = 1 - 1.2 \times e^{-0.2}$

$1 - e^{-0.2}$ 는 $P(X \ge 1)$ 이다.
$1.2 \times e^{-0.2}$ 는 $P(X \le 1)$ 이다.
$1.22 \times e^{-0.2}$ 는 $P(X \le 2)$ 이다.

문제 31

연속형 자료의

n

개 관측값을 아래 표와 같이 적절히 나누어진

k

개의 각 구간에 몇 개의 관측값이 속하는지를 빈도로 요약하였다. 각 구간의 빈도는 충분히 크다고 가정한다.

구간	$I_{1}$	$I_{2}$	$\cdots$	$I_{k}$	합계
관측 빈도	$n_{1}$	$n_{2}$	$\cdots$	$n_{k}$	$n$

위의 자료를 이용하여 다음 가설에 대한 유의수준

\alpha

인 검정을 수행하고자 한다. 여기서

\mu

와

\sigma^{2}

은 미지의 모수이다.

H_{0} :

자료가

N ( \mu , \,\, \sigma^{2} )

을 따른다.

H_{1} :

H_{0}

가 아니다.
이때 (검정법, 임곗값)으로 올바르게 짝지어진 것은? 단,

\chi_{\alpha}^{2} ( r )

과

F_{\alpha} ( r_{1} , \, r_{2} )

는 각각 자유도가

r

인 카이제곱분포와 자유도가

( r_{1} , r_{2} )

인

F

분포의 제

100 ( 1 - \alpha )

백분위수이다.

1(카이제곱검정,

\chi_{\alpha}^{2} ( k - 1 )

)

2(카이제곱검정,

\chi_{\alpha}^{2} ( k - 3 )

)

F

검정,

F_{\alpha} ( 1 , \, k - 1 )

)

F

검정,

F_{\alpha} ( 1 , \, k - 3 )

)

정답 및 해설

구간 빈도로 분포를 검정하므로 (카이제곱검정, $\chi_{\alpha}^{2}(k - 3)$ )이 맞다.

범주화된 빈도에 정규분포가 맞는지 보는 적합도검정이며, 자유도는 범주 수에서 1을 빼고 다시 추정한 모수의 수를 뺀다.

미지의 모수 $\mu, \sigma^{2}$ 2개를 추정해야 하므로 자유도는 $k - 1 - 2 = k - 3$ 이다.

$\chi_{\alpha}^{2}(k - 1)$ 은 모수를 추정할 필요가 없을 때의 임곗값이다.
$F_{\alpha}(1, k - 1)$ 을 쓰는 $F$ 검정은 평균제곱의 비를 비교하는 검정으로, 빈도 적합도와 맞지 않는다.
$F_{\alpha}(1, k - 3)$ 을 쓰는 $F$ 검정도 같은 이유로 맞지 않는다.

문제 32

남자 8명과 여자 7명이 있다. 전체 15명 중 9명을 비복원추출할 때, 뽑히는 남자의 수로 가능한 값은 몇 가지인가?

410

정답 및 해설

뽑히는 남자의 수는 2명부터 8명까지이므로 가능한 값은 7가지이다.

뽑히는 남자의 수를 $X$ 라 하면 여자는 $9 - X$ 명이다.

여자는 7명뿐이므로 $9 - X \le 7$ 에서 $X \ge 2$ 이고, 남자는 8명뿐이므로 $X \le 8$ 이다.

따라서 $\max(0, 9 - 7) \le X \le \min(8, 9)$ 이고, 값의 개수는 $8 - 2 + 1 = 7$ 이다.

문제 33

확률분포와 관련된 다음 설명 중 옳지 않은 것은?

X \sim N ( \mu , \,\, \sigma^{2} )

일 때,

\left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^{2}

의 분포는

\chi^{2} ( 1 )

이다.

T \sim t ( r )

일 때,

T^{2}

의 분포는

F ( 1 , \,\, r )

이다.

X_{1} , \quad X_{2} , \quad \cdots , \quad X_{n}

이

N ( 0 , \,\, \sigma^{2}

)으로부터의 확률표본일 때,

\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}}{\sigma^{2}}

의 분포는

\chi^{2} ( n )

이다.

X_{1} , \quad X_{2} , \quad \cdots , \quad X_{n}

이 임의의 연속인 모집단으로부터의 확률표본일 때, 표본평균(

{\bar{X}}

)과 표본분산(

S^{2}

)은 서로 독립이다.

정답 및 해설

옳지 않은 것은 임의의 연속 모집단에서 표본평균과 표본분산이 독립이라는 설명이다.

$\bar{X}$ 와 $S^{2}$ 의 독립은 정규모집단에서 성립하는 성질이며, 임의의 분포에서는 성립하지 않는다.

표준정규변수의 제곱은 $\chi^{2}(1)$ 을 따르므로 옳은 설명이다.
$T = \dfrac{Z}{\sqrt{V/r}}$ 이면 $T^{2} = \dfrac{Z^{2}/1}{V/r}$ 이므로 $F(1, r)$ 를 따른다.
$\dfrac{X_{i}}{\sigma}$ 가 서로 독립인 표준정규변수이므로 제곱합은 $\chi^{2}(n)$ 을 따른다.

문제 34

어떤 농구선수의 자유투 성공률

p

에 대해 다음의 가설을 검정하려고 한다.

H_{0} : p \le 0.6

대

H_{1} : p > 0.6

이 선수가 자유투를 15회 시도하여 12회 성공했을 때 유의확률은?

\left( \begin{array}{c}15 \\ 12\end{array} \right) ( 0.6 )^{12} ( 0.4 )^{3}

\sum_{x = 0}^{12} \left( \begin{array}{c}15 \\ x\end{array} \right) ( 0.6 )^{x} ( 0.4 )^{15 - x}

\sum_{x = 12}^{15} \left( \begin{array}{c}15 \\ x\end{array} \right) ( 0.4 )^{x} ( 0.6 )^{15 - x}

\sum_{x = 0}^{3} \left( \begin{array}{c}15 \\ x\end{array} \right) ( 0.4 )^{x} ( 0.6 )^{15 - x}

정답 및 해설

유의확률은 실패 횟수로 바꾼 $\sum_{x = 0}^{3} \binom{15}{x} (0.4)^{x} (0.6)^{15 - x}$ 이다.

우측검정이므로 $p = 0.6$ 에서 12회 이상 성공할 확률이 유의확률이다.
$P(X \ge 12) = \sum_{x = 12}^{15} \binom{15}{x} (0.6)^{x} (0.4)^{15 - x}$

실패 횟수 $Y = 15 - X$ 는 $B(15, 0.4)$ 를 따르고 $X \ge 12$ 는 $Y \le 3$ 과 같으므로 위 식과 같다.

$\binom{15}{12} (0.6)^{12} (0.4)^{3}$ 은 정확히 12회 성공할 확률만 나타낸다.
$x = 0$ 부터 12까지 더한 식은 방향이 반대인 $P(X \le 12)$ 이다.
$x = 12$ 부터 15까지 더하며 0.4를 성공확률로 쓴 식은 성공확률을 뒤바꿨다.

문제 35

어떤 회사원의 출근 소요 시간이 평균 40분, 표준편차 5분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 사람이 회사에 늦지 않게 도착할 확률이

1 - \alpha

이상 되게 하려면 늦어도 업무 시작 시각보다 몇 분 이전에 출발하여야 하는가? 단,

0 < \alpha < 0.5

이며,

z_{\alpha}

는 표준정규분포의 제

100 ( 1 - \alpha )

백분위수이다.

40 + 5 z_{\alpha / 2}

40 + 5 z_{\alpha}

40 - 5 z_{\alpha}

40 - 5 z_{\alpha / 2}

정답 및 해설

조건을 만족하는 가장 늦은 출발은 업무 시작 $40 + 5 z_{\alpha}$ 분 전이다.

소요 시간을 $T$ , 여유 시간을 $t$ 라 하면 $P(T \le t) \ge 1 - \alpha$ 여야 한다.
$P\left(Z \le \dfrac{t - 40}{5}\right) \ge 1 - \alpha$

따라서 $\dfrac{t - 40}{5} \ge z_{\alpha}$ 이므로 최소 여유 시간은 $t = 40 + 5 z_{\alpha}$ 이다.

$40 + 5 z_{\alpha/2}$ 는 한쪽 확률을 $\alpha/2$ 로 잡은 값으로, 필요한 것보다 일찍 출발하게 된다.
$40 - 5 z_{\alpha}$ 는 평균보다 짧아 늦지 않을 확률이 0.5보다 작다.
$40 - 5 z_{\alpha/2}$ 도 평균보다 짧아 조건을 만족하지 못한다.

문제 36

평균이 5로 알려져 있고 분산은 알려져 있지 않은 정규모집단으로부터의 크기 15인 확률표본을

X_{1} , \, X_{2} , \, \cdots , \, X_{15}

라 할 때, 모분산

\sigma^{2}

에 대한 90% 신뢰구간은? 단,

\chi_{\alpha}^{2} ( k )

는 자유도

k

인 카이제곱분포의 제

100 ( 1 - \alpha )

백분위수이며,

barX

는 표본평균이다.

\left( \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - 5 )^{2}}{\chi_{0.05}^{2} ( 15 )} , \; \; \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - 5 )^{2}}{\chi_{0.95}^{2} ( 15 )} \right)

\left( \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - 5 )^{2}}{\chi_{0.05}^{2} ( 14 )} , \; \; \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - 5 )^{2}}{\chi_{0.95}^{2} ( 14 )} \right)

\left( \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - {\bar{X}} )^{2}}{\chi_{0.05}^{2} ( 15 )} , \; \; \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - {\bar{X}} )^{2}}{\chi_{0.95}^{2} ( 15 )} \right)

\left( \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - {\bar{X}} )^{2}}{\chi_{0.05}^{2} ( 14 )} , \; \; \frac{\sum_{i = 1}^{15} ( X_{i} - {\bar{X}} )^{2}}{\chi_{0.95}^{2} ( 14 )} \right)

정답 및 해설

모평균이 5로 알려져 있으므로 $\sum (X_{i} - 5)^{2}$ 과 자유도 15를 쓴 구간이 답이다.

모평균을 알 때의 추축량은 다음과 같다.
$\dfrac{\sum_{i = 1}^{15} (X_{i} - 5)^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(15)$

$\sum (X_{i} - 5)^{2}$ 에 자유도 14를 쓴 구간은 평균을 알면서 자유도를 줄였다.
$\sum (X_{i} - \bar{X})^{2}$ 에 자유도 15를 쓴 구간은 표본평균을 썼는데 자유도를 줄이지 않았다.
$\sum (X_{i} - \bar{X})^{2}$ 에 자유도 14를 쓴 구간은 모평균을 모를 때의 구간으로, 알려진 값 5를 쓰지 않았다.

문제 37

과거 자료를 분석한 결과, 두 종류 주가(

A , B

)의 일별 변화(움직임)에 대해 다음과 같은 확률분포표를 얻었다. 오늘 주가

A

가 상승했다는 것을 알고 있을 때, 주가

B

가 하락했을 확률은?

	주가 $B$
하락	상승
주가 $A$	하락	0.10	0.30
상승	0.45	0.15

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

\frac{3}{5}

\frac{4}{5}

정답 및 해설

조건부확률을 계산하면 구하는 확률은 $\dfrac{3}{4}$ 이다.

표에서 주가 $A$ 가 상승할 확률은 주변확률로 $0.45 + 0.15 = 0.60$ 이다.

주가 $A$ 가 상승하고 주가 $B$ 가 하락할 확률은 0.45이다.
$\dfrac{0.45}{0.60} = \dfrac{3}{4}$

문제 38

크기

n

인 자료로부터 최소제곱법을 사용하여 단순회귀모형

Y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1} x_{i} + \epsilon_{i}

를 적합한 결과 추정된 회귀식이

{\hat{y}} = 0.2 + 1.6 x

로 얻어졌다. 변환

x_{i}^{*} = 2 x_{i}

(

i = 1 , 2 , \cdots , n

)를 통해 새로운 변수

x^{*}

를 생성한 뒤

x^{*}

를 독립변수,

Y

를 종속변수로 하는 단순회귀모형을 최소제곱법으로 적합하였을 때 얻어지는 회귀식은?

{\hat{y}} = 0.4 + 3.2 x^{*}

{\hat{y}} = 0.2 + 3.2 x^{*}

{\hat{y}} = 0.4 + 0.8 x^{*}

{\hat{y}} = 0.2 + 0.8 x^{*}

정답 및 해설

독립변수를 2배 하면 기울기만 절반이 되므로 회귀식은 $\hat{y} = 0.2 + 0.8 x^{*}$ 이다.

$x = \dfrac{x^{*}}{2}$ 를 원래 식에 대입한다.
$\hat{y} = 0.2 + 1.6 \cdot \dfrac{x^{*}}{2} = 0.2 + 0.8 x^{*}$

적합값은 변하지 않고 절편도 그대로 유지된다.

$\hat{y} = 0.4 + 3.2 x^{*}$ 는 절편과 기울기를 모두 2배 했다.
$\hat{y} = 0.2 + 3.2 x^{*}$ 는 기울기를 2배 했다.
$\hat{y} = 0.4 + 0.8 x^{*}$ 는 절편을 2배 했다.

문제 39

크기

n

인 자료로부터 최소제곱법을 사용하여 아래의 단순회귀모형을 적합하였다.

Y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1} x_{i} + \epsilon_{i} , \; \epsilon_{i} \sim N ( 0 , \sigma^{2} )

\epsilon_{i}

는 서로 독립
다음 중 옳은 것만을 모두 고른 것은?

가.

{hatbeta}_{1}

은

\beta_{1}

의 불편추정량이다.
나.

{\hat{\beta}}_{0}

은

\beta_{0}

의 불편추정량이다.
다.독립변수의 값이

x

로 주어질 때

Y

의 기댓값에 대한 신뢰구간의 길이는

x

에 무관하다.

1가, 나

2가, 다

3나, 다

4가, 나, 다

정답 및 해설

옳은 것은 두 불편성 설명인 가, 나뿐이다.

오차의 기댓값이 0인 단순회귀에서 최소제곱추정량은 기울기와 절편 모두 불편이다.

$\hat{\beta}_{1}$ 이 $\beta_{1}$ 의 불편추정량이라는 설명은 옳다.
$\hat{\beta}_{0}$ 이 $\beta_{0}$ 의 불편추정량이라는 설명은 옳다.
신뢰구간의 길이가 $x$ 에 무관하다는 설명은 틀렸다. 표준오차에 $\sqrt{\dfrac{1}{n} + \dfrac{(x - \bar{x})^{2}}{S_{xx}}}$ 가 들어가 $x$ 가 $\bar{x}$ 에서 멀수록 길어진다.

문제 40

공정한 3개의 육면체 주사위를 던질 때 나오는 수의 합이 6일 확률은?

\frac{1}{6}

\frac{5}{54}

\frac{5}{108}

\frac{1}{36}

정답 및 해설

합이 6인 경우는 10가지이므로 구하는 확률은 $\dfrac{5}{108}$ 이다.

전체 경우의 수는 $6^{3} = 216$ 이다.

합이 6인 눈의 조합을 순서까지 고려해 센다.

눈이 1, 1, 4인 경우는 3가지이다.
눈이 1, 2, 3인 경우는 6가지이다.
눈이 2, 2, 2인 경우는 1가지이다.

따라서 확률은 $\dfrac{10}{216} = \dfrac{5}{108}$ 이다.