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1[경찰간부후보생 통계학] 23년 1회차

단순회귀모형  $Y_{i} = \alpha + \beta x_{i} + \epsilon_{i} , \; \epsilon_{i} \sim N ( 0 , \sigma^{2} )$ 을 최소제곱법으로 적합한 결과를  ${\hat{y}_{i}} - {\bar{y}} = A ( x_{i} - {\bar{x}} )$ 로 나타낼 때,  $( E \, ( A ) , \, \; \, \mathrm{Var} ( A ) )$ 로 옳은 것은? 단,  $S_{xx} = \sum_{i = 1}^{n} ( x_{i} - {\bar{x}} )^{2}$ 이다.

 $\left( \beta , \,\, \frac{\sigma^{2}}{S_{xx}} \right)$

 $\left( \beta , \,\, \left( \frac{1}{n} + \frac{{\bar{x}}^{2}}{S_{xx}} \right) \sigma^{2} \right)$

 $\left( \alpha , \,\, \frac{\sigma^{2}}{S_{xx}} \right)$

 $\left( \alpha , \,\, \left( \frac{1}{n} + \frac{{\bar{x}}^{2}}{S_{xx}} \right) \sigma^{2} \right)$

해설

 $A$ 는 기울기의 최소제곱추정량이므로  $\left(\beta, \dfrac{\sigma^{2}}{S_{xx}}\right)$ 이다.
적합식은  $\hat{y}_{i} = \bar{y} + \hat{\beta}(x_{i} - \bar{x})$ 로 쓸 수 있으므로  $A = \hat{\beta}$ 이다. 최소제곱추정량은 불편이고 분산은  $\dfrac{\sigma^{2}}{S_{xx}}$ 이다.
분산이  $\left(\dfrac{1}{n} + \dfrac{\bar{x}^{2}}{S_{xx}}\right) \sigma^{2}$ 인 쪽은 절편 추정량의 분산을 쓴 것이다.
기댓값이  $\alpha$ 이고 분산이  $\dfrac{\sigma^{2}}{S_{xx}}$ 인 쪽은 기댓값을 절편으로 잘못 썼다.
기댓값이  $\alpha$ 이고 분산도 절편의 것인 쪽은 절편 추정량의 성질로,  $A$ 와 맞지 않는다.

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