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1[경찰간부후보생 통계학] 23년 1회차

두 확률변수 간의 공분산과 상관계수에 대한 설명으로 옳은 것은? 단,  $a , b , c , d$ 는 상수이다.

 $ac < 0$ 이면  $\mathrm{Cov} ( aX + b , \,\, cY + d ) = - acCov ( X , \,\, Y )$ 이다.

 $\mathrm{Corr} ( X , \,\, Y ) = 0$ 이면  $X$ 와  $Y$ 는 서로 독립이다.

표준화된 두 확률변수 간의 공분산  $\mathrm{Cov} \left( \frac{X - \mu_{1}}{\sigma_{1}} , \,\, \frac{Y - \mu_{2}}{\sigma_{2}} \right)$ 는  $\mathrm{Corr} ( X , \,\, Y )$ 와 같다.

 $\mathrm{Cov} ( X , \,\, Y )$ 와  $\mathrm{Corr} ( X , \,\, Y )$ 는 모두  $X$ 와  $Y$ 의 단위에 무관한 측도이다.

해설

옳은 것은 표준화된 두 변수의 공분산이 상관계수와 같다는 설명이다.
공분산의 쌍선형성으로 정리한다.
 $\mathrm{Cov}\left(\dfrac{X - \mu_{1}}{\sigma_{1}}, \dfrac{Y - \mu_{2}}{\sigma_{2}}\right) = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_{1} \sigma_{2}} = \mathrm{Corr}(X, Y)$ 
 $\mathrm{Cov}(aX + b, cY + d) = ac \, \mathrm{Cov}(X, Y)$ 이며,  $ac$ 의 부호와 상관없이 음의 부호가 붙지 않는다.
상관계수가 0이면 선형관계가 없다는 뜻일 뿐이며 독립이 보장되지는 않는다.
공분산은 단위에 따라 값이 달라지고, 상관계수만 단위에 무관하다.

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