[화공기사 필기] 17년 3회차 기출문제 정답·해설 페이지

연료의 발열량 10000 kcal/kg에서 1 kg이 연소할 때 발생하는 총 에너지는 10000 kcal이다. 이 중 30%가 유용한 일로 변환되므로 유용한 에너지는 10000 × 0.3 = 3000 kcal이다. 이를 줄(J) 단위로 변환하면 1 kcal ≈ 4186 J이므로 3000 × 4186 = 12,558,000 J ≈ 1.256 × 10⁷ J이다. 500 kg의 물체를 높이 h만큼 들어 올리는 데 필요한 에너지는 $W = mgh = 500 \times 10 \times h$ (중력가속도 g = 10 m/s²)이므로, 유용한 에너지가 모두 사용될 때 $1.256 \times 10^7 = 5000h$에서 $h = \frac{1.256 \times 10^7}{5000} = 2512 \text{ m} \approx 2.5 \text{ km}$이다. 따라서 약 2.6 km 높이까지 들어 올릴 수 있다.

라울의 법칙을 따르는 경우 K인자는 온도와 압력만의 함수이며, 액상·기상 조성과는 무관하다.
$K_i = y_i/x_i = P_i^{sat}(T)/P$로 정의되는데, 라울의 법칙 하에서는 순성분 증기압과 계의 압력·온도만으로 결정되므로 조성의 함수라는 설명은 옳지 않다.
알려진 온도·압력·전체조성에서 평형 기상·액상 조성을 구하는 것, K인자가 휘발도(가벼움)의 척도라는 것, 기포점·이슬점 계산으로 초기값을 얻는 것은 모두 플래시 계산에 대한 타당한 설명이다.

급냉 과정에서 계 전체의 엔트로피 변화는 약 9052J/K로, 전체 계의 엔트로피가 증가한다.
먼저 열평형 최종온도는 $40\times500\times(700.15-T_f) = 200\times2500\times(T_f-300.15)$에서 $T_f \approx 315.5\,\mathrm{K}$로 구해진다.
강철의 엔트로피 변화는 $\Delta S_1 = 40\times500\times\ln\dfrac{T_f}{700.15} \approx -1.59\times10^{4}\,\mathrm{J/K}$이고 기름의 엔트로피 변화는 $\Delta S_2 = 200\times2500\times\ln\dfrac{T_f}{300.15} \approx +2.50\times10^{4}\,\mathrm{J/K}$이므로, 합산하면 약 9052J/K가 된다.

2몰의 이상기체 부피는 약 0.03326m3이다.
이상기체 상태방정식 $PV=nRT$에서 $V = \dfrac{nRT}{P} = \dfrac{2\times8.314\times300}{150000} \approx 0.03326\,\mathrm{m^3}$로 계산된다.

기체-액체가 평형을 이룰 때는 두 상의 깁스에너지가 서로 같으며, 기체 쪽이 더 크다는 설명은 옳지 않다.
상평형 조건 자체가 $G_{gas} = G_{liquid}$이므로, 어느 한쪽이 더 크다고 말할 수 없다.
순물질 2상 평형의 자유도가 1이라는 것, 같은 조건에서 기체의 내부에너지·엔트로피가 액체보다 크다는 설명은 모두 타당하다.

압력이 일정한 닫힌계가 흡수한 열은 엔탈피 변화량과 같다.
정지상태·정압 과정에서는 $Q_p = \Delta H$가 성립하며, 이는 닫힌계 에너지수지에서 압력-부피일이 엔탈피 정의에 흡수되기 때문이다.

자유도는 1이다. 온도 하나만 정하면 계의 상태가 완전히 결정된다.
화학반응이 있는 계의 상률은 $F=C-P+2$ 이고, 성분수는 (화학종 수) − (독립 반응식 수) − (추가 제약조건 수)로 센다.
화학종은 NH4Cl(s), NH3(g), HCl(g) 3개, 독립 반응식 1개이며, 진공에서 순수한 NH4Cl 만 분해하므로 NH3와 HCl 의 양이 항상 같다는 제약이 하나 더 붙어 C = 3 − 1 − 1 = 1 이다.
상은 고체 NH4Cl 과 기체상 2개이므로 $F=1-2+2=1$ 이고, 이는 온도를 정하면 분해 평형압력이 저절로 결정된다는 뜻이다.

이상기체의 등온압축률은 k = 1/P 이다.
정의식 $k=-\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T$ 에 이상기체식 $V=\dfrac{RT}{P}$ 를 쓰면 $\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T=-\dfrac{RT}{P^{2}}$ 이다.
대입하면 $k=-\dfrac{P}{RT}\left(-\dfrac{RT}{P^{2}}\right)=\dfrac{1}{P}$ 가 되어 압력에만 의존하고 온도와 기체상수는 소거된다.
참고로 부피팽창률은 $\beta=\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P=\dfrac{1}{T}$ 이므로 1/T 는 압축률이 아니라 팽창률이고, R 이 그대로 남는 형태는 압력의 역수라는 차원 자체가 맞지 않는다.

포인팅(Poynting)방법은 기체의 퓨개시티 계수가 아니라 압력에 따른 순수 액체의 퓨개시티 보정에 쓰이는 방법이다.
펭-로빈슨 상태방정식, 비리얼 방정식, 일반화된 압축인자 상관관계는 모두 기체의 퓨개시티 계수를 구하는 대표적인 방법이다.

이 압력에서의 Ufg는 약 290.2kJ/kg이다.
내부에너지는 $U = H - PV$로 구하므로, 포화액은 $U_f = 181 - 240\times0.00177 \approx 180.6\,\mathrm{kJ/kg}$, 건포화증기는 $U_g = 496 - 240\times0.105 = 470.8\,\mathrm{kJ/kg}$이다.
따라서 $U_{fg} = U_g - U_f \approx 290.2\,\mathrm{kJ/kg}$이다.

가역단열공정에서는 엔트로피 변화가 없다($\Delta S=0$).
단열이므로 열 출입이 없고, 가역이므로 비가역에 의한 엔트로피 생성도 없어 등엔트로피(isentropic) 과정이 된다.

이상기체의 내부에너지는 온도만의 함수이다.
이상기체는 분자 간 상호작용을 무시하므로 내부에너지가 압력이나 부피와 무관하게 오직 온도에 의해서만 결정된다.

물이 증발할 때 엔트로피는 증가한다($\Delta s>0$).
액체보다 기체 상태의 분자 배열이 훨씬 무질서하므로, 증발 과정에서 계의 엔트로피는 커진다.

이 반응은 발열반응이며, 온도가 올라가면 평형상수 K 는 작아진다.
van't Hoff 식 $\left(\dfrac{\partial \ln K}{\partial T}\right)_{P}=\dfrac{\Delta H^{\circ}}{RT^{2}}$ 에서 RT2 은 항상 양수이므로, 좌변의 부호는 곧 반응엔탈피 ΔH°의 부호다.
따라서 미분계수가 음수라는 조건은 ΔH°＜0, 즉 열을 내놓는 반응임을 뜻하고, lnK 가 온도에 대해 감소하므로 K 자체도 감소한다.
이는 르샤틀리에 원리와도 맞아떨어진다 — 발열반응에서 온도를 올리면 평형이 역반응 쪽으로 이동해 생성물 비율이 줄어든다.

펌프일은 약 249.6kgf·m/kg이다.
펌프일은 $W_p = v_f\,\Delta P$로 계산되며, $v_f=0.001\,\mathrm{m^3/kg}$, 압력차는 보일러압과 배기압의 차이인 $25-0.04 = 24.96\,\mathrm{kgf/cm^2} = 249600\,\mathrm{kgf/m^2}$이다.
따라서 $W_p = 0.001\times249600 = 249.6\,\mathrm{kgf\cdot m/kg}$이다.

오토기관의 열효율은 $\eta=1-\left(\dfrac{1}{r}\right)^{K-1}$ 이다.
오토 사이클은 단열압축 → 정적가열 → 단열팽창 → 정적방열로 이루어지므로 $\eta=1-\dfrac{T_4-T_1}{T_3-T_2}$ 로 출발한다.
단열 과정에서 $TV^{K-1}=\text{일정}$ 이 성립해 온도비가 압축비 $r=\dfrac{V_1}{V_2}$ 로 정리되고, 결국 $\eta=1-\dfrac{1}{r^{K-1}}$ 가 된다. 지수가 비열비에서 1을 뺀 (K−1) 인 점이 핵심이다.
따라서 압축비 r 이 크고 비열비 K 가 클수록 효율이 높아지며, 지수가 K·(K+1)·1/(K+1) 인 형태는 단열식 TVK-1=일정 의 유도와 맞지 않는다.

P-H 선도에서 등엔트로피 선의 기울기는 1/V 이다.
엔탈피의 기초 관계식 $dH=TdS+VdP$ 에서 엔트로피가 일정한 경로는 dS=0 이므로 $dH=VdP$ 만 남는다.
이를 정리하면 $\left(\dfrac{\partial H}{\partial P}\right)_{S}=V$ 이고, 역수를 취해 $\left(\dfrac{\partial P}{\partial H}\right)_{S}=\dfrac{1}{V}$ 를 얻는다.
즉 비체적이 큰 과열증기 영역에서는 등엔트로피 선이 완만하고, 비체적이 작은 액체 영역에서는 가파르게 나타난다.

카르노 사이클의 열효율을 높이려면 방열온도(저온부)를 낮춰야 한다.
카르노 효율은 $\eta = 1-\dfrac{T_L}{T_H}$로 표현되므로, 저온 열원의 온도 $T_L$을 낮출수록 효율이 커진다. 동작물질의 양이나 밀도는 이상적인 카르노 효율에 영향을 주지 않는다.

압축비 한계는 오토(스파크 점화)기관의 특성이며, 디젤기관에 대한 설명으로는 옳지 않다.
디젤기관은 공기만을 압축한 뒤 연료를 분사해 자발화시키므로 예혼합 상태에서 발생하는 노킹(조기점화) 제약이 없고, 오히려 오토기관보다 훨씬 높은 압축비를 사용할 수 있다.
압축열로 연료가 순간적으로 착화한다는 점, 같은 압축비에서는 오토기관의 효율이 더 높다는 점, 연소가 거의 정압으로 진행되도록 연료를 서서히 분사한다는 점은 디젤기관에 대한 타당한 설명이다.

고산지대에서 물의 끓는 온도는 약 95℃ 다.
Clausius-Clapeyron 식 $\ln\dfrac{P_2}{P_1}=-\dfrac{\Delta \overline{H}}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)$ 을 쓰되, 증발잠열을 몰 단위로 환산해 $\Delta \overline{H}=539\times18=9702\ \mathrm{cal/mol}$ 로 둔다.
P1=760mmHg, T1=373K, P2=635mmHg 를 대입하면 $\ln\dfrac{635}{760}=-0.180=-\dfrac{9702}{1.987}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{373}\right)$ 이다.
정리하면 $\dfrac{1}{T_2}=\dfrac{1}{373}+3.68\times10^{-5}$ → $T_2\approx368\ \mathrm{K}=95\ ^{\circ}\mathrm{C}$ 로, 기압이 낮아지면 끓는점도 함께 내려간다.

필요한 1% 소금수용액의 질량은 1.0kg이다.
소금의 질량 보존식 $0.05\times1+0.01\times x = 0.03\times(1+x)$을 세우면 $0.02 = 0.02x$가 되어 $x=1.0\,\mathrm{kg}$을 얻는다.

용액 중 톨루엔의 몰분율은 약 0.72이다.
라울의 법칙에 의해 각 성분의 증기분압은 $x_i P_i^{sat}$이고, 증기 중 벤젠 몰분율이 0.5이므로 $x_{benzene}\times811 = x_{toluene}\times314$가 성립한다.
$x_{benzene}+x_{toluene}=1$과 연립하면 $x_{toluene} = \dfrac{811}{811+314} \approx 0.72$가 된다.

이 계의 평형 전압은 라울의 법칙에 따라 각 성분의 분압을 더한 값이므로 240mmHg라는 설명은 틀렸다(240mmHg는 순성분 증기압 180과 60을 그대로 더한 값일 뿐이다).
벤젠 분압은 $180 \times 0.30 = 54\ \mathrm{mmHg}$, 톨루엔 분압은 $60 \times 0.70 = 42\ \mathrm{mmHg}$이며, 이를 더한 평형 전압은 $54+42=96\ \mathrm{mmHg}$이다.
기상의 평형조성도 각 분압을 전압으로 나누면 벤젠 $54/96=56.25\%$, 톨루엔 $42/96=43.75\%$로 나머지 설명들과 모두 일치한다.

냉각 석출량은 약 5.39g이다.
80℃ 포화용액은 물 100g당 CaCl₂ 160g, 즉 용액 260g 중 CaCl₂ 160g의 비율이므로 70g 중에는 $\mathrm{CaCl_2} = 70\times\dfrac{160}{260}=43.08\,\mathrm{g}$, 물은 $70\times\dfrac{100}{260}=26.92\,\mathrm{g}$이 들어있다.
20℃에서는 물 100g당 최대 140g만 녹으므로 이 물의 양에 녹을 수 있는 CaCl₂는 $26.92\times\dfrac{140}{100}=37.69\,\mathrm{g}$이고, 석출량은 $43.08-37.69 \approx 5.39\,\mathrm{g}$이다.

발생하는 아세틸렌 부피는 약 382L이다.
반응식 $\mathrm{CaC_2 + 2H_2O \rightarrow C_2H_2 + Ca(OH)_2}$에서 CaC₂와 C₂H₂는 1:1 몰비이므로, CaC₂ 1000g을 분자량 64로 나누면 $n=\dfrac{1000}{64}=15.625\ \mathrm{mol}$의 아세틸렌이 생긴다.
이상기체 법칙으로 부피를 구하면 $V=\dfrac{nRT}{P}=\dfrac{15.625\times0.082\times298}{1}\approx 382\ \mathrm{L}$이다.

이 마노미터의 눈금은 약 73.5cmHg이다.
끝이 열린 마노미터는 대기압을 기준으로 한 계기압력을 읽으며, 측정 지점의 계기압력은 물기둥 10m에 해당하는 압력이다.
수은의 비중이 13.6이므로 같은 압력을 수은주 높이로 환산하면 $h_{Hg} = \dfrac{10\,\mathrm{m}}{13.6} \approx 0.735\,\mathrm{m} = 73.5\,\mathrm{cmHg}$가 된다.

건조공기 1몰당 증가한 수분 몰수는 약 0.22이다.
들어갈 때는 이슬점 12℃의 포화증기압 10mmHg가 수분 분압이므로 건조공기 분압은 $760-10=750\,\mathrm{mmHg}$이고 수분/건조공기 비는 $10/750=0.0133$이다.
나올 때는 이슬점 58℃의 포화증기압 140mmHg가 수분 분압이므로 건조공기 분압은 $740-140=600\,\mathrm{mmHg}$이고 비는 $140/600=0.2333$이며, 두 값의 차이는 $0.2333-0.0133 \approx 0.22$이다.

엔탈피는 세기 성질이 아니라 물질의 양에 비례하는 크기 성질(extensive property)이다.
온도·압력·화학포텐셜은 계의 크기와 무관하게 정의되는 세기 성질이지만, 엔탈피는 몰수나 질량에 비례해 값이 달라지므로(몰엔탈피처럼 나누어야 세기 성질이 된다) 나머지 셋과 구분된다.

A 공기 100kg 당 B 공기 50kg을 섞으면 된다.
그림은 습도 0.01 g H2O/g air 인 A 와 0.1 g H2O/g air 인 B 가 합류해 0.04 g H2O/g air 인 C 로 빠져나가는 혼합 흐름이다.
건조공기 기준으로 수분수지를 세우면 $100\times0.01+0.1B=(100+B)\times0.04$ → $1+0.1B=4+0.04B$ → $0.06B=3$ → $B=50\ \mathrm{kg}$ 이다.
지렛대 법칙으로도 같다 — 혼합 습도 0.04 에서 각 흐름까지 거리비가 (0.04−0.01):(0.1−0.04)=1:2 이므로 질량비는 그 역수인 A:B=2:1, 곧 B=50kg 이다.

산소의 압력은 1/4atm이다.
같은 온도·부피에서 압력은 몰수에 비례하고 몰수는 질량을 분자량으로 나눈 값이므로, 질량이 같을 때 압력비는 분자량에 반비례한다.
$\dfrac{P_{O_2}}{P_{H_2}} = \dfrac{M_{H_2}}{M_{O_2}} = \dfrac{2}{32} = \dfrac{1}{16}$이므로 $P_{O_2} = 4 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4}\ \mathrm{atm}$이다.

열전달속도÷면적(열유속)은 단위가 $\mathrm{W/m^2}$로 온도 차원이 없어 나머지 셋과 단위가 다르다.
열전도도÷길이, 총괄열전달계수, 열유속÷온도는 모두 $\mathrm{W/(m^2 \cdot K)}$ 차원을 가져 서로 같은 단위를 갖는다.

전열속도는 온도차의 크기에 비례한다는 것이 Fourier 법칙의 핵심 내용이다.
Fourier 법칙은 $q = -kA\dfrac{dT}{dx}$로 표현되며, 전열속도(q)는 열전도도(k)·전열면적(A)·온도구배 모두에 비례한다. 따라서 전열속도가 열전도도에 반비례한다는 설명은 틀렸다.
또 열플럭스 $q/A = -k\dfrac{dT}{dx}$는 전열면적과 무관하므로 면적에 반비례하지 않으며, 표면계수는 대류(뉴턴의 냉각법칙)에서 쓰는 값이라 Fourier 법칙과는 관계가 없다.

이 열교환기의 총괄열전달계수는 약 5.5cal/(m²·s·℃)이다.
물이 얻은 열량은 $Q = 100\,\mathrm{g/s}\times 1\,\mathrm{cal/g℃}\times(40-20)℃ = 2000\,\mathrm{cal/s}$이며, 고온 유체가 잃은 열량 $10\times10\times(80-60)=2000\,\mathrm{cal/s}$과 일치한다.
병류에서는 두 유체가 같은 쪽으로 들어가므로 입구 쪽 온도차는 $\Delta T_1 = 80-20=60℃$, 출구 쪽은 $\Delta T_2 = 60-40=20℃$이고, 대수평균온도차는 $\mathrm{LMTD} = \dfrac{60-20}{\ln(60/20)} \approx 36.4℃$이다.
$Q = UA\cdot\mathrm{LMTD}$에서 $U = \dfrac{2000}{10 \times 36.4} \approx 5.5\ \mathrm{cal/(m^2 \cdot s \cdot ℃)}$이다.

비누처럼 치밀한 고체는 감률건조기간에 아래로 볼록한(원점 쪽으로 휘는) D 곡선을 그린다.
그림은 가로축이 함수율(왼쪽 끝이 평형함수율 we, 오른쪽 끝이 임계함수율 wc), 세로축이 건조속도 dw/dθ 이며, 임계함수율 아래 구간의 거동을 네 형태로 비교한 것이다.
다공질 고체는 모세관 힘이 표면까지 수분을 계속 끌어올려 건조속도가 함수율에 거의 비례하는 직선이나 위로 볼록한 곡선을 그리지만, 비누·젤라틴처럼 치밀한 고체는 수분 이동이 내부 액체확산에만 의존한다.
그래서 임계함수율을 지나자마자 표면이 말라 속도가 급격히 떨어지고, 낮은 함수율 구간에서는 바닥에 붙은 채 아주 천천히 평형함수율로 접근한다 — 곡선이 아래로 볼록하게 나타나는 이유다.

농축조작선(정류부 조작선)의 기울기는 R/(R+1) 이다.
탑상부 물질수지에서 $V=L+D$, 환류비 $R=L/D$ 이므로 조작선은 $y_{n+1}=\dfrac{L}{V}x_n+\dfrac{D}{V}x_D=\dfrac{R}{R+1}x_n+\dfrac{x_D}{R+1}$ 로 정리된다.
즉 기울기는 환류비만으로 결정되고 y절편은 $\dfrac{x_D}{R+1}$ 이다. 탑저 제품 몰분율 $x_W$ 는 탈거부(회수부) 조작선에 들어가는 값이라 농축부와 무관하고, $\dfrac{x_D}{R+1}$ 은 기울기가 아니라 절편이다.

볼밀의 회전수(임계속도)는 밀 지름이 클수록 오히려 작아지므로, 지름이 클수록 회전수가 커진다는 설명은 틀렸다.
볼밀의 임계 회전속도는 지름의 제곱근에 반비례하는 관계($n_c \propto 1/\sqrt{D}$)를 가지기 때문이다.

이 배관의 마찰손실은 약 50kgf·m/kg이다.
패닝 마찰계수를 쓰는 마찰손실식은 $h_f = 4f\dfrac{L}{D}\cdot\dfrac{v^2}{2g}$이다.
수치를 대입하면 $h_f = 4\times0.005\times\dfrac{100}{0.1}\times\dfrac{7^2}{2\times9.8} = 0.02\times1000\times2.5 = 50\,\mathrm{kgf{\cdot}m/kg}$이다.

기체의 동점도는 압력이나 밀도가 변하면 함께 달라지므로, 압력·밀도 변화와 무관하다는 설명은 틀렸다.
동점도는 $\nu = \mu/\rho$로 정의되는데, 기체의 점도($\mu$)는 압력에 거의 무관해도 밀도($\rho$)는 이상기체 법칙에 따라 압력에 비례해 변하므로 그 비인 동점도는 압력·밀도 변화에 영향을 받는다.

선택도를 실제로 계산하면 21 이 나오므로 선택도가 2.1이라는 서술이 틀렸다.
삼각선도에서 읽으면 추출상 E는 추질 0.3·원용매 0.1(추제 0.6), 추잔상 R은 추질 0.1·원용매 0.7(추제 0.2)이다.
분배계수 $K=\dfrac{y_A}{x_A}=\dfrac{0.3}{0.1}=3$
선택도 $\beta=\dfrac{y_A/y_B}{x_A/x_B}=\dfrac{0.3/0.1}{0.1/0.7}=3\times 7=21$
따라서 분배계수 3 은 옳은 서술이고, 나머지 두 서술도 다음과 같이 성립한다.
혼합점 M이 대응선 E–R 위에 있으므로 지레법칙에서 $E=(F+S)\dfrac{\overline{MR}}{\overline{ER}}$ 이다.
추출율은 추출상으로 넘어간 추질량을 추료의 추질량으로 나눈 값이므로 $\dfrac{(F+S)\overline{MR}\times 0.3}{\overline{ER}\times 0.5F}$ 로 표현된다.

촉매층 세공에서의 실제 유속은 0.5m/s이다.
공탑유속(겉보기 유속)은 빈 단면 전체를 흐른다고 가정한 값이므로, 실제로 유체가 흐르는 공극 단면만 고려하면 $v_{pore} = \dfrac{v_{superficial}}{\varepsilon} = \dfrac{0.2}{0.4} = 0.5\,\mathrm{m/s}$가 된다.

다단제어(cascade control)는 종속(부)루프의 응답이 주루프보다 충분히 빨라야 외란을 신속히 흡수해 주변수에 영향을 주기 전에 보정할 수 있다.
종속제어기의 출력이 아니라 주제어기의 출력이 종속제어기의 설정점으로 작용한다.
다단제어의 주된 목적은 종속루프를 통해 들어오는 외란을 조기에 보상하는 것이다.
종속제어기는 일반적으로 피드백(PID) 방식으로 동작하며 피드포워드 알고리즘을 쓰는 것이 아니다.

피드포워드 제어기는 피드백 경로 없이 외란을 미리 보상하는 개루프 요소이므로, 폐루프 시스템의 안정도에 주된 영향을 주지는 않는다.
폐루프의 안정도는 피드백 제어기가 결정하며, 피드포워드는 안정도와 무관하게 외란 보상 성능만 개선한다.
lead-lag 보상기로 설계하거나 피드백 제어기와 함께 구성되는 것, 공정의 정적·동적 모델에 근거해 설계되는 것은 모두 실제 피드포워드 제어의 특징이다.

이 장치의 이득(gain)은 0.04mA/psig이다.
이득은 출력 범위 변화량을 입력 범위 변화량으로 나눈 값이므로 $\dfrac{20-4}{400-0} = \dfrac{16}{400} = 0.04\,\mathrm{mA/psig}$이다.

높이 A, 폭 m 인 사각 펄스이므로 라플라스 변환은 $\dfrac{A}{s}\left(1-e^{-ms}\right)$ 이다.
그림의 함수는 t=0 에서 A 로 뛰어올랐다가 t=m 에서 0 으로 떨어진다. 계단함수로 쓰면 $f(t)=A\,u(t)-A\,u(t-m)$ 이다.
각 항을 변환하면 $\mathcal{L}[A\,u(t)]=\dfrac{A}{s}$ 이고, 시간지연 정리로 $\mathcal{L}[A\,u(t-m)]=\dfrac{A}{s}e^{-ms}$ 이므로
$F(s)=\dfrac{A}{s}-\dfrac{A}{s}e^{-ms}=\dfrac{A}{s}(1-e^{-ms})$
펄스 면적이 Am 이라는 점으로 검산해도 $\lim_{s\to 0}F(s)=Am$ 이 되어 맞는다. 분모에 s가 없거나 s가 곱해진 형태는 이 검산을 통과하지 못한다.

비례-미분(PD) 제어장치의 전달함수는 $K(1+\tau s)$ 이다.
PD 동작은 비례항과 미분항의 합이므로 출력이 $p(t)=K\left(e+\tau\dfrac{de}{dt}\right)$ 이고, 이를 라플라스 변환하면 $\dfrac{P(s)}{E(s)}=K(1+\tau s)$ 가 된다.
나머지 형태는 각각 다른 제어기다.
$K\tau s$ — 비례항이 없는 순수 미분동작
$K\left(1+\dfrac{1}{\tau s}\right)$ — 비례-적분(PI)
$K\left(1+\tau_1 s+\dfrac{1}{\tau_2 s}\right)$ — 비례-적분-미분(PID)

단위계단응답은 $y(t) = 1 - e^{-0.5t}$이다.
$G(s)=\dfrac{1}{2s+1}$에 단위계단 입력 $R(s)=1/s$를 곱하면 $Y(s) = \dfrac{1}{s(2s+1)} = \dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s+0.5}$로 부분분수 전개되고, 이를 역라플라스 변환하면 $y(t) = 1 - e^{-0.5t}$가 된다.

Q(t)만 변할 때의 전달함수는 $\dfrac{1/wC}{\tau s+1}$ 이다.
블록선도를 보면 두 입력이 각각 1차계를 거쳐 합산점에서 (+)로 더해진다. 위 경로는 $T_i'(s)$ 가 $\dfrac{1}{\tau s+1}$ 을, 아래 경로는 $Q(s)$ 가 $\dfrac{1/wC}{\tau s+1}$ 을 지나므로 $T'(s)=\dfrac{1}{\tau s+1}T_i'(s)+\dfrac{1/wC}{\tau s+1}Q(s)$ 이다.
여기서 $T_i'(t)=0$ 이면 앞항이 사라져 $\dfrac{T'(s)}{Q(s)}=\dfrac{1/wC}{\tau s+1}$ 만 남는다. 두 경로를 그대로 더한 형태나 분모가 $(\tau s+1)^2$ 인 형태는 이 선도의 병렬 구조와 맞지 않는다.

시간상수가 가장 큰 $\dfrac{1}{s+1}$ 의 계단응답이 가장 느리다.
1차계는 $G(s)=\dfrac{K}{\tau s+1}$ 형태로 고쳐 시간상수 $\tau$ 를 읽는다. 계단응답이 최종값의 63.2%에 도달하는 시간이 곧 $\tau$ 이므로 $\tau$ 가 클수록 느리게 움직인다.
보기들을 표준형으로 정리하면 이렇게 된다.
$\dfrac{1}{s+1}=\dfrac{1}{1\cdot s+1}$ → $\tau=1$
$\dfrac{1}{s+2}=\dfrac{0.5}{0.5s+1}$ → $\tau=0.5$
$\dfrac{2}{s+2}=\dfrac{1}{0.5s+1}$ → $\tau=0.5$
$\dfrac{2}{s+3}=\dfrac{2/3}{(1/3)s+1}$ → $\tau=1/3$

초기치정리를 쓰면 1 이다.
초기치정리는 $\lim_{t\to 0}f(t)=\lim_{s\to\infty}s\,f(s)$ 이다.
주어진 $f(s)=\dfrac{(s+1)(s+2)}{s(s+3)(s-4)}$ 를 대입하면
$\lim_{s\to\infty}s\cdot\dfrac{(s+1)(s+2)}{s(s+3)(s-4)}=\lim_{s\to\infty}\dfrac{s^2+3s+2}{s^2-s-12}=1$
분자·분모의 최고차항이 모두 $s^2$ 이고 계수가 1로 같으므로 극한값은 1 이 된다. 최종치정리($s\to 0$)와 헷갈리지 않는 것이 핵심이다.

양의 실수부를 갖는 복소수근은 진폭이 점점 커지는 진동, 즉 진동 발산 응답을 의미한다.
음의 실수근은 진동이 아니라 지수적으로 감소하는 비진동 수렴 응답을 나타낸다.
양의 실수근은 진동 없이 지수적으로 증가하는 비진동 발산 응답을 나타낸다.
음의 실수부를 갖는 복소수근은 진폭이 점점 작아지는 진동 수렴 응답을 나타낸다.

A요소의 전달함수는 $-\dfrac{1}{S+4}$ 이다.
위 선도는 R이 단일 블록을 지나므로 $C=\dfrac{S+3}{S+4}R$ 이고, 아래 선도는 R이 A를 지난 신호와 R 자신이 합산점에서 (+)(+)로 더해지므로 $C=AR+R=(A+1)R$ 이다.
두 선도가 등가이려면 $A+1=\dfrac{S+3}{S+4}$ 여야 하므로
$A=\dfrac{S+3}{S+4}-1=\dfrac{(S+3)-(S+4)}{S+4}=-\dfrac{1}{S+4}$

미분시간과 적분시간이 모두 1/3 이다.
PID 제어기의 표준형은 $K_c\left(1+\tau_D s+\dfrac{1}{\tau_I s}\right)$ 이므로, 주어진 $K_c\left(1+\dfrac{1}{3}s+\dfrac{3}{s}\right)$ 와 항끼리 맞춰 보면 된다.
미분항: $\tau_D s=\dfrac{1}{3}s$ → $\tau_D=\dfrac{1}{3}$
적분항: $\dfrac{1}{\tau_I s}=\dfrac{3}{s}$ → $\tau_I=\dfrac{1}{3}$
미분시간은 s의 계수를 그대로 읽지만 적분시간은 분모에 들어 있어 계수 3의 역수를 취해야 한다는 점이 함정이다.

미리 도로 정보를 받아 그에 맞춰 운전하는 방식은 실제 결과(오차)를 측정하지 않고 사전 정보로 대응한다는 점에서 앞먹임제어(feedforward control)에 해당한다.
되먹임제어는 실제 출력(주행 결과)을 측정해 오차를 보정하는 방식이므로, 눈을 가려 결과를 볼 수 없는 이 상황과는 맞지 않는다.

그림의 응답에 대한 라플라스 함수는 $\dfrac{1-e^{-10s}}{s^2}$ 이다.
그림은 t=0 부터 기울기 1로 직선 상승해 t=10 에서 x=10 에 도달한 뒤 계속 10 으로 유지되는 형태다. 두 램프의 차로 쓰면 $x(t)=t\,u(t)-(t-10)\,u(t-10)$ 이다.
램프의 변환 $\mathcal{L}[t]=\dfrac{1}{s^2}$ 에 시간지연 정리를 적용하면
$X(s)=\dfrac{1}{s^2}-\dfrac{e^{-10s}}{s^2}=\dfrac{1-e^{-10s}}{s^2}$
여기에 $10\dfrac{e^{-10s}}{s}$ 를 더한 형태는 t=10 이후 값이 20 이 되어 그림과 어긋나고, 분자가 $10$ 인 형태는 기울기가 10 이 되어 맞지 않는다.

총괄전달함수의 시상수는 원래 공정보다 줄어든다.
선도는 R이 (+)(−) 합산점을 지나 이득 K와 공정 $\dfrac{1}{2s+1}$ 을 거쳐 C가 되고, C가 그대로 되먹임되는 단위 되먹임계다. 따라서 $\dfrac{C}{R}=\dfrac{K\cdot\frac{1}{2s+1}}{1+K\cdot\frac{1}{2s+1}}=\dfrac{K}{2s+1+K}$ 이다.
이를 1차계 표준형으로 정리하면 $\dfrac{K/(1+K)}{\frac{2}{1+K}s+1}$ 이므로 새 시상수는 $\tau'=\dfrac{2}{1+K}$ 이다.
원래 공정의 시상수 $\tau=2$ 와 비교하면 K>0 인 한 항상 $\tau'<\tau$ 다. 되먹임 제어를 걸면 응답이 빨라지는 이유가 바로 이것이다.

제어편차 e가 최대일 것이라는 서술이 틀렸다 — 최적 제어의 목표는 편차를 최소로 만드는 것이다.
제어 성능은 설정값과 측정값의 차이인 편차 e를 얼마나 작게 유지하느냐로 평가한다. 그래서 성능지수도 $\int_0^\infty |e|\,dt$(IAE), $\int_0^\infty e^2\,dt$(ISE), $\int_0^\infty t|e|\,dt$(ITAE)처럼 편차의 누적량을 최소화하는 형태로 정의된다.
나머지는 모두 좋은 제어의 조건이다: 응답의 진동이 작을 것, 오버슈트가 작을 것, 그리고 시간가중 절대편차 적분 $\int_0^\infty t|e|\,dt$ 가 최소일 것.

제어오차를 계산하는 기능은 제어기(controller) 안에서 이뤄진다.
측정요소(센서)는 공정변수를 측정만 하고, 최종제어요소는 제어기의 출력에 따라 조작량을 실행할 뿐이며, 설정값과 측정값을 비교해 오차를 산출하는 연산은 제어기의 역할이다.

비례제어기만 있어도 공정 자체가 적분요소이기 때문에, 공정 앞(제어기 출력쪽)으로 들어오는 외란에는 잔류편차가 남고 공정 뒤(출력쪽)로 들어오는 외란에는 잔류편차가 남지 않는다.
블록선도를 보면 D1은 제어기 Kc 다음이자 공정 $G=\dfrac{e^{-\theta s}}{s}$ 앞의 합점으로 들어오고, D2는 공정을 지난 출력쪽 합점으로 들어온다. 따라서 $\dfrac{Y}{D_1}=\dfrac{G}{1+K_cG}$, $\dfrac{Y}{D_2}=\dfrac{1}{1+K_cG}$ 이다.
계단외란 $1/s$ 에 최종값 정리를 적용하면 적분요소이므로 $s\to 0$ 에서 $G\to\infty$ 가 되어
D1: $y(\infty)=\lim_{s\to0}\dfrac{G}{1+K_cG}=\dfrac{1}{K_c}\neq 0$ → offset 있음
D2: $y(\infty)=\lim_{s\to0}\dfrac{1}{1+K_cG}=0$ → offset 없음
즉 적분공정에서 출력단 외란은 비례제어만으로도 완전히 제거되지만, 공정 입력단 외란은 Kc를 아무리 키워도 1/Kc 만큼의 편차가 남는다.

입력이 계단으로 뛴 뒤 출력이 L/V 만큼 늦게 똑같은 크기의 계단으로 따라 올라가므로, 모양은 그대로이고 시간만 밀리는 데드타임(수송지연) 응답이다.
그림의 위쪽은 시간 0에서 일정값으로 뛰어 그대로 유지되는 입력이고, 아래쪽은 0부터 L/V 까지 전혀 변하지 않다가 그 순간 입력과 같은 높이로 수직 상승해 유지되는 출력이다. 이동거리 L을 속도 V로 지나는 데 걸리는 시간 $\theta=L/V$ 가 그대로 지연시간이 된다.
전달함수로는 $G(s)=e^{-(L/V)s}$ 이며, 컨베이어나 긴 배관을 따라 물질이 흘러가는 동안 측정값이 뒤늦게 나타나는 상황이 대표적이다.
CR회로는 계단입력에 지수적으로 완만히 접근하고, 용수철계는 감쇠 정도에 따라 진동을 동반하며 서서히 정상값에 이르며, 적분요소는 계단입력에 램프로 계속 증가한다. 어느 쪽도 일정 시간 동안 전혀 변하지 않다가 크기 변화 없이 수직으로 뛰어오르지는 않으므로 이 응답과 뚜렷이 구분된다.

시정수 τ(문항의 r) = 0.5, damping factor ζ = 0.4 이다.
2차계 표준형 $G(s)=\dfrac{K}{\tau^{2}s^{2}+2\zeta\tau s+1}$ 과 비교하려면 분모의 상수항을 1로 만들어야 하므로 주어진 $G(s)=\dfrac{10}{s^{2}+1.6s+4}$ 의 분자·분모를 4로 나눈다.
$G(s)=\dfrac{2.5}{0.25s^{2}+0.4s+1}$
계수를 맞추면 $\tau^{2}=0.25$ 에서 $\tau=0.5$, $2\zeta\tau=0.4$ 에서 $\zeta=\dfrac{0.4}{2\times0.5}=$ 0.4 이며 이득은 $K=2.5$ 이다.
ζ가 1보다 작으므로 이 계는 과소감쇠여서 계단입력에 진동하며 정상값에 접근한다.

중성의 물에서는 $[\mathrm{OH^-}]$가 $10^{-7}$으로 고정되므로, 이온화도는 $\alpha = \dfrac{K_b}{K_b+[\mathrm{OH^-}]}$로 구할 수 있다.
$\alpha = \dfrac{10^{-5}}{10^{-5}+10^{-7}} = \dfrac{10^{-5}}{1.01\times10^{-5}} \approx 0.99$이므로 아미노기는 약 99% 이온화된다.

칠레초석(질산나트륨)은 칼륨이 아니라 질소질 비료의 원료이므로 칼륨질 비료 원료와는 거리가 멀다.
간수, 초목재(재), 고로더스트는 모두 칼륨(K) 성분을 포함해 칼륨질 비료의 원료로 쓰인다.