[건설기계설비기사 필기] 18년 2회차 기출문제 정답·해설 페이지

축 방향은 $\varepsilon_x = \dfrac{PD}{4tE}(1-2\nu)$, 원주 방향은 $\varepsilon_y = \dfrac{PD}{4tE}(2-\nu)$인 조합이 옳다.
두께가 지름에 비해 아주 얇은 원통형 압력용기에서 원주(후프) 응력은 $\sigma_y = \dfrac{PD}{2t}$, 축 방향 응력은 그 절반인 $\sigma_x = \dfrac{PD}{4t}$이다.
2축 응력 상태의 훅의 법칙을 적용하면
$\varepsilon_x = \dfrac{1}{E}(\sigma_x - \nu\sigma_y) = \dfrac{1}{E}\left(\dfrac{PD}{4t} - \nu\dfrac{PD}{2t}\right) = \dfrac{PD}{4tE}(1-2\nu)$
$\varepsilon_y = \dfrac{1}{E}(\sigma_y - \nu\sigma_x) = \dfrac{1}{E}\left(\dfrac{PD}{2t} - \nu\dfrac{PD}{4t}\right) = \dfrac{PD}{4tE}(2-\nu)$
두 식 모두 $\dfrac{PD}{4tE}$를 공통으로 갖고 괄호 안만 달라지므로, (1−2ν)와 (2−ν)가 각각 축·원주 방향에 짝지어진 것만 맞다. 두 괄호를 뒤바꾼 조합은 후프 응력이 축 응력의 두 배라는 사실과 어긋난다.

탄성변형에너지의 비는 $\dfrac{U_B}{U_A} = \dfrac{5}{9}$이다.
그림에서 (A)는 길이 l 전체가 지름 d로 균일한 봉이고, (B)는 앞쪽 l/2가 지름 3d, 뒤쪽 l/2가 지름 d인 단붙이 봉이며 둘 다 양단에서 같은 압축하중 P를 받는다. 축하중 봉의 변형에너지는 $U = \dfrac{P^2 l}{2AE}$이고 단면적은 지름의 제곱에 비례하므로 지름 3d 구간의 단면적은 9A가 된다.
$U_A = \dfrac{P^2 l}{2AE} = \dfrac{18P^2 l}{36AE}$
$U_B = \dfrac{P^2 (l/2)}{2(9A)E} + \dfrac{P^2 (l/2)}{2AE} = \dfrac{P^2 l}{36AE} + \dfrac{9P^2 l}{36AE} = \dfrac{10P^2 l}{36AE}$
따라서 $\dfrac{U_B}{U_A} = \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9}$이며, 굵은 구간이 에너지를 거의 저장하지 못해 B가 A보다 작다는 점이 핵심이다.

허용응력은 최대 사용강도를 안전율로 나눈 값이며, 이를 이용해 필요한 최소지름을 구한다.
$\sigma_a = \dfrac{\sigma_u}{S} = \dfrac{400}{5} = 80\ \mathrm{MPa}$
인장하중 P=30kN에 대해 필요한 단면적은 $A = \dfrac{P}{\sigma_a} = \dfrac{30000}{80} = 375\ \mathrm{mm^2}$이다.
원형 단면이므로 $d = \sqrt{\dfrac{4A}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{4\times375}{\pi}} \approx 21.9\ \mathrm{mm} = 2.19\ \mathrm{cm}$가 된다.

직사각형 단면의 최대전단응력은 평균전단응력의 1.5배이므로 12.5 N/cm2이다.
그림은 벽에 고정된 길이 $l = 50\,\mathrm{cm}$의 외팔보 자유단에 $P = 100\,\mathrm{N}$이 아래로 작용하는 형태다. 외팔보의 전단력은 전 구간에서 100 N으로 일정하며, 길이 50 cm는 굽힘응력에만 쓰이고 전단응력 계산에는 들어가지 않는다.
$A = 3 \times 4 = 12\,\mathrm{cm^2}$
$\tau_{max} = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{V}{A} = 1.5 \times \dfrac{100}{12}$
$\tau_{max} = 12.5\,\mathrm{N/cm^2}$
직사각형 단면의 전단응력은 중립축에서 최대인 포물선 분포를 이루므로, 평균값 $V/A \approx 8.33\,\mathrm{N/cm^2}$에 반드시 1.5를 곱해야 한다.

B점에서 처짐 곡선의 기울기각은 $\theta_B = \dfrac{5Pl^2}{9EI}$이다.
그림은 A에서 고정된 외팔보로 A~B가 $l/3$, B~자유단 C가 $2l/3$이며 C에 2P가 아래로 작용한다. 자유단에 하중 W가 걸린 외팔보에서 고정단으로부터 거리 x인 점의 기울기는 $\theta(x) = \dfrac{W}{EI}\left(lx - \dfrac{x^2}{2}\right)$이다.
$W = 2P,\; x = \dfrac{l}{3}$을 대입하면
$\theta_B = \dfrac{2P}{EI}\left(\dfrac{l^2}{3} - \dfrac{l^2}{18}\right) = \dfrac{2P}{EI}\cdot\dfrac{5l^2}{18}$
$\theta_B = \dfrac{5Pl^2}{9EI}$
하중이 P가 아니라 2P라는 점을 놓치면 $\dfrac{5Pl^2}{18EI}$가 나오므로, 하중 크기와 대입 위치 x = l/3을 함께 챙겨야 한다.

평형을 이루는 힘은 F1 = 632.4 N, F2 = 395.2 N이다.
그림에서 F1은 x축의 왼쪽 방향과 60°를 이루며 좌상향, F2는 밑변 4·높이 3·빗변 5인 삼각형의 기울기로 우상향하고, 784.8 N은 아래로 작용한다. 따라서 F2의 성분비는 수평 4/5, 수직 3/5이다.
x방향 평형: $-F_1\cos 60^\circ + \dfrac{4}{5}F_2 = 0 \;\Rightarrow\; F_1 = 1.6F_2$
y방향 평형: $F_1\sin 60^\circ + \dfrac{3}{5}F_2 = 784.8$
$(1.6 \times 0.866 + 0.6)F_2 = 1.986F_2 = 784.8$
정리하면 $F_2 \approx 395.2\,\mathrm{N}$, $F_1 = 1.6 \times 395.2 \approx 632.4\,\mathrm{N}$가 되어 수직 성분을 더 많이 부담하는 F1이 F2보다 큰 조합이 답이다.

원형 단면축이 비틀림을 받을 때 저장되는 탄성 변형에너지는 T²L/(2GI_P) 형태이며, 이는 비틀림 에너지의 표준 공식이다.
이 식은 토크와 비틀림각의 관계에서 유도된다. 비틀림을 받는 축에서 토크 T와 비틀림각 θ의 관계는
$T = GI_P\frac{\theta}{L}$
이므로, 비틀림각은
$\theta = \frac{TL}{GI_P}$
탄성 변형에너지는 $U = \frac{1}{2}T\theta$로 정의되므로, 이를 대입하면
$U = \frac{1}{2}T \cdot \frac{TL}{GI_P} = \frac{T^2L}{2GI_P}$

축의 최대 허용 토크는 전단응력 조건과 회전각도 조건 중 더 작은 값으로 결정된다. 두 조건 중 더 작은 값인 1696 Nㆍm이 최대 허용 토크이므로, 전단응력 조건이 먼저 제한 요소가 된다.
전단응력 조건에서 토크는
$T_1 = \frac{\tau_{allow} \times I_p}{r}$
여기서 극관성모멘트
$I_p = \frac{\pi d^4}{32} = \frac{\pi \times 0.06^4}{32} = 1.272 \times 10^{-6} \text{ m}^4$
반지름 $r = 0.03 \text{ m}$이므로
$T_1 = \frac{40 \times 10^6 \times 1.272 \times 10^{-6}}{0.03} = 1696 \text{ Nㆍm}$
회전각도 조건에서 단위 길이당 회전각은 $\theta/L = \frac{T}{GI_p}$이므로, 1m에서 허용각도가 1.5° = 0.0262 rad일 때
$T_2 = GI_p \times \frac{\theta}{L} = 80 \times 10^9 \times 1.272 \times 10^{-6} \times 0.0262 = 2664 \text{ Nㆍm}$

두 단의 수축량을 합하면 약 0.00625mm이다.
그림은 위쪽 단면적 A1=1000mm2, 아래쪽 A2=2000mm2인 2단 기둥이며 각 단의 길이는 모두 L/2=150mm이고, 꼭대기 중심에 P=2500N의 압축하중이 아래로 작용한다.
직렬로 이어진 부재의 수축량은 $\delta=\sum \dfrac{PL_i}{A_iE}$이고 E=90GPa=90000N/mm2이다.
위쪽 단: $\dfrac{2500\times150}{1000\times90000}=0.004167\,\mathrm{mm}$
아래쪽 단: $\dfrac{2500\times150}{2000\times90000}=0.002083\,\mathrm{mm}$
두 값을 더하면 0.004167+0.002083=0.00625mm다. 하중과 길이가 같으므로 단면적이 2배인 아래쪽 단의 수축량이 위쪽의 정확히 절반이 된다는 점이 계산의 핵심이며, 길이를 L/2가 아닌 L로 잘못 잡으면 0.0125mm가 나와 보기에 없는 값이 된다.

단순보의 등분포하중에 의한 최대 굽힘응력으로부터 등분포하중 q를 구하는 문제이다.
단면계수는 $Z=\dfrac{bh^2}{6}=\dfrac{40\times100^2}{6}\approx 66667\ \mathrm{mm^3}$이다.
최대굽힘모멘트는 $M_{max}=\sigma_{max}\times Z = 337.5\times66667 \approx 22.5\times10^{6}\ \mathrm{N\cdot mm}=22.5\ \mathrm{kN\cdot m}$이다.
단순보 등분포하중에서 $M_{max}=\dfrac{qL^2}{8}$이므로 $q=\dfrac{8M_{max}}{L^2}=\dfrac{8\times22.5}{6^2}=5\ \mathrm{kN/m}$이다.

양단힌지 원형강 장주의 좌굴임계하중은 오일러 공식으로 구한다.
단면 2차모멘트는 $I=\dfrac{\pi d^4}{64}=\dfrac{\pi\times0.1^4}{64}\approx4.91\times10^{-6}\ \mathrm{m^4}$이다.
양단힌지이므로 유효길이는 L 그대로이고, $P_{cr}=\dfrac{\pi^2 EI}{L^2}=\dfrac{\pi^2\times200\times10^{9}\times4.91\times10^{-6}}{15^2}\approx43000\ \mathrm{N}\approx43\ \mathrm{kN}$이다.

축이 전달하는 동력과 회전속도로부터 토크를 구하고, 이를 통해 최대전단응력을 계산한다.
각속도는 $\omega=2\pi n=2\pi\times26.5\approx166.5\ \mathrm{rad/s}$이고, 토크는 $T=\dfrac{P}{\omega}=\dfrac{26500}{166.5}\approx159.2\ \mathrm{N\cdot m}$이다.
원형축의 최대전단응력은 $\tau_{max}=\dfrac{16T}{\pi d^3}=\dfrac{16\times159.2}{\pi\times0.03^3}\approx30\times10^{6}\ \mathrm{Pa}=30\ \mathrm{MPa}$이다.

하중 작용점까지는 전단력이 0이고 그 지점부터 고정단까지 크기 P로 일정한 계단(직사각형) 모양의 선도가 옳다.
그림은 왼쪽이 자유단, 오른쪽이 벽에 고정된 외팔보이며 스팬 중간쯤에 아래 방향으로 집중하중 P가 작용하고, 아랫방향을 양(+)으로 잡는다는 부호 약속이 함께 표시되어 있다.
자유단에서 하중점 사이를 자르면 왼쪽에 아무 힘도 없으므로 $V=0$이고, 하중점을 지난 뒤에는 왼쪽에 아래로 향하는 P만 남으므로 $V=P$로 일정하다. 따라서 하중점에서 기준선 위로 P만큼 수직으로 뛰어오른 뒤 벽까지 평평하게 이어지는 모양이 된다.
전 구간에 걸쳐 값이 P로 일정한 선도는 자유단 바로 옆에도 전단력이 있다는 뜻이라 성립하지 않는다.
하중점부터 비스듬한 직선으로 P까지 커지는 선도나 곡선으로 서서히 증가하는 선도는 집중하중이 아니라 등분포하중·변분포하중이 걸렸을 때의 모양이다. 집중하중은 그 점에서 값이 한 번에 뛰어야 한다.

평면응력 상태의 주변형률은 변형률원 공식으로 구한다.
$\varepsilon_{1,2}=\dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}$
평균값은 $\dfrac{-150-280}{2}=-215\times10^{-6}$이고, 편차항은 $\sqrt{65^2+425^2}\times10^{-6}\approx430\times10^{-6}$이다.
따라서 $\varepsilon_1\approx215\times10^{-6}$, $\varepsilon_2\approx-645\times10^{-6}$이 된다.

연강봉의 신장량은 후크의 법칙으로 구한다.
단면적은 $A=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{\pi\times20^2}{4}\approx314.2\ \mathrm{mm^2}$이다.
$\delta=\dfrac{PL}{AE}=\dfrac{50000\times1000}{314.2\times210000}\approx0.758\ \mathrm{mm}$이다.

도심축 Z에 대한 회전반경은 $k_z=\sqrt{\dfrac{ht^3+Hb^3-hb^3}{12(bH-bh+th)}}$이다.
그림의 단면은 가로 전체 폭이 H, 세로 높이가 b인 사각형에서 안쪽 폭 h·높이 b인 부분을 파내고 그 자리에 두께 t인 가로 웨브를 남긴 형상이며, Z축은 그 웨브를 지나는 수평 도심축이다.
단면 2차 모멘트는 큰 사각형에서 파낸 부분을 빼고 웨브를 더해 $I_z=\dfrac{Hb^3}{12}-\dfrac{hb^3}{12}+\dfrac{ht^3}{12}$, 단면적은 $A=bH-bh+th$가 된다.
회전반경 정의 $k=\sqrt{I/A}$에 대입하면 분자가 ht3+Hb3-hb3, 분모가 12(bH-bh+th)인 형태로 정리된다. 12는 단면 2차 모멘트에서만 나오므로 분모에만 붙어야 하고, 파낸 부분은 반드시 뺄셈으로 들어가야 한다는 점이 오답과의 갈림길이다.

한쪽이 단순지지, 반대쪽이 고정된 보의 등분포하중 최대처짐은 $\delta_{max}=\dfrac{wL^4}{184.6EI}$이다.
그림에서 왼쪽 A는 삼각형 기호의 단순지지(반력 화살표 표시), 오른쪽 B는 빗금으로 표시한 고정단이고 스팬 L(m) 전체에 w(N/m)의 등분포하중이 아래로 작용하는 일단고정 타단지지보다.
1차 부정정보이므로 고정단에 $M_B=\dfrac{wL^2}{8}$의 반력모멘트가 생기고, 이를 반영해 처짐곡선을 풀면 최대처짐은 단순지지단에서 약 0.4215L 떨어진 곳에 나타나며 그 크기가 $\dfrac{wL^4}{184.6EI}$로 정리된다.
분모 64인 식은 양단 단순지지일 때의 $\dfrac{5wL^4}{384EI}=\dfrac{wL^4}{76.8EI}$보다도 큰 처짐이다. 한쪽을 고정해 구속을 늘렸는데 오히려 더 처진다는 모순이라 성립할 수 없다.
분모 192는 양단 고정보에 집중하중이 걸렸을 때의 PL3/192EI에서 온 숫자다. 하중 형태도 지지조건도 달라 이 문제에 쓸 수 없다.
등분포하중 최대처짐의 분모는 지지조건이 단단해질수록 76.8(양단 단순) → 184.6(일단고정 타단지지) → 384(양단 고정)로 커진다. 이 순서만 외워두면 보기에서 바로 골라낼 수 있다.

양단 단순지지보에 등분포하중이 걸린 경우 중앙 최대처짐은 $\delta_{max}=\dfrac{5\omega l^4}{384EI}$이다.
그림은 왼쪽에 힌지(삼각형), 오른쪽에 롤러(원)가 놓인 스팬 l의 단순보이고, 전 길이에 걸쳐 ω의 등분포하중이 아래로 작용한다.
탄성곡선식을 두 번 적분하고 양단 처짐이 0인 조건을 넣으면 x=l/2에서 최댓값이 나오며, 분자에 하중 ω와 길이의 4제곱, 분모에 384EI가 오는 형태가 된다.
길이가 3제곱인 식(ωl3/48EI 등)은 단순보 중앙에 집중하중이 걸렸을 때의 Pl3/48EI 꼴에서 온 형태다. 분포하중 ω(N/m)를 그 자리에 넣으면 차원이 맞지 않는다.
ωl4/24EI는 5ωl4/384EI(=ωl4/76.8EI)의 3배가 넘는 값이라 단순보의 처짐으로는 과대하다.

핀이 2면 전단을 받으므로 전단응력은 약 12.73MPa이다.
그림에서 가운데 링크(폭 4cm)를 양쪽에서 폭 1.5cm짜리 링크 두 장이 감싸고, 그 셋을 지름 1cm의 핀 하나가 관통한다. 하중 P=2000N이 가운데 링크를 위로 당기고 바깥 두 링크가 반대로 받치므로 핀은 두 곳의 단면에서 잘린다.
핀 한 단면의 면적: $A=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{\pi\times10^2}{4}=78.54\,\mathrm{mm^2}$
전단응력: $\tau=\dfrac{P}{2A}=\dfrac{2000}{2\times78.54}=12.73\,\mathrm{MPa}$
전단면이 두 곳이라는 점을 놓치고 $P/A$로 계산하면 25.5MPa가 나오므로, 겹치기 방식이 1면 전단인지 2면 전단인지를 그림에서 먼저 확인하는 것이 이 유형의 핵심이다.

최대 굽힘모멘트는 지점 바로 위에서 생기며 크기는 5kN·m이다.
그림의 보는 전체 길이 4m로 양 끝에 5kN의 집중하중이 아래로 작용하고, 두 롤러 지점은 각 끝에서 1m 안쪽에 있으며 지점 사이 2m 구간에만 2kN/m의 등분포하중이 걸린 내민보다.
좌우 대칭이므로 반력은 $R=\dfrac{5+5+2\times2}{2}=7\,\mathrm{kN}$이다.
지점 단면의 모멘트: $M=-5\times1=-5\,\mathrm{kN\cdot m}$
중앙 단면의 모멘트: $M=-5\times2+7\times1-2\times1\times0.5=-4\,\mathrm{kN\cdot m}$
내민 부분의 하중이 만드는 부(-)의 모멘트가 지점에서 최대가 되고 중앙으로 가면서 등분포하중의 정(+) 효과로 오히려 줄어들기 때문에, 절댓값이 가장 큰 지점 위 5kN·m가 최대 굽힘모멘트가 된다.

공급된 연료의 열량 대비 실제 얻은 동력의 비가 열효율이다.
연료의 시간당 발열량은 $Q=20\times43470=869400\ \mathrm{kJ/h}$이고, 이를 초당으로 환산하면 $\dfrac{869400}{3600}\approx241.5\ \mathrm{kW}$이다.
열효율은 $\eta=\dfrac{74}{241.5}\approx0.31=31\%$이다.

줄-톰슨 계수는 등엔탈피 과정에서 온도변화와 압력변화의 비 $\mu_J=\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_h$로 정의된다.
교축과정에서는 압력이 항상 감소하므로 압력변화 dP가 음수이고, 이때 $\mu_J$가 음수이면 온도변화 dT는 양수가 되어 온도가 상승함을 의미한다.
줄-톰슨 계수는 정적과정이 아니라 등엔탈피 과정에서 정의되는 값이라는 점에 유의해야 한다.

내부에너지 변화와 외부에 한 일로부터 가해진 열량을 구한다.
열역학 제1법칙 $Q=\Delta U+W$에서 $\Delta U=50-30=20\ \mathrm{kJ}$, $W=10\ \mathrm{kJ}$이므로 $Q=20+10=30\ \mathrm{kJ}$이다.

이상기체의 등온과정에서는 내부에너지 변화가 없으므로 외부에 한 일이 곧 흡수한 열량이 된다.
엔트로피 변화는 $\Delta S=\dfrac{Q}{T}=\dfrac{500}{373.15}\approx1.340\ \mathrm{kJ/K}$이다.

전체 엔트로피 변화량은 $\Delta S=\dfrac{Q(T_1-T_2)}{T_1T_2}$이다.
고열원은 열 Q를 잃으므로 $-\dfrac{Q}{T_1}$, 저열원은 같은 Q를 받으므로 $+\dfrac{Q}{T_2}$만큼 엔트로피가 변하고, 두 열원의 온도는 각각 일정하게 유지된다고 본다.
둘을 더해 통분하면 $\Delta S=\dfrac{Q}{T_2}-\dfrac{Q}{T_1}=\dfrac{Q(T_1-T_2)}{T_1T_2}$이며, T1>T2이므로 값이 항상 양(+)이 되어 온도차에 의한 열전달이 비가역 과정이라는 열역학 제2법칙과 일치한다.
Q가 분모로 내려간 식은 단위가 kJ/K가 되지 않아 엔트로피의 차원을 만족하지 못한다.
온도를 더한 (T1+T2) 꼴은 두 온도가 같아질 때 ΔS=0이 되어야 한다는 조건을 만족하지 못한다.

카르노 사이클의 효율은 고열원과 저열원의 절대온도비로 정해진다.
$\eta_{th}=1-\dfrac{T_2}{T_1}=1-\dfrac{298}{773}\approx0.6143$이다.
사이클이 한 일은 $W=\eta_{th}\times Q_1=0.6143\times500\approx307.2\ \mathrm{kJ}$이다.

브레이턴 사이클의 열효율은 순일을 공급열로 나눈 값이다.
순일은 $W_{net}=W_{turbine}-W_{compressor}=406-175=231\ \mathrm{kJ/kg}$이다.
열효율은 $\eta=\dfrac{231}{627}\approx0.37$이다.

카르노 효율의 한계와 비교했을 때 이 열기관은 열역학 제2법칙에 위배된다.
100℃와 30℃ 사이 카르노 효율은 $\eta_c=1-\dfrac{303}{373}\approx0.188$로, 100kJ을 받았을 때 얻을 수 있는 최대 일은 약 18.8kJ에 불과하다.
그런데 실제로는 40kJ의 일을 했다고 하므로 카르노 효율을 초과하는 셈이 되어 제2법칙에 위배된다. 다만 공급열 100kJ 중 40kJ이 일로 나가고 나머지 60kJ이 방출되는 것으로 보면 에너지 수지는 성립하므로 제1법칙에는 위배되지 않는다.

체적은 물질의 양에 비례하는 종량적 상태량이다.
압력, 온도, 밀도는 물질의 양과 무관하게 정해지는 강도성 상태량이다.

습증기의 엔탈피는 건도 x를 이용해 포화액과 포화증기 엔탈피를 가중평균하여 구한다.
$h=h_f+x(h_g-h_f)$이며, 건도 x는 전체 습증기 중 증기가 차지하는 질량비를 나타낸다.

증기압축 냉동사이클의 성능계수(COP)는 냉동효과를 압축일로 나눈 값이다.
냉동효과는 증발기 입출구 엔탈피차인 $387.2-241.8=145.4\ \mathrm{kJ/kg}$이고, 압축일은 $435.1-387.2=47.9\ \mathrm{kJ/kg}$이다.
따라서 $COP=\dfrac{145.4}{47.9}\approx3.0$이다.

옳은 관계식은 $C_p=\dfrac{k}{k-1}R$이다.
이상기체에서는 $C_p-C_v=R$가 성립하고 비열비는 $k=\dfrac{C_p}{C_v}$로 정의된다. $C_v=C_p/k$를 대입하면 $C_p\left(1-\dfrac{1}{k}\right)=R$가 되어 Cp=kR/(k-1)를 얻는다.
Cp=Cv-R은 부호가 반대다. 정압비열은 팽창일만큼 더 커야 하므로 Cp=Cv+R이 맞다.
정적비열은 같은 유도에서 $C_v=\dfrac{R}{k-1}$이며, (k-1)R/k 꼴이 아니다. 분자와 분모가 뒤집혀 있다.
기체상수를 두 비열의 산술평균으로 쓰는 관계는 성립하지 않는다. R은 두 비열의 차이지 평균이 아니다.

가스가 한 일은 약 17kJ이다.
그림은 피스톤 위에 여러 개의 추가 얹혀 아래쪽 가스를 누르고 있는 실린더로, 열을 가하면서 추를 조금씩 덜어내 압력을 낮춰 $PV^{1.3}=\mathrm{const}$를 유지한 폴리트로픽 팽창이다. 초기 P1=300kPa, V1=0.05m3, 최종 V2=0.2m3이다.
최종 압력: $P_2=P_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{n}=300\times(0.25)^{1.3}=49.5\,\mathrm{kPa}$
일: $W=\dfrac{P_1V_1-P_2V_2}{n-1}=\dfrac{300\times0.05-49.5\times0.2}{1.3-1}$
$=\dfrac{15-9.90}{0.3}=17.0\,\mathrm{kJ}$
만약 추를 그대로 두어 정압으로 팽창했다면 300×(0.2-0.05)=45kJ이 나온다. 팽창하면서 압력이 300kPa에서 49.5kPa로 떨어지기 때문에 일이 크게 줄어든다는 점이 이 문제의 요지다.

압력이 체적의 함수로 주어질 때 공기가 한 일은 압력을 체적에 대해 적분하여 구한다.
$W=\int_{V_1}^{V_2}aV^{-2}dV=a\left(\dfrac{1}{V_1}-\dfrac{1}{V_2}\right)=6\left(\dfrac{1}{0.3}-\dfrac{1}{0.1}\right)\approx-40\ \mathrm{kJ}$이다.
부호가 음수인 것은 체적이 줄어드는 압축과정이라 공기가 외부로부터 일을 받았음을 의미한다.

낙하 전후 위치에너지가 모두 마찰에 의한 열로 바뀐다고 보면 온도상승은 낙하 높이와 비열로 계산된다.
비열 4.2kJ/(kg·K)는 4200J/(kg·K)이므로 $\Delta T=\dfrac{gh}{c}=\dfrac{9.81\times55}{4200}\approx0.13\ \mathrm{K}$이다.

타이어 체적이 일정하므로 정적과정으로 보고 절대압력과 절대온도의 비례관계를 이용한다.
초기 절대압력은 $0.183+0.1013=0.2843\ \mathrm{MPa}$, $T_1=293\ \mathrm{K}$, $T_2=353\ \mathrm{K}$이다.
$P_2=P_1\times\dfrac{T_2}{T_1}\approx342.5\ \mathrm{kPa}$이므로 압력 상승량은 $342.5-284.3\approx58\ \mathrm{kPa}$이다.

랭킨 사이클에서 터빈 출구 온도를 높이는 것은 오히려 열효율을 낮추므로 열효율을 높이는 방법이 아니다.
복수기 압력을 낮추거나 보일러 압력을 높이면 평균 열공급온도가 올라가 효율이 개선되고, 재열장치를 사용하면 터빈 출구의 습분을 줄이면서 일량을 늘려 효율이 향상된다.
반면 터빈 출구(배기) 온도를 높이는 것은 복수기 압력이 높아지는 것과 같은 효과로 팽창일이 줄어 열효율이 오히려 낮아진다.

등온과정에서 가열량은 절대온도와 엔트로피 변화량의 곱으로 구한다.
$Q=T\Delta S=T\times m\times\Delta s=500\times2\times(10-3)=7000\ \mathrm{kJ}$이다.

랭킨 사이클은 가역단열압축 → 정압가열 → 가역단열팽창 → 정압냉각의 네 과정으로 구성된다.
펌프에서 단열압축, 보일러에서 정압가열, 터빈에서 단열팽창, 복수기에서 정압냉각(응축)이 순서대로 일어난다.

정압과정에서 기체가 한 일은 이상기체 상태방정식을 이용해 온도차로부터 구할 수 있다.
체적이 2배가 되고 압력이 일정하므로 온도도 2배가 되어 $T_1=423\ \mathrm{K}$, $T_2=846\ \mathrm{K}$이다.
$W=mR(T_2-T_1)=0.2\times0.287\times(846-423)\approx24.3\ \mathrm{kJ}$이다.

제트엔진의 추진력은 배출되는 연소가스와 비행체 속도의 상대속도에 흡기 질량유량을 곱해 구한다.
비행속도는 $888\ \mathrm{km/h}=246.7\ \mathrm{m/s}$이므로, $F=\dot{m}(V_{jet}-V_{aircraft})=30\times(375-246.7)\approx3850\ \mathrm{N}$이다.

경계층의 박리는 하류방향으로 압력기울기가 역으로 되어 압력이 증가하는 구간에서 시작된다.
압력이 유동방향으로 계속 감소하면 유체가 가속되어 박리가 일어나지 않지만, 압력기울기가 역전되어 압력이 증가하면 벽면 근처 유속이 느려지다가 역류가 생기면서 박리가 발생한다.

속도성분이 $u=-3x$, $v=3y$이므로 유선의 방정식은 $\dfrac{dx}{u}=\dfrac{dy}{v}$에서 구한다.
$\dfrac{dx}{-3x}=\dfrac{dy}{3y}\Rightarrow -\ln x=\ln y+C_1\Rightarrow \ln(xy)=C_2$이므로 유선의 방정식은 $xy=C$이다.

속도수두는 유속의 제곱을 중력가속도의 2배로 나눈 값이다.
$h_v=\dfrac{V^2}{2g}=\dfrac{1.4^2}{2\times9.81}\approx0.1\ \mathrm{m}$이다.

층류 원관유동에서 관 중심부의 최대유속은 하겐-푸아죄유 관계식으로 구한다.
$V_{max}=\dfrac{\Delta P\, r^2}{4\mu L}=\dfrac{8000\times0.025^2}{4\times0.4\times1}\approx3.125\ \mathrm{m/s}$이다.

체적탄성계수는 압력변화와 체적변화율의 비로 정의되므로, 가해야 할 압력은 체적탄성계수에 체적감소율을 곱해 구한다.
$\Delta P=K\times\dfrac{\Delta V}{V}=2.086\times10^{9}\times0.01=2.086\times10^{7}\ \mathrm{Pa}$이다.

유속은 약 0.63m/s이다.
그림은 개수로 바닥 근처에 입구를 흐름 방향으로 향하게 꽂은 단순 피토관으로, 관 속 액면이 수로 자유표면보다 Δh=20mm 높이 솟아 있고 관 입구는 자유표면에서 h=30mm 아래에 있다.
피토관 입구는 정체점이므로 속도수두가 그대로 상승높이로 나타나 $\dfrac{V^2}{2g}=\Delta h$가 성립한다.
$V=\sqrt{2g\Delta h}=\sqrt{2\times9.81\times0.02}=0.626\,\mathrm{m/s}$
액주 속 유체와 흐르는 유체가 같은 기름이므로 비중 0.8은 양변에서 소거되어 계산에 들어가지 않고, 잠긴 깊이 h=30mm는 정압으로 관 안팎에 똑같이 걸리므로 속도와 무관하다. 이 두 값을 억지로 곱하거나 더하면 오답으로 빠진다.

노즐을 통해 채워지는 시간은 필요한 부피를 유량으로 나누어 구한다.
노즐 유량은 $Q=A\times V=\dfrac{\pi\times0.02^2}{4}\times0.5\approx1.571\times10^{-4}\ \mathrm{m^3/s}$이다.
휘발유의 부피는 $\dfrac{20}{900}\approx0.0222\ \mathrm{m^3}$이므로 채우는 시간은 $t=\dfrac{0.0222}{1.571\times10^{-4}}\approx141\ \mathrm{s}$이다.

2차원 유동에서 두 유선 사이를 흐르는 유량은 두 점에서의 유동함수 값의 차로 구해진다.
ψ=3xy이므로 점(6,2)에서 ψ=3×6×2=36, 점(4,2)에서 ψ=3×4×2=24이다.
따라서 두 점 사이의 유량은 $Q=\psi_1-\psi_2=36-24=12$이다.

스토크스 법칙에 따라 항력은 $D_r=3\pi\mu dV$이다.
레이놀즈수가 1보다 작은 크리핑 유동에서는 관성항을 무시하고 점성항만 남긴 지배방정식을 구 주위에서 풀 수 있으며, 그 해가 지름 d인 구에 대한 이 식이다.
전체 항력 중 2/3인 2πμdV는 표면마찰항력, 1/3인 πμdV는 압력항력이 차지한다. 스토크스 법칙은 흔히 구의 반지름을 써서 $6\pi\mu\,(\text{반지름})V$로 외우는데, 지름은 반지름의 2배이므로 d로 바꿔 쓰면 계수가 반드시 6에서 3으로 줄어야 한다. 계수 6을 그대로 둔 채 d를 넣은 식은 값이 2배로 잘못된 것이다.
중력가속도 g가 분자나 분모에 들어간 식은 차원이 맞지 않는다. μ(Pa·s)·d(m)·V(m/s)만으로 이미 N의 차원이 되어 g가 들어갈 자리가 없기 때문이다.

표면장력은 단위 길이당 작용하는 힘($\mathrm{N/m}$)으로 정의된다.
힘의 차원은 $MLT^{-2}$이므로, 이를 길이 $L$로 나누면 표면장력의 차원은 $MT^{-2}$가 된다.

뉴턴의 점성법칙은 전단응력이 속도구배에 정비례한다는 것이므로 $\tau = \mu \dfrac{dv}{dy}$ 가 옳은 표현이다.
벽면에 평행한 속도 $v$ 가 벽면으로부터의 거리 $y$ 에 따라 변할 때 그 기울기 $dv/dy$ 가 속도구배이고, 비례상수가 점성계수 $\mu$ 다. 단위로 검산해도 $\mathrm{Pa\cdot s} \times \mathrm{s^{-1}} = \mathrm{Pa}$ 로 응력 차원과 맞는다.
나머지 식이 틀린 이유는 다음과 같다.
$\mu \dfrac{dy}{dv}$ 는 속도구배의 역수를 곱한 꼴이어서 단위가 응력이 되지 않는다.
$\dfrac{1}{\mu}\dfrac{dv}{dy}$ 는 점성이 클수록 전단응력이 작아진다는 뜻이 되어 물리적 인과가 반대다.
$\mu = \tau \sqrt{dv/dy}$ 처럼 제곱근이 들어간 식은 뉴턴 유체의 선형 관계 자체를 깨뜨린다.

개수로처럼 자유표면이 있는 유동에서는 중력과 관성력의 비가 지배적이며, 이를 나타내는 무차원수가 프루드수(Froude수)이다.
프루드수는 $Fr=\dfrac{V}{\sqrt{gL}}$로 정의되며, 개수로 흐름이 상류인지 사류인지를 판별하는 기준이 된다.
오일러수는 압력과 관성력, 마하수는 압축성, 프란틀수는 열·운동량 확산의 비를 나타내므로 자유표면 유동과는 직접 관련이 없다.

수문의 윗변이 수면과 일치하고 높이 2m, 폭 3m이므로 힘의 작용점(압력중심)은 수면 아래 약 1.33m에 있다.
그림에서 수문은 수면에서 아래로 h=2m, 폭 b=3m인 직사각형이다. 도심 깊이는 $h_c = \dfrac{2}{2} = 1\,\mathrm{m}$, 도심축 단면2차모멘트는 $I_G = \dfrac{bh^3}{12} = \dfrac{3 \times 2^3}{12} = 2\,\mathrm{m^4}$, 면적은 $A = 3 \times 2 = 6\,\mathrm{m^2}$ 이다.
압력중심 공식 $y_p = h_c + \dfrac{I_G}{A\,h_c}$ 에 대입하면
$y_p = 1 + \dfrac{2}{6 \times 1} = 1 + 0.333 = 1.33\,\mathrm{m}$
수문 윗변이 수면에 걸쳐 있는 직사각형에서는 작용점이 언제나 전수심의 2/3 지점이 되므로 $2 \times \tfrac{2}{3} = 1.33\,\mathrm{m}$ 로 곧바로 확인된다. 도심 깊이 1m를 그대로 답으로 쓰지 않도록 주의한다.

원관 내 완전발달 층류유동의 유량은 하겐-푸아죄유 방정식으로 구해진다.
$Q=\dfrac{\pi \Delta P D^4}{128\mu L}$
이 식에서 유량은 점성계수 $\mu$에는 반비례하고, 압력강하 $\Delta P$와 지름의 네제곱 $D^4$에는 비례하며 관 길이 $L$에는 반비례한다.
유량은 관의 길이에 비례하지 않고 오히려 반비례한다.
유량은 지름의 네제곱에 비례하므로, 지름의 제곱에 반비례한다는 설명은 틀리다.
유량은 압력강하에 비례하므로 반비례한다는 설명도 틀리다.

낙차에서 출구 속도수두를 뺀 유효낙차로 이론동력을 구하고 효율 85%를 곱하면 약 1043 kW가 된다.
그림에서 수면과 터빈 출구의 높이차는 30 m이고, 출구관 지름 0.8m·출구속도 10m/s이므로
$Q = \dfrac{\pi}{4}(0.8)^2 \times 10 = 5.03\,\mathrm{m^3/s}$
출구는 대기압이고 유체가 10m/s로 빠져나가므로 그 운동에너지는 터빈이 회수하지 못한다.
$H = 30 - \dfrac{V^2}{2g} = 30 - \dfrac{10^2}{2 \times 9.8} = 30 - 5.10 = 24.9\,\mathrm{m}$
이론동력은 $P_{th} = \gamma Q H = 9800 \times 5.03 \times 24.9 \approx 1.227 \times 10^{6}\,\mathrm{W} = 1227\,\mathrm{kW}$ 이고, 여기에 효율을 곱해 $P = 0.85 \times 1227 \approx 1043\,\mathrm{kW}$ 를 얻는다. 효율을 곱하지 않으면 1227 kW가, 속도수두를 빼지 않으면 약 1257 kW가 나오므로 두 단계를 모두 거쳐야 한다.

탱크 수면 아래 깊이 $h$에서의 절대압력은 대기압에 오일의 정수압을 더한 값이다.
$p=p_{atm}+\rho g h=101\,\mathrm{kPa}+(0.8\times1000\,\mathrm{kg/m^3})(9.81\,\mathrm{m/s^2})(3\,\mathrm{m})$
정수압 성분은 약 23.5kPa이므로, 절대압력은 $101+23.5\approx125\,\mathrm{kPa}$이다.

강체처럼 등속회전하는 유체에서는 깊을수록, 회전축에서 멀수록 압력이 커지므로 최대압은 바닥면의 가장자리 C에서 나타난다.
등속회전 유체의 압력분포는 $p = p_0 + \rho g h + \dfrac{\rho \omega^2 r^2}{2}$ 로, 중력항 $\rho g h$ 는 깊이가 깊을수록, 원심항 $\rho \omega^2 r^2 / 2$ 는 반지름이 클수록 압력을 키운다. 그림에서 자유표면이 바깥쪽으로 올라간 포물선이 되는 것도 이 원심항 때문이다.
네 지점 중 깊이와 반지름이 동시에 최대인 곳은 바닥면 가장자리뿐이다.
자유표면 위의 중심점과 가장자리는 어디든 대기압에 노출되어 계기압이 0이다.
바닥면 중심점은 깊이는 최대지만 $r = 0$ 이라 원심항이 사라져 가장자리보다 압력이 낮다.

배와 모형선의 프루드수를 일치시키는 것이 조파저항 상사의 기본 조건이다.
$Fr=\dfrac{V}{\sqrt{gL}}$가 같아야 하므로 $V_m=V_p\sqrt{\dfrac{L_m}{L_p}}$로 모형 속도를 구한다.
$V_m=10\,\mathrm{m/s}\times\sqrt{\dfrac{4}{150}}\approx10\times0.1633\approx1.633\,\mathrm{m/s}$

먼저 평균유속과 레이놀즈수로 유동 상태를 판별한 뒤 층류 마찰손실식으로 압력손실을 구한다.
단면적 $A=\dfrac{\pi (0.01\,\mathrm{m})^2}{4}\approx7.85\times10^{-5}\,\mathrm{m^2}$이므로 유속은 $V=\dfrac{Q}{A}\approx0.255\,\mathrm{m/s}$이다.
$Re=\dfrac{VD}{\nu}=\dfrac{0.255\times0.01}{1.4\times10^{-6}}\approx1819$로 층류이므로 마찰계수는 $f=\dfrac{64}{Re}\approx0.0352$이다.
달시-바이스바흐식 $\Delta P=f\dfrac{L}{D}\dfrac{\rho V^2}{2}$에 대입하면 $\Delta P\approx1140\,\mathrm{Pa}$이다.