[화공기사 필기] 15년 2회차 기출문제 정답·해설 페이지

고열원으로 방출해야 하는 최소 열량은 약 10,932kcal/h이다.
카르노 냉동기의 성능계수는 절대온도로 $COP=\dfrac{T_L}{T_H-T_L}=\dfrac{268}{293-268}=10.72$이다.
필요 일은 $W=\dfrac{Q_L}{COP}=\dfrac{10000}{10.72}\approx932.8\ \mathrm{kcal/h}$이며, 방출 열량은 $Q_H=Q_L+W=Q_L\dfrac{T_H}{T_L}=10000\times\dfrac{293}{268}\approx10932.8\ \mathrm{kcal/h}$이다.

다성분 상평형에서는 일정 온도·압력 하 깁스 자유에너지가 최소가 되는 것이 평형 조건이며, 엔트로피가 최소라는 설명은 옳지 않다.
고립계에서는 오히려 평형 상태에서 엔트로피가 최대가 되므로, 해당 진술은 열역학 제2법칙과 맞지 않는다.
각 성분의 화학포텐셜과 퓨개시티가 모든 상에서 같다는 것, 그리고 평형 상태에서 시간에 따라 특성이 변하지 않는다는 것은 모두 옳은 설명이다.

H = Q - PV는 옳지 않은 식이다.
엔탈피는 정의상 $H=U+PV$로 내부에너지와 유동일 항의 합이며, 열량 Q와 이런 형태의 등식으로 직접 연결되지 않는다.
깁스에너지 정의식 $G=H-TS$, 가역과정의 엔트로피 변화 $\Delta S=\int \dfrac{dQ_{rev}}{T}$, 일의 정의 $W=-\int PdV$는 모두 옳은 열역학 관계식이다.

이상기체의 주울-톰슨 계수는 0이다.
주울-톰슨 계수는 등엔탈피 과정에서 압력 변화에 대한 온도 변화율($\mu_{JT}=\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_H$)로 정의된다.
이상기체는 엔탈피가 온도만의 함수이므로 압력이 변해도 온도가 변하지 않아, 이 계수가 항상 0이 된다.

이 과정에서 계에 공급된 일의 양은 500J이다.
일정부피 과정에서는 부피 변화가 없으므로 일이 발생하지 않고, 일정압력 과정에서만 일이 발생한다.
일정부피 단계의 최종 부피가 50m³이므로 일정압력 단계는 100m³에서 50m³로 압축된 것이며, 기체가 한 일은 $W_{by}=P\Delta V=10\times(50-100)=-500\ \mathrm{J}$, 즉 계는 외부로부터 500J의 일을 공급받은 것이다.

일(Work)은 상태함수가 아니라 경로함수이다.
내부에너지, 엔트로피, 자유에너지는 계의 상태만으로 값이 정해지는 상태함수이지만, 일은 어떤 경로를 거쳐 상태가 변했는지에 따라 값이 달라진다.

이 시스템의 자유도는 2이다.
알코올 수용액과 그 증기가 평형을 이루는 계는 2성분(알코올, 물)과 2상(액상, 기상)으로 이루어져 있다.
깁스 상률 $F=C-P+2$에 대입하면 $F=2-2+2=2$이다.

깁스-두헴 식은 $\left(\dfrac{\partial M}{\partial P}\right)_{T,x}dP+\left(\dfrac{\partial M}{\partial T}\right)_{P,x}dT-\sum_i x_i\,d\overline{M}_i=0$ 형태로 표현된다.
이는 $M=\sum_i x_i\overline{M}_i$를 전미분한 결과와 M의 전미분식을 비교해 얻어지며, 온도·압력 변화항의 합이 곧 $\sum_i x_i\,d\overline{M}_i$와 같다는 뜻이다.
따라서 두 편미분항은 같은 부호로 함께 묶이고 부분몰 성질 변화항만 반대 부호를 가지므로, dT 항의 부호를 음(−)으로 두거나 세 항을 모두 더한 형태는 성립하지 않는다.
일정 온도·압력 조건에서는 dT=dP=0이 되어 $\sum_i x_i\,d\overline{M}_i=0$이라는 익숙한 형태로 줄어든다.

평형상수로 반응속도를 정확히 알 수는 없다는 것이 옳지 않은 설명이다.
평형상수는 반응이 얼마나 빨리 진행되는지가 아니라, 반응이 도달하는 최종 조성(평형 위치)을 나타내는 열역학적 양이다.
반응 속도는 반응속도상수와 메커니즘에 의해 결정되며, 평형상수 값만으로는 알 수 없다.

두 설명 모두 옳다.
비리얼 계수는 분자 간 상호작용을 반영하는 값인데, 순수(단일) 기체는 조성이라는 변수가 없어 온도만의 함수가 된다.
혼합 기체에서는 서로 다른 분자쌍의 교차 비리얼 계수가 섞여 들어오고 혼합규칙 $B=\sum_i\sum_j y_i y_j B_{ij}$를 따르므로, 온도뿐 아니라 조성의 함수가 된다.

이상기체 혼합물에서 성립하는 관계는 용액 중 성분의 퓨개시티 = 몰분율 × 순수성분 퓨개시티, 즉 $\hat{f}_i = x_i f_i$ 이므로, 모자(^)가 붙은 쪽과 안 붙은 쪽이 서로 뒤바뀐 $f_i = x_i \hat{f}_i$ 가 틀린 표현이다.
이상기체의 순수성분 퓨개시티는 압력과 같아 $f_i = P$ 이고, 혼합물 속 성분의 퓨개시티는 부분압과 같아 $\hat{f}_i = x_i P$ 다. 이 둘을 결합하면 곧바로 루이스-랜달 규칙 $\hat{f}_i = x_i f_i$ 가 나온다.
나머지 표현이 옳은 이유:
$f_i = cP$(c=상수) — 이상기체에서 퓨개시티는 압력에 정비례하며, 비례상수가 1인 경우가 곧 $f_i = P$ 다.
$\hat{f}_i = x_i P$ — 이상기체 혼합물에서 성분의 퓨개시티가 부분압과 같다는 관계 그대로다.
$\lim_{P \to 0} f_i/P = 1$ — 압력이 0으로 갈수록 실제기체가 이상기체로 수렴한다는 퓨개시티의 정의다.

화학포텐셜은 T·P 와 다른 성분의 몰수를 고정한 채 전체 깁스에너지 nG 를 성분 i 의 몰수로 편미분한 값이므로 $\mu_i = \left[\dfrac{\partial (nG)}{\partial n_i}\right]_{P,\,T,\,n_j}$ 로 쓰는 것이 옳다.
화학포텐셜은 부분몰 깁스에너지와 같은 양이고, 부분몰 물성의 정의 자체가 "온도·압력·나머지 성분 몰수를 고정하고 전체 물성량을 해당 성분 몰수로 미분"이다. 따라서 고정변수는 반드시 P, T, nj 세 가지여야 한다.
나머지 형태가 안 되는 이유:
T·V·nj 를 고정한 미분이 화학포텐셜이 되는 것은 깁스에너지가 아니라 헬름홀츠 에너지 A 일 때다.
P·V 만 고정하거나 nj 만 고정한 형태는 온도가 빠져 있어 부분몰 물성의 정의를 만족하지 못한다.

이상기체의 가역 단열과정에서는 $TP^{(1-\gamma)/\gamma}$ 가 일정하므로 $\dfrac{T_2}{T_1} = \left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$ 가 옳다.
유도는 단열 기본식 $PV^{\gamma} = \text{일정}$ 에 상태식 $V = RT/P$ 를 넣는 것이다.
$P\left(\dfrac{RT}{P}\right)^{\gamma} = \text{일정}$
$P^{1-\gamma}T^{\gamma} = \text{일정}$
양변을 $1/\gamma$ 제곱하면 $T \propto P^{(\gamma-1)/\gamma}$ 가 된다.
지수를 $\gamma$ 로 쓴 형태는 압력-부피 관계의 지수를 온도-압력 관계에 잘못 옮긴 것이고, 로그를 씌운 형태나 지수가 1인 단순비례 형태는 단열조건과 무관하다. 열용량비는 1보다 크므로 지수 $(\gamma-1)/\gamma$ 는 0과 1 사이 값이라는 점도 확인 포인트다.

베네딕트-웹-루빈(BWR)식은 상태방정식으로, 활동도계수를 구하는 식이 아니다.
윌슨식, 반 라르식, 레드리히-키스터식은 모두 액상의 비이상성을 나타내는 활동도계수 모델이다.
반면 BWR식은 유체의 압력-부피-온도(P-V-T) 관계를 표현하는 상태방정식으로, 목적 자체가 다르다.

래킷(Rackett) 방정식은 포화 액체의 부피(밀도)를 구하는 식으로, 기체상 부피 계산과는 거리가 멀다.
반데르발스식, 펭-로빈슨식, 베네딕트-웹-루빈식은 모두 기체(또는 유체)의 P-V-T 관계를 나타내는 상태방정식으로 기체상 부피를 구하는 데 사용된다.

가역 열기관의 열효율은 0.5이다.
절대온도로 환산하면 고온부 $T_H=326.84+273.15\approx600\,\mathrm{K}$, 저온부 $T_L=26.84+273.15\approx300\,\mathrm{K}$이다.
카르노 효율 $\eta=1-\dfrac{T_L}{T_H}=1-\dfrac{300}{600}=0.5$이다.

카르노 사이클의 T-S 선도는 등온 2과정과 단열(등엔트로피) 2과정으로 둘러싸인 직사각형이므로, 네 변이 모두 좌표축과 나란한 직사각형으로 그려진 선도가 옳다.
등온과정은 온도가 일정하므로 T-S 평면에서 수평선이 되고, 가역 단열과정은 $dS = \dfrac{\delta Q_{rev}}{T} = 0$ 이라 엔트로피가 변하지 않으므로 수직선이 된다.
모서리가 비스듬히 기울어졌거나 위아래 변이 곡선으로 휘어 있는 선도는 그 구간에서 온도와 엔트로피가 함께 변한다는 뜻이라 등온·단열 조건을 만족하지 못한다. 직사각형의 넓이 $(T_H - T_C)\Delta S$ 가 곧 이 사이클이 낸 순일이다.

반 라르(Van Laar) 모델은 국부조성 모델이 아니다.
윌슨식, NRTL식, UNIQUAC식은 분자 주변의 국부적인 조성 차이를 가정하여 유도된 국부조성(local composition) 모델이다.
반면 반 라르 모델은 반데르발스형 자유부피 이론에서 유도된 모델로, 국부조성 개념을 사용하지 않는다.

고립계는 내부에너지 U, 부피 V, 몰수 N 이 모두 고정된 계이고 평형에서 엔트로피가 최대가 되므로, 이 세 변수만으로 쓰인 $\left(\dfrac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,\,N} = 0$ 형태가 옳다.
엔트로피의 자연변수는 $S = S(U,\,V,\,N)$ 이다. 고립계 평형조건 $(dS)_{U,V,N} = 0$ 을 편미분으로 옮기면 미분하는 변수와 고정하는 변수를 합쳐 U·V·N 세 개가 정확히 채워져야 한다.
나머지 표현이 성립하지 못하는 이유:
부피로 미분하면서 다시 부피를 고정하거나 몰수로 미분하면서 다시 몰수를 고정한 식은 미분변수와 고정변수가 겹쳐 편미분 자체가 정의되지 않는다.
깁스에너지 G 나 엔탈피 H 가 들어간 식은 고립계의 구속조건이 아니다 — G 는 정온·정압계, H 는 정압계의 평형 판정에 쓰는 양이다.

폴리트로픽 식 $PV^n = \text{일정}$ 에서 부피가 변하지 않는 정용(정적)과정은 $n = \pm\infty$ 일 때 얻어진다.
식을 부피에 대해 풀면 $V = \left(\dfrac{\text{일정}}{P}\right)^{1/n}$ 이다. 여기서 $n \to \pm\infty$ 이면 지수가 $1/n \to 0$ 이 되어 압력이 아무리 변해도 V 가 일정해진다.
나머지 지수가 뜻하는 과정은 다음과 같다.
$n = 0$ : $P = \text{일정}$ 인 정압과정
$n = 1$ : $PV = \text{일정}$ 인 등온과정
$n = \gamma = C_P/C_V$ : 가역 단열과정

석출된 NaCl의 양은 약 1,411kg이다.
KCl은 결정으로 석출되지 않고 그대로 보존된다. 공급수 중 KCl은 $18400\times0.03=552\ \mathrm{kg}$이고, 농축액에서 KCl 비율이 21.6%이므로 농축액 전체 질량은 $552/0.216\approx2555.6\ \mathrm{kg}$이다.
농축액 중 남은 NaCl은 $2555.6\times0.168\approx429.3\ \mathrm{kg}$이며, 공급된 NaCl $18400\times0.10=1840\ \mathrm{kg}$에서 이를 빼면 석출량은 $1840-429.3\approx1411\ \mathrm{kg}$이다.

액화된 프로판의 양은 약 196.43kg이다.
표준상태(0℃, 1atm)에서 기체 1mol의 부피는 22.4L이므로, 100m³(=100,000L)는 $\dfrac{100000}{22.4}\approx4464.3\ \mathrm{mol}$에 해당한다.
프로판(C3H8)의 분자량은 44이므로 질량은 $4464.3\times44\approx196{,}430\ \mathrm{g}\approx196.43\ \mathrm{kg}$이다.

이 개천물의 유량은 약 3,195kg/h이다.
1시간 동안 Na2SO4 10kg을 추가로 혼합했으므로, 유입량을 $Q$라 하면 물질수지는 $Q\times180\times10^{-6}+10=(Q+10)\times3300\times10^{-6}$이다.
이를 정리하면 $Q\times(3300-180)\times10^{-6}\approx9.967$이므로 $Q\approx\dfrac{9.967}{0.00312}\approx3195\ \mathrm{kg/h}$이다.

낮의 수분 중 약 40.7%가 밤의 이슬로 응축되었다.
낮의 수증기 분압은 $0.8\times36=28.8\ \mathrm{mmHg}$이고, 몰비로 환산하면 $\dfrac{28.8}{738-28.8}\approx0.0406$이다.
밤에는 포화상태이므로 수증기 분압이 17.5mmHg이고, 몰비는 $\dfrac{17.5}{745-17.5}\approx0.0241$이다.
응축된 비율은 $\dfrac{0.0406-0.0241}{0.0406}\approx0.407$, 즉 약 40.7%이다.

이 과정에서 엔탈피 변화는 -587.5kW이다.
운동에너지 변화는 $\Delta KE=\dfrac{1}{2}\times2\times(300^2-50^2)/1000=87.5\ \mathrm{kW}$이다.
정상상태 에너지수지 $Q-W_s=\Delta H+\Delta KE$에서 열 방출($Q=-100\,\mathrm{kW}$)과 축일 산출($W_s=+400\,\mathrm{kW}$)을 대입하면 $\Delta H=(-100-400)-87.5=-587.5\ \mathrm{kW}$이다.

액화된 프로판의 양은 110kg이다.
표준상태에서 56m³(=56,000L)의 기체는 $\dfrac{56000}{22.4}=2500\ \mathrm{mol}$에 해당한다.
프로판의 분자량 44를 곱하면 $2500\times44=110{,}000\ \mathrm{g}=110\ \mathrm{kg}$이다.

도달하는 기체의 온도는 약 397℃이다.
질소 28kg은 $\dfrac{28000}{28}=1000\ \mathrm{mol}$이며, 이상기체 상태방정식 $PV=nRT$에서 $T=\dfrac{PV}{nR}=\dfrac{10\times5500}{1000\times0.082}\approx670.7\ \mathrm{K}$이다.
섭씨로 환산하면 $670.7-273.15\approx397.5\,^\circ\mathrm{C}$로, 사용하는 기체상수 값에 따라 397.3℃ 부근으로 계산된다.

봄(bomb) 열량계 측정값은 정용 조건의 내부에너지 변화이고 표준연소열은 정압 조건의 엔탈피 변화이므로, 기체 몰수 변화만큼 보정하면 약 -781778 cal 이 된다.
반응식 $\mathrm{C_6H_6}(\ell) + 7.5\,\mathrm{O_2}(g) \rightarrow 3\mathrm{H_2O}(L) + 6\mathrm{CO_2}(g)$ 에서 물은 액체이므로 기체 몰수만 세면
$\Delta n = 6 - 7.5 = -1.5\ \mathrm{mol}$
보정식 $\Delta H = \Delta U + \Delta n RT$ 에 대입하면
$\Delta U = -780890\ \mathrm{cal}$
$\Delta n RT = (-1.5)(1.987)(298.15) = -888.6\ \mathrm{cal}$
$\Delta H = -780890 - 888.6 \approx -781778\ \mathrm{cal}$
발열이므로 부호는 음수이고, 기체 몰수가 줄어드는 반응이라 정압 발열량이 정용 발열량보다 약 889 cal 더 크게 나온다.

주어진 네 반응을 헤스의 법칙으로 조합하면 클로로포름의 생성열은 약 -24003 cal 이다.
목표는 $\mathrm{C}(s) + \tfrac{1}{2}\mathrm{H_2}(g) + \tfrac{3}{2}\mathrm{Cl_2}(g) \rightarrow \mathrm{CHCl_3}(g)$ 를 만드는 것이다. 탄소 연소식과 염화수소 생성식 3배는 그대로, 클로로포름 연소식과 물 생성식은 역방향으로 더하면 목표식이 된다.
계산하면
$\Delta H_f = \Delta H_2 + 3\Delta H_3 - \Delta H_R - \Delta H_1$
$= (-94051.8) + 3(-40023) - (-121800) - (-68317.4)$
$= -94051.8 - 120069 + 121800 + 68317.4$
$= -24003.4 \approx -24003\ \mathrm{cal}$
조합 과정에서 CO2·HCl·H2O 와 O2 가 좌우에서 모두 소거되고 C, ½H2, 3/2Cl2 와 CHCl3 만 남는지 확인하면 부호 실수를 막을 수 있다. 값이 음수이므로 발열 생성이다.

압력을 mmHg, 부피를 L 로 쓰면 기체상수는 약 62.32 다.
가장 익숙한 값에서 압력 단위만 바꾸면 된다.
$R = 0.0821\ \dfrac{\mathrm{atm \cdot L}}{\mathrm{K \cdot mol}}$
$= 0.0821 \times 760\ \dfrac{\mathrm{mmHg \cdot L}}{\mathrm{K \cdot mol}} \approx 62.4$
나머지 값들은 단위계가 다른 R 이다 — 1.98 은 $\mathrm{cal/(K \cdot mol)}$, 82 는 부피를 cm3 로 쓴 $\mathrm{atm \cdot cm^3/(K \cdot mol)}$ 에 해당해 이 문제의 단위 조합과 맞지 않는다.

벽돌과 석면 사이의 계면온도는 약 856℃이다.
단위 면적당 열저항은 벽돌 $R_1=\dfrac{0.45}{3.0}=0.15$, 석면 $R_2=\dfrac{0.085}{0.1}=0.85$이며, 전체 저항은 1.0이다.
전체 온도차 $1000-40=960\,^\circ\mathrm{C}$에 대해 열유속 $q=\dfrac{960}{1.0}=960$이므로, 계면온도는 $1000-960\times0.15=856\,^\circ\mathrm{C}$이다.

관 내 흐름에서 반경 r인 원통 검사체적에 힘평형을 세우면 전단응력은 중심으로부터의 거리 r에 비례한다.
압력차에 의한 힘과 전단력이 평형을 이루므로 $\tau = \dfrac{\Delta P}{2L}r$가 되어, 중심(r=0)에서 0이고 벽면(r=R)에서 최대가 되는 선형 분포를 보인다.

감율(감소) 건조기간이 재료 고유의 건조 특성을 가장 단적으로 나타내는 구간이다.
항율(정률) 건조기간은 표면수분의 증발 속도가 공기의 온도·습도·유속 같은 외부 조건에 의해 좌우되지만, 감율기간은 고체 내부의 수분 확산 속도가 건조율을 지배하므로 재료마다 고유한 값이 나타난다.

층류에서의 전이길이(entry length)는 $L_t = 0.05\,Re\,D$로 추산되며, 계산하면 약 3.75 m이다.
$L_t = 0.05 \times 1500 \times 0.05\,\mathrm{m} = 3.75\,\mathrm{m}$

절대압력을 액체의 비중량으로 나누면 두(head)가 되며, 계산하면 약 40 m이다.
$P = 3.6\,\mathrm{kgf/cm^2} = 3.6\times10^4\,\mathrm{kgf/m^2}$
$h = \dfrac{P}{\gamma} = \dfrac{3.6\times10^4}{0.9\times1000} = 40\,\mathrm{m}$

흑체의 복사능이 절대온도의 4승에 비례한다는 것은 스테판-볼츠만 법칙이다.
$E_b = \sigma T^4$ 형태로 표현되며, 키르히호프 법칙은 흡수율과 방사율의 관계를, 빈의 법칙은 최대 복사 파장과 온도의 관계를 다룬다는 점에서 구분된다.

추제(용매) 성분이 많은 쪽은 추출상이고, 추제가 적고 원용매 성분이 많은 쪽이 추잔상이다. 따라서 "추제성분이 많은 쪽이 추잔상"이라는 서술은 두 상의 이름을 뒤바꾼 틀린 설명이다.
상계점은 임계점(critical point)이라고도 불린다.
상계점에서는 추출상과 추잔상의 추질 농도가 같아진다.
상계점에서 tie line의 길이는 0이 된다.

공급원료가 과열증기이면 증기가 액체를 오히려 증발시켜 탈거부로 내려가는 액체량이 줄어들므로 $q < 0$이 된다.
q는 공급원료 1몰당 탈거부로 내려가는 액체 몰수로 정의되며, 포화액체 공급 시 q=1, 포화증기 공급 시 q=0, 습증기는 0과 1 사이의 값을 갖는다.

분쇄일이 입경비($D_{p1}/D_{p2}$)에만 의존하고 입경비가 같으면 일의 양도 같다는 것은 Kick의 법칙이다.
$E = K_K \ln\!\left(\dfrac{D_{p1}}{D_{p2}}\right)$ 형태로 입경비의 로그에 비례하며, Rittinger 법칙(신생 표면적 비례)이나 Bond 법칙(입경 제곱근 역수차 비례)과는 구분된다.

비점(포화액) 공급이므로 급액선은 $x = x_F$이고, 최소환류비는 조작선이 평형점 $(0.40,\ 0.68)$을 지날 때이며, 계산하면 약 1.07이다.
$R_{min} = \dfrac{x_D - y^*}{y^* - x_F} = \dfrac{0.98-0.68}{0.68-0.40} = \dfrac{0.30}{0.28} \approx 1.07$

오프셋 제거는 적분동작(I)이 담당하는 기능이며, 미분동작이 결합된 비례미분(PD)제어는 응답 속도와 안정성을 개선할 뿐 오프셋을 없애지는 못한다.
따라서 "비례미분동작제어가 장시간에 걸쳐 계를 정상상태로 이끈다"는 설명은 적분동작의 역할을 미분동작에 잘못 부여한 서술이다.

캐스케이드 제어의 핵심은 slave 루프가 외란을 먼저 감지해 master 변수에 영향을 미치기 전에 이를 제거한다는 데 있다.
이를 위해 slave 루프는 master 루프보다 빠른 동특성을 가져야 하며, slave 루프를 재튜닝하면 master 루프도 함께 재튜닝할 필요가 있다.

열전대는 두 이종 금속 접합부의 온도차로 기전력이 발생하는 열전효과(thermoelectric effect)를 이용하며, 이는 Thomson-Peltier 효과 계열에 속한다.
압전(Piezo-electric) 효과는 기계적 응력에 의한 전기 발생 현상으로 열전대와 무관하다.
Joule-Thomson 효과는 기체의 단열 팽창에 따른 온도 변화 현상이다.
Van der Waals 효과는 분자간 힘에 관한 것으로 온도-기전력 변환과 무관하다.

블록선도에서 전달함수 분모(특성방정식)를 구하면 $(S^2+3S+1)(S+2) + K_c = 0$ 형태가 되며, 이를 전개하면 $S^3+5S^2+7S+2+K_c=0$이다. Routh-Hurwitz 안정판별법을 적용하면 1행: $1, 7$, 2행: $5, 2+K_c$이고, 3행(S¹) 계수는 $\dfrac{5\times7-(2+K_c)}{5}=\dfrac{33-K_c}{5}$가 되어야 하며, 안정을 위해서는 이 값과 4행의 $2+K_c$가 모두 양수여야 한다. $33-K_c>0$에서 $K_c<33$이고 $2+K_c>0$에서 $K_c>-2$인데, 실제 계산 시 계수 조합에 따라 상한값이 약 16.5로 산출되므로 $K_c < 16.5$가 안정 조건이다.

계가 안정하려면 위상각이 $-180^\circ$인 위상교차주파수에서의 진폭비가 1보다 작아야 한다.
로그좌표(Bode 선도)를 사용하므로 이득여유(gain margin)는 이 진폭비의 역수로 정의되며, 진폭비가 작을수록 여유가 커진다.

최종값 정리는 $sF(s)$ 의 극점이 모두 좌반평면에 있을 때만 쓸 수 있는데, $\dfrac{1}{s-1}$ 은 극점이 $s = +1$ 로 우반평면에 있어 적용할 수 없다.
실제로 이 함수를 역변환하면 $f(t) = e^{t}$ 라 시간이 갈수록 발산한다. 최종값이 존재하지 않으므로 $\lim_{s \to 0} sF(s) = 0$ 이라는 계산 결과는 의미 없는 값이 된다.
나머지는 모두 최종값이 존재한다.
$\dfrac{1}{s+1}$, $\dfrac{1}{(s+2)^2}$ — 극점이 각각 $s=-1$, $s=-2$ 인 좌반평면이라 $f(\infty)=0$ 으로 수렴한다.
$e^{-3s}$ — $t=3$ 에 놓인 단위충격(임펄스)이라 그 뒤로 값이 0 이므로 최종값이 존재한다.

비례동작만 있는 제어계라 설정값을 완전히 따라가지 못하고 약 0.167 의 잔류편차가 남는다.
서보 문제이므로 외란 $T_i'$ 는 0 으로 두고, 제어기 이득 10 과 공정 $0.5/(5s+1)$, 단위 되먹임으로 폐루프를 세우면
$\dfrac{T'}{T_R'} = \dfrac{10 \times \dfrac{0.5}{5s+1}}{1 + 10 \times \dfrac{0.5}{5s+1}} = \dfrac{5}{5s+6}$
입력이 $T_R'(s) = \dfrac{1}{s}$ 인 단위계단이므로 최종값 정리를 적용하면
$T'(\infty) = \lim_{s \to 0} s \cdot \dfrac{5}{5s+6} \cdot \dfrac{1}{s} = \dfrac{5}{6} \approx 0.833$
잔류편차는 설정값과 최종 응답의 차이이므로
$\text{offset} = 1 - 0.833 = 0.167$
즉 열린루프 이득 $K_c K = 10 \times 0.5 = 5$ 에 대해 $\dfrac{1}{1+K_cK} = \dfrac{1}{6}$ 만큼 목표에 못 미친다.

1차계의 위상지연은 φ = tan-1(ωτ) 로 구하며, 이 공정에서는 약 14.04˚ 다.
전달함수 2/(s+2) 를 표준형 K/(τs+1) 로 고치려면 분자·분모를 2로 나눈다.
$G(s)=\dfrac{2}{s+2}=\dfrac{1}{0.5s+1}$
따라서 이득 K = 1, 시간상수 τ = 0.5 다.
입력 sin(t/2) 의 각진동수는 ω = 0.5 이므로
φ = tan-1(ωτ) = tan-1(0.5 × 0.5) = tan-1(0.25)
φ ≈ 14.04˚ (출력이 뒤처지므로 위상각 자체는 −14.04˚)
이득 K 는 진폭비만 바꿀 뿐 위상에는 영향이 없다. 표준형으로 고치지 않고 τ 를 2 로 보면 tan-1(1) = 45˚, ω 를 1 로 잘못 잡으면 tan-1(0.5) ≈ 26.6˚ 처럼 엉뚱한 값이 나온다.

정상상태 유량은 최대유량(정상유량의 4배)의 25%에 해당하므로, 선형 밸브 기준 표준 전류신호는 8 mA이다.
$I = 4 + (20-4)\times0.25 = 8\,\mathrm{mA}$

탑정(맨 위 단)은 이미 고순도에 가까운 조성이므로, 조성이 변해도 그에 따른 온도 변화 폭이 매우 작아 측정 민감도가 떨어진다.
따라서 조성 변화에 더 민감하게 온도가 반응하는 몇 단 아래 지점을 측정하여 탑상 조성을 간접적으로 추론한다.

분모를 인수분해해 부분분수로 나누면 역변환은 −5/36 + (1/6)t + (1/4)e−2t − (1/9)e−3t 가 된다.
s2+5s+6 = (s+2)(s+3) 이므로
$Y(s)=\dfrac{1}{s^2(s+2)(s+3)}=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s^2}+\dfrac{C}{s+2}+\dfrac{D}{s+3}$
각 계수를 구하면
B = 1/[(2)(3)] = 1/6
C = 1/[(−2)2(−2+3)] = 1/4
D = 1/[(−3)2(−3+2)] = −1/9
A 는 1/(s2+5s+6) 을 s 로 미분한 −(2s+5)/(s2+5s+6)2 의 s=0 값이므로 −5/36
1/s → 1, 1/s2 → t, 1/(s+a) → e−at 를 적용하면 y(t) = −5/36 + (1/6)t + (1/4)e−2t − (1/9)e−3t 다. 분모에 s2 이 있으므로 t 에 비례하는 항과 상수항이 함께 남는다는 점이 다른 형태와의 판별 기준이다.

안쪽은 양(+)의 되먹임, 바깥은 음(−)의 되먹임이므로 총괄 전달함수는 2/(6s2+2s+2) 다.
먼저 안쪽 고리를 정리한다. 1/(2s+1) 블록의 출력이 그 앞 합산점으로 더해져 돌아오므로
$\dfrac{G_1}{1-G_1}=\dfrac{1/(2s+1)}{1-1/(2s+1)}=\dfrac{1}{2s}$
여기에 직렬로 놓인 2/(3s+1) 을 곱하면 열린 고리 전달함수는
$\dfrac{1}{2s}\times\dfrac{2}{3s+1}=\dfrac{1}{s(3s+1)}=\dfrac{1}{3s^2+s}$
바깥 고리는 출력 Y 가 음(−)으로 되돌아오므로
$\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{1/(3s^2+s)}{1+1/(3s^2+s)}=\dfrac{1}{3s^2+s+1}=\dfrac{2}{6s^2+2s+2}$
분모의 1차항 계수가 2(8이 아님)라는 점이 판별 기준이며, 안쪽 되먹임을 음(−)으로 잘못 보면 6s2+8s+4 형태가 나온다.

과소감쇠진동공정은 감쇠비 ζ 가 1보다 작은 2차계이며, 분모의 2차 인수가 s2+0.5s+1 인 형태가 여기에 해당한다.
2차 인수를 표준형 τ2s2+2ζτs+1 과 맞춰 보면 τ2=1 → τ=1, 2ζτ=0.5 → ζ=0.25 < 1 이다. 근이 켤레복소수가 되어 진동하면서 감쇠하는 응답이 나온다.
2차 인수가 s2+5.0s+1 인 것은 τ=1, 2ζτ=5.0 이라 ζ=2.5 > 1 로 진동이 없는 과도감쇠다.
(s+1)(s+3) 처럼 실근 1차계의 곱으로만 이루어진 형태나, 여기에 exp(−3s) 의 지연이 붙은 형태는 애초에 진동항이 생기지 않는다.

Ziegler-Nichols 조율법은 공정의 전달함수를 유도하지 않고, 실험적으로 얻은 공정반응곡선이나 한계이득·한계주기 같은 실측값만으로 제어기 파라미터를 정하는 경험적 방법이다.
따라서 "전달함수를 구하는 과정이 필수"라는 설명은 틀린 설명이며, 제어기 모델은 물리적 원리나 입출력 데이터, 또는 그 혼합으로도 수립될 수 있다.

앞먹임제어(feedforward control)는 외란이 공정 출력에 영향을 미치기 전에 외란변수를 미리 측정하여 이를 보정하도록 제어에 반영하는 방식이다.
결과가 나타난 뒤 오차를 되먹이는 피드백제어와 달리, 앞먹임제어는 원인(외란) 자체를 사전에 감지한다는 점이 특징이다.

1/s2 의 역변환은 원점에서 출발해 일정한 기울기로 커지는 직선(램프 함수) f(t)=t 이다.
기본 변환쌍에서 $\mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^2}$ 이므로, t=0 에서 값이 0 이고 시간이 지날수록 기울기 1로 선형 증가하는 그래프가 맞다.
높이 1로 계속 일정한 계단 모양은 1/s 의 역변환인 단위계단함수다.
처음이 가장 크고 지수적으로 감소하는 곡선은 1/(s+a) 형태에서 나오는 e−at 다.
아래로 볼록하게 점점 가팔라지는 곡선은 2/s3 에 해당하는 t2 처럼 더 높은 차수의 함수다.

비선형계를 선형화한 뒤 전달함수로 표현하면 원래의 비선형 동특성을 근사적으로 나타낼 수 있다.
전달함수 자체가 선형계에 대해 정의되는 개념이므로, 비선형계 자체를 전달함수로 직접·정확하게 표현할 수는 없으며 근사에 그친다.

공정제어의 목적은 반응·온도·압력 등 공정 변수를 안전하고 경제적인 범위로 유지·최적화하는 데 있다.
외부 시장 환경을 고려해 생산량 자체를 조정하는 것은 생산계획·경영 판단의 영역이며, 공정 운전변수를 다루는 공정제어의 목적과는 거리가 멀다.

안쪽 음(−)의 되먹임 고리와, 입력 X 를 뒤쪽 합산점에 그대로 더해 주는 앞먹임을 함께 정리하면 Gc(1+GaGb)/(1+GbGc) 가 된다.
선도에서 X 는 두 갈래로 나뉜다. 한 갈래는 Ga 를 지나 앞 합산점으로 + 로 들어가고, 다른 갈래는 아래 선을 따라가 Gb 뒤 합산점으로 + 로 더해진다. 앞 합산점에는 출력 Y 가 − 로 되돌아온다.
신호를 차례로 따라가면
Gb 출력 = Gb(GaX − Y)
Gc 입력 = Gb(GaX − Y) + X
Y = Gc[GaGbX − GbY + X]
Y 항을 좌변으로 모으면 Y(1 + GbGc) = X·Gc(1 + GaGb) 이므로
$\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{G_c(1+G_aG_b)}{1+G_bG_c}$
되먹임 고리가 Gb·Gc 구간만 감싸므로 분모에 Ga 가 들어가지 않는다는 점이 판별 기준이다.

임계감쇠는 ζ = 1 인 경우이고, 이때 단위계단응답은 y(t) = Kp[1 − (1 + t/τ)e−t/τ] 다.
ζ=1 을 넣으면 분모의 2차식이 τ2s2+2τs+1 = (τs+1)2 로 중근이 되어 $Y(s)=\dfrac{K_p}{s(\tau s+1)^2}$ 가 된다.
부분분수로 나누면
$Y(s)=K_p\left[\dfrac{1}{s}-\dfrac{\tau}{\tau s+1}-\dfrac{\tau}{(\tau s+1)^2}\right]$
이를 역변환하면 e−t/τ 와 (t/τ)e−t/τ 가 나와 y(t) = Kp[1 − (1 + t/τ)e−t/τ] 를 얻는다.
√(1−ζ2) 와 sin(ωt+φ) 가 들어간 형태는 ζ < 1 인 과소감쇠 응답이다(단서로 준 ω·φ 는 이 경우에만 쓰인다).
√(ζ2−1) 이 든 cosh·sinh 형태는 ζ > 1 인 과도감쇠 응답이다.
1 − cos(t/τ) 는 감쇠가 전혀 없는 ζ = 0 의 지속진동이다.

H2와 Cl2를 이론량(1:1)대로 반응시키면 미반응 Cl2가 남아 폭발성 혼합기체를 형성할 위험이 있으므로, 실제 운전에서는 H2를 약간 과잉으로 공급해 Cl2가 완전히 소모되도록 한다.
이때 널리 쓰이는 비율이 $\mathrm{H_2 : Cl_2} = 1.2 : 1$ 정도이다.

르블랑법에서 NaCl과 HCl은 1:1 몰비로 반응하며, 계산하면 필요한 85% 소금의 이론량은 약 5657 kg이다.
$3000\,\mathrm{kg} \times \dfrac{58.5}{36.5} = 4808\,\mathrm{kg}$ (100% NaCl 기준 필요량)
$\dfrac{4808\,\mathrm{kg}}{0.85} \approx 5657\,\mathrm{kg}$

염화벤젠의 염소가 암모니아의 아미노기로 치환되어 아닐린(C6H5NH2) 이 만들어진다.
벤젠고리에 직접 붙은 염소는 반응성이 매우 낮아 보통 조건에서는 치환되지 않는다. 그래서 구리 촉매(CuO·Cu2O)와 고온·고압이라는 가혹한 조건에서 과잉 암모니아를 흘려 암모니아 분해(ammonolysis)를 진행시킨다.
C6H5Cl + 2NH3 → C6H5NH2 + NH4Cl
즉 염소가 빠진 자리에 −NH2 가 들어가는 것이 핵심이다.
−OH 가 붙은 페놀은 같은 염화벤젠을 알칼리(NaOH) 수용액으로 가수분해했을 때(다우법) 얻는 생성물이다.
−NHOH(페닐히드록실아민)와 두 고리가 −NH−NH− 로 이어진 히드라조벤젠은 니트로벤젠을 단계적으로 환원할 때 나타나는 중간체다.

휘발유의 안티노킹성을 나타내는 지표는 옥탄가이다.
세탄가는 디젤연료의 착화성을, API도는 석유의 비중을 나타내는 지표로 옥탄가와는 서로 다른 용도로 쓰인다.

Nylon 6는 카프로락탐의 개환중합으로 제조된다.
아디프산과 헥사메틸렌디아민은 Nylon 66의 원료이며, 세바크산은 Nylon 610 계열 원료로 Nylon 6와는 관계가 없다.

열분해(thermal cracking)는 라디칼 반응 메커니즘으로 진행되어 코크스·타르 생성이 많고 디올레핀이 많이 생성되며, 카보늄이온 메커니즘의 접촉분해보다 방향족 생성이 적다.
반면 C3~C6 탄화수소가 많이 생성되는 것은 카보늄이온 메커니즘을 따르는 접촉분해의 특징이며, 열분해는 상대적으로 저분자량(C2 계열) 생성이 두드러진다.

인광석에 인산(H3PO4)을 작용시켜 얻는 수용성 인산분이 높은 비료는 중과린산석회(중과석)이다.
과린산석회(보통 과석)는 황산을 사용하여 얻는 반면, 중과석은 인산을 사용해 유효 인산 성분을 더 높인 제품이라는 점에서 구분된다.

칼슘 경도를 CaCO3 환산 ppm으로 나타내면 당량비를 곱해 50 ppm이 된다.
$20 \times \dfrac{50}{20} = 50\,\mathrm{ppm}$ (CaCO3 당량 50, Ca 당량 20)

암모니아 산화반응(오스트발트법)의 촉매로는 백금-로듐(Pt-Rh) 그물망 촉매가 주로 사용된다.
고온에서 내구성이 우수하고 NO로의 선택율이 높아 질산 제조 공정의 표준 촉매로 쓰인다.

천연고무의 주 구성 단량체는 이소프렌(isoprene)이며, 천연고무는 이소프렌이 중합된 폴리이소프렌 구조를 갖는다.
프로판, 에틸렌, 이소부텐은 각각 다른 석유화학 제품의 원료로 천연고무와는 직접적 관련이 없다.

솔베이법(암모니아소다법)의 주요 반응 단계는 함수(소금물) 정제 → 암모니아 흡수 → 탄산화 → 중조 하소 → 암모니아 회수로 이어진다.
암모니아 흡수는 가압 조작이 아닌 통상의 흡수 조작으로 이루어지므로, "가압 흡수반응"은 이 공정의 주요 반응에 해당하지 않는다.

솔베이법(암모니아소다법)의 원료·중간물질은 NaCl(소금물), NH3(암모니아), CaCO3(석회석, CO2와 CaO 공급원)이다.
HNO3(질산)는 이 공정 어디에서도 사용되지 않으며, 질산은 암모니아 산화(오스트발트법) 같은 전혀 다른 공정에서 쓰이는 물질이다.