[7급 국가직 자동제어] 23년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

가제어성·가관측성은 전달함수만으로 판정할 수 없으므로, 전달함수만으로 확인할 수 있다는 설명이 옳지 않다.
전달함수는 입출력 관계만 담기 때문에 극점·영점 상쇄가 일어나면 제어되지 않거나 관측되지 않는 모드가 드러나지 않는다. 두 성질은 상태공간방정식의 가제어성·가관측성 행렬의 계수(rank)로 판정한다.
상태공간방정식은 비선형시스템이나 다중입출력 시스템의 모델링에도 적용할 수 있다.
하나의 전달함수는 제어기 표준형·관측기 표준형·대각형 등 여러 상태공간 실현으로 표현할 수 있다.
상태변수를 통해 출력뿐 아니라 시스템 내부의 거동까지 해석할 수 있다.

정상상태오차 조건으로 $K_P=14$, 감쇠비 조건으로 $K_D=1$이 정해진다.
개루프 전달함수 $G(s)=\dfrac{K_P+K_Ds}{(s+1)(s+2)}$의 위치오차상수는 $K_p=\lim_{s\to0}G(s)=\dfrac{K_P}{2}$이다.
$e_{ss}=\dfrac{1}{1+K_P/2}=\dfrac{1}{8}$에서 $K_P=14$이다.
특성방정식은 $s^2+(3+K_D)s+(2+K_P)=s^2+(3+K_D)s+16=0$이므로 $\omega_n=4$이다.
$2\zeta\omega_n=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot4=4=3+K_D$에서 $K_D=1$이다.
$K_P=14$, $K_D=0.5$: $2\zeta\omega_n=3.5$, $\zeta\approx0.44$로 감쇠비 조건을 만족하지 못한다.
$K_P=16$, $K_D=0.5$: $e_{ss}=\dfrac{1}{1+8}=\dfrac{1}{9}$가 되어 오차 조건부터 맞지 않는다.
$K_P=16$, $K_D=1$: $e_{ss}=\dfrac{1}{1+8}=\dfrac{1}{9}$이 되어 오차 조건을 만족하지 못한다.

$e^{\pm at}$를 곱한 함수의 변환에 쓰이는 것은 시간천이가 아니라 주파수천이(복소추이) 성질이므로, 시간천이에 대한 설명이 옳지 않다.
시간천이는 $\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)$이고, 주파수천이는 $\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}=F(s+a)$이다. 즉 지수함수가 곱해지면 s가 이동한다.
적분성질은 $\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)d\tau\right\}=\dfrac{F(s)}{s}$이므로 변환에 포함된 $\dfrac{1}{s}$은 적분에 대응한다.
합의 변환이 각 변환의 합과 같다는 것은 선형성질이다.
시간이 무한대일 때의 극한을 $s\to0$에서의 $sF(s)$로 구하는 것은 최종값 정리이다.

오차는 기준입력 항은 +, 외란 항은 $-H(s)G_2(s)U(s)$가 붙은 형태가 된다.
그림에서 $E=R-HC$, $C=G_2(G_1E+UD)$이다.
대입하면 $E=R-G_1G_2HE-HG_2UD$이므로 $E=\dfrac{R-HG_2UD}{1+G_1G_2H}$이다.
외란은 $U\to G_2\to H$를 거쳐 궤환 가합점의 (-) 단자로 들어오므로 부호가 음이고 분자에 $H$가 포함된다.
외란 항이 (+) 부호인 두 식: 외란 신호는 궤환 경로를 통해 (-)로 감해지므로 부호가 틀렸다.
외란 항 분자에 $H(s)$가 없는 식: 외란이 오차 신호에 도달하려면 궤환요소 $H(s)$를 반드시 거치므로 빠질 수 없다.

전체 전달함수가 $\dfrac{1-A}{1+G_1}$로 정리되므로 $A=1-G_1(s)$이어야 한다.
첫 가합점 출력이 $Y$이고, 두 번째 가합점 출력을 $X$라 하면 정궤환에 의해 $X=Y+AX$, 즉 $X=\dfrac{Y}{1-A}$이다.
마지막 가합점 출력은 $Z=(A+G_1)X=\dfrac{(A+G_1)Y}{1-A}$이다.
$Y=R-Z$에 대입하면 $Y\cdot\dfrac{1-A+A+G_1}{1-A}=R$이므로 $\dfrac{Y}{R}=\dfrac{1-A}{1+G_1}$이다.
이것이 $\dfrac{G_1}{1+G_1}$이 되려면 $1-A=G_1$이다.
$A=G_1$: $\dfrac{Y}{R}=\dfrac{1-G_1}{1+G_1}$가 된다.
$A=-G_1$: 분자와 분모가 같아져 $\dfrac{Y}{R}=1$이 된다.
$A=1+G_1$: $\dfrac{Y}{R}=-\dfrac{G_1}{1+G_1}$로 부호가 반대가 된다.

전달함수는 $\dfrac{abcdeg+abcdfg}{1-(bh+di+bcdj)+bhdi}$이다.
전향경로는 $e$와 $f$가 병렬이므로 $P_1=abcdeg$, $P_2=abcdfg$ 두 개이다.
루프는 $bh$, $di$, 그리고 $j$를 통해 되돌아오는 $bcdj$ 세 개이다.
서로 마디를 공유하지 않는 비접촉 루프 쌍은 $bh$와 $di$뿐이고, 두 경로는 모든 루프와 접촉하므로 $\Delta_1=\Delta_2=1$이다.
분모에 $bcdi$를 더한 식: $bcdj$와 $di$는 마디를 공유하는 접촉 루프이므로 곱 항이 생기지 않는다.
분자가 $abcdefg$인 식: 병렬 가지 $e$, $f$는 곱이 아니라 두 경로의 합으로 처리해야 한다.
분모에 $bcdj$가 없는 식: $j$ 가지가 만드는 큰 루프를 빠뜨렸다.

전달함수가 $\dfrac{Bs+K}{Ms^2+Bs+K}$이므로 영점은 $s=-\dfrac{K}{B}=-\dfrac{3}{4}$이다.
스프링과 감쇠기는 수레(변위 $u$)와 질량(변위 $y$) 사이의 상대변위에 작용한다.
$M\ddot{y}=K(u-y)+B(\dot{u}-\dot{y})$
라플라스 변환하면 $\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{Bs+K}{Ms^2+Bs+K}=\dfrac{4s+3}{s^2+4s+3}$이다.
분자 $4s+3=0$에서 영점은 $-0.75$이고, 극점 $-1$, $-3$과 상쇄되지 않는다.
$-\dfrac{1}{4}$: 영점은 $-K/B$인데 $-1/B$처럼 잡은 값이다.
$-\dfrac{1}{3}$: $-1/K$처럼 잡은 값으로, 분자 $4s+3$의 근이 아니다.
영점 없음: 감쇠기가 입력의 속도 $\dot{u}$를 전달하므로 분자에 $s$ 항이 생겨 영점이 존재한다.

영역 A는 반지름 2인 원 안에서 음의 실수축을 중심으로 ±45° 이내인 좌반평면 부채꼴이다.
극점 $s=-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$에서 원점까지 거리는 $\omega_n$이므로 $\omega_n\lt 2$는 반지름 2인 원의 내부이다.
음의 실수축과 이루는 각 $\theta$는 $\cos\theta=\zeta$이므로 $\zeta\gt \dfrac{1}{\sqrt{2}}$는 $\theta\lt 45^\circ$이다.
$\zeta\lt 1$은 부족감쇠로 극점이 좌반평면의 공액복소수임을 뜻한다.
원의 반지름이 $\sqrt{2}$로 표시된 그림: $\omega_n\lt 2$는 반지름 2이므로 경계가 틀렸다.
45° 선과 허수축 사이를 칠한 그림: 그 영역은 $\theta\gt 45^\circ$, 즉 $\zeta\lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}$인 영역이다.

계단입력에 의한 오차 $\dfrac{1}{11}$과 외란에 의한 오차 0을 더해 정상상태오차의 합은 $\dfrac{1}{11}$이다.
$E=R-C$, $C=\dfrac{10}{s+1}E+D$이므로 $E=\dfrac{s+1}{s+11}\left(R-D\right)$이다.
기준입력 $R=\dfrac{1}{s}$: $e_r=\lim_{s\to0}s\cdot\dfrac{s+1}{s+11}\cdot\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{11}$
외란 $D=\dfrac{1}{s+1}$: $e_d=\lim_{s\to0}s\cdot\dfrac{s+1}{s+11}\cdot\dfrac{1}{s+1}=0$
$\dfrac{1}{10}$: $\dfrac{1}{1+K_p}$에서 1을 빠뜨리고 $\dfrac{1}{K_p}$로 계산한 값이다.
$\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{1}{12}$: 외란 $e^{-t}$는 0으로 소멸하는 신호이므로 정상상태오차에 기여하지 않아 이런 값이 나올 수 없다.

전달함수가 $\dfrac{1}{s^2+s+1}$인 부족감쇠 2차계이므로 오버슈트가 발생하지만 1로 수렴한다.
$G(s)=C(sI-A)^{-1}B=\dfrac{1}{s^2+s+1}$
$\omega_n=1,\ 2\zeta\omega_n=1\ \Rightarrow\ \zeta=0.5$
감쇠비가 0과 1 사이이므로 오버슈트가 생기고, 직류이득 $G(0)=1$이므로 최종값 정리에 의해 출력은 1로 수렴한다.
감쇠비가 0보다 커 진동이 점차 소멸하므로 계속 진동하지 않는다.
감쇠비가 1보다 작으므로 오버슈트 없이 수렴하는 응답이 아니다.
두 극점의 실수부가 $-0.5$로 음수이므로 무한대로 발산하지 않는다.

특성방정식 $s^2+25s+20K=0$에서 $K=\dfrac{9}{20}$, $\zeta=\dfrac{25}{6}$이다.
내부 루프(궤환요소 $s$)를 먼저 묶으면 $\dfrac{20/(s(s+5))}{1+20s/(s(s+5))}=\dfrac{20}{s^2+25s}$이다.
외부 단위궤환을 포함한 폐루프 특성방정식은 $s^2+25s+20K=0$이다.
$\omega_n^2=20K=9$에서 $K=\dfrac{9}{20}$이다.
$2\zeta\omega_n=25$에서 $\zeta=\dfrac{25}{6}$로 과감쇠이다.
$K=\dfrac{9}{25}$: $\omega_n^2=20K$인데 계수를 25로 잘못 둔 값이다.
$\zeta=\dfrac{25}{9}$: $2\omega_n=6$ 대신 $\omega_n^2=9$로 나눈 값으로 맞지 않는다.

폐루프 특성방정식 $s^3+3s^2+3s+K=0$의 안정 범위는 $0\lt K\lt 9$이므로, 이를 만족하는 값은 5뿐이다.
특성방정식: $s(s+1)(s+2)+(s+K)=s^3+3s^2+3s+K=0$
Routh 표 첫 열: $1,\ 3,\ \dfrac{9-K}{3},\ K$
모두 양수이려면 $K\gt 0$이고 $K\lt 9$이다.
10은 9보다 커 첫 열에 부호 변화가 생기므로 불안정하다.
15도 9보다 커 불안정하다.
20도 9보다 커 불안정하다.

근궤적이 허수축과 만나는 주파수는 $\omega=\sqrt{6}\,\mathrm{rad/s}$이다.
특성방정식은 $1+\dfrac{K}{s(s+2)(s+3)}=0$, 즉 $s^3+5s^2+6s+K=0$이다.
$s=j\omega$를 대입하면 허수부 $\omega(6-\omega^2)=0$, 실수부 $K-5\omega^2=0$이다.
따라서 $\omega^2=6$, $K=30$이며, Routh 표의 $s^1$행 $\dfrac{30-K}{5}=0$과 보조방정식 $5s^2+30=0$으로도 같은 결과가 나온다.
$\sqrt{3}$: $\omega^2=3$이면 허수부 $\omega(6-\omega^2)$가 0이 되지 않는다.
2: $\omega^2=4$도 허수부 조건을 만족하지 못한다.
$\sqrt{5}$: 실수부 계수 5를 $\omega^2$로 혼동한 값이다.

상태피드백 후 특성방정식이 $(s+1)(s+4)=0$이므로 폐루프 극점은 －4, －1이다.
$K=\begin{bmatrix}2&2\end{bmatrix}$이므로
$A-BK=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\-4&-5\end{bmatrix}$
$\det(sI-A+BK)=s^2+5s+4=(s+1)(s+4)$
－3, －2는 $s^2+5s+6$에 해당해 상수항이 계산 결과와 다르다.
－2, －2는 $s^2+4s+4$에 해당해 계산 결과와 다르다.
－2, －1은 피드백 전 개루프 행렬 $A$의 극점($s^2+3s+2$)이다.

감쇠비가 0.5이므로 $M_p=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$, $\omega_r=\dfrac{5}{\sqrt{2}}$이다.
$\omega_n^2=25\Rightarrow\omega_n=5$
$2\zeta\omega_n=5\Rightarrow\zeta=0.5$
$M_p=\dfrac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{0.75}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
$\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}=5\sqrt{0.5}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}$
첨두공진값은 맞지만 공진주파수를 $5\sqrt{2}$로 둔 조합은 공진주파수가 고유주파수보다 커져 성립하지 않는다.
첨두공진값 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$과 공진주파수 $5\sqrt{2}$의 조합은 두 값 모두 계산 결과와 다르다.
공진주파수는 맞지만 첨두공진값을 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$로 둔 조합은 값이 1보다 작아 공진이 생기는 감쇠비 조건과 모순된다.

상태천이행렬은 $\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}(1-e^{-2t})\\0&e^{-2t}\end{bmatrix}$이다.
그림에서 $\dot{x}_2=-2x_2+u$, $\dot{x}_1=x_2$이므로 $A=\begin{bmatrix}0&1\\0&-2\end{bmatrix}$이다.
$(sI-A)^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{s}&\frac{1}{s(s+2)}\\0&\frac{1}{s+2}\end{bmatrix}$이고, $\dfrac{1}{s(s+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+2}\right)$를 역변환하면 위 결과가 된다.
검산으로 $t=0$에서 단위행렬이 되어야 한다.
(1,1) 성분이 -1인 행렬: $t=0$에서 단위행렬이 되지 않는다.
(1,2) 성분이 $1+e^{-2t}$인 행렬: $t=0$에서 2가 되어 단위행렬 조건에 어긋나고 1/2 계수도 빠졌다.
(2,2) 성분이 $-e^{-2t}$인 행렬: $t=0$에서 -1이 되고 (1,2) 성분도 1이 되어 틀렸다.

실수축 극점을 -8로 옮기면 복소근 궤적이 왼쪽으로 밀려 감쇠비가 오히려 커지므로, 감쇠비가 작아진다는 설명이 옳지 않다.
극점 -4를 -8로 바꾸면 점근선 중심이 $\dfrac{-4+1}{2}=-1.5$에서 $\dfrac{-8+1}{2}=-3.5$로 이동한다.
복소근 궤적 전체가 왼쪽(더 안정한 쪽)으로 이동하여 음의 실수축과 이루는 각이 줄어들므로 $\zeta=\cos\theta$가 커진다.
무한대 이득에서 ±90° 발산: 극점 3개·영점 1개로 점근선은 2개, 각 $\pm90^\circ$, 중심 -1.5로 좌반평면이므로 옳다.
점 A에서 $K=8$: $K=\dfrac{|s|^2|s+4|}{|s+1|}=\dfrac{4\cdot2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8$로 크기 조건을 만족하므로 옳다.
실수근 절댓값 감소: 실수축 궤적은 극점 -4에서 영점 -1로 이동하므로 K가 커질수록 절댓값이 작아져 옳다.

점선 내부는 불안정하고, 전체 폐루프는 $K\gt a-1$일 때 안정하다.
점선 내부는 정궤환이므로 $\dfrac{1/(s+1)}{1-a/(s+1)}=\dfrac{1}{s+1-a}$이고, 극점 $s=a-1\gt 0$이 우반평면에 있어 불안정하다.
전체 폐루프는 $\dfrac{C}{R}=\dfrac{K}{s+1-a+K}$이므로 극점 $s=a-1-K$가 음수가 되려면 $K\gt a-1$이어야 한다.
점선 내부가 안정이라는 조합: $a\gt 1$이면 극점이 양수이므로 안정할 수 없다.
안정조건 $K\lt a$: 극점 $a-1-K$를 음수로 만드는 조건이 아니다.

공진주기는 폐루프 주파수응답의 공진주파수 $\omega_r$로 정해지는 양이므로, 개루프 지표인 이득교차주파수가 높을수록 공진주기가 짧아진다는 설명이 옳지 않다.
이득교차주파수는 개루프 크기가 1(0 dB)이 되는 주파수로 위상여유를 읽는 기준점이다. 같은 이득교차주파수라도 위상여유에 따라 첨두공진값과 공진주파수가 달라지므로, 이득교차주파수만으로 공진주기를 정할 수 없다.
대역폭이 넓을수록 높은 주파수 성분까지 통과시키므로 응답속도가 빨라진다.
첨두공진값은 폐루프 주파수응답 크기의 최댓값이며, 클수록 감쇠가 작아 상대안정도의 척도가 된다.
이득여유는 위상이 －180°인 주파수에서 개루프 주파수응답 크기의 역수로 정의한다.

개루프 전달함수에 좌반면 영점을 추가하면 근궤적이 왼쪽으로 끌려가 정착속도가 빨라진다.
근궤적은 개루프 전달함수의 극점·영점으로 그려진다. 좌반면 영점은 위상을 앞서게 하고 점근선 수를 줄여 궤적을 좌반면 쪽으로 휘게 하며, 극점은 그 반대로 작용한다.
개루프 전달함수에 극점을 추가하면 근궤적이 오른쪽(허수축 쪽)으로 밀려 응답이 느려지고 안정도가 낮아진다.
근궤적의 모양은 개루프 전달함수로 결정되므로, 폐루프 전달함수에 극점을 추가해 근궤적을 끌어당긴다는 것은 근궤적 설계의 설명이 아니다.
폐루프 전달함수에 영점을 추가하는 것도 같은 이유로 근궤적을 움직이는 설계 방법이 아니다.

보드선도에 맞는 전달함수는 $10\dfrac{s+5}{s-50}$이다.
이득은 저주파 0 dB에서 $\omega=5$부터 +20 dB/dec로 올라 $\omega=50$ 이후 20 dB로 평탄하므로 영점 크기 5, 극점 크기 50, 고주파 이득 10이다.
저주파 이득 $10\cdot\dfrac{5}{50}=1$(0 dB)도 일치한다.
위상은 -180°에서 0°로 증가한다. $s+5$는 0°→+90°, $\dfrac{1}{s-50}$는 -180°→-90°이므로 합이 -180°→0°가 된다.
$10\dfrac{s+5}{s+50}$: 저주파 위상이 0°에서 시작하므로 맞지 않는다.
$10\dfrac{s-5}{s-50}$: 저주파 이득이 양수라 위상이 0°에서 시작한다.
$10\dfrac{s-5}{s+50}$: 시작은 ±180°이나 우반면 영점과 좌반면 극점이 모두 위상을 감소시켜 그림처럼 증가하지 않는다.

이산시간 시스템은 폐루프 극점이 $z$-평면 단위원 내부($|z|\lt 1$)에 있어야 안정하므로, 실수부가 음수여야 한다는 설명이 옳지 않다.
실수부 음수 조건은 연속시간($s$-평면)의 안정 조건이다. $z=e^{sT}$ 사상에 의해 $s$-평면 좌반면이 단위원 내부로 옮겨진다.
시스템의 한 부분 이상에서 신호가 펄스나 디지털 부호로 되어 있다는 것은 이산시간 시스템의 정의이다.
$z$-변환은 이산시간 시스템 해석의 기본 도구이다.
이산시간 시스템은 차분방정식으로 표현된다.

적분형 상태피드백에서도 확장 시스템의 극점을 배치할 수 있으므로, 정착시간과 오버슈트 조절이 불가능하다는 설명이 옳지 않다.
적분기 상태 $\dot{x}_I=r-y$를 추가한 확장 시스템이 가제어하면 이득 $k_1,\ k_2,\ k_I$로 극점을 임의로 배치해 과도응답을 조절하면서 정상상태오차도 0으로 만들 수 있다.
$A-BK=\begin{bmatrix}0&1\\-1-k_1&-2-k_2\end{bmatrix}$이므로 특성방정식은 $s^2+(k_2+2)s+k_1+1=0$이 맞다.
시스템이 가제어하므로 상태피드백으로 극점을 옮겨 정착시간과 오버슈트를 조절할 수 있다.
적분 동작을 추가하면 계단 기준입력에 대한 정상상태오차를 0으로 만들 수 있다.