그림과 같은 시스템의 상태천이행렬로 옳은 것은? | [7급 국가직 자동제어] 23년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 자동제어] 23년 1회차

그림과 같은 시스템의 상태천이행렬로 옳은 것은?

 $\begin{bmatrix}-1&1-e^{-2t}\\0&e^{-2t}\end{bmatrix}$

 $\begin{bmatrix}1&1+e^{-2t}\\0&e^{-2t}\end{bmatrix}$

 $\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}(1-e^{-2t})\\0&e^{-2t}\end{bmatrix}$

 $\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}(1+e^{-2t})\\0&-e^{-2t}\end{bmatrix}$

해설

상태천이행렬은  $\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}(1-e^{-2t})\\0&e^{-2t}\end{bmatrix}$ 이다.
그림에서  $\dot{x}_2=-2x_2+u$ ,  $\dot{x}_1=x_2$ 이므로  $A=\begin{bmatrix}0&1\\0&-2\end{bmatrix}$ 이다.
 $(sI-A)^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{s}&\frac{1}{s(s+2)}\\0&\frac{1}{s+2}\end{bmatrix}$ 이고,  $\dfrac{1}{s(s+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+2}\right)$ 를 역변환하면 위 결과가 된다.
검산으로  $t=0$ 에서 단위행렬이 되어야 한다.
(1,1) 성분이 -1인 행렬:  $t=0$ 에서 단위행렬이 되지 않는다.
(1,2) 성분이  $1+e^{-2t}$ 인 행렬:  $t=0$ 에서 2가 되어 단위행렬 조건에 어긋나고 1/2 계수도 빠졌다.
(2,2) 성분이  $-e^{-2t}$ 인 행렬:  $t=0$ 에서 -1이 되고 (1,2) 성분도 1이 되어 틀렸다.

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