[7급 국가직 응용역학] 23년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

B 지점의 수직반력은 40 kN이다.
경간이 같은(4 m) 2경간 연속보에 등분포하중이 전 길이에 걸리면 중간지점 반력은 $R_B=\dfrac{10}{8}wL$ 이다(B를 제거한 8 m 단순보의 중앙처짐 $\dfrac{5w(2L)^4}{384EI}$ 를 B의 집중반력 처짐 $\dfrac{R_B(2L)^3}{48EI}$ 로 상쇄).
$R_B=1.25\times8\times4=40\,\mathrm{kN}$, 양 끝 반력은 각각 $0.375wL=12\,\mathrm{kN}$ 으로 합계 64 kN과 맞는다.
10 kN — 전체 하중 64 kN의 1/6 남짓으로, 중간지점이 가장 큰 반력을 받는 연속보 특성과 맞지 않는다.
20 kN — B에서 끊어 단순보 두 개로 보아도 B 반력이 32 kN인데, 그보다도 작다.
30 kN — 중간지점이 하중의 절반 이상을 받는다는 연속보 특성을 반영하지 못한 값이다.

C점의 수직응력은 축응력과 편심 휨응력의 합으로 $\dfrac{P}{2b^2}\left(1+\dfrac{a}{b}\right)$ 이다.
단면적과 단면계수: $A=6b\cdot b=6b^2$, 편심 방향 단면계수 $Z=\dfrac{b(6b)^2}{6}=6b^3$.
$\sigma_C=\dfrac{3P}{6b^2}+\dfrac{3Pa}{6b^3}=\dfrac{P}{2b^2}\left(1+\dfrac{a}{b}\right)$ — C점은 하중이 편심된 쪽 끝이라 두 항이 모두 압축으로 더해진다.
$\dfrac{P}{b^2}\left(1+\dfrac{a}{6b}\right)$ — 단면적과 단면계수를 잘못 잡은 결과다.
$\dfrac{2P}{3b^2}\left(1+\dfrac{2a}{b}\right)$ — 축응력 항부터 $\dfrac{3P}{6b^2}$ 와 다르다.
$\dfrac{3P}{4b^2}\left(1+\dfrac{a}{2b}\right)$ — 축응력 항과 휨 항의 계수가 모두 맞지 않는다.

단순보 (b)의 최대 정모멘트는 30 kN·m이다.
양단 고정보의 최대 정모멘트(중앙)는 $\dfrac{wL^2}{24}=10$ 이므로 $wL^2=240$.
단순보의 최대 정모멘트는 $\dfrac{wL^2}{8}=\dfrac{240}{8}=30\,\mathrm{kN\cdot m}$ 로, 고정보 중앙 모멘트의 3배다.
10 — 고정보 중앙 모멘트를 그대로 옮긴 값이다.
20 — 고정단 부모멘트 $\dfrac{wL^2}{12}$ 에 해당하는 값이다.
40 — 비율을 4배로 잘못 잡은 값이다.

C점 휨모멘트의 영향선은 C에서 꺾인 첨점을 이루며 중앙 경간은 위로 볼록(+)하고 양 측경간은 아래로 처지는(−) 모양이다.
뮐러-브레슬라우 원리에 따라 C에 힌지를 넣고 단위 상대회전을 주면, 중앙 경간 BD는 C에서 꺾이며 솟아오르고 연속성 때문에 B·D에서 회전이 이어져 양 측경간은 반대 방향으로 휜다.
C에서 꺾임 없이 매끈한 곡선 — 꺾임(상대회전)이 없으므로 C의 휨모멘트 영향선이 아니다.
C에서 수직으로 끊겨 뛰는 형태 — 상대처짐(불연속)을 준 것으로 C점 전단력 영향선의 모양이다.

수직하중 P는 120 kN이다.
케이블 장력 $T=\sigma A=40\times2500=100{,}000\,\mathrm{N}=100\,\mathrm{kN}$.
AC 길이는 $\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathrm{m}$, 수직 성분비 $\dfrac{3}{5}$.
C점 평형: $P=2T\cdot\dfrac{3}{5}=2\times100\times0.6=120\,\mathrm{kN}$
160 kN — 수직 성분비를 $\dfrac{4}{5}$ 로 잘못 쓴 값이다.
200 kN — 두 케이블 장력을 그대로 더한 값이다.
240 kN — 성분비 없이 계산을 그르친 값이다.

전단응력의 비는 0.75이다.
직사각형 단면의 전단응력은 $\tau=\dfrac{V}{2I}\left(\dfrac{h^2}{4}-y^2\right)$ 로 포물선 분포한다.
$\dfrac{\tau_2}{\tau_1}=\dfrac{200^2-100^2}{200^2}=\dfrac{30000}{40000}=0.75$ (폭 150 mm는 약분된다).
0.65 — 포물선 분포 $1-\left(\dfrac{2y}{h}\right)^2$ 에서 나오지 않는 값이다.
0.70 — 같은 식으로 계산되지 않는 값이다.
0.80 — 감소율을 작게 잡은 값으로 포물선 분포와 맞지 않는다.

두 기둥의 좌굴 임계하중 비는 $\dfrac{12}{\pi}$이다.
오일러 공식 $P_{cr} = \dfrac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$에서 E와 L이 같으므로 비는 $I$와 유효길이계수 $K$로만 정해진다. 양단 핀은 $K=1$, 양단 고정은 $K=0.5$이므로 $\dfrac{1}{K^2}$의 비는 4이다.
단면적 $A$가 같을 때 정사각형은 $I_1 = \dfrac{s^4}{12} = \dfrac{A^2}{12}$, 원형은 $I_2 = \dfrac{\pi r^4}{4} = \dfrac{A^2}{4\pi}$이다.
$\dfrac{P_{cr2}}{P_{cr1}} = 4 \times \dfrac{A^2/(4\pi)}{A^2/12} = \dfrac{12}{\pi}$
$\dfrac{3}{\pi}$는 단면2차모멘트 비만 보고 지지조건에 따른 4배를 빠뜨린 값이다.
$\dfrac{6}{\pi}$는 유효길이 비를 제곱하지 않아 고정단 효과를 2배로만 반영한 값이다.
$\dfrac{9}{\pi}$는 단면 성질과 지지조건 어느 것으로도 나오지 않는 값이다.

원환응력은 60 MPa, 길이방향응력은 30 MPa이다.
$f_1=\dfrac{pr}{t}=\dfrac{1.6\times300}{8}=60\,\mathrm{MPa}$
$f_2=\dfrac{pr}{2t}=30\,\mathrm{MPa}$ — 얇은 원통에서 원환응력은 길이방향응력의 2배다.
원환 30·길이 60 — 두 응력을 뒤바꾼 조합이다.
원환 40·길이 60 — 두 공식 모두와 맞지 않는다.
원환 60·길이 40 — 길이방향응력이 원환응력의 절반이 아니다.

부재 AD의 변형률은 0.0005이다.
세 부재가 한 점에 모인 1차 부정정이므로 적합조건을 쓴다. CD 길이 3 m, AD·BD 길이 $\dfrac{3}{\cos60^\circ}=6\,\mathrm{m}$. D의 수직변위를 $\delta$ 라 하면 CD 신장 $\delta$, AD 신장 $\delta\cos60^\circ=\dfrac{\delta}{2}$.
$F_{CD}=\dfrac{EA\delta}{3},\; F_{AD}=\dfrac{EA\delta}{12}$ → $F_{CD}=4F_{AD}$
평형: $F_{CD}+2F_{AD}\cos60^\circ=5F_{AD}=50$ → $F_{AD}=10\,\mathrm{kN}$
$\varepsilon=\dfrac{10000}{100\times200000}=0.0005$
0.0006 — 세 부재가 강성비대로 하중을 나눈다는 적합조건을 빼고 분배한 값이다.
0.0007 — AD 부재력을 과대 산정한 값이다.
0.0008 — AD가 실제보다 큰 하중을 받는다고 본 값이다.

최대장력은 25 kN이다.
수직반력: $R_A=\dfrac{6\times18+12\times12+10\times6}{24}=13\,\mathrm{kN}$, $R_E=28-13=15\,\mathrm{kN}$.
C점 모멘트 0(케이블): $H\times6=13\times12-6\times6=120$ → $H=20\,\mathrm{kN}$
최대장력은 수직반력이 큰 E 쪽: $T=\sqrt{20^2+15^2}=25\,\mathrm{kN}$
15 kN — E의 수직반력만 취한 값이다.
30 kN — 수평장력 계산을 그르친 값이다.
38 kN — 수평장력과 수직반력을 잘못 합성한 값이다.

부재 AB의 부재력은 10 kN(압축)이다.
반력: $R_B=\dfrac{9\times8}{12}=6\,\mathrm{kN}$. AB는 수평 4 m·수직 3 m인 경사재(길이 5 m)다.
B절점 수직 평형: $F_{AB}\cdot\dfrac{3}{5}=6$ → $F_{AB}=10\,\mathrm{kN}$, 지점 반력을 위에서 눌러 받치므로 압축이다.
5 kN(인장) — 크기와 부호가 모두 틀렸다.
5 kN(압축) — 부호는 맞지만 크기가 수직 성분비 $\dfrac{3}{5}$ 와 맞지 않는다.
10 kN(인장) — 크기는 같지만 부호가 반대다.

구조적으로 불안정한 것은 힌지·롤러 지점 단순보 끝에 경사부재와 수평부재가 힌지로 이어지고 끝이 롤러로만 받쳐진 구조다.
판별식 $m=r+2h-3n$(반력 r, 내부 힌지 h, 부재 n): 반력 $2+1+1=4$, 내부 힌지 2개, 부재 3개 → $4+4-9=-1\lt 0$. 경사부재·수평부재가 롤러 위에서 기구(mechanism)처럼 움직인다.
힌지 2개를 가진 게르버보(힌지+롤러 3개) — $5+4-9=0$, 정정·안정이다.
양단 힌지 지점에 정점 힌지를 둔 아치 — 3힌지 아치로 $4+2-6=0$, 안정이다.
고정단 보에 수직재·수평재를 힌지로 잇고 힌지 지점으로 받친 구조 — $5+4-9=0$, 안정이다.

최대 휨인장응력은 40 MPa이다.
중앙 최대 6 kN/m의 대칭 삼각형 분포하중: 전하중 $\dfrac{6\times8}{2}=24\,\mathrm{kN}$, 반력 각 12 kN.
중앙 모멘트 $M=12\times4-12\times\dfrac{4}{3}=32\,\mathrm{kN\cdot m}$
$Z=\dfrac{120\times200^2}{6}=8\times10^5\,\mathrm{mm^3}$
$\sigma=\dfrac{32\times10^6}{8\times10^5}=40\,\mathrm{MPa}$
50 MPa — 중앙 모멘트를 과대 산정한 값이다.
60 MPa — 삼각형 분포하중을 등분포처럼 다룬 쪽으로 모멘트를 키운 값이다.
70 MPa — 모멘트 또는 단면계수를 잘못 잡은 값이다.

B축의 수평반력은 270 kN이다.
수심 3 m의 정수압 합력: $F=\dfrac{1}{2}\times10\times3^2\times8=360\,\mathrm{kN}$, 작용점은 바닥에서 1 m(수심의 $\dfrac{1}{3}$) → 상단 힌지 A에서 3 m 아래.
A점 모멘트 평형: $H_B\times4=360\times3$ → $H_B=270\,\mathrm{kN}$
250 kN — 합력 작용점이나 팔길이를 잘못 잡은 값이다.
290 kN — 합력 작용점(바닥에서 수심의 1/3)을 잘못 잡은 값이다.
310 kN — 판 높이 4 m 팔길이를 반영하지 못한 값이다.

체적변화량은 600 mm³이다.
세 방향 균일 응력을 받을 때 체적변형률은 $\varepsilon_v = \dfrac{3(1-2\nu)}{E}\sigma$이다.
$\varepsilon_v = \dfrac{3(1-0.6)}{200000} \times 100 = 6 \times 10^{-4}$
$\Delta V = \varepsilon_v V = 6 \times 10^{-4} \times 10^{6} = 600\ \mathrm{mm^3}$
200은 계수 3을 빠뜨려 한 방향 몫만 계산한 값이다.
400은 계수 3 대신 2를 써서 두 방향 응력만 반영한 값이다.
800은 체적변형률을 $8 \times 10^{-4}$로 잡은 값으로, $3(1-2\nu)\sigma/E$의 결과와 맞지 않는다.

등분포하중 w는 8 kN/m이다.
$\dfrac{PL^3}{48EI}=\dfrac{5wL^4}{384EI}$ → $w=\dfrac{8P}{5L}$
$w=\dfrac{8\times50}{5\times10}=8\,\mathrm{kN/m}$ — 전하중 80 kN이 중앙 집중하중 50 kN의 1.6배일 때 처짐이 같다.
4 kN/m — 처짐이 집중하중의 경우보다 작다.
6 kN/m — 처짐이 집중하중의 경우보다 작다.
10 kN/m — 전하중이 100 kN이 되어 처짐이 더 크다.

A 지점의 모멘트반력은 $14\sqrt{3}\,\mathrm{kN\cdot m}$이다.
4 kN 하중은 경사부재 축선을 따라 작용하므로 작용선이 보 끝점(A에서 7 m)을 지난다. 그 점으로 옮겨 분해하면 수평분력 $4\cos60^\circ=2$, 수직분력 $4\sin60^\circ=2\sqrt{3}\,\mathrm{kN}$.
수평분력은 A를 지나는 보 축선 위라 모멘트가 0이다.
$M_A=2\sqrt{3}\times7=14\sqrt{3}\,\mathrm{kN\cdot m}$
$21\sqrt{3}$ — 팔길이를 잘못 잡은 값이다.
$28\sqrt{3}$ — 수직분력을 $4\sqrt{3}$ 로 두 배 잡은 값이다.
$35\sqrt{3}$ — 팔길이를 과대하게 잡은 값이다.

무응력 부재는 4개이다.
하중이 없는 절점에서 두 부재가 일직선이고 나머지 한 부재만 있으면 그 부재력은 0이다. 하중점 쪽부터 차례로 적용한다.
하중점에 가장 가까운 상현 절점의 수직재 — 상현재 둘이 일직선이라 0
그 아래 하현 절점에서 들어오는 사재 — 수직재가 0이 된 뒤 하현재 둘이 일직선이라 0
다음 상현 절점의 수직재 — 같은 논리로 0
다음 하현 절점의 사재 — 같은 논리로 0
왼쪽 벽면 수직재는 롤러 지점이 수평반력만 주므로 하현재의 수직분력을 받아야 해 0이 아니다.

중공단면의 최대 전단응력은 32 MPa이다.
원형 단면의 최대 비틀림 전단응력은 $\tau = \dfrac{Tr}{J}$이며, 바깥 반경이 같으므로 응력은 극관성모멘트 $J$에 반비례한다.
중실: $J_1 = \dfrac{\pi r^4}{2}$
중공: $J_2 = \dfrac{\pi}{2}\left[r^4 - (0.5r)^4\right] = \dfrac{15}{16} \cdot \dfrac{\pi r^4}{2}$
$\tau_2 = 30 \times \dfrac{16}{15} = 32\ \mathrm{MPa}$
30은 속을 비워도 응력이 그대로라고 본 값으로, $J$ 감소를 무시했다.
34는 $J$가 15/16로 줄어든 비율보다 응력 증가를 크게 잡은 값이다.
36은 응력을 1.2배로 본 값으로, $J$가 5/6로 줄어야 나오므로 내부반경 0.5r의 결과와 맞지 않는다.

도심까지의 거리는 $\dfrac{4}{7}a$이다.
경계 $x=y^3$ 이므로 높이는 $y=x^{1/3}$(높이 함수), 구간은 $0\le x\le a$.
$A=\int_0^a x^{1/3}dx=\dfrac{3}{4}a^{4/3}$, $Q_y=\int_0^a x\cdot x^{1/3}dx=\dfrac{3}{7}a^{7/3}$
$\overline{x}=\dfrac{Q_y}{A}=\dfrac{4}{7}a$
$\dfrac{5}{8}a$ — 지수 $\dfrac{1}{3}$ 를 다른 값으로 적분한 결과다.
$\dfrac{3}{4}a$ — 도심을 면적 $\dfrac{3}{4}a^{4/3}$ 의 계수와 혼동한 값이다.
$\dfrac{5}{6}a$ — 높이 함수를 잘못 잡아 적분한 결과다.

$F_{BC}$ 는 12 kN(압축), $F_{BE}$ 는 10 kN(압축)이다.
대칭하중이므로 $R_A=R_C=16\,\mathrm{kN}$. 사재는 수평 3 m·수직 4 m(길이 5 m).
C절점: 수직 $0.8F_{CE}=16$ → $F_{CE}=20$(인장), 수평 $F_{BC}=0.6\times20=12$(압축).
E절점: 수직 $0.8\times20-8+0.8F_{BE}=0$ → $F_{BE}=-10$, 즉 10 kN 압축.
12(압축)·10(인장) — BE의 부호가 반대다.
24(압축)·20(인장) — 크기가 두 배이고 BE의 부호도 반대다.
24(압축)·20(압축) — 부호는 맞지만 크기가 두 배다.

A 지점의 회전각은 0.0004 rad이다.
일단 힌지·타단 고정인 보 중앙 집중하중에서 힌지단 회전각은 $\theta_A=\dfrac{PL^2}{32EI}$ 이다(단순보 $\dfrac{PL^2}{16EI}$ 에서 고정단모멘트 $\dfrac{3PL}{16}$ 의 영향 $\dfrac{PL^2}{32EI}$ 를 뺀 값).
$\theta_A=\dfrac{32000\times8^2}{32\times1.6\times10^8}=0.0004\,\mathrm{rad}$
0.0001 — 고정단 영향을 과하게 빼거나 계수를 잘못 쓴 값이다.
0.0002 — 고정단 영향을 과하게 뺀 값이다.
0.0003 — 회전각 계수를 잘못 쓴 값이다.

C점의 최대 전단응력은 0.15 MPa이다.
하중: 10 kN/m×4 m=40 kN(A에서 2 m), 20 kN/m×4 m=80 kN(A에서 8 m).
$R_A=\dfrac{40\times8+80\times2}{10}=48\,\mathrm{kN}$, C점(A에서 5 m) 전단력 $V=48-40=8\,\mathrm{kN}$
$\tau_{max}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{V}{A}=1.5\times\dfrac{8000}{200\times400}=0.15\,\mathrm{MPa}$
0.10 MPa — 평균 전단응력 $\dfrac{V}{A}=0.10\,\mathrm{MPa}$ 으로, 최대값 계수 1.5배를 빠뜨렸다.
0.05 MPa — C점 전단력을 잘못 구한 값이다.
0.20 MPa — C점 전단력을 과대 산정한 값이다.

B점의 처짐은 210 mm이다.
강체 회전각을 $\theta$ 라 하면 와이어 신장은 C에서 $2\theta$(길이 2 m), D에서 $4\theta$(길이 4 m)로 변형률이 같아 두 와이어 힘이 같다: $F_C=F_D=EA\theta$.
A점 모멘트: $F(2+4)=16.2\times7$ → $F=18.9\,\mathrm{kN}$
$\theta=\dfrac{18900}{210000\times3}=0.03$
$\delta_B=7\times0.03=0.21\,\mathrm{m}=210\,\mathrm{mm}$
120 mm — 두 와이어의 힘 분배(강성비)를 잘못 잡은 값이다.
150 mm — 와이어 힘 또는 회전각 계산을 그르친 값이다.
180 mm — 강체의 회전 변위 비례를 잘못 적용한 값이다.

C점 최대 전단응력은 15 MPa이다.
모멘트하중만 받는 단순보는 전단력이 일정하다: $V=\dfrac{210}{2}=105\,\mathrm{kN}$.
$I=\dfrac{120\times300^3-90\times200^3}{12}=2.1\times10^8\,\mathrm{mm^4}$
중립축 위 단면1차모멘트: $Q=120\times50\times125+30\times100\times50=9\times10^5\,\mathrm{mm^3}$
$\tau_{max}=\dfrac{VQ}{Ib}=\dfrac{105000\times9\times10^5}{2.1\times10^8\times30}=15\,\mathrm{MPa}$
6 MPa — 웨브 두께 대신 플랜지 폭을 쓴 쪽에 가까운 값이다.
9 MPa — Q에서 웨브 부분을 빠뜨리는 등 단면1차모멘트를 잘못 잡은 값이다.
12 MPa — 전단력이나 Q를 과소 산정한 값이다.