[7급 국가직 통계학] 25년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    1[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    다음은 중학생 100명을 대상으로 하루 평균 게임 시간을 조사하여
    작성한 도수분포표의 일부이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것은?
    하루 평균 게임 시간도수상대도수
    1시간 미만25
    1시간 이상 ~ 2시간 미만35
    2시간 이상 ~ 3시간 미만(가)0.21
    3시간 이상 ~ 4시간 미만7
    4시간 이상 ~ 5시간 미만7
    5시간 이상(나)
    합계1001.00
    1
    (가)의 값은 20이다.
    2
    (나)의 값은 3이다.
    3
    하루 평균 게임 시간이 2시간 미만인 학생들의 비율은 0.5보다 작다.
    4
    하루 평균 1시간 이상 2시간 미만 게임을 하는 학생들의 비율이 가장 높다.
    해설
    도수 35로 가장 많은 1시간 이상 2시간 미만 계급의 비율이 가장 높다는 설명이 옳다.
    (가)는 상대도수 0.21에 전체 100명을 곱한 21명이고, (나)는 100에서 나머지 도수의 합을 뺀 5명이다.
    • (가)를 20으로 본 설명: 0.21×100=21이므로 틀리다.
    • (나)를 3으로 본 설명: 100−(25+35+21+7+7)=5이므로 틀리다.
    • 2시간 미만 비율이 0.5보다 작다는 설명: (25+35)/100=0.6으로 0.5보다 크다.

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    2[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    X1X_1, X2X_2, X3X_3은 모평균이 μ\mu인 모집단으로부터 추출한 확률표본일 때,
    μ\mu의 불편추정량으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, μ\mu는 0이 아니다)
    ㄱ. 13X1+23X2−X3\frac{1}{3}X_1+\frac{2}{3}X_2-X_3
    ㄴ. 13X1−X2+23X3\frac{1}{3}X_1-X_2+\frac{2}{3}X_3
    ㄷ. X1+12X2−12X3X_1+\frac{1}{2}X_2-\frac{1}{2}X_3
    ㄹ. 12X1+23X2−16X3\frac{1}{2}X_1+\frac{2}{3}X_2-\frac{1}{6}X_3
    1
    ㄱ, ㄴ
    2
    ㄱ, ㄷ
    3
    ㄴ, ㄹ
    4
    ㄷ, ㄹ
    해설
    계수의 합이 1인 ㄷ, ㄹ이 μ\mu의 불편추정량이다.
    선형결합의 기댓값은 E(c1X1+c2X2+c3X3)=(c1+c2+c3)μE(c_1X_1+c_2X_2+c_3X_3)=(c_1+c_2+c_3)\mu이므로 계수의 합이 1일 때만 μ\mu와 같다.
    • ㄱ: 13+23−1=0\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}-1=0이라 기댓값이 0이 되어 편향이다.
    • ㄴ: 13−1+23=0\dfrac{1}{3}-1+\dfrac{2}{3}=0이라 역시 편향이다.
    • ㄷ: 1+12−12=11+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=1이므로 불편이다.
    • ㄹ: 12+23−16=1\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}=1이므로 불편이다.

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    3[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    다음은 nn개의 자료 (xi,yi)(x_i, y_i)에 단순선형회귀모형 yi=β0+β1xi+ϵiy_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i를
    최소제곱법으로 적합하여 얻은 분산분석표의 일부이다.
    요인제곱합자유도평균제곱FF－값
    회귀SSRSSRMSRMSRF0F_0
    잔차SSESSE10MSEMSE
    ∑i=1n(xi−x‾)2=9\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2=9, ∑i=1n(yi−y‾)2=12\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^2=12, ∑i=1n(xi−x‾)(yi−y‾)=6\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=6일 때, 옳은
    것만을 모두 고르면? (단, ϵi\epsilon_i는 N(0,σ2)N(0, \sigma^2)을 따르고 서로 독립이다)
    ㄱ. SSR=4SSR=4
    ㄴ. MSE=0.8MSE=0.8
    ㄷ. F0=5F_0=5
    1
    ㄱ, ㄴ
    2
    ㄱ, ㄷ
    3
    ㄴ, ㄷ
    4
    ㄱ, ㄴ, ㄷ
    해설
    직접 계산하면 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
    회귀제곱합: SSR=Sxy2Sxx=629=4SSR=\dfrac{S_{xy}^2}{S_{xx}}=\dfrac{6^2}{9}=4
    잔차제곱합: SSE=SST−SSR=12−4=8SSE=SST-SSR=12-4=8
    잔차 자유도 10, 회귀 자유도 1이므로 MSE=810=0.8MSE=\dfrac{8}{10}=0.8, MSR=4MSR=4
    검정통계량: F0=40.8=5F_0=\dfrac{4}{0.8}=5
    • ㄱ: SSR=4SSR=4로 옳다.
    • ㄴ: MSE=0.8MSE=0.8로 옳다.
    • ㄷ: F0=5F_0=5로 옳다.

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    4[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    다음은 4가지 광고유형에 따라 상품판매량의 차이가 있는지를 알아보기
    위해 얻은 분산분석표의 일부이다. 이에 대한 설명으로 옳지 않은
    것은?
    요인제곱합자유도평균제곱FF－값pp－값
    처리360.022
    오차20
    계96
    1
    처리평균제곱은 12이다.
    2
    FF－검정통계량의 값은 4이다.
    3
    총자료의 개수는 23이다.
    4
    유의수준 5 %에서 광고유형에 따라 상품판매량은 차이가 있다.
    해설
    총자료의 개수는 23이 아니라 24이므로 이 설명이 옳지 않다.
    처리 4수준이므로 처리 자유도 3, 오차 자유도 20을 더한 총자유도는 23이고, 총자유도 =n−1=n-1이므로 n=24n=24이다.
    오차제곱합: 96−36=6096-36=60, MSE=6020=3MSE=\dfrac{60}{20}=3
    처리평균제곱: 363=12\dfrac{36}{3}=12, F=123=4F=\dfrac{12}{3}=4
    • 처리평균제곱 12: 계산과 같아 옳다.
    • F 검정통계량 4: 계산과 같아 옳다.
    • 유의수준 5 %에서 차이가 있다: p값 0.022가 0.05보다 작아 귀무가설을 기각하므로 옳다.

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    5[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    어느 대학교 도서관의 작년 자료에 의하면 학부생 중 도서 대출 비율은
    1학년 20 %, 2학년 30 %, 3학년 40 %, 4학년 10 %라고 한다. 올해
    이 도서관에서 대출한 학부생 1,000명을 임의추출하여 학년별로
    대출한 학생 수를 조사한 결과가 다음과 같다. 올해 이 도서관에서
    도서를 대출한 학부생들의 학년 비율이 작년과 차이가 있는지를
    검정하기 위한 카이제곱 검정통계량의 값은?
    학년1학년2학년3학년4학년계
    학생 수210270440801,000
    1
    10.1
    2
    11.5
    3
    12.4
    4
    15.0
    해설
    카이제곱 적합도 검정통계량의 값은 11.5이다.
    기대도수는 1,000명에 작년 비율을 곱해 1학년 200, 2학년 300, 3학년 400, 4학년 100이다.
    χ2=∑(O−E)2E=102200+302300+402400+202100\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}=\dfrac{10^2}{200}+\dfrac{30^2}{300}+\dfrac{40^2}{400}+\dfrac{20^2}{100}
    =0.5+3+4+4=11.5=0.5+3+4+4=11.5
    • 분모에는 관측도수가 아니라 기대도수를 쓴다.
    • 범주가 4개이므로 이 통계량의 자유도는 3이다.

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    6[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    기댓값(평균)이 138\frac{13}{8}인 이산형 확률변수 XX의 확률분포가 다음과
    같을 때, ba\frac{b}{a}의 값은?
    xx0123계
    P(X=x)P(X=x)14\frac{1}{4}aabb14\frac{1}{4}1
    1
    1
    2
    2
    3
    3
    4
    4
    해설
    a=18a=\dfrac{1}{8}, b=38b=\dfrac{3}{8}이므로 ba\dfrac{b}{a}의 값은 3이다.
    확률의 합: 14+a+b+14=1\dfrac{1}{4}+a+b+\dfrac{1}{4}=1 → a+b=12a+b=\dfrac{1}{2}
    기댓값: a+2b+34=138a+2b+\dfrac{3}{4}=\dfrac{13}{8} → a+2b=78a+2b=\dfrac{7}{8}
    두 식을 빼면 b=38b=\dfrac{3}{8}, 따라서 a=18a=\dfrac{1}{8}이다.
    • 확률의 합이 1이라는 조건과 기댓값 조건을 연립해야 두 미지수가 정해진다.

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    7[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    연속형 확률변수 XX의 확률밀도함수가 다음과 같을 때, P(X>4∣X>2)P(X>4\mid X>2)의
    값은?
    fX(x)={14e−x4,x>00,그 외f_X(x)=\begin{cases}\frac{1}{4}e^{-\frac{x}{4}}, & x>0\\0, & \text{그 외}\end{cases}
    1
    e−1e^{-1}
    2
    e−34e^{-\frac{3}{4}}
    3
    e−12e^{-\frac{1}{2}}
    4
    e−14e^{-\frac{1}{4}}
    해설
    평균 4인 지수분포의 무기억성에 의해 값은 e−12e^{-\frac{1}{2}}이다.
    생존함수: P(X>x)=e−x/4P(X\gt x)=e^{-x/4}
    P(X>4∣X>2)=P(X>4)P(X>2)=e−1e−1/2=e−1/2P(X\gt 4\mid X\gt 2)=\dfrac{P(X\gt 4)}{P(X\gt 2)}=\dfrac{e^{-1}}{e^{-1/2}}=e^{-1/2}로, 처음부터 길이 2를 넘을 확률 P(X>2)P(X\gt 2)와 같다.
    • e−1e^{-1}은 조건 없이 구한 P(X>4)P(X\gt 4)이다.
    • e−3/4e^{-3/4}, e−1/4e^{-1/4}은 각각 길이 3, 1을 넘을 확률로, 남은 구간 길이 2와 맞지 않는다.

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    8[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    두 확률변수 XX와 YY는 서로 독립이며 각각 성공의 확률이 12\frac{1}{2}인
    베르누이(Bernoulli) 분포를 따른다고 할 때, 확률변수 W=X+YW=X+Y의
    확률질량함수는?
    1
    P(W=k)=2!k!(12)k,k=0,1,2P(W=k)=\frac{2!}{k!}\left(\frac{1}{2}\right)^k, k=0, 1, 2
    2
    P(W=k)=2!k!(12)2,k=0,1,2P(W=k)=\frac{2!}{k!}\left(\frac{1}{2}\right)^2, k=0, 1, 2
    3
    P(W=k)=2!k!(2−k)!(12)k,k=0,1,2P(W=k)=\frac{2!}{k!(2-k)!}\left(\frac{1}{2}\right)^k, k=0, 1, 2
    4
    P(W=k)=2!k!(2−k)!(12)2,k=0,1,2P(W=k)=\frac{2!}{k!(2-k)!}\left(\frac{1}{2}\right)^2, k=0, 1, 2
    해설
    독립인 두 베르누이 변수의 합은 이항분포 B(2, 1/2)를 따르므로 P(W=k)=2!k!(2−k)!(12)2P(W=k)=\dfrac{2!}{k!(2-k)!}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2이다.
    확인: P(W=0)=14P(W=0)=\dfrac{1}{4}, P(W=1)=12P(W=1)=\dfrac{1}{2}, P(W=2)=14P(W=2)=\dfrac{1}{4}로 합이 1이다.
    • 분모가 k!k!뿐이고 (12)2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2를 곱한 식: 이항계수가 아니어서 k=0k=0일 때 확률이 14\dfrac{1}{4}가 되지 않는다.
    • 이항계수에 (12)k\left(\dfrac{1}{2}\right)^k만 곱한 식: 실패 확률 (12)2−k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2-k}이 빠져 k=0k=0일 때 1이 되어 합이 1을 넘는다.
    • 분모가 k!k!이고 (12)k\left(\dfrac{1}{2}\right)^k를 곱한 식: 합이 1이 되지 않는다.

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    9[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    10개의 자료 (xi,yi)(x_i, y_i)에 단순선형회귀모형 yi=β0+β1xi+ϵiy_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i를 최소
    제곱법으로 적합할 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?
    (단, ϵi\epsilon_i는 N(0,σ2)N(0, \sigma^2)을 따르고 서로 독립이다)
    ㄱ. 설명변수와 반응변수의 표본평균을 각각 x‾\overline{x}와 y‾\overline{y}라 할 때,
    회귀직선은 항상 (x‾,y‾)(\overline{x}, \overline{y})를 지난다.
    ㄴ. 0이 아닌 총제곱합(SSTSST)이 일정할 때, 잔차제곱합(SSESSE)이
    작아지면 결정계수도 작아진다.
    ㄷ. 가설 H0:β1=0H_0:\beta_1=0 대 H1:β1≠0H_1:\beta_1\neq0을 검정하기 위한 FF분포의
    분자와 분모의 자유도는 각각 1과 8이다.
    1
    ㄱ, ㄴ
    2
    ㄱ, ㄷ
    3
    ㄴ, ㄷ
    4
    ㄱ, ㄴ, ㄷ
    해설
    옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
    최소제곱 직선은 β^0=y‾−β^1x‾\hat{\beta}_0=\overline{y}-\hat{\beta}_1\overline{x}이므로 항상 (x‾,y‾)(\overline{x},\overline{y})를 지나고, 기울기 F검정의 자유도는 (1, n−2)이다.
    • ㄱ: 절편 공식에서 바로 성립하여 옳다.
    • ㄴ: R2=1−SSESSTR^2=1-\dfrac{SSE}{SST}이므로 SST가 일정할 때 SSE가 작아지면 결정계수는 커진다. 틀리다.
    • ㄷ: 분자 자유도 1, 분모 자유도 10−2=810-2=8로 옳다.

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    10[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    모평균과 모분산이 알려지지 않은 정규모집단으로부터 임의추출한
    21개의 표본에 대한 표본분산이 16이다. 모분산이 40보다 작은지를
    유의수준 5 %에서 검정하고자 할 때, 카이제곱 검정통계량의 값과
    검정 결과를 바르게 연결한 것은? (단, χα2(k)\chi^2_{\alpha}(k)는 자유도가 kk인 카이제곱
    분포의 제100×(1−α)100\times(1-\alpha) 백분위수를 나타내고, χ0.052(20)=31.41\chi^2_{0.05}(20)=31.41,
    χ0.952(20)=10.85\chi^2_{0.95}(20)=10.85, χ0.052(21)=32.67\chi^2_{0.05}(21)=32.67, χ0.952(21)=11.59\chi^2_{0.95}(21)=11.59이다)
    카이제곱 검정통계량의 값 / 검정 결과
    1
    8 / 모분산이 40보다 작다고 할 수 없다
    2
    8 / 모분산이 40보다 작다고 할 수 있다
    3
    11 / 모분산이 40보다 작다고 할 수 없다
    4
    11 / 모분산이 40보다 작다고 할 수 있다
    해설
    검정통계량은 8이고 기각역에 들어가므로 모분산이 40보다 작다고 할 수 있다.
    통계량: χ2=(n−1)s2σ02=20×1640=8\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\dfrac{20\times16}{40}=8
    대립가설이 σ2<40\sigma^2\lt 40인 좌측검정이므로 기각역은 χ2≤χ0.952(20)=10.85\chi^2\le\chi^2_{0.95}(20)=10.85이고, 8은 이보다 작아 귀무가설을 기각한다.
    • 통계량 11: (n−1)s2/σ02(n-1)s^2/\sigma_0^2 계산과 맞지 않는다.
    • 작다고 할 수 없다는 결론: 8이 임계값 10.85보다 작아 기각되므로 반대 결론이다.
    • 자유도 21의 값은 n−1=20n-1=20이 아니므로 쓰지 않는다.

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    11[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    자료의 개수가 100인 어느 자료에서 최댓값 aa가 a+10a+10으로 되었을 때,
    값이 변하지 않는 측도만을 모두 고르면? (단, 자료의 값은 모두 다르다)
    ㄱ. 평균
    ㄴ. 중앙값
    ㄷ. 분산
    ㄹ. 사분위수범위
    1
    ㄱ, ㄴ
    2
    ㄱ, ㄷ
    3
    ㄴ, ㄹ
    4
    ㄷ, ㄹ
    해설
    최댓값만 바뀌어도 변하지 않는 측도는 중앙값과 사분위수범위(ㄴ, ㄹ)이다.
    자료가 100개이고 값이 모두 달라 최댓값은 중앙값·사분위수 위치에 오지 않으므로, 순위 기반 측도는 영향을 받지 않는다.
    • ㄱ 평균: 합이 10 늘어 평균이 0.1 커진다.
    • ㄴ 중앙값: 가운데 두 값의 평균이라 변하지 않는다.
    • ㄷ 분산: 모든 값을 사용하므로 바뀐다.
    • ㄹ 사분위수범위: 제1·제3사분위수가 그대로라 변하지 않는다.

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    12[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    두 확률변수 XX와 YY의 결합확률분포가 다음과 같다.
    XX ＼ YY－101
    －100.40
    10.300.3
    이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?
    ㄱ. E(XY)E(XY)는 E(X)×E(Y)E(X)\times E(Y)와 같다.
    ㄴ. XX와 YY는 독립이다.
    ㄷ. XX와 YY의 상관계수는 0이다.
    1
    ㄱ, ㄴ
    2
    ㄱ, ㄷ
    3
    ㄴ, ㄷ
    4
    ㄱ, ㄴ, ㄷ
    해설
    옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 공분산은 0이지만 독립은 아니다.
    주변분포: P(X=−1)=0.4P(X=-1)=0.4, P(X=1)=0.6P(X=1)=0.6 → E(X)=0.2E(X)=0.2
    P(Y=−1)=0.3P(Y=-1)=0.3, P(Y=0)=0.4P(Y=0)=0.4, P(Y=1)=0.3P(Y=1)=0.3 → E(Y)=0E(Y)=0
    E(XY)=(1)(−1)(0.3)+(1)(1)(0.3)=0=E(X)E(Y)E(XY)=(1)(-1)(0.3)+(1)(1)(0.3)=0=E(X)E(Y)이므로 공분산 0, 상관계수 0이다.
    • ㄱ: 둘 다 0으로 같아 옳다.
    • ㄴ: P(X=−1,Y=0)=0.4P(X=-1,Y=0)=0.4인데 P(X=−1)P(Y=0)=0.16P(X=-1)P(Y=0)=0.16이라 독립이 아니다.
    • ㄷ: 공분산이 0이므로 상관계수도 0이라 옳다.

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    13[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    자유도가 2보다 큰 tt분포에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?
    ㄱ. 표준정규분포보다 tt분포의 분산이 더 크다.
    ㄴ. tt분포는 자유도가 커질수록 표준정규분포에 수렴한다.
    ㄷ. tt분포의 확률밀도함수는 0을 중심으로 좌우 대칭이고
    종 모양이다.
    1
    ㄱ, ㄴ
    2
    ㄱ, ㄷ
    3
    ㄴ, ㄷ
    4
    ㄱ, ㄴ, ㄷ
    해설
    ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
    자유도 ν>2\nu\gt 2인 t분포의 분산은 νν−2\dfrac{\nu}{\nu-2}로 1보다 크다.
    • ㄱ: 분산이 표준정규분포의 1보다 커서 꼬리가 두껍다. 옳다.
    • ㄴ: 자유도가 무한히 커지면 표준정규분포로 수렴한다. 옳다.
    • ㄷ: 0을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양이다. 옳다.

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    14[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    어느 회사의 연마제 품질이 인자 AA의 3가지 수준과 인자 BB의 6가지
    수준에 따라 차이가 있는지를 알아보고자 한다. 다음은 인자 AA와
    BB에 대하여 반복이 없는 이원배치법으로부터 얻은 분산분석표의
    일부이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, Fα(k1,k2)F_{\alpha}(k_1, k_2)는 분자와
    분모의 자유도가 각각 k1k_1, k2k_2인 FF분포의 제100×(1−α)100\times(1-\alpha) 백분위수를
    나타낼 때, F0.05(2,10)=4.10F_{0.05}(2, 10)=4.10, F0.05(5,10)=3.33F_{0.05}(5, 10)=3.33, F0.05(3,18)=3.16F_{0.05}(3, 18)=3.16,
    F0.05(6,18)=2.66F_{0.05}(6, 18)=2.66이다)
    요인제곱합자유도평균제곱FF－값
    인자 AA14
    인자 BB28
    오차20
    1
    평균제곱오차(MSEMSE)는 2.0이다.
    2
    오차제곱합(SSESSE)의 자유도는 총실험횟수에서 1을 뺀 값이다.
    3
    유의수준 5 %에서 인자 AA의 수준에 따라 연마제 품질에 차이가 있다.
    4
    유의수준 5 %에서 인자 BB의 수준에 따라 연마제 품질에 차이가 있다.
    해설
    평균제곱오차는 2.0이라는 설명이 옳다.
    자유도: 인자 A 3−1=23-1=2, 인자 B 6−1=56-1=5, 오차 2×5=102\times5=10
    MSE=2010=2.0MSE=\dfrac{20}{10}=2.0
    FA=14/22=3.5F_A=\dfrac{14/2}{2}=3.5, FB=28/52=2.8F_B=\dfrac{28/5}{2}=2.8
    • 오차 자유도가 총실험횟수 −1이라는 설명: 반복 없는 이원배치의 오차 자유도는 (a−1)(b−1)=10이고, 총실험횟수 −1은 총자유도 17이다.
    • 인자 A의 효과가 유의하다는 설명: 3.5가 F0.05(2,10)=4.10F_{0.05}(2,10)=4.10보다 작아 유의하지 않다.
    • 인자 B의 효과가 유의하다는 설명: 2.8이 F0.05(5,10)=3.33F_{0.05}(5,10)=3.33보다 작아 유의하지 않다.

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    15[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    연속형 확률변수 XX의 누적분포함수가 다음과 같을 때, XX의 분산은?
    FX(x)={0,x≤0x2,0<x≤11,x>1F_X(x)=\begin{cases}0, & x\le0\\x^2, & 0<x\le1\\1, & x>1\end{cases}
    1
    118\frac{1}{18}
    2
    49\frac{4}{9}
    3
    12\frac{1}{2}
    4
    23\frac{2}{3}
    해설
    XX의 분산은 118\dfrac{1}{18}이다.
    밀도함수: f(x)=F′(x)=2xf(x)=F'(x)=2x, 0<x≤10\lt x\le1
    E(X)=∫012x2 dx=23E(X)=\int_0^1 2x^2\,dx=\dfrac{2}{3}, E(X2)=∫012x3 dx=12E(X^2)=\int_0^1 2x^3\,dx=\dfrac{1}{2}
    Var(X)=12−49=118Var(X)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{18}
    • 49\dfrac{4}{9}는 E(X)2E(X)^2, 12\dfrac{1}{2}는 E(X2)E(X^2), 23\dfrac{2}{3}은 E(X)E(X)로 분산이 아니다.

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    16[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    다음은 반복이 3회 있는 이원배치법으로부터 얻은 분산분석표의
    일부이다. 인자 AA의 수준은 4이고 인자 BB의 수준은 5일 때, 옳은 것은?
    요인제곱합자유도평균제곱FF-값
    인자 AA18(가)(라)
    인자 BB48(마)
    교호작용
    A×BA\times B    		36(나)
    오차80(다)
    1
    (가)의 값과 (라)의 값은 같다.
    2
    (나)의 값과 (마)의 값은 같다.
    3
    (다)의 값과 (라)의 값은 같다.
    4
    (라)의 값과 (마)의 값은 같다.
    해설
    (가)와 (라)가 모두 3으로 같다.
    자유도: A 4−1=34-1=3, B 5−1=45-1=4, 교호작용 3×4=123\times4=12, 오차 4×5×(3−1)=404\times5\times(3-1)=40
    MSE=8040=2MSE=\dfrac{80}{40}=2
    FA=18/32=3F_A=\dfrac{18/3}{2}=3, FB=48/42=6F_B=\dfrac{48/4}{2}=6
    • (나)와 (마): 교호작용 자유도 12와 B의 F값 6으로 다르다.
    • (다)와 (라): 오차평균제곱 2와 A의 F값 3으로 다르다.
    • (라)와 (마): A의 F값 3과 B의 F값 6으로 다르다.

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    17[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    다음은 모분산이 알려지지 않고 서로 독립인 두 정규모집단 AA와
    BB로부터 임의추출한 표본을 조사한 결과이다. 두 모집단 AA와 BB의
    평균 차이인 μA−μB\mu_A-\mu_B에 대한 95 % 신뢰구간은? (단, tα(k)t_{\alpha}(k)는 자유도가
    kk인 tt분포의 제100×(1−α)100\times(1-\alpha) 백분위수를 나타내고, t0.025(8)=2.306t_{0.025}(8)=2.306,
    t0.025(9)=2.262t_{0.025}(9)=2.262이다)
    모집단 (모평균, 모분산)표본의 크기표본평균표본표준편차
    AA (μA\mu_A, σ2\sigma^2)4223
    BB (μB\mu_B, σ2\sigma^2)6181
    1
    4±2.262×45124\pm2.262\times4\sqrt{\frac{5}{12}}
    2
    4±2.262×25124\pm2.262\times2\sqrt{\frac{5}{12}}
    3
    4±2.306×45124\pm2.306\times4\sqrt{\frac{5}{12}}
    4
    4±2.306×25124\pm2.306\times2\sqrt{\frac{5}{12}}
    해설
    등분산이므로 합동표준편차와 자유도 8의 t값을 쓴 4±2.306×25124\pm2.306\times2\sqrt{\dfrac{5}{12}}이다.
    합동분산: sp2=3×32+5×124+6−2=328=4s_p^2=\dfrac{3\times3^2+5\times1^2}{4+6-2}=\dfrac{32}{8}=4 → sp=2s_p=2
    표준오차: sp14+16=2512s_p\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}}=2\sqrt{\dfrac{5}{12}}, 자유도 4+6−2=84+6-2=8, t0.025(8)=2.306t_{0.025}(8)=2.306
    • 2.262를 쓴 식: 자유도를 9로 잘못 잡았다.
    • 계수 4를 쓴 식: 표준편차 2 대신 분산 4를 곱했다.

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    18[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    nn개의 자료 (xi,yi)(x_i, y_i)에 단순선형회귀모형을 적합하여 얻은 추정식이
    y^i=4+6xi\hat{y}_i=4+6x_i일 때, 관측값 (x1,y1)=(3,24)(x_1, y_1)=(3, 24)에 대한 잔차의 제곱값은?
    1
    1
    2
    2
    3
    4
    4
    9
    해설
    잔차의 제곱값은 4이다.
    적합값: y^1=4+6×3=22\hat{y}_1=4+6\times3=22
    잔차: e1=y1−y^1=24−22=2e_1=y_1-\hat{y}_1=24-22=2
    e12=22=4e_1^2=2^2=4
    • 잔차 2 자체는 제곱 전 값이며, 잔차 = 관측값 − 적합값의 방향으로 계산한다.

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    19[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    절편이 있는 단순선형회귀모형을 최소제곱법으로 적합할 때, 결정계수에
    대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, 총제곱합(SSTSST)은 0이
    아니다)
    ㄱ. 결정계수의 값은 0보다 크거나 같고 1보다 작거나 같다.
    ㄴ. 결정계수의 값이 1이면 회귀제곱합(SSRSSR)이 0이다.
    ㄷ. 결정계수는 설명변수와 반응변수의 표본상관계수와 동일하다.
    1
    ㄱ
    2
    ㄱ, ㄴ
    3
    ㄴ, ㄷ
    4
    ㄱ, ㄴ, ㄷ
    해설
    옳은 것은 ㄱ뿐이다.
    R2=SSRSST=1−SSESSTR^2=\dfrac{SSR}{SST}=1-\dfrac{SSE}{SST}이고, 단순회귀에서는 R2=r2R^2=r^2이다.
    • ㄱ: SSR, SSE가 모두 0 이상이므로 0과 1 사이이다. 옳다.
    • ㄴ: 결정계수가 1이면 SSE가 0이고 SSR은 SST와 같아 0이 아니다. 틀리다.
    • ㄷ: 결정계수는 표본상관계수의 제곱이며 상관계수 자체와는 다르다. 틀리다.

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    20[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    어느 우체국에 한 시간 동안 들어가는 사람의 수 YY는 평균이 λ\lambda인
    포아송 분포를 따르는 확률변수이다. 가설 H0:λ=3H_0:\lambda=3 대 H1:λ<3H_1:\lambda<3에
    대한 검정에서 기각역으로 ‘Y≤1Y\le1’을 사용할 때, 제1종 오류의 확률은?
    1
    2e−32e^{-3}
    2
    3e−33e^{-3}
    3
    4e−34e^{-3}
    4
    5e−35e^{-3}
    해설
    제1종 오류의 확률은 4e−34e^{-3}이다.
    제1종 오류 = 귀무가설 λ=3\lambda=3이 참일 때 기각역 Y≤1Y\le1에 들 확률
    P(Y≤1)=e−3300!+e−3311!=e−3(1+3)=4e−3P(Y\le1)=e^{-3}\dfrac{3^0}{0!}+e^{-3}\dfrac{3^1}{1!}=e^{-3}(1+3)=4e^{-3}
    • 3e−33e^{-3}은 Y=1Y=1만 더한 값이고, Y=0Y=0의 확률 e−3e^{-3}을 빠뜨렸다.

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    21[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    사교육이 AA 대학 합격 여부와 관계가 있는지를 알아보기 위해
    AA 대학 지원자 300명을 대상으로 설문 조사를 실시하여 다음과 같은
    분할표를 얻었다. 사교육을 받은 지원자 중에서 AA 대학에 합격할
    오즈(odds) 값은?
    사교육 ＼ AA 대학 합격 여부합격불합격
    받음83131
    받지 않음779
    1
    837\frac{83}{7}
    2
    8390\frac{83}{90}
    3
    83131\frac{83}{131}
    4
    83214\frac{83}{214}
    해설
    사교육을 받은 지원자의 합격 오즈는 83131\dfrac{83}{131}이다.
    오즈는 성공 확률 ÷ 실패 확률로, 같은 집단의 합격 수를 불합격 수로 나눈다.
    • 83214\dfrac{83}{214}: 합격 확률이지 오즈가 아니다.
    • 837\dfrac{83}{7}: 두 집단의 합격 수를 비교한 값이다.
    • 8390\dfrac{83}{90}: 전체 합격자 중 사교육을 받은 비율이다.

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    22[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    연속형 확률변수 XX의 확률밀도함수가 다음과 같을 때, XX의 중앙값은?
    (단, log는 자연로그함수이다)
    fX(x)={e−x,x>00,그 외f_X(x)=\begin{cases}e^{-x}, & x>0\\0, & \text{그 외}\end{cases}
    1
    log⁡(12)\log\left(\frac{1}{2}\right)
    2
    log⁡(2)\log(2)
    3
    e12e^{\frac{1}{2}}
    4
    e2e^2
    해설
    중앙값은 log⁡2\log 2이다.
    누적분포함수: F(x)=1−e−xF(x)=1-e^{-x}, x>0x\gt 0
    1−e−m=121-e^{-m}=\dfrac{1}{2} → e−m=12e^{-m}=\dfrac{1}{2} → m=log⁡2m=\log 2
    • log⁡(12)\log\left(\dfrac{1}{2}\right): 음수라 지지구간 x>0x\gt 0 밖이다.
    • e1/2e^{1/2}, e2e^2: 대입하면 누적확률이 0.5가 되지 않는다.

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    23[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    두 사람 AA와 BB가 번갈아 가면서 공정한 주사위를 던져 처음으로
    6의 눈이 나온 사람이 이기는 게임을 한다. 첫 번째로 AA가 던질 때,
    BB가 이길 확률은?
    1
    49\frac{4}{9}
    2
    511\frac{5}{11}
    3
    12\frac{1}{2}
    4
    59\frac{5}{9}
    해설
    BB가 이길 확률은 511\dfrac{5}{11}이다.
    AA가 이길 확률은 AA의 차례마다 나오는 등비급수이다.
    P(A)=16[1+(56)2+(56)4+⋯ ]=1/61−25/36=611P(A)=\dfrac{1}{6}\left[1+\left(\dfrac{5}{6}\right)^2+\left(\dfrac{5}{6}\right)^4+\cdots\right]=\dfrac{1/6}{1-25/36}=\dfrac{6}{11}
    P(B)=1−611=511P(B)=1-\dfrac{6}{11}=\dfrac{5}{11}
    • 12\dfrac{1}{2}: 먼저 던지는 쪽이 유리하므로 공평하지 않다.
    • 49\dfrac{4}{9}, 59\dfrac{5}{9}: 등비급수 합과 맞지 않는다.

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    24[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    서로 독립인 추정량 θ^1\hat{\theta}_1과 θ^2\hat{\theta}_2은 각각 모수 θ\theta의 불편추정량이고
    Var(θ^1)=3Var(θ^2)Var(\hat{\theta}_1)=3Var(\hat{\theta}_2)을 만족한다. 추정량 θ^3=aθ^1+bθ^2\hat{\theta}_3=a\hat{\theta}_1+b\hat{\theta}_2이 θ\theta의 불편
    추정량일 때, θ^3\hat{\theta}_3의 분산을 최소화하기 위한 상수 aa와 bb의 값을
    바르게 연결한 것은? (단, θ\theta는 0이 아니고 Var(θ^1)Var(\hat{\theta}_1)과 Var(θ^2)Var(\hat{\theta}_2)은
    각각 0보다 크다)
    aa / bb
    1
    14\frac{1}{4} / 34\frac{3}{4}
    2
    13\frac{1}{3} / 23\frac{2}{3}
    3
    23\frac{2}{3} / 13\frac{1}{3}
    4
    34\frac{3}{4} / 14\frac{1}{4}
    해설
    분산을 최소화하는 값은 a=14a=\dfrac{1}{4}, b=34b=\dfrac{3}{4}이다.
    불편 조건: a+b=1a+b=1. Var(θ^2)=vVar(\hat{\theta}_2)=v라 하면
    Var(θ^3)=3a2v+(1−a)2vVar(\hat{\theta}_3)=3a^2v+(1-a)^2v
    aa로 미분: 6a−2(1−a)=06a-2(1-a)=0 → a=14a=\dfrac{1}{4}, b=34b=\dfrac{3}{4}
    • 분산에 반비례하는 가중치를 주므로 분산이 작은 θ^2\hat{\theta}_2에 더 큰 가중치가 가야 한다. aa가 bb보다 큰 조합은 반대이다.
    • 13\dfrac{1}{3}, 23\dfrac{2}{3} 조합은 분산 비 3:1을 그대로 반영하지 못한다.

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    25[7급 국가직 통계학] 25년 1회차
    체비셰프 부등식(Chebyshev’s inequality) 정리는 ‘확률변수 XX의
    평균이 μ\mu이고 분산이 σ2(<∞)\sigma^2(<\infty)일 때, 모든 k≥1k\ge1에 대하여
    P(∣X−μ∣≥kσ)≤1k2P(\mid X-\mu\mid\ge k\sigma)\le\frac{1}{k^2}이 성립한다’이다. 이산형 확률변수 XX의
    확률분포가 다음과 같을 때, 체비셰프 부등식 정리에 의한
    P(∣X∣≥1)P(\mid X\mid\ge1)의 상한값은?
    xx－101계
    P(X=x)P(X=x)18\frac{1}{8}68\frac{6}{8}18\frac{1}{8}1
    1
    14\frac{1}{4}
    2
    12\frac{1}{2}
    3
    34\frac{3}{4}
    4
    1
    해설
    체비셰프 부등식에 의한 상한은 14\dfrac{1}{4}이다.
    μ=0\mu=0, σ2=18+18=14\sigma^2=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4} → σ=12\sigma=\dfrac{1}{2}
    kσ=1k\sigma=1이 되도록 k=2k=2 → P(∣X∣≥1)≤122=14P(|X|\ge1)\le\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}
    • 실제 확률도 18+18=14\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}로, 이 분포에서는 상한이 정확히 달성된다.
    • 12\dfrac{1}{2}은 k=2k=2 대신 1k\dfrac{1}{k}을 쓴 값이다.

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