서로 독립인 추정량 \hat{\theta}_1과 \hat{\theta}… | [7급 국가직 통계학] 25년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통계학] 25년 1회차

서로 독립인 추정량  $\hat{\theta}_1$ 과  $\hat{\theta}_2$ 은 각각 모수  $\theta$ 의 불편추정량이고
 $Var(\hat{\theta}_1)=3Var(\hat{\theta}_2)$ 을 만족한다. 추정량  $\hat{\theta}_3=a\hat{\theta}_1+b\hat{\theta}_2$ 이  $\theta$ 의 불편
추정량일 때,  $\hat{\theta}_3$ 의 분산을 최소화하기 위한 상수  $a$ 와  $b$ 의 값을
바르게 연결한 것은? (단,  $\theta$ 는 0이 아니고  $Var(\hat{\theta}_1)$ 과  $Var(\hat{\theta}_2)$ 은
각각 0보다 크다)
 $a$  /  $b$

 $\frac{1}{4}$  /  $\frac{3}{4}$

 $\frac{1}{3}$  /  $\frac{2}{3}$

 $\frac{2}{3}$  /  $\frac{1}{3}$

 $\frac{3}{4}$  /  $\frac{1}{4}$

해설

분산을 최소화하는 값은  $a=\dfrac{1}{4}$ ,  $b=\dfrac{3}{4}$ 이다.
불편 조건:  $a+b=1$ .  $Var(\hat{\theta}_2)=v$ 라 하면
 $Var(\hat{\theta}_3)=3a^2v+(1-a)^2v$ 
 $a$ 로 미분:  $6a-2(1-a)=0$  →  $a=\dfrac{1}{4}$ ,  $b=\dfrac{3}{4}$ 
분산에 반비례하는 가중치를 주므로 분산이 작은  $\hat{\theta}_2$ 에 더 큰 가중치가 가야 한다.  $a$ 가  $b$ 보다 큰 조합은 반대이다.
 $\dfrac{1}{3}$ ,  $\dfrac{2}{3}$  조합은 분산 비 3:1을 그대로 반영하지 못한다.

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