25년 1회차

도수 35로 가장 많은 1시간 이상 2시간 미만 계급의 비율이 가장 높다는 설명이 옳다.

(가)는 상대도수 0.21에 전체 100명을 곱한 21명이고, (나)는 100에서 나머지 도수의 합을 뺀 5명이다.

• (가)를 20으로 본 설명: 0.21×100=21이므로 틀리다.
• (나)를 3으로 본 설명: 100−(25+35+21+7+7)=5이므로 틀리다.
• 2시간 미만 비율이 0.5보다 작다는 설명: (25+35)/100=0.6으로 0.5보다 크다.

계수의 합이 1인 ㄷ, ㄹ이 $\mu$의 불편추정량이다.

선형결합의 기댓값은 $E(c_1X_1+c_2X_2+c_3X_3)=(c_1+c_2+c_3)\mu$이므로 계수의 합이 1일 때만 $\mu$와 같다.

• ㄱ: $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}-1=0$이라 기댓값이 0이 되어 편향이다.
• ㄴ: $\dfrac{1}{3}-1+\dfrac{2}{3}=0$이라 역시 편향이다.
• ㄷ: $1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=1$이므로 불편이다.
• ㄹ: $\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}=1$이므로 불편이다.

직접 계산하면 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

회귀제곱합: $SSR=\dfrac{S_{xy}^2}{S_{xx}}=\dfrac{6^2}{9}=4$
잔차제곱합: $SSE=SST-SSR=12-4=8$

잔차 자유도 10, 회귀 자유도 1이므로 $MSE=\dfrac{8}{10}=0.8$, $MSR=4$
검정통계량: $F_0=\dfrac{4}{0.8}=5$

• ㄱ: $SSR=4$로 옳다.
• ㄴ: $MSE=0.8$로 옳다.
• ㄷ: $F_0=5$로 옳다.

총자료의 개수는 23이 아니라 24이므로 이 설명이 옳지 않다.

처리 4수준이므로 처리 자유도 3, 오차 자유도 20을 더한 총자유도는 23이고, 총자유도 $=n-1$이므로 $n=24$이다.

오차제곱합: $96-36=60$, $MSE=\dfrac{60}{20}=3$
처리평균제곱: $\dfrac{36}{3}=12$, $F=\dfrac{12}{3}=4$

• 처리평균제곱 12: 계산과 같아 옳다.
• F 검정통계량 4: 계산과 같아 옳다.
• 유의수준 5 %에서 차이가 있다: p값 0.022가 0.05보다 작아 귀무가설을 기각하므로 옳다.

카이제곱 적합도 검정통계량의 값은 11.5이다.

기대도수는 1,000명에 작년 비율을 곱해 1학년 200, 2학년 300, 3학년 400, 4학년 100이다.

$\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}=\dfrac{10^2}{200}+\dfrac{30^2}{300}+\dfrac{40^2}{400}+\dfrac{20^2}{100}$
$=0.5+3+4+4=11.5$

• 분모에는 관측도수가 아니라 기대도수를 쓴다.
• 범주가 4개이므로 이 통계량의 자유도는 3이다.

$a=\dfrac{1}{8}$, $b=\dfrac{3}{8}$이므로 $\dfrac{b}{a}$의 값은 3이다.

확률의 합: $\dfrac{1}{4}+a+b+\dfrac{1}{4}=1$ → $a+b=\dfrac{1}{2}$
기댓값: $a+2b+\dfrac{3}{4}=\dfrac{13}{8}$ → $a+2b=\dfrac{7}{8}$

두 식을 빼면 $b=\dfrac{3}{8}$, 따라서 $a=\dfrac{1}{8}$이다.

• 확률의 합이 1이라는 조건과 기댓값 조건을 연립해야 두 미지수가 정해진다.

평균 4인 지수분포의 무기억성에 의해 값은 $e^{-\frac{1}{2}}$이다.

생존함수: $P(X\gt x)=e^{-x/4}$

$P(X\gt 4\mid X\gt 2)=\dfrac{P(X\gt 4)}{P(X\gt 2)}=\dfrac{e^{-1}}{e^{-1/2}}=e^{-1/2}$로, 처음부터 길이 2를 넘을 확률 $P(X\gt 2)$와 같다.

• $e^{-1}$은 조건 없이 구한 $P(X\gt 4)$이다.
• $e^{-3/4}$, $e^{-1/4}$은 각각 길이 3, 1을 넘을 확률로, 남은 구간 길이 2와 맞지 않는다.

독립인 두 베르누이 변수의 합은 이항분포 B(2, 1/2)를 따르므로 $P(W=k)=\dfrac{2!}{k!(2-k)!}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$이다.

확인: $P(W=0)=\dfrac{1}{4}$, $P(W=1)=\dfrac{1}{2}$, $P(W=2)=\dfrac{1}{4}$로 합이 1이다.

• 분모가 $k!$뿐이고 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$를 곱한 식: 이항계수가 아니어서 $k=0$일 때 확률이 $\dfrac{1}{4}$가 되지 않는다.
• 이항계수에 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^k$만 곱한 식: 실패 확률 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2-k}$이 빠져 $k=0$일 때 1이 되어 합이 1을 넘는다.
• 분모가 $k!$이고 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^k$를 곱한 식: 합이 1이 되지 않는다.

옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

최소제곱 직선은 $\hat{\beta}_0=\overline{y}-\hat{\beta}_1\overline{x}$이므로 항상 $(\overline{x},\overline{y})$를 지나고, 기울기 F검정의 자유도는 (1, n−2)이다.

• ㄱ: 절편 공식에서 바로 성립하여 옳다.
• ㄴ: $R^2=1-\dfrac{SSE}{SST}$이므로 SST가 일정할 때 SSE가 작아지면 결정계수는 커진다. 틀리다.
• ㄷ: 분자 자유도 1, 분모 자유도 $10-2=8$로 옳다.

검정통계량은 8이고 기각역에 들어가므로 모분산이 40보다 작다고 할 수 있다.

통계량: $\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\dfrac{20\times16}{40}=8$

대립가설이 $\sigma^2\lt 40$인 좌측검정이므로 기각역은 $\chi^2\le\chi^2_{0.95}(20)=10.85$이고, 8은 이보다 작아 귀무가설을 기각한다.

• 통계량 11: $(n-1)s^2/\sigma_0^2$ 계산과 맞지 않는다.
• 작다고 할 수 없다는 결론: 8이 임계값 10.85보다 작아 기각되므로 반대 결론이다.
• 자유도 21의 값은 $n-1=20$이 아니므로 쓰지 않는다.

최댓값만 바뀌어도 변하지 않는 측도는 중앙값과 사분위수범위(ㄴ, ㄹ)이다.

자료가 100개이고 값이 모두 달라 최댓값은 중앙값·사분위수 위치에 오지 않으므로, 순위 기반 측도는 영향을 받지 않는다.

• ㄱ 평균: 합이 10 늘어 평균이 0.1 커진다.
• ㄴ 중앙값: 가운데 두 값의 평균이라 변하지 않는다.
• ㄷ 분산: 모든 값을 사용하므로 바뀐다.
• ㄹ 사분위수범위: 제1·제3사분위수가 그대로라 변하지 않는다.

옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 공분산은 0이지만 독립은 아니다.

주변분포: $P(X=-1)=0.4$, $P(X=1)=0.6$ → $E(X)=0.2$
$P(Y=-1)=0.3$, $P(Y=0)=0.4$, $P(Y=1)=0.3$ → $E(Y)=0$

$E(XY)=(1)(-1)(0.3)+(1)(1)(0.3)=0=E(X)E(Y)$이므로 공분산 0, 상관계수 0이다.

• ㄱ: 둘 다 0으로 같아 옳다.
• ㄴ: $P(X=-1,Y=0)=0.4$인데 $P(X=-1)P(Y=0)=0.16$이라 독립이 아니다.
• ㄷ: 공분산이 0이므로 상관계수도 0이라 옳다.

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

자유도 $\nu\gt 2$인 t분포의 분산은 $\dfrac{\nu}{\nu-2}$로 1보다 크다.

• ㄱ: 분산이 표준정규분포의 1보다 커서 꼬리가 두껍다. 옳다.
• ㄴ: 자유도가 무한히 커지면 표준정규분포로 수렴한다. 옳다.
• ㄷ: 0을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양이다. 옳다.

평균제곱오차는 2.0이라는 설명이 옳다.

자유도: 인자 A $3-1=2$, 인자 B $6-1=5$, 오차 $2\times5=10$
$MSE=\dfrac{20}{10}=2.0$

$F_A=\dfrac{14/2}{2}=3.5$, $F_B=\dfrac{28/5}{2}=2.8$

• 오차 자유도가 총실험횟수 −1이라는 설명: 반복 없는 이원배치의 오차 자유도는 (a−1)(b−1)=10이고, 총실험횟수 −1은 총자유도 17이다.
• 인자 A의 효과가 유의하다는 설명: 3.5가 $F_{0.05}(2,10)=4.10$보다 작아 유의하지 않다.
• 인자 B의 효과가 유의하다는 설명: 2.8이 $F_{0.05}(5,10)=3.33$보다 작아 유의하지 않다.

$X$의 분산은 $\dfrac{1}{18}$이다.

밀도함수: $f(x)=F'(x)=2x$, $0\lt x\le1$

$E(X)=\int_0^1 2x^2\,dx=\dfrac{2}{3}$, $E(X^2)=\int_0^1 2x^3\,dx=\dfrac{1}{2}$
$Var(X)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{18}$

• $\dfrac{4}{9}$는 $E(X)^2$, $\dfrac{1}{2}$는 $E(X^2)$, $\dfrac{2}{3}$은 $E(X)$로 분산이 아니다.

(가)와 (라)가 모두 3으로 같다.

자유도: A $4-1=3$, B $5-1=4$, 교호작용 $3\times4=12$, 오차 $4\times5\times(3-1)=40$

$MSE=\dfrac{80}{40}=2$
$F_A=\dfrac{18/3}{2}=3$, $F_B=\dfrac{48/4}{2}=6$

• (나)와 (마): 교호작용 자유도 12와 B의 F값 6으로 다르다.
• (다)와 (라): 오차평균제곱 2와 A의 F값 3으로 다르다.
• (라)와 (마): A의 F값 3과 B의 F값 6으로 다르다.

등분산이므로 합동표준편차와 자유도 8의 t값을 쓴 $4\pm2.306\times2\sqrt{\dfrac{5}{12}}$이다.

합동분산: $s_p^2=\dfrac{3\times3^2+5\times1^2}{4+6-2}=\dfrac{32}{8}=4$ → $s_p=2$

표준오차: $s_p\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}}=2\sqrt{\dfrac{5}{12}}$, 자유도 $4+6-2=8$, $t_{0.025}(8)=2.306$

• 2.262를 쓴 식: 자유도를 9로 잘못 잡았다.
• 계수 4를 쓴 식: 표준편차 2 대신 분산 4를 곱했다.

잔차의 제곱값은 4이다.

적합값: $\hat{y}_1=4+6\times3=22$
잔차: $e_1=y_1-\hat{y}_1=24-22=2$

$e_1^2=2^2=4$

• 잔차 2 자체는 제곱 전 값이며, 잔차 = 관측값 − 적합값의 방향으로 계산한다.

옳은 것은 ㄱ뿐이다.

$R^2=\dfrac{SSR}{SST}=1-\dfrac{SSE}{SST}$이고, 단순회귀에서는 $R^2=r^2$이다.

• ㄱ: SSR, SSE가 모두 0 이상이므로 0과 1 사이이다. 옳다.
• ㄴ: 결정계수가 1이면 SSE가 0이고 SSR은 SST와 같아 0이 아니다. 틀리다.
• ㄷ: 결정계수는 표본상관계수의 제곱이며 상관계수 자체와는 다르다. 틀리다.

제1종 오류의 확률은 $4e^{-3}$이다.

제1종 오류 = 귀무가설 $\lambda=3$이 참일 때 기각역 $Y\le1$에 들 확률

$P(Y\le1)=e^{-3}\dfrac{3^0}{0!}+e^{-3}\dfrac{3^1}{1!}=e^{-3}(1+3)=4e^{-3}$

• $3e^{-3}$은 $Y=1$만 더한 값이고, $Y=0$의 확률 $e^{-3}$을 빠뜨렸다.

사교육을 받은 지원자의 합격 오즈는 $\dfrac{83}{131}$이다.

오즈는 성공 확률 ÷ 실패 확률로, 같은 집단의 합격 수를 불합격 수로 나눈다.

• $\dfrac{83}{214}$: 합격 확률이지 오즈가 아니다.
• $\dfrac{83}{7}$: 두 집단의 합격 수를 비교한 값이다.
• $\dfrac{83}{90}$: 전체 합격자 중 사교육을 받은 비율이다.

중앙값은 $\log 2$이다.

누적분포함수: $F(x)=1-e^{-x}$, $x\gt 0$

$1-e^{-m}=\dfrac{1}{2}$ → $e^{-m}=\dfrac{1}{2}$ → $m=\log 2$

• $\log\left(\dfrac{1}{2}\right)$: 음수라 지지구간 $x\gt 0$ 밖이다.
• $e^{1/2}$, $e^2$: 대입하면 누적확률이 0.5가 되지 않는다.

$B$가 이길 확률은 $\dfrac{5}{11}$이다.

$A$가 이길 확률은 $A$의 차례마다 나오는 등비급수이다.

$P(A)=\dfrac{1}{6}\left[1+\left(\dfrac{5}{6}\right)^2+\left(\dfrac{5}{6}\right)^4+\cdots\right]=\dfrac{1/6}{1-25/36}=\dfrac{6}{11}$
$P(B)=1-\dfrac{6}{11}=\dfrac{5}{11}$

• $\dfrac{1}{2}$: 먼저 던지는 쪽이 유리하므로 공평하지 않다.
• $\dfrac{4}{9}$, $\dfrac{5}{9}$: 등비급수 합과 맞지 않는다.

분산을 최소화하는 값은 $a=\dfrac{1}{4}$, $b=\dfrac{3}{4}$이다.

불편 조건: $a+b=1$. $Var(\hat{\theta}_2)=v$라 하면
$Var(\hat{\theta}_3)=3a^2v+(1-a)^2v$

$a$로 미분: $6a-2(1-a)=0$ → $a=\dfrac{1}{4}$, $b=\dfrac{3}{4}$

• 분산에 반비례하는 가중치를 주므로 분산이 작은 $\hat{\theta}_2$에 더 큰 가중치가 가야 한다. $a$가 $b$보다 큰 조합은 반대이다.
• $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{2}{3}$ 조합은 분산 비 3:1을 그대로 반영하지 못한다.

체비셰프 부등식에 의한 상한은 $\dfrac{1}{4}$이다.

$\mu=0$, $\sigma^2=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$ → $\sigma=\dfrac{1}{2}$

$k\sigma=1$이 되도록 $k=2$ → $P(|X|\ge1)\le\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$

• 실제 확률도 $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$로, 이 분포에서는 상한이 정확히 달성된다.
• $\dfrac{1}{2}$은 $k=2$ 대신 $\dfrac{1}{k}$을 쓴 값이다.