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1[7급 국가직 통계학] 25년 1회차

체비셰프 부등식(Chebyshev’s inequality) 정리는 ‘확률변수  $X$ 의
평균이  $\mu$ 이고 분산이  $\sigma^2(<\infty)$ 일 때, 모든  $k\ge1$ 에 대하여
 $P(\mid X-\mu\mid\ge k\sigma)\le\frac{1}{k^2}$ 이 성립한다’이다. 이산형 확률변수  $X$ 의
확률분포가 다음과 같을 때, 체비셰프 부등식 정리에 의한
 $P(\mid X\mid\ge1)$ 의 상한값은?
 $x$ －1 0 1 계
 $P(X=x)$  $\frac{1}{8}$  $\frac{6}{8}$  $\frac{1}{8}$ 1

$x$	－1	0	1	계
$P(X=x)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{6}{8}$	$\frac{1}{8}$	1

 $\frac{1}{4}$

 $\frac{1}{2}$

 $\frac{3}{4}$

해설

체비셰프 부등식에 의한 상한은  $\dfrac{1}{4}$ 이다.
 $\mu=0$ ,  $\sigma^2=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$  →  $\sigma=\dfrac{1}{2}$ 
 $k\sigma=1$ 이 되도록  $k=2$  →  $P(|X|\ge1)\le\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$ 
실제 확률도  $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$ 로, 이 분포에서는 상한이 정확히 달성된다.
 $\dfrac{1}{2}$ 은  $k=2$  대신  $\dfrac{1}{k}$ 을 쓴 값이다.

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