[7급 국가직 자동제어] 25년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

정현파 입력에 대한 선형시불변 시스템의 정상상태 응답은 같은 주파수의 정현파이지만, 위상은 입력과 같지 않고 전달함수의 위상각만큼 이동한다. 따라서 '동위상의 정현파 응답이 나온다'는 설명이 옳지 않다.
정상상태 출력은 크기가 $|G(j\omega)|$배가 되고, 위상이 $\angle G(j\omega)$만큼 달라진다.
중첩의 원리 만족: 선형성의 정의 그 자체이므로 옳다.
전달함수 = 단위임펄스응답의 라플라스 변환: 임펄스의 라플라스 변환이 1이므로 옳다.
출력 = 입력과 단위임펄스응답의 컨볼루션: 선형시불변 시스템의 기본 성질이므로 옳다.

극점이 허수축에서 멀어질수록 감쇠 항 $e^{-\sigma t}$의 $\sigma$가 커져 임펄스응답은 더 빨리 수렴한다. 따라서 '수렴속도가 느려진다'는 설명이 옳지 않다.
좌반평면 극점이면 안정하다는 앞부분은 맞지만, 실수부 크기가 클수록 과도응답이 빨리 사라진다.
좌반평면 공액복소 극점: $0<\zeta<1$인 부족감쇠에 해당하므로 옳다.
우반평면 영점 추가 시 비최소위상: 비최소위상 시스템의 정의이므로 옳다.
우반평면 영점 추가 시 초기 출력이 반대 방향: 계단응답 초기에 언더슈트가 생기므로 옳다.

폐루프 전달함수가 1이 되려면 $H(s)=\dfrac{G_1G_2-G_2-1}{G_1G_2}$이어야 한다.
안쪽 단위 피드백 루프는 $\dfrac{G_2}{1+G_2}$이고, 바깥 루프까지 묶으면 $T=\dfrac{G_1G_2}{1+G_2+G_1G_2H}$이다.
$T=1$로 두면 $G_1G_2=1+G_2+G_1G_2H$이므로 $H$에 대해 정리하면 위 식이 나온다.
$\dfrac{G_2-1}{G_1G_2-G_2-1}$: 분모가 $G_1G_2$인 정리 결과와 형태가 다르다.
$\dfrac{G_2+1}{G_1G_2+G_2+1}$: 부호와 분자·분모 배치가 모두 틀렸다.
$\dfrac{G_1G_2+G_1-1}{G_1G_2}$: 분자에 $G_2$ 대신 $G_1$이 들어가 있다.

표준형 2차 시스템 조건과 극점 $-1\pm j\sqrt{3}$로부터 $a+b+c+d=6$이다.
폐루프 전달함수는 $\dfrac{as+b}{s^2+(c+a)s+(b+d)}$이다. 표준형 $\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$가 되려면 분자에 $s$항이 없어야 하므로 $a=0$, 분자와 상수항이 같아야 하므로 $d=0$이다.
극점이 $-1\pm j\sqrt{3}$이면 특성식은 $(s+1)^2+3=s^2+2s+4$이므로 $c=2$, $b=4$이고 합은 $0+4+2+0=6$이다.
7: $a=0$, $d=0$, $c=2$, $b=4$로 계수가 하나로 정해지므로 합이 7이 될 수 없다.
8: 극점 조건만으로는 $a+c=2$, $b+d=4$이고, 표준형 조건까지 쓰면 합은 6으로 고정된다.
9: $\omega_n^2=4$를 잘못 구하거나 표준형 조건을 빠뜨린 값이다.

정상상태에서 입력과 출력의 차이는 $\dfrac{4}{5}$이다.
극점 $s^2+3s+5=0$이 모두 좌반평면이므로 최종값 정리를 쓸 수 있다.
$y(\infty)=\lim_{s\to 0}s\cdot M(s)\cdot\dfrac{1}{s}=M(0)=\dfrac{1}{5}$
입력은 1이므로 차이는 $1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$
$\dfrac{1}{5}$: 출력의 정상값 자체이며 입력과의 차이가 아니다.
$\dfrac{2}{5}$: 최종값 계산 어디에서도 나오지 않는 값이다.
$\dfrac{3}{5}$: 분모의 1차 계수를 분자로 잘못 쓴 값이다.

감쇠비는 $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$, 임펄스응답은 $\dfrac{40}{3}e^{-10t}\sin 30t$이다.
동반형 행렬이므로 특성방정식은 $s^2+20s+1000=0$, 전달함수는 $G(s)=\dfrac{400}{s^2+20s+1000}$이다.
$\omega_n=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$, $2\zeta\omega_n=20$ → $\zeta=\dfrac{20}{20\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$
$G(s)=\dfrac{400}{(s+10)^2+30^2}=\dfrac{40}{3}\cdot\dfrac{30}{(s+10)^2+30^2}$ → $g(t)=\dfrac{40}{3}e^{-10t}\sin 30t$
감쇠비 $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$와 cos 응답: 분자가 상수이므로 cos이 아닌 sin 형태가 나와야 한다.
감쇠비 $\dfrac{2}{\sqrt{10}}$와 sin 응답: $2\zeta\omega_n=20$에서 2를 빠뜨린 감쇠비다.
감쇠비 $\dfrac{2}{\sqrt{10}}$와 cos 응답: 감쇠비와 응답 형태가 모두 맞지 않는다.

근궤적은 $K=6$일 때 허수축의 $\pm j\sqrt{2}$에서 만난다.
특성방정식: $s(s+1)(s+2)+K=s^3+3s^2+2s+K=0$
루스 표의 $s^1$행: $\dfrac{3\cdot 2-K}{3}=0$ → $K=6$
보조방정식: $3s^2+K=3s^2+6=0$ → $s=\pm j\sqrt{2}$
$\pm j$와 $K=3$: 교차점과 임계 이득이 모두 루스 조건과 맞지 않는다.
$\pm j$와 $K=6$: 이득은 맞지만 보조방정식의 근은 $\pm j\sqrt{2}$다.
$\pm j\sqrt{2}$와 $K=3$: 교차점은 맞지만 임계 이득은 6이다.

대역폭이 고유진동수와 같으려면 감쇠비는 $\zeta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이다.
표준형 2차 시스템의 대역폭은 $\omega_{BW}=\omega_n\sqrt{(1-2\zeta^2)+\sqrt{4\zeta^4-4\zeta^2+2}}$이다.
$\omega_{BW}=\omega_n$이면 $\sqrt{4\zeta^4-4\zeta^2+2}=2\zeta^2$이고, 제곱하면 $-4\zeta^2+2=0$, 즉 $\zeta^2=\dfrac{1}{2}$이다.
$\dfrac{1}{2}$: 대입하면 $\omega_{BW}\approx1.27\omega_n$으로 고유진동수보다 크다.
$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$: 대입하면 $\omega_{BW}$가 $\omega_n$보다 크다.
1: 대입하면 $\omega_{BW}\approx0.64\omega_n$으로 고유진동수보다 작다.

정상상태오차가 0.01이 되려면 $K=200$이다.
개루프 전달함수에 적분기 $s^2$가 있는 2형 시스템이므로 계단·램프 성분의 정상상태오차는 0이고, 포물선 성분 $\dfrac{t^2}{2}$만 오차를 남긴다.
가속도 오차상수 $K_a=\lim_{s\to0}s^2G(s)=\dfrac{K}{2\cdot1}=\dfrac{K}{2}$이므로 $e_{ss}=\dfrac{1}{K_a}=\dfrac{2}{K}=0.01$, 따라서 $K=200$이다.
100: $e_{ss}=0.02$가 된다.
400: $e_{ss}=0.005$가 된다.
800: $e_{ss}=0.0025$가 된다.

신호흐름선도의 이득은 $\dfrac{1}{k}$, $\dfrac{k}{m}$, $-\dfrac{k}{m}$ 순이다.
스프링에 걸리는 힘은 $f=k(x_1-x_2)$이므로 $x_1=\dfrac{1}{k}f+x_2$이다. 선도의 되먹임 이득 1이 $x_2$ 항이고, $f$에서 $x_1$로 가는 이득은 $\dfrac{1}{k}$이다.
질량의 운동방정식 $m\ddot{x}_2=k(x_1-x_2)-c\dot{x}_2$에서 $\ddot{x}_2=\dfrac{k}{m}x_1-\dfrac{c}{m}\dot{x}_2-\dfrac{k}{m}x_2$이므로 $x_2$에서 $\ddot{x}_2$로 되돌아오는 이득은 음수이다.
$\dfrac{1}{k}$, $\dfrac{k}{m}$, $\dfrac{k}{m}$: 스프링 복원력 되먹임의 부호가 양수로 되어 있다.
$\dfrac{m}{k}$, $\dfrac{1}{m}$, $-\dfrac{k}{m}$: 힘에서 $x_1$로 가는 이득과 $x_1$에서 가속도로 가는 이득이 틀렸다.
$\dfrac{m}{k}$, $\dfrac{1}{m}$, $\dfrac{k}{m}$: 앞의 두 이득과 되먹임 부호가 모두 틀렸다.

특성방정식은 $s^3+11s^2+30s+1=0$이다.
순방향 $G(s)=\dfrac{1}{s(s+6)}$, 피드백 $H(s)=\dfrac{1}{s+5}$이므로 $1+G(s)H(s)=0$에서 $s(s+6)(s+5)+1=0$이다.
전개하면 $s(s^2+11s+30)+1=s^3+11s^2+30s+1$이다.
$s^3+11s^2+s+30=0$: $s$항과 상수항이 뒤바뀌었다.
$s^3+30s^2+s+11=0$: 계수 배치가 전개 결과와 다르다.
$s^3+30s^2+11s+1=0$: $s^2$항과 $s$항 계수가 뒤바뀌었다.

계수비는 $\dfrac{b}{a}=-0.5$이다.
둘째 상태식 $\dot{x}_2=ax_2+bu$와 출력 $y=x_2$만으로 전달함수가 정해진다.
$\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{b}{s-a}$
$\dfrac{3}{s+6}$와 비교하면 $b=3,\ a=-6$
$\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{-6}=-0.5$
$-2$: 분자·분모를 뒤집어 $\dfrac{a}{b}$를 구한 값이다.
$0.5$: $a$의 부호를 양으로 잘못 둔 값이다.
$2$: 역수와 부호를 모두 잘못 쓴 값이다.

$0<\alpha<1$이면 극점 $-\dfrac{1}{\alpha T}$가 영점 $-\dfrac{1}{T}$보다 원점에서 멀어 진상보상기(lead compensator)이다. 따라서 '지상보상기'라는 설명이 옳지 않다.
위상각 $\phi(\omega)=\tan^{-1}\omega T-\tan^{-1}\alpha\omega T$는 $\alpha<1$이므로 모든 양의 주파수에서 양이다.
위상각이 항상 양: 위 식에서 첫 항이 항상 더 크므로 옳다.
$\alpha$가 작을수록 최대 위상각 증가: $\sin\phi_m=\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}$이므로 옳다.
최대 위상각 각주파수: 영점·극점 주파수의 기하평균 $\omega_m=\dfrac{1}{T\sqrt{\alpha}}$이므로 옳다.

P점은 이득 교차점이므로 각주파수는 크기 곡선이 0 dB를 지나는 A점, 위상여유는 그 주파수에서 위상과 -180° 사이의 간격 B이다.
나이퀴스트 선도의 P점은 궤적이 단위원과 만나는 점, 즉 $|L(j\omega)|=1$인 점이다. 보드 선도에서는 $0\,\mathrm{dB}$를 지나는 이득 교차 주파수에 해당한다.
원점과 P를 잇는 직선이 음의 실수축과 이루는 각이 위상여유이며, 보드 선도에서는 이득 교차 주파수에서 위상이 -180°보다 위에 있는 만큼이다.
A점과 D: 주파수는 맞지만 D는 위상 교차 주파수에서 0 dB 아래로 떨어진 양, 즉 이득여유다.
C점과 B: C점은 위상이 -180°가 되는 위상 교차 주파수로, 나이퀴스트 선도에서 음의 실수축과 만나는 점에 대응한다.
C점과 D: 위상 교차 주파수와 이득여유의 조합으로, P점이 아닌 음의 실수축 교점에 해당한다.

원하는 특성방정식 $s^2+6s+9=0$을 맞추면 $k_1=3$, $k_2=-9$이다.
상태식은 $\dot{x}_1=-3x_1+u$, $\dot{x}_2=r-x_1$이고 제어입력은 $u=-k_1x_1-k_2x_2$이다.
따라서 $\dot{x}_1=-(3+k_1)x_1-k_2x_2$이고, 특성방정식은 $s(s+3+k_1)-k_2=s^2+(3+k_1)s-k_2=0$이다.
감쇠비 1, 고유주파수 3이면 $s^2+2\cdot1\cdot3s+9$이므로 $3+k_1=6$, $-k_2=9$이다.
$k_1=-3$, $k_2=-9$: $s$항 계수가 0이 되어 감쇠가 사라진다.
$k_1=-3$, $k_2=9$: 감쇠 항이 0이고 상수항이 음수라 불안정하다.
$k_1=3$, $k_2=9$: 상수항이 -9가 되어 불안정하다.

$K=0.5$일 때 위상여유는 45°이다.
루프 전달함수가 $0.5G(j\omega)$이므로 이득 교차 조건 $|0.5G|=1$은 $|G(j\omega)|=2$인 주파수에서 성립한다.
그래프에서 $|G|=2$인 주파수의 위상은 -135°이므로 위상여유는 $-135^\circ-(-180^\circ)=45^\circ$이다.
0°: $|G|=0.5$인 주파수(위상 -180°)를 이득 교차점으로 잘못 본 값이다.
30°: $|G|=1$인 주파수(위상 -150°)를 쓴 값으로, $K=1$일 때의 위상여유다.
70°: $|G|=5$인 주파수(위상 -110°)를 쓴 값으로, $K=0.2$일 때에 해당한다.

안정 영역 A는 $K_I\gt 0$이면서 $(0,-3)$과 $(12,0)$을 잇는 경계선 위쪽이다.
특성방정식은 $s(s+1)(s+3)+K_Ps+K_I=s^3+4s^2+(3+K_P)s+K_I=0$이다.
Routh 판별로 $K_I\gt 0$과 $4(3+K_P)\gt K_I$, 즉 $K_P\gt \dfrac{K_I}{4}-3$이 필요하다. 이 경계선은 $K_I=0$에서 $K_P=-3$, $K_P=0$에서 $K_I=12$를 지난다.
$K_I\lt 0$ 쪽의 경계선 위 영역: 상수항이 음수여서 불안정하다.
$K_I\lt 0$ 쪽의 경계선 아래 영역: 두 조건을 모두 어긴다.
$K_I\gt 0$ 쪽의 경계선 아래 영역: $4(3+K_P)\lt K_I$가 되어 Routh 표 1열에 부호 변화가 생긴다.

위상여유가 60°가 되는 이득은 $K=2$이다.
위상은 $-90^\circ-\tan^{-1}\dfrac{\omega}{\sqrt{3}}$이다. 위상여유 60°이면 이득 교차점의 위상이 -120°이므로 $\tan^{-1}\dfrac{\omega_c}{\sqrt{3}}=30^\circ$, 즉 $\omega_c=1\,\mathrm{rad/s}$이다.
이 주파수에서 $|L|=\dfrac{K}{\omega_c\sqrt{\omega_c^2+3}}=\dfrac{K}{2}=1$이므로 $K=2$이다.
1: 이득 교차 주파수가 1보다 낮아져 위상여유가 60°보다 커진다.
1.5: 마찬가지로 위상여유가 60°보다 크다.
2.5: 이득 교차 주파수가 높아져 위상여유가 60°보다 작아진다.

계수는 $a=-2,\ b=-3$이다.
상태천이행렬 $\Phi(t)=e^{At}$는 $\dot{\Phi}(0)=A$를 만족하므로 둘째 행을 미분해 $t=0$을 대입한다.
$\dfrac{d}{dt}(-2e^{-t}+2e^{-2t})\big|_{t=0}=2-4=-2$
$\dfrac{d}{dt}(-e^{-t}+2e^{-2t})\big|_{t=0}=1-4=-3$
검산: 특성방정식 $s^2-bs-a=s^2+3s+2=(s+1)(s+2)$로 지수 항 $e^{-t},\ e^{-2t}$와 일치한다.
$a=-3,\ b=-2$: 두 값을 서로 바꾼 것이다.
$a=2,\ b=3$: 부호가 반대라 특성근이 우반평면에 생겨 감쇠 지수와 맞지 않는다.
$a=3,\ b=2$: 부호와 순서가 모두 틀려 $e^{3t}$ 항이 생긴다.

안정 조건 $0\lt K\lt 8$에서 정상상태오차 범위는 $\dfrac{1}{9}\lt e_{ss}\lt 1$이다.
특성방정식은 $(s+2)^3+8K=s^3+6s^2+12s+8+8K=0$이다. Routh 판별로 $6\cdot12\gt 8+8K$, 즉 $K\lt 8$이다.
0형 시스템이므로 $K_p=\lim_{s\to0}\dfrac{8K}{(s+2)^3}=K$, $e_{ss}=\dfrac{1}{1+K}$이다. $K$가 0에서 8로 가면 $e_{ss}$는 1에서 $\dfrac{1}{9}$로 줄어든다.
$\dfrac{1}{8}\lt e_{ss}\lt 2$: 단위계단 입력에서 오차가 1을 넘을 수 없고 하한도 틀렸다.
$0\lt e_{ss}\lt 8$: 이득 범위를 오차 범위로 혼동한 값이다.
$1\lt e_{ss}\lt 9$: $1+K$의 범위를 오차로 착각한 값이다.

최고시간을 절반으로 줄이려면 이득을 $4K_1$로 키워야 한다.
특성방정식은 $(s+2)^2+K=0$이므로 극점은 $-2\pm j\sqrt{K}$이고, 감쇠 고유진동수는 $\omega_d=\sqrt{K}$이다.
최고시간 $t_p=\dfrac{\pi}{\omega_d}=\dfrac{\pi}{\sqrt{K}}$이므로 $t_p$를 0.5배로 하려면 $\sqrt{K}$가 2배, 즉 $K$는 4배가 되어야 한다.
$\dfrac{K_1}{4}$: $t_p$가 2배로 늘어난다.
$\dfrac{K_1}{2}$: $t_p$가 $\sqrt{2}$배로 늘어난다.
$2K_1$: $t_p$가 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$배에 그친다.

관측기 이득은 $L=\begin{bmatrix}8\\4\end{bmatrix}$이다.
관측기 고윳값은 $A-LC$의 고윳값이다.
$A-LC=\begin{bmatrix}-l_1&1\\-2-l_2&-3\end{bmatrix}$ → $s^2+(3+l_1)s+(3l_1+2+l_2)=0$
목표: $(s+5)(s+6)=s^2+11s+30$
$3+l_1=11$ → $l_1=8$
$24+2+l_2=30$ → $l_2=4$
$\begin{bmatrix}-8\\-4\end{bmatrix}$: 부호가 반대라 관측기 극점이 우반평면으로 간다.
$\begin{bmatrix}-4\\-8\end{bmatrix}$: 부호와 성분 순서가 모두 틀리다.
$\begin{bmatrix}4\\8\end{bmatrix}$: 대입하면 $s^2+7s+22$가 되어 목표 특성식과 다르다.

임계 안정이 되는 조건은 $\omega=2\,\mathrm{rad/s}$, $K=1$이다.
분모 $(s+1)(s^2+2s+2)=s^3+3s^2+4s+2$에 $s=j\omega$를 넣으면 $(2-3\omega^2)+j\omega(4-\omega^2)$이다.
나이퀴스트 궤적이 음의 실수축을 지나려면 허수부가 0이어야 하므로 $\omega=2$이고, 이때 실수부는 $2-12=-10$이다. 따라서 $KG=\dfrac{10K}{-10}=-K$가 -1점을 지나야 하므로 $K=1$이다.
$\omega=1$, $K=0.5$: 각주파수 1에서는 허수부가 0이 아니다.
$\omega=1$, $K=1$: 각주파수가 위상 교차 조건을 만족하지 않는다.
$\omega=2$, $K=0.5$: 궤적이 -0.5를 지나 아직 안정 여유가 남는다.