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1[7급 국가직 자동제어] 25년 1회차

다음 상태방정식의 상태천이행렬(state transition matrix)이  $\begin{bmatrix}2\mathrm{e}^{-\mathrm{t}}-\mathrm{e}^{-2\mathrm{t}}&\mathrm{e}^{-\mathrm{t}}-\mathrm{e}^{-2\mathrm{t}}\\-2\mathrm{e}^{-\mathrm{t}}+2\mathrm{e}^{-2\mathrm{t}}&-\mathrm{e}^{-\mathrm{t}}+2\mathrm{e}^{-2\mathrm{t}}\end{bmatrix}$ 일 때,  $a$ 와  $b$ 는?
 $\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}0&1\\a&b\end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u(t)$ 
 $y(t)=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x(t)$ 
 $a$   $b$

－3 －2

－2 －3

2 3

3 2

해설

계수는  $a=-2,\ b=-3$ 이다.
상태천이행렬  $\Phi(t)=e^{At}$ 는  $\dot{\Phi}(0)=A$ 를 만족하므로 둘째 행을 미분해  $t=0$ 을 대입한다.
 $\dfrac{d}{dt}(-2e^{-t}+2e^{-2t})\big|_{t=0}=2-4=-2$ 
 $\dfrac{d}{dt}(-e^{-t}+2e^{-2t})\big|_{t=0}=1-4=-3$ 
검산: 특성방정식  $s^2-bs-a=s^2+3s+2=(s+1)(s+2)$ 로 지수 항  $e^{-t},\ e^{-2t}$ 와 일치한다.
 $a=-3,\ b=-2$ : 두 값을 서로 바꾼 것이다.
 $a=2,\ b=3$ : 부호가 반대라 특성근이 우반평면에 생겨 감쇠 지수와 맞지 않는다.
 $a=3,\ b=2$ : 부호와 순서가 모두 틀려  $e^{3t}$  항이 생긴다.

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