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1[7급 국가직 자동제어] 25년 1회차

다음 상태방정식에서 감쇠비와 임펄스응답은? (단,  $u(t)$ 는 입력,  $y(t)$ 는 출력,  $x(t)$ 는 상태변수 벡터이고,  $t\ge 0$ 이다)
 $\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}0&1\\-1000&-20\end{bmatrix}x(t)+\begin{bmatrix}0\\400\end{bmatrix}u(t)$ 
 $y(t)=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x(t)$ 
감쇠비 임펄스응답

 $\frac{1}{\sqrt{10}}$   $\frac{40}{3}e^{-10t}\sin30t$

 $\frac{1}{\sqrt{10}}$   $\frac{40}{3}e^{-10t}\cos30t$

 $\frac{2}{\sqrt{10}}$   $\frac{40}{3}e^{-10t}\sin30t$

 $\frac{2}{\sqrt{10}}$   $\frac{40}{3}e^{-10t}\cos30t$

해설

감쇠비는  $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ , 임펄스응답은  $\dfrac{40}{3}e^{-10t}\sin 30t$ 이다.
동반형 행렬이므로 특성방정식은  $s^2+20s+1000=0$ , 전달함수는  $G(s)=\dfrac{400}{s^2+20s+1000}$ 이다.
 $\omega_n=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$ ,  $2\zeta\omega_n=20$  →  $\zeta=\dfrac{20}{20\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ 
 $G(s)=\dfrac{400}{(s+10)^2+30^2}=\dfrac{40}{3}\cdot\dfrac{30}{(s+10)^2+30^2}$  →  $g(t)=\dfrac{40}{3}e^{-10t}\sin 30t$ 
감쇠비  $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ 와 cos 응답: 분자가 상수이므로 cos이 아닌 sin 형태가 나와야 한다.
감쇠비  $\dfrac{2}{\sqrt{10}}$ 와 sin 응답:  $2\zeta\omega_n=20$ 에서 2를 빠뜨린 감쇠비다.
감쇠비  $\dfrac{2}{\sqrt{10}}$ 와 cos 응답: 감쇠비와 응답 형태가 모두 맞지 않는다.

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