25년 1회차

정현파 입력에 대한 선형시불변 시스템의 정상상태 응답은 같은 주파수의 정현파이지만, 위상은 입력과 같지 않고 전달함수의 위상각만큼 이동한다. 따라서 '동위상의 정현파 응답이 나온다'는 설명이 옳지 않다.

정상상태 출력은 크기가 $|G(j\omega)|$배가 되고, 위상이 $\angle G(j\omega)$만큼 달라진다.

• 중첩의 원리 만족: 선형성의 정의 그 자체이므로 옳다.
• 전달함수 = 단위임펄스응답의 라플라스 변환: 임펄스의 라플라스 변환이 1이므로 옳다.
• 출력 = 입력과 단위임펄스응답의 컨볼루션: 선형시불변 시스템의 기본 성질이므로 옳다.

극점이 허수축에서 멀어질수록 감쇠 항 $e^{-\sigma t}$의 $\sigma$가 커져 임펄스응답은 더 빨리 수렴한다. 따라서 '수렴속도가 느려진다'는 설명이 옳지 않다.

좌반평면 극점이면 안정하다는 앞부분은 맞지만, 실수부 크기가 클수록 과도응답이 빨리 사라진다.

• 좌반평면 공액복소 극점: $0<\zeta<1$인 부족감쇠에 해당하므로 옳다.
• 우반평면 영점 추가 시 비최소위상: 비최소위상 시스템의 정의이므로 옳다.
• 우반평면 영점 추가 시 초기 출력이 반대 방향: 계단응답 초기에 언더슈트가 생기므로 옳다.

폐루프 전달함수가 1이 되려면 $H(s)=\dfrac{G_1G_2-G_2-1}{G_1G_2}$이어야 한다.

안쪽 단위 피드백 루프는 $\dfrac{G_2}{1+G_2}$이고, 바깥 루프까지 묶으면 $T=\dfrac{G_1G_2}{1+G_2+G_1G_2H}$이다.

$T=1$로 두면 $G_1G_2=1+G_2+G_1G_2H$이므로 $H$에 대해 정리하면 위 식이 나온다.

• $\dfrac{G_2-1}{G_1G_2-G_2-1}$: 분모가 $G_1G_2$인 정리 결과와 형태가 다르다.
• $\dfrac{G_2+1}{G_1G_2+G_2+1}$: 부호와 분자·분모 배치가 모두 틀렸다.
• $\dfrac{G_1G_2+G_1-1}{G_1G_2}$: 분자에 $G_2$ 대신 $G_1$이 들어가 있다.

표준형 2차 시스템 조건과 극점 $-1\pm j\sqrt{3}$로부터 $a+b+c+d=6$이다.

폐루프 전달함수는 $\dfrac{as+b}{s^2+(c+a)s+(b+d)}$이다. 표준형 $\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$가 되려면 분자에 $s$항이 없어야 하므로 $a=0$, 분자와 상수항이 같아야 하므로 $d=0$이다.

극점이 $-1\pm j\sqrt{3}$이면 특성식은 $(s+1)^2+3=s^2+2s+4$이므로 $c=2$, $b=4$이고 합은 $0+4+2+0=6$이다.

• 7: $a=0$, $d=0$, $c=2$, $b=4$로 계수가 하나로 정해지므로 합이 7이 될 수 없다.
• 8: 극점 조건만으로는 $a+c=2$, $b+d=4$이고, 표준형 조건까지 쓰면 합은 6으로 고정된다.
• 9: $\omega_n^2=4$를 잘못 구하거나 표준형 조건을 빠뜨린 값이다.

정상상태에서 입력과 출력의 차이는 $\dfrac{4}{5}$이다.

극점 $s^2+3s+5=0$이 모두 좌반평면이므로 최종값 정리를 쓸 수 있다.
$y(\infty)=\lim_{s\to 0}s\cdot M(s)\cdot\dfrac{1}{s}=M(0)=\dfrac{1}{5}$
입력은 1이므로 차이는 $1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$

• $\dfrac{1}{5}$: 출력의 정상값 자체이며 입력과의 차이가 아니다.
• $\dfrac{2}{5}$: 최종값 계산 어디에서도 나오지 않는 값이다.
• $\dfrac{3}{5}$: 분모의 1차 계수를 분자로 잘못 쓴 값이다.

감쇠비는 $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$, 임펄스응답은 $\dfrac{40}{3}e^{-10t}\sin 30t$이다.

동반형 행렬이므로 특성방정식은 $s^2+20s+1000=0$, 전달함수는 $G(s)=\dfrac{400}{s^2+20s+1000}$이다.

$\omega_n=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$, $2\zeta\omega_n=20$ → $\zeta=\dfrac{20}{20\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$
$G(s)=\dfrac{400}{(s+10)^2+30^2}=\dfrac{40}{3}\cdot\dfrac{30}{(s+10)^2+30^2}$ → $g(t)=\dfrac{40}{3}e^{-10t}\sin 30t$

• 감쇠비 $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$와 cos 응답: 분자가 상수이므로 cos이 아닌 sin 형태가 나와야 한다.
• 감쇠비 $\dfrac{2}{\sqrt{10}}$와 sin 응답: $2\zeta\omega_n=20$에서 2를 빠뜨린 감쇠비다.
• 감쇠비 $\dfrac{2}{\sqrt{10}}$와 cos 응답: 감쇠비와 응답 형태가 모두 맞지 않는다.

근궤적은 $K=6$일 때 허수축의 $\pm j\sqrt{2}$에서 만난다.

특성방정식: $s(s+1)(s+2)+K=s^3+3s^2+2s+K=0$
루스 표의 $s^1$행: $\dfrac{3\cdot 2-K}{3}=0$ → $K=6$

보조방정식: $3s^2+K=3s^2+6=0$ → $s=\pm j\sqrt{2}$

• $\pm j$와 $K=3$: 교차점과 임계 이득이 모두 루스 조건과 맞지 않는다.
• $\pm j$와 $K=6$: 이득은 맞지만 보조방정식의 근은 $\pm j\sqrt{2}$다.
• $\pm j\sqrt{2}$와 $K=3$: 교차점은 맞지만 임계 이득은 6이다.

대역폭이 고유진동수와 같으려면 감쇠비는 $\zeta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이다.

표준형 2차 시스템의 대역폭은 $\omega_{BW}=\omega_n\sqrt{(1-2\zeta^2)+\sqrt{4\zeta^4-4\zeta^2+2}}$이다.

$\omega_{BW}=\omega_n$이면 $\sqrt{4\zeta^4-4\zeta^2+2}=2\zeta^2$이고, 제곱하면 $-4\zeta^2+2=0$, 즉 $\zeta^2=\dfrac{1}{2}$이다.

• $\dfrac{1}{2}$: 대입하면 $\omega_{BW}\approx1.27\omega_n$으로 고유진동수보다 크다.
• $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$: 대입하면 $\omega_{BW}$가 $\omega_n$보다 크다.
• 1: 대입하면 $\omega_{BW}\approx0.64\omega_n$으로 고유진동수보다 작다.

정상상태오차가 0.01이 되려면 $K=200$이다.

개루프 전달함수에 적분기 $s^2$가 있는 2형 시스템이므로 계단·램프 성분의 정상상태오차는 0이고, 포물선 성분 $\dfrac{t^2}{2}$만 오차를 남긴다.

가속도 오차상수 $K_a=\lim_{s\to0}s^2G(s)=\dfrac{K}{2\cdot1}=\dfrac{K}{2}$이므로 $e_{ss}=\dfrac{1}{K_a}=\dfrac{2}{K}=0.01$, 따라서 $K=200$이다.

• 100: $e_{ss}=0.02$가 된다.
• 400: $e_{ss}=0.005$가 된다.
• 800: $e_{ss}=0.0025$가 된다.

신호흐름선도의 이득은 $\dfrac{1}{k}$, $\dfrac{k}{m}$, $-\dfrac{k}{m}$ 순이다.

스프링에 걸리는 힘은 $f=k(x_1-x_2)$이므로 $x_1=\dfrac{1}{k}f+x_2$이다. 선도의 되먹임 이득 1이 $x_2$ 항이고, $f$에서 $x_1$로 가는 이득은 $\dfrac{1}{k}$이다.

질량의 운동방정식 $m\ddot{x}_2=k(x_1-x_2)-c\dot{x}_2$에서 $\ddot{x}_2=\dfrac{k}{m}x_1-\dfrac{c}{m}\dot{x}_2-\dfrac{k}{m}x_2$이므로 $x_2$에서 $\ddot{x}_2$로 되돌아오는 이득은 음수이다.

• $\dfrac{1}{k}$, $\dfrac{k}{m}$, $\dfrac{k}{m}$: 스프링 복원력 되먹임의 부호가 양수로 되어 있다.
• $\dfrac{m}{k}$, $\dfrac{1}{m}$, $-\dfrac{k}{m}$: 힘에서 $x_1$로 가는 이득과 $x_1$에서 가속도로 가는 이득이 틀렸다.
• $\dfrac{m}{k}$, $\dfrac{1}{m}$, $\dfrac{k}{m}$: 앞의 두 이득과 되먹임 부호가 모두 틀렸다.

특성방정식은 $s^3+11s^2+30s+1=0$이다.

순방향 $G(s)=\dfrac{1}{s(s+6)}$, 피드백 $H(s)=\dfrac{1}{s+5}$이므로 $1+G(s)H(s)=0$에서 $s(s+6)(s+5)+1=0$이다.

전개하면 $s(s^2+11s+30)+1=s^3+11s^2+30s+1$이다.

• $s^3+11s^2+s+30=0$: $s$항과 상수항이 뒤바뀌었다.
• $s^3+30s^2+s+11=0$: 계수 배치가 전개 결과와 다르다.
• $s^3+30s^2+11s+1=0$: $s^2$항과 $s$항 계수가 뒤바뀌었다.

계수비는 $\dfrac{b}{a}=-0.5$이다.

둘째 상태식 $\dot{x}_2=ax_2+bu$와 출력 $y=x_2$만으로 전달함수가 정해진다.
$\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{b}{s-a}$

$\dfrac{3}{s+6}$와 비교하면 $b=3,\ a=-6$
$\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{-6}=-0.5$

• $-2$: 분자·분모를 뒤집어 $\dfrac{a}{b}$를 구한 값이다.
• $0.5$: $a$의 부호를 양으로 잘못 둔 값이다.
• $2$: 역수와 부호를 모두 잘못 쓴 값이다.

$0<\alpha<1$이면 극점 $-\dfrac{1}{\alpha T}$가 영점 $-\dfrac{1}{T}$보다 원점에서 멀어 진상보상기(lead compensator)이다. 따라서 '지상보상기'라는 설명이 옳지 않다.

위상각 $\phi(\omega)=\tan^{-1}\omega T-\tan^{-1}\alpha\omega T$는 $\alpha<1$이므로 모든 양의 주파수에서 양이다.

• 위상각이 항상 양: 위 식에서 첫 항이 항상 더 크므로 옳다.
• $\alpha$가 작을수록 최대 위상각 증가: $\sin\phi_m=\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}$이므로 옳다.
• 최대 위상각 각주파수: 영점·극점 주파수의 기하평균 $\omega_m=\dfrac{1}{T\sqrt{\alpha}}$이므로 옳다.

P점은 이득 교차점이므로 각주파수는 크기 곡선이 0 dB를 지나는 A점, 위상여유는 그 주파수에서 위상과 -180° 사이의 간격 B이다.

나이퀴스트 선도의 P점은 궤적이 단위원과 만나는 점, 즉 $|L(j\omega)|=1$인 점이다. 보드 선도에서는 $0\,\mathrm{dB}$를 지나는 이득 교차 주파수에 해당한다.

원점과 P를 잇는 직선이 음의 실수축과 이루는 각이 위상여유이며, 보드 선도에서는 이득 교차 주파수에서 위상이 -180°보다 위에 있는 만큼이다.

• A점과 D: 주파수는 맞지만 D는 위상 교차 주파수에서 0 dB 아래로 떨어진 양, 즉 이득여유다.
• C점과 B: C점은 위상이 -180°가 되는 위상 교차 주파수로, 나이퀴스트 선도에서 음의 실수축과 만나는 점에 대응한다.
• C점과 D: 위상 교차 주파수와 이득여유의 조합으로, P점이 아닌 음의 실수축 교점에 해당한다.

원하는 특성방정식 $s^2+6s+9=0$을 맞추면 $k_1=3$, $k_2=-9$이다.

상태식은 $\dot{x}_1=-3x_1+u$, $\dot{x}_2=r-x_1$이고 제어입력은 $u=-k_1x_1-k_2x_2$이다.

따라서 $\dot{x}_1=-(3+k_1)x_1-k_2x_2$이고, 특성방정식은 $s(s+3+k_1)-k_2=s^2+(3+k_1)s-k_2=0$이다.

감쇠비 1, 고유주파수 3이면 $s^2+2\cdot1\cdot3s+9$이므로 $3+k_1=6$, $-k_2=9$이다.

• $k_1=-3$, $k_2=-9$: $s$항 계수가 0이 되어 감쇠가 사라진다.
• $k_1=-3$, $k_2=9$: 감쇠 항이 0이고 상수항이 음수라 불안정하다.
• $k_1=3$, $k_2=9$: 상수항이 -9가 되어 불안정하다.

$K=0.5$일 때 위상여유는 45°이다.

루프 전달함수가 $0.5G(j\omega)$이므로 이득 교차 조건 $|0.5G|=1$은 $|G(j\omega)|=2$인 주파수에서 성립한다.

그래프에서 $|G|=2$인 주파수의 위상은 -135°이므로 위상여유는 $-135^\circ-(-180^\circ)=45^\circ$이다.

• 0°: $|G|=0.5$인 주파수(위상 -180°)를 이득 교차점으로 잘못 본 값이다.
• 30°: $|G|=1$인 주파수(위상 -150°)를 쓴 값으로, $K=1$일 때의 위상여유다.
• 70°: $|G|=5$인 주파수(위상 -110°)를 쓴 값으로, $K=0.2$일 때에 해당한다.

안정 영역 A는 $K_I\gt 0$이면서 $(0,-3)$과 $(12,0)$을 잇는 경계선 위쪽이다.

특성방정식은 $s(s+1)(s+3)+K_Ps+K_I=s^3+4s^2+(3+K_P)s+K_I=0$이다.

Routh 판별로 $K_I\gt 0$과 $4(3+K_P)\gt K_I$, 즉 $K_P\gt \dfrac{K_I}{4}-3$이 필요하다. 이 경계선은 $K_I=0$에서 $K_P=-3$, $K_P=0$에서 $K_I=12$를 지난다.

• $K_I\lt 0$ 쪽의 경계선 위 영역: 상수항이 음수여서 불안정하다.
• $K_I\lt 0$ 쪽의 경계선 아래 영역: 두 조건을 모두 어긴다.
• $K_I\gt 0$ 쪽의 경계선 아래 영역: $4(3+K_P)\lt K_I$가 되어 Routh 표 1열에 부호 변화가 생긴다.

위상여유가 60°가 되는 이득은 $K=2$이다.

위상은 $-90^\circ-\tan^{-1}\dfrac{\omega}{\sqrt{3}}$이다. 위상여유 60°이면 이득 교차점의 위상이 -120°이므로 $\tan^{-1}\dfrac{\omega_c}{\sqrt{3}}=30^\circ$, 즉 $\omega_c=1\,\mathrm{rad/s}$이다.

이 주파수에서 $|L|=\dfrac{K}{\omega_c\sqrt{\omega_c^2+3}}=\dfrac{K}{2}=1$이므로 $K=2$이다.

• 1: 이득 교차 주파수가 1보다 낮아져 위상여유가 60°보다 커진다.
• 1.5: 마찬가지로 위상여유가 60°보다 크다.
• 2.5: 이득 교차 주파수가 높아져 위상여유가 60°보다 작아진다.

계수는 $a=-2,\ b=-3$이다.

상태천이행렬 $\Phi(t)=e^{At}$는 $\dot{\Phi}(0)=A$를 만족하므로 둘째 행을 미분해 $t=0$을 대입한다.
$\dfrac{d}{dt}(-2e^{-t}+2e^{-2t})\big|_{t=0}=2-4=-2$
$\dfrac{d}{dt}(-e^{-t}+2e^{-2t})\big|_{t=0}=1-4=-3$

검산: 특성방정식 $s^2-bs-a=s^2+3s+2=(s+1)(s+2)$로 지수 항 $e^{-t},\ e^{-2t}$와 일치한다.

• $a=-3,\ b=-2$: 두 값을 서로 바꾼 것이다.
• $a=2,\ b=3$: 부호가 반대라 특성근이 우반평면에 생겨 감쇠 지수와 맞지 않는다.
• $a=3,\ b=2$: 부호와 순서가 모두 틀려 $e^{3t}$ 항이 생긴다.

안정 조건 $0\lt K\lt 8$에서 정상상태오차 범위는 $\dfrac{1}{9}\lt e_{ss}\lt 1$이다.

특성방정식은 $(s+2)^3+8K=s^3+6s^2+12s+8+8K=0$이다. Routh 판별로 $6\cdot12\gt 8+8K$, 즉 $K\lt 8$이다.

0형 시스템이므로 $K_p=\lim_{s\to0}\dfrac{8K}{(s+2)^3}=K$, $e_{ss}=\dfrac{1}{1+K}$이다. $K$가 0에서 8로 가면 $e_{ss}$는 1에서 $\dfrac{1}{9}$로 줄어든다.

• $\dfrac{1}{8}\lt e_{ss}\lt 2$: 단위계단 입력에서 오차가 1을 넘을 수 없고 하한도 틀렸다.
• $0\lt e_{ss}\lt 8$: 이득 범위를 오차 범위로 혼동한 값이다.
• $1\lt e_{ss}\lt 9$: $1+K$의 범위를 오차로 착각한 값이다.

최고시간을 절반으로 줄이려면 이득을 $4K_1$로 키워야 한다.

특성방정식은 $(s+2)^2+K=0$이므로 극점은 $-2\pm j\sqrt{K}$이고, 감쇠 고유진동수는 $\omega_d=\sqrt{K}$이다.

최고시간 $t_p=\dfrac{\pi}{\omega_d}=\dfrac{\pi}{\sqrt{K}}$이므로 $t_p$를 0.5배로 하려면 $\sqrt{K}$가 2배, 즉 $K$는 4배가 되어야 한다.

• $\dfrac{K_1}{4}$: $t_p$가 2배로 늘어난다.
• $\dfrac{K_1}{2}$: $t_p$가 $\sqrt{2}$배로 늘어난다.
• $2K_1$: $t_p$가 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$배에 그친다.

관측기 이득은 $L=\begin{bmatrix}8\\4\end{bmatrix}$이다.

관측기 고윳값은 $A-LC$의 고윳값이다.
$A-LC=\begin{bmatrix}-l_1&1\\-2-l_2&-3\end{bmatrix}$ → $s^2+(3+l_1)s+(3l_1+2+l_2)=0$

목표: $(s+5)(s+6)=s^2+11s+30$
$3+l_1=11$ → $l_1=8$
$24+2+l_2=30$ → $l_2=4$

• $\begin{bmatrix}-8\\-4\end{bmatrix}$: 부호가 반대라 관측기 극점이 우반평면으로 간다.
• $\begin{bmatrix}-4\\-8\end{bmatrix}$: 부호와 성분 순서가 모두 틀리다.
• $\begin{bmatrix}4\\8\end{bmatrix}$: 대입하면 $s^2+7s+22$가 되어 목표 특성식과 다르다.

임계 안정이 되는 조건은 $\omega=2\,\mathrm{rad/s}$, $K=1$이다.

분모 $(s+1)(s^2+2s+2)=s^3+3s^2+4s+2$에 $s=j\omega$를 넣으면 $(2-3\omega^2)+j\omega(4-\omega^2)$이다.

나이퀴스트 궤적이 음의 실수축을 지나려면 허수부가 0이어야 하므로 $\omega=2$이고, 이때 실수부는 $2-12=-10$이다. 따라서 $KG=\dfrac{10K}{-10}=-K$가 -1점을 지나야 하므로 $K=1$이다.

• $\omega=1$, $K=0.5$: 각주파수 1에서는 허수부가 0이 아니다.
• $\omega=1$, $K=1$: 각주파수가 위상 교차 조건을 만족하지 않는다.
• $\omega=2$, $K=0.5$: 궤적이 -0.5를 지나 아직 안정 여유가 남는다.

$\alpha=0.1$일 때만 음의 실수축에 이탈점과 복귀점이 함께 생긴다.

특성방정식에서 $K=-\dfrac{s^2(s+1)}{s+\alpha}$, $\dfrac{dK}{ds}=0$을 정리하면 $s\left(2s^2+(3\alpha+1)s+2\alpha\right)=0$

두 실근 조건: $(3\alpha+1)^2-16\alpha=(9\alpha-1)(\alpha-1)\ge 0$ → $\alpha<1$ 범위에서 $\alpha\le\dfrac{1}{9}$
$\alpha=0.1$이면 $2s^2+1.3s+0.2=0$ → $s=-0.25,\ -0.4$로 둘 다 실수축 근궤적 구간 $[-1,\ -0.1]$ 위에 있다.

• $\alpha=0.3$: $\dfrac{1}{9}$보다 커 판별식이 음수이므로 실수축 분기점이 없다.
• $\alpha=0.5$: 판별식이 음수이므로 실수축 분기점이 없다.
• $\alpha=0.7$: 판별식이 음수이므로 실수축 분기점이 없다.