[7급 국가직 응용역학] 25년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

케이블 BD의 인장력은 4P이므로 α의 크기는 4이다.
힌지 C에 대한 모멘트 평형을 세운다. 케이블은 연직선과 30°를 이루므로 수평분력은 $T\sin 30^{\circ}=\dfrac{T}{2}$이고, 연직분력은 C를 지나는 연직선 위에 작용해 C에 대한 모멘트가 없다.
$\sum M_{C}=0:\ P\times 4=\dfrac{T}{2}\times 2$
$T=4P$
α를 2로 보면 수평분력 대신 장력 전체를 팔길이 2 m에 곱한 것으로, 30° 분해를 빠뜨린 값이다.
α를 6으로 보면 C에 대한 저항모멘트가 6P·m로 하중 모멘트 4P·m보다 커져 평형이 깨진다.
α를 8로 보면 저항모멘트가 8P·m로 역시 평형식을 만족하지 않는다.

단면 B의 단면2차모멘트는 단면 A의 4배이다.
직사각형 도심축 단면2차모멘트는 높이의 세제곱에 비례한다.
$I_{A}=\dfrac{bh^{3}}{12}$
$I_{B}=\dfrac{(b/2)(2h)^{3}}{12}=\dfrac{4bh^{3}}{12}$
$\dfrac{I_{B}}{I_{A}}=4$
비를 1로 보는 것은 면적이 같으면 단면2차모멘트도 같다고 본 오류이다.
비를 2로 보는 것은 높이 증가를 세제곱이 아닌 1제곱으로 반영한 값이다.
비를 3으로 보면 폭 1/2배, 높이 세제곱 8배를 곱한 4배와 맞지 않는다.

고정단 A의 반력모멘트가 0이 되려면 집중하중 P는 6 kN이어야 한다.
등분포하중의 합력은 $4\times 2=8\ \mathrm{kN}$이고 A에서 3 m 위치에 작용한다. 상향 P는 A에서 4 m 위치이다.
$M_{A}=P\times 4-8\times 3=0$
$P=6\ \mathrm{kN}$
P를 2 kN으로 보면 상향 하중의 모멘트가 8 kN·m로 등분포하중 모멘트 24 kN·m에 못 미친다.
P를 4 kN으로 보면 16 kN·m로 역시 모멘트 평형이 성립하지 않는다.
P를 8 kN으로 보면 32 kN·m로 반대 방향 모멘트가 남는다.

집중하중은 P = 100 kN, 등분포하중은 w = 10 kN/m이다.
전단력선도에서 집중하중 위치(지점 A에서 5 m)의 전단력 급변량이 집중하중 크기이다.
$P=50-(-50)=100\ \mathrm{kN}$
등분포하중 구간의 전단력 기울기가 w이다.
$w=\dfrac{100-50}{5}=10\ \mathrm{kN/m}$
검산: $R_{A}=\dfrac{10\times 10+100}{2}=100\ \mathrm{kN}$
집중하중 50 kN은 급변량의 한쪽(50 kN)만 읽은 값이다.
등분포하중 5 kN/m는 전단력 감소량 50 kN을 전체 지간 10 m로 나눈 값이다.

이 강절 프레임의 부정정 차수는 12차이다.
강절 라멘은 폐합 고리 1개당 3차 부정정이다. 양 기둥이 고정지점으로 지반에 연결되므로 지반도 고리를 닫는 부재로 본다.
폐합 고리 수: 지반과 최하층 보 사이 1개, 중간 칸 1개, 최상층 두 칸 2개로 총 4개이다.
$N=3\times 4=12$
9차는 지반이 이루는 고리를 빼고 3개만 센 값이다.
15차는 폐합 고리를 5개로 센 값이다.
18차는 폐합 고리를 6개로 센 값이다.

C점의 최대 휨인장응력은 40 MPa이다.
등분포하중 합력 $2\times 4=8\ \mathrm{kN}$은 A에서 2 m, 10 kN은 A에서 8 m에 작용한다.
$R_{D}=\dfrac{8\times 2+10\times 8}{12}=8\ \mathrm{kN}$
$M_{C}=R_{D}\times 4=32\ \mathrm{kN\cdot m}$
단면계수 $Z=\dfrac{bh^{2}}{6}=\dfrac{120\times 200^{2}}{6}=8\times 10^{5}\ \mathrm{mm^{3}}$
$\sigma=\dfrac{M}{Z}=\dfrac{32\times 10^{6}}{8\times 10^{5}}=40\ \mathrm{MPa}$
10 MPa는 C점 휨모멘트를 8 kN·m로 잡은 값이다.
20 MPa는 C점 휨모멘트를 16 kN·m로 절반만 잡은 값이다.
30 MPa는 C점 휨모멘트를 24 kN·m로 잘못 구한 값이다.

부재력이 0인 부재는 모두 4개이다.
하중이 없는 절점에서 두 부재가 일직선이고 세 번째 부재가 따로 있으면 그 부재는 영부재이다.
상현재 위 두 번째 절점의 수직재: 상현재가 일직선이므로 0이다.
하현재 가운데(왼쪽에서 세 번째 칸 끝) 절점의 수직재: 하현재가 일직선이므로 0이다.
상현재 위 네 번째 절점의 수직재: 같은 이유로 0이다.
롤러 지점 절점의 하현재: 롤러 반력은 연직뿐이고 수직재만 남으므로 수평 하현재는 0이다.
2개는 상현 절점 수직재 두 개만 센 개수이다.
3개는 롤러 지점 쪽 하현재를 빠뜨린 개수이다.
5개는 50 kN이 걸린 절점의 수직재처럼 힘을 받는 부재를 잘못 포함한 개수이다.

최대휨응력과 최대전단응력의 비는 $\dfrac{3L}{4r}$이다.
최대휨응력: $\sigma_{\max}=\dfrac{wL^{2}/8}{\pi r^{3}/4}=\dfrac{wL^{2}}{2\pi r^{3}}$
최대전단응력(원형 단면은 평균의 4/3배): $\tau_{\max}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{wL/2}{\pi r^{2}}=\dfrac{2wL}{3\pi r^{2}}$
$\dfrac{\sigma_{\max}}{\tau_{\max}}=\dfrac{wL^{2}}{2\pi r^{3}}\cdot\dfrac{3\pi r^{2}}{2wL}=\dfrac{3L}{4r}$
7L/(8r)은 계수를 잘못 적용한 값이다.
분자에 L의 제곱이 남는 값은 차원이 맞지 않는다(비는 무차원).
분모에 r의 제곱이 남는 값도 차원이 맞지 않는다.

AB부재의 압축응력은 80 MPa이다.
자유 팽창량: $\delta_{T}=\alpha\Delta T L=20\times 10^{-6}\times 50\times 1000=1.0\ \mathrm{mm}$
B 끝과 벽 사이 간격 0.2 mm를 넘는 0.8 mm가 구속된다.
$\sigma=E\dfrac{\delta}{L}=100\times 10^{3}\times\dfrac{0.8}{1000}=80\ \mathrm{MPa}$
100 MPa는 간격을 무시하고 전체 팽창량을 구속한 값이다.
40 MPa는 구속 변형량을 0.4 mm로 본 값이다.
60 MPa는 구속 변형량을 0.6 mm로 본 값이다.

두 고정단 휨모멘트는 같아서 비는 1이다.
각 삼각형 분포하중의 합력은 $\dfrac{wL}{2}$이고, 도심(큰 쪽에서 L/3)에 작용한다.
(a): $M_{A}=\dfrac{wL}{2}\cdot\dfrac{L}{3}+\dfrac{wL}{2}\cdot\dfrac{5L}{3}=wL^{2}$
(b): $M_{B}=\dfrac{wL}{2}\cdot\dfrac{2L}{3}+\dfrac{wL}{2}\cdot\dfrac{4L}{3}=wL^{2}$
두 경우 모두 합력과 팔길이 합이 같으므로 비는 1이다.
비 2는 한쪽 고정단 모멘트를 2배로 본 값으로, 합력 작용점을 도심이 아닌 곳에 둔 결과이다.
비 3도 합력 작용점을 잘못 잡은 값이다.
비 4도 팔길이 합이 같다는 점과 맞지 않는다.

길이 d는 6 cm이다.
삼각형 도심축 단면2차모멘트와 면적:
$I_{G}=\dfrac{bh^{3}}{36}=\dfrac{10\times 12^{3}}{36}=480\ \mathrm{cm^{4}}$, $A=60\ \mathrm{cm^{2}}$
도심은 밑변에서 h/3 = 4 cm 위이므로 x축까지 거리는 d+4이다. 평행축 정리:
$480+60(d+4)^{2}=6480$
$(d+4)^{2}=100,\ d=6\ \mathrm{cm}$
d=2 cm이면 $480+60\times 6^{2}=2640\ \mathrm{cm^{4}}$이다.
d=4 cm이면 $480+60\times 8^{2}=4320\ \mathrm{cm^{4}}$이다.
d=8 cm이면 $480+60\times 12^{2}=9120\ \mathrm{cm^{4}}$이다.

거리 x는 0.5 m이다.
내부힌지 오른쪽 부분(힌지~B, 4 m)은 단순보처럼 작동한다. 6 kN이 중앙에 있으므로 힌지 전단력은 3 kN이다.
왼쪽 캔틸레버에 힌지 전단 3 kN(A에서 4 m)과 등분포하중 합력 3 kN(A에서 x+0.5 m)이 작용한다.
$M_{A}=3\times 4+3\times(x+0.5)=15$
$x=0.5\ \mathrm{m}$
x=1.0 m이면 고정단 모멘트가 16.5 kN·m가 된다.
x=1.5 m이면 18 kN·m가 된다.
x=2.0 m이면 19.5 kN·m가 된다.

A의 수직반력이 0이면 P = wL이므로 α는 1이다.
수평 평형에서 A의 수평반력은 P와 크기가 같고 반대 방향이다. B(롤러)에 대한 모멘트 평형을 세운다(A의 수직반력 0).
$P\cdot\dfrac{L}{2}+wL\cdot\dfrac{L}{2}-P\cdot L=0$
$P=wL$
α=2이면 B에 대한 모멘트 합이 $-\dfrac{wL^{2}}{2}$로 남는다.
α=3이면 $-wL^{2}$가 남아 평형이 깨진다.
α=4이면 $-\dfrac{3wL^{2}}{2}$가 남는다.

D점의 전단력은 0이므로 D점 전단력이 16 kN이라는 설명이 옳지 않다.
B에 대한 모멘트 평형: $10R_{A}=8\times 8+16$, $R_{A}=8\ \mathrm{kN}$, $R_{B}=0$. 집중모멘트는 전단력을 바꾸지 않으므로 C~B 구간 전단력은 모두 0이다.
C점 전단력: $8-2\times 4=0$으로 옳다.
C점 휨모멘트: $8\times 4-8\times 2=16\ \mathrm{kN\cdot m}$로 옳다.
D점 휨모멘트: C~D 전단력이 0이므로 C점 값 16 kN·m가 유지되어 옳다(집중모멘트 직전 기준).

직사각형 단면은 $\alpha=\dfrac{3}{2}$, 원형 단면은 $\beta=\dfrac{4}{3}$이므로 비는 $\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{9}{8}$이다.
최대전단응력은 중립축에서 생기며 $\tau_{\max}=\dfrac{VQ}{Ib}$로 구한다. 직사각형은 평균전단응력의 1.5배, 원형은 평균전단응력의 4/3배가 된다.
$\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{8}$
3/2는 직사각형 단면의 계수 α만 구하고 원형 단면 계수로 나누지 않은 값이다.
1/2은 1보다 작아 직사각형 쪽이 작다는 뜻이 되지만, 실제로는 직사각형 계수가 더 커서 비는 1보다 크다.
5/3은 두 단면의 전단응력 계수 어느 조합으로도 나오지 않는 값이다.

좌굴하중 비는 64이다.
오일러 좌굴하중 $P_{cr}=\dfrac{\pi^{2}EI}{(KL)^{2}}$에서 양단 힌지 K=1, 양단 고정 K=0.5이다.
단면2차모멘트 비: $\dfrac{(2b)^{4}}{b^{4}}=16$
유효길이 비: $\dfrac{1}{0.5^{2}}=4$
$\dfrac{P_{B}}{P_{A}}=16\times 4=64$
8은 단면 증가를 세제곱(8배)으로만 본 값이다.
16은 지지조건 차이(유효길이계수)를 빠뜨린 값이다.
32는 지지조건 효과를 4배가 아닌 2배로 본 값이다.

부재 BA의 강성비는 2이다.
B에 작용한 72 kN·m는 강성비에 비례해 분배되고, 고정단 C로 도달률 1/2만큼 전달된다(D는 힌지라 수정강성비 3 사용).
$M_{BC}=72\times\dfrac{1}{k_{BA}+1+3}$
$M_{C}=\dfrac{1}{2}M_{BC}=\dfrac{36}{k_{BA}+4}=6$
$k_{BA}=2$
강성비 1이면 C점 모멘트가 7.2 kN·m가 된다.
강성비 3이면 약 5.14 kN·m가 된다.
강성비 4이면 4.5 kN·m가 된다.

두 수직거리의 합은 7 m이다.
케이블 각 점의 처짐은 같은 지간 단순보의 휨모멘트를 수평반력으로 나눈 값이다(일반 케이블 정리).
$R_{A}=\dfrac{6\times 6+15\times 3}{9}=9\ \mathrm{kN}$, $R_{D}=12\ \mathrm{kN}$
$M_{B}=9\times 3=27,\ M_{C}=12\times 3=36\ \mathrm{kN\cdot m}$
$y_{B}=\dfrac{27}{9}=3\ \mathrm{m}$, $y_{C}=\dfrac{36}{9}=4\ \mathrm{m}$, 합 7 m
6 m는 B, C 처짐을 하나의 반력으로만 계산한 값이다.
8 m는 단순보 모멘트를 잘못 구한 값이다.
9 m는 B·C 처짐을 모두 큰 쪽 반력으로 계산한 것처럼 과대평가한 값이다.

소성붕괴하중은 $w_{u}=\dfrac{2M_{p}}{L^{2}}$이므로 α는 2이다.
캔틸레버는 정정 구조이므로 고정단에 소성힌지 1개가 생기면 붕괴한다.
$M_{\max}=\dfrac{wL^{2}}{2}=M_{p}$
$w_{u}=\dfrac{2M_{p}}{L^{2}}$
α=4는 고정단 모멘트를 $wL^{2}/4$로 본 값이다.
α=8은 단순보 최대모멘트 $wL^{2}/8$을 적용한 값이다.
α=6은 정정 캔틸레버와 맞지 않는 값이다.

지간 중앙 하단 응력은 1.0 MPa(인장)이다.
단면: $A=300\times 400=1.2\times 10^{5}\ \mathrm{mm^{2}}$, $Z=\dfrac{300\times 400^{2}}{6}=8\times 10^{6}\ \mathrm{mm^{3}}$
축압축: $-\dfrac{12\times 10^{3}}{1.2\times 10^{5}}=-0.1\ \mathrm{MPa}$
편심 모멘트(도심 아래 10 cm, 하단 압축): $-\dfrac{12\times 0.1\times 10^{6}}{8\times 10^{6}}=-0.15\ \mathrm{MPa}$
하중 모멘트 $M=5\times 2=10\ \mathrm{kN\cdot m}$: $+\dfrac{10\times 10^{6}}{8\times 10^{6}}=+1.25\ \mathrm{MPa}$
합계: $-0.1-0.15+1.25=+1.0\ \mathrm{MPa}$
1.0 압축은 부호를 반대로 본 것이다.
1.5 인장은 축압축과 편심 모멘트를 모두 인장으로 둔 값이다(1.25+0.1+0.15).
1.5 압축은 크기·부호가 모두 맞지 않는다.

C점 수직 변형량은 $\dfrac{L}{AE}\left(P+\dfrac{W}{2}\right)$이다.
집중하중에 의한 신장량과 자중에 의한 신장량을 더한다. 자중에 의한 축력은 끝단 0에서 고정단 W까지 직선 변화하므로 평균 W/2가 작용하는 것과 같다.
$\delta=\dfrac{PL}{AE}+\dfrac{WL}{2AE}$
P/2와 W/3을 쓴 식은 집중하중 효과를 절반으로 줄인 오류이다.
W/3을 쓴 식은 자중 신장량 계수를 잘못 잡은 값이다.
2W를 쓴 식은 자중 효과를 과대평가한 값이다.

최대 처짐 위치는 A에서 $3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$이다.
단순보에 집중하중이 작용하면 최대 처짐은 긴 구간 쪽에서 처짐각이 0인 곳에 생긴다. 하중에서 가까운 지점까지 거리를 b라 하면
$x=\sqrt{\dfrac{L^{2}-b^{2}}{3}}=\sqrt{\dfrac{144-9}{3}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
$2\sqrt{3}$은 약 3.5 m로 지간 중앙보다 너무 왼쪽이다.
$4\sqrt{5}$는 약 8.9 m로 하중 위치(9 m)에 가까워 처짐각 0 조건을 만족하지 않는다.
$5\sqrt{7}$은 약 13.2 m로 지간 밖이다.

처짐각 비는 $\dfrac{5}{3}$이다.
모멘트면적법: 고정단 A의 처짐각은 0이므로 각 점 처짐각은 A부터의 M/EI 면적이다. 자유단 B에서 거리 s인 곳의 모멘트는 Ps이다.
AC 구간(2EI): $\theta_{C}=\dfrac{1}{2EI}\int_{L}^{2L}Ps\,ds=\dfrac{3PL^{2}}{4EI}$
CB 구간(EI) 추가분: $\dfrac{1}{EI}\int_{0}^{L}Ps\,ds=\dfrac{PL^{2}}{2EI}$
$\theta_{B}=\dfrac{5PL^{2}}{4EI}$
$\dfrac{\theta_{B}}{\theta_{C}}=\dfrac{5}{3}$
1/3은 B점 처짐각이 C점보다 작다는 값이라 자유단으로 갈수록 커지는 처짐각과 맞지 않는다.
2/3도 같은 이유로 맞지 않는다.
7/3은 CB 구간 추가분을 실제($\dfrac{PL^{2}}{2EI}$)보다 크게 잡은 값이다.

절점 D의 수직변위와 수평변위는 모두 0이다.
제작오차에 의한 변위는 단위하중법 $\delta=\sum n\,\Delta L$로 구한다(n은 D에 단위하중을 둘 때의 부재력).
D에 연직 단위하중: 절점 D·F 평형에서 $n_{EF}=+1,\ n_{CF}=-1$
$\delta_{V}=1\times 10+(-1)\times 10=0$
D에 수평 단위하중: 하현재 CD만 힘을 받고 $n_{EF}=n_{CF}=0$
$\delta_{H}=0$
수직변위 10 mm는 CF 부재의 압축력 부호를 빠뜨려 두 효과가 상쇄됨을 놓친 값이다.
수평변위 20 mm는 두 부재 늘어남을 단순히 더한 값이다.

소성하중은 $P_{p}=\sigma_{y}A$이므로 α는 1이다.
붕괴 시 두 봉 모두 항복하여 각각 $\sigma_{y}A$를 부담한다. 힌지 B에 대한 모멘트 평형:
$\sigma_{y}A\times 1+\sigma_{y}A\times 2=P_{p}\times 3$
$P_{p}=\sigma_{y}A$
α=2는 두 봉 항복력을 단순 합산(모멘트 팔길이 무시)한 값이다.
α=3은 하중의 팔길이 3 m를 반영하지 않은 값이다.
α=4이면 하중 모멘트가 두 봉의 저항모멘트 3σ(y)A·m를 넘어 평형식을 만족하지 않는다.