25년 1회차

케이블 BD의 인장력은 4P이므로 α의 크기는 4이다.

힌지 C에 대한 모멘트 평형을 세운다. 케이블은 연직선과 30°를 이루므로 수평분력은 $T\sin 30^{\circ}=\dfrac{T}{2}$이고, 연직분력은 C를 지나는 연직선 위에 작용해 C에 대한 모멘트가 없다.

$\sum M_{C}=0:\ P\times 4=\dfrac{T}{2}\times 2$
$T=4P$

• α를 2로 보면 수평분력 대신 장력 전체를 팔길이 2 m에 곱한 것으로, 30° 분해를 빠뜨린 값이다.
• α를 6으로 보면 C에 대한 저항모멘트가 6P·m로 하중 모멘트 4P·m보다 커져 평형이 깨진다.
• α를 8로 보면 저항모멘트가 8P·m로 역시 평형식을 만족하지 않는다.

단면 B의 단면2차모멘트는 단면 A의 4배이다.

직사각형 도심축 단면2차모멘트는 높이의 세제곱에 비례한다.

$I_{A}=\dfrac{bh^{3}}{12}$
$I_{B}=\dfrac{(b/2)(2h)^{3}}{12}=\dfrac{4bh^{3}}{12}$
$\dfrac{I_{B}}{I_{A}}=4$

• 비를 1로 보는 것은 면적이 같으면 단면2차모멘트도 같다고 본 오류이다.
• 비를 2로 보는 것은 높이 증가를 세제곱이 아닌 1제곱으로 반영한 값이다.
• 비를 3으로 보면 폭 1/2배, 높이 세제곱 8배를 곱한 4배와 맞지 않는다.

고정단 A의 반력모멘트가 0이 되려면 집중하중 P는 6 kN이어야 한다.

등분포하중의 합력은 $4\times 2=8\ \mathrm{kN}$이고 A에서 3 m 위치에 작용한다. 상향 P는 A에서 4 m 위치이다.

$M_{A}=P\times 4-8\times 3=0$
$P=6\ \mathrm{kN}$

• P를 2 kN으로 보면 상향 하중의 모멘트가 8 kN·m로 등분포하중 모멘트 24 kN·m에 못 미친다.
• P를 4 kN으로 보면 16 kN·m로 역시 모멘트 평형이 성립하지 않는다.
• P를 8 kN으로 보면 32 kN·m로 반대 방향 모멘트가 남는다.

집중하중은 P = 100 kN, 등분포하중은 w = 10 kN/m이다.

전단력선도에서 집중하중 위치(지점 A에서 5 m)의 전단력 급변량이 집중하중 크기이다.

$P=50-(-50)=100\ \mathrm{kN}$

등분포하중 구간의 전단력 기울기가 w이다.

$w=\dfrac{100-50}{5}=10\ \mathrm{kN/m}$
검산: $R_{A}=\dfrac{10\times 10+100}{2}=100\ \mathrm{kN}$

• 집중하중 50 kN은 급변량의 한쪽(50 kN)만 읽은 값이다.
• 등분포하중 5 kN/m는 전단력 감소량 50 kN을 전체 지간 10 m로 나눈 값이다.

이 강절 프레임의 부정정 차수는 12차이다.

강절 라멘은 폐합 고리 1개당 3차 부정정이다. 양 기둥이 고정지점으로 지반에 연결되므로 지반도 고리를 닫는 부재로 본다.

폐합 고리 수: 지반과 최하층 보 사이 1개, 중간 칸 1개, 최상층 두 칸 2개로 총 4개이다.
$N=3\times 4=12$

• 9차는 지반이 이루는 고리를 빼고 3개만 센 값이다.
• 15차는 폐합 고리를 5개로 센 값이다.
• 18차는 폐합 고리를 6개로 센 값이다.

C점의 최대 휨인장응력은 40 MPa이다.

등분포하중 합력 $2\times 4=8\ \mathrm{kN}$은 A에서 2 m, 10 kN은 A에서 8 m에 작용한다.

$R_{D}=\dfrac{8\times 2+10\times 8}{12}=8\ \mathrm{kN}$
$M_{C}=R_{D}\times 4=32\ \mathrm{kN\cdot m}$

단면계수 $Z=\dfrac{bh^{2}}{6}=\dfrac{120\times 200^{2}}{6}=8\times 10^{5}\ \mathrm{mm^{3}}$
$\sigma=\dfrac{M}{Z}=\dfrac{32\times 10^{6}}{8\times 10^{5}}=40\ \mathrm{MPa}$

• 10 MPa는 C점 휨모멘트를 8 kN·m로 잡은 값이다.
• 20 MPa는 C점 휨모멘트를 16 kN·m로 절반만 잡은 값이다.
• 30 MPa는 C점 휨모멘트를 24 kN·m로 잘못 구한 값이다.

부재력이 0인 부재는 모두 4개이다.

하중이 없는 절점에서 두 부재가 일직선이고 세 번째 부재가 따로 있으면 그 부재는 영부재이다.

• 상현재 위 두 번째 절점의 수직재: 상현재가 일직선이므로 0이다.
• 하현재 가운데(왼쪽에서 세 번째 칸 끝) 절점의 수직재: 하현재가 일직선이므로 0이다.
• 상현재 위 네 번째 절점의 수직재: 같은 이유로 0이다.
• 롤러 지점 절점의 하현재: 롤러 반력은 연직뿐이고 수직재만 남으므로 수평 하현재는 0이다.

• 2개는 상현 절점 수직재 두 개만 센 개수이다.
• 3개는 롤러 지점 쪽 하현재를 빠뜨린 개수이다.
• 5개는 50 kN이 걸린 절점의 수직재처럼 힘을 받는 부재를 잘못 포함한 개수이다.

최대휨응력과 최대전단응력의 비는 $\dfrac{3L}{4r}$이다.

최대휨응력: $\sigma_{\max}=\dfrac{wL^{2}/8}{\pi r^{3}/4}=\dfrac{wL^{2}}{2\pi r^{3}}$

최대전단응력(원형 단면은 평균의 4/3배): $\tau_{\max}=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{wL/2}{\pi r^{2}}=\dfrac{2wL}{3\pi r^{2}}$

$\dfrac{\sigma_{\max}}{\tau_{\max}}=\dfrac{wL^{2}}{2\pi r^{3}}\cdot\dfrac{3\pi r^{2}}{2wL}=\dfrac{3L}{4r}$

• 7L/(8r)은 계수를 잘못 적용한 값이다.
• 분자에 L의 제곱이 남는 값은 차원이 맞지 않는다(비는 무차원).
• 분모에 r의 제곱이 남는 값도 차원이 맞지 않는다.

AB부재의 압축응력은 80 MPa이다.

자유 팽창량: $\delta_{T}=\alpha\Delta T L=20\times 10^{-6}\times 50\times 1000=1.0\ \mathrm{mm}$

B 끝과 벽 사이 간격 0.2 mm를 넘는 0.8 mm가 구속된다.
$\sigma=E\dfrac{\delta}{L}=100\times 10^{3}\times\dfrac{0.8}{1000}=80\ \mathrm{MPa}$

• 100 MPa는 간격을 무시하고 전체 팽창량을 구속한 값이다.
• 40 MPa는 구속 변형량을 0.4 mm로 본 값이다.
• 60 MPa는 구속 변형량을 0.6 mm로 본 값이다.

두 고정단 휨모멘트는 같아서 비는 1이다.

각 삼각형 분포하중의 합력은 $\dfrac{wL}{2}$이고, 도심(큰 쪽에서 L/3)에 작용한다.

(a): $M_{A}=\dfrac{wL}{2}\cdot\dfrac{L}{3}+\dfrac{wL}{2}\cdot\dfrac{5L}{3}=wL^{2}$
(b): $M_{B}=\dfrac{wL}{2}\cdot\dfrac{2L}{3}+\dfrac{wL}{2}\cdot\dfrac{4L}{3}=wL^{2}$

두 경우 모두 합력과 팔길이 합이 같으므로 비는 1이다.

• 비 2는 한쪽 고정단 모멘트를 2배로 본 값으로, 합력 작용점을 도심이 아닌 곳에 둔 결과이다.
• 비 3도 합력 작용점을 잘못 잡은 값이다.
• 비 4도 팔길이 합이 같다는 점과 맞지 않는다.

길이 d는 6 cm이다.

삼각형 도심축 단면2차모멘트와 면적:
$I_{G}=\dfrac{bh^{3}}{36}=\dfrac{10\times 12^{3}}{36}=480\ \mathrm{cm^{4}}$, $A=60\ \mathrm{cm^{2}}$

도심은 밑변에서 h/3 = 4 cm 위이므로 x축까지 거리는 d+4이다. 평행축 정리:
$480+60(d+4)^{2}=6480$
$(d+4)^{2}=100,\ d=6\ \mathrm{cm}$

• d=2 cm이면 $480+60\times 6^{2}=2640\ \mathrm{cm^{4}}$이다.
• d=4 cm이면 $480+60\times 8^{2}=4320\ \mathrm{cm^{4}}$이다.
• d=8 cm이면 $480+60\times 12^{2}=9120\ \mathrm{cm^{4}}$이다.

거리 x는 0.5 m이다.

내부힌지 오른쪽 부분(힌지~B, 4 m)은 단순보처럼 작동한다. 6 kN이 중앙에 있으므로 힌지 전단력은 3 kN이다.

왼쪽 캔틸레버에 힌지 전단 3 kN(A에서 4 m)과 등분포하중 합력 3 kN(A에서 x+0.5 m)이 작용한다.
$M_{A}=3\times 4+3\times(x+0.5)=15$
$x=0.5\ \mathrm{m}$

• x=1.0 m이면 고정단 모멘트가 16.5 kN·m가 된다.
• x=1.5 m이면 18 kN·m가 된다.
• x=2.0 m이면 19.5 kN·m가 된다.

A의 수직반력이 0이면 P = wL이므로 α는 1이다.

수평 평형에서 A의 수평반력은 P와 크기가 같고 반대 방향이다. B(롤러)에 대한 모멘트 평형을 세운다(A의 수직반력 0).

$P\cdot\dfrac{L}{2}+wL\cdot\dfrac{L}{2}-P\cdot L=0$
$P=wL$

• α=2이면 B에 대한 모멘트 합이 $-\dfrac{wL^{2}}{2}$로 남는다.
• α=3이면 $-wL^{2}$가 남아 평형이 깨진다.
• α=4이면 $-\dfrac{3wL^{2}}{2}$가 남는다.

D점의 전단력은 0이므로 D점 전단력이 16 kN이라는 설명이 옳지 않다.

B에 대한 모멘트 평형: $10R_{A}=8\times 8+16$, $R_{A}=8\ \mathrm{kN}$, $R_{B}=0$. 집중모멘트는 전단력을 바꾸지 않으므로 C~B 구간 전단력은 모두 0이다.

• C점 전단력: $8-2\times 4=0$으로 옳다.
• C점 휨모멘트: $8\times 4-8\times 2=16\ \mathrm{kN\cdot m}$로 옳다.
• D점 휨모멘트: C~D 전단력이 0이므로 C점 값 16 kN·m가 유지되어 옳다(집중모멘트 직전 기준).

직사각형 단면은 $\alpha=\dfrac{3}{2}$, 원형 단면은 $\beta=\dfrac{4}{3}$이므로 비는 $\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{9}{8}$이다.

최대전단응력은 중립축에서 생기며 $\tau_{\max}=\dfrac{VQ}{Ib}$로 구한다. 직사각형은 평균전단응력의 1.5배, 원형은 평균전단응력의 4/3배가 된다.

$\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{8}$

• 3/2는 직사각형 단면의 계수 α만 구하고 원형 단면 계수로 나누지 않은 값이다.
• 1/2은 1보다 작아 직사각형 쪽이 작다는 뜻이 되지만, 실제로는 직사각형 계수가 더 커서 비는 1보다 크다.
• 5/3은 두 단면의 전단응력 계수 어느 조합으로도 나오지 않는 값이다.

좌굴하중 비는 64이다.

오일러 좌굴하중 $P_{cr}=\dfrac{\pi^{2}EI}{(KL)^{2}}$에서 양단 힌지 K=1, 양단 고정 K=0.5이다.

단면2차모멘트 비: $\dfrac{(2b)^{4}}{b^{4}}=16$
유효길이 비: $\dfrac{1}{0.5^{2}}=4$
$\dfrac{P_{B}}{P_{A}}=16\times 4=64$

• 8은 단면 증가를 세제곱(8배)으로만 본 값이다.
• 16은 지지조건 차이(유효길이계수)를 빠뜨린 값이다.
• 32는 지지조건 효과를 4배가 아닌 2배로 본 값이다.

부재 BA의 강성비는 2이다.

B에 작용한 72 kN·m는 강성비에 비례해 분배되고, 고정단 C로 도달률 1/2만큼 전달된다(D는 힌지라 수정강성비 3 사용).

$M_{BC}=72\times\dfrac{1}{k_{BA}+1+3}$
$M_{C}=\dfrac{1}{2}M_{BC}=\dfrac{36}{k_{BA}+4}=6$
$k_{BA}=2$

• 강성비 1이면 C점 모멘트가 7.2 kN·m가 된다.
• 강성비 3이면 약 5.14 kN·m가 된다.
• 강성비 4이면 4.5 kN·m가 된다.

두 수직거리의 합은 7 m이다.

케이블 각 점의 처짐은 같은 지간 단순보의 휨모멘트를 수평반력으로 나눈 값이다(일반 케이블 정리).

$R_{A}=\dfrac{6\times 6+15\times 3}{9}=9\ \mathrm{kN}$, $R_{D}=12\ \mathrm{kN}$
$M_{B}=9\times 3=27,\ M_{C}=12\times 3=36\ \mathrm{kN\cdot m}$

$y_{B}=\dfrac{27}{9}=3\ \mathrm{m}$, $y_{C}=\dfrac{36}{9}=4\ \mathrm{m}$, 합 7 m

• 6 m는 B, C 처짐을 하나의 반력으로만 계산한 값이다.
• 8 m는 단순보 모멘트를 잘못 구한 값이다.
• 9 m는 B·C 처짐을 모두 큰 쪽 반력으로 계산한 것처럼 과대평가한 값이다.

소성붕괴하중은 $w_{u}=\dfrac{2M_{p}}{L^{2}}$이므로 α는 2이다.

캔틸레버는 정정 구조이므로 고정단에 소성힌지 1개가 생기면 붕괴한다.

$M_{\max}=\dfrac{wL^{2}}{2}=M_{p}$
$w_{u}=\dfrac{2M_{p}}{L^{2}}$

• α=4는 고정단 모멘트를 $wL^{2}/4$로 본 값이다.
• α=8은 단순보 최대모멘트 $wL^{2}/8$을 적용한 값이다.
• α=6은 정정 캔틸레버와 맞지 않는 값이다.

지간 중앙 하단 응력은 1.0 MPa(인장)이다.

단면: $A=300\times 400=1.2\times 10^{5}\ \mathrm{mm^{2}}$, $Z=\dfrac{300\times 400^{2}}{6}=8\times 10^{6}\ \mathrm{mm^{3}}$

축압축: $-\dfrac{12\times 10^{3}}{1.2\times 10^{5}}=-0.1\ \mathrm{MPa}$
편심 모멘트(도심 아래 10 cm, 하단 압축): $-\dfrac{12\times 0.1\times 10^{6}}{8\times 10^{6}}=-0.15\ \mathrm{MPa}$
하중 모멘트 $M=5\times 2=10\ \mathrm{kN\cdot m}$: $+\dfrac{10\times 10^{6}}{8\times 10^{6}}=+1.25\ \mathrm{MPa}$

합계: $-0.1-0.15+1.25=+1.0\ \mathrm{MPa}$

• 1.0 압축은 부호를 반대로 본 것이다.
• 1.5 인장은 축압축과 편심 모멘트를 모두 인장으로 둔 값이다(1.25+0.1+0.15).
• 1.5 압축은 크기·부호가 모두 맞지 않는다.

C점 수직 변형량은 $\dfrac{L}{AE}\left(P+\dfrac{W}{2}\right)$이다.

집중하중에 의한 신장량과 자중에 의한 신장량을 더한다. 자중에 의한 축력은 끝단 0에서 고정단 W까지 직선 변화하므로 평균 W/2가 작용하는 것과 같다.

$\delta=\dfrac{PL}{AE}+\dfrac{WL}{2AE}$

• P/2와 W/3을 쓴 식은 집중하중 효과를 절반으로 줄인 오류이다.
• W/3을 쓴 식은 자중 신장량 계수를 잘못 잡은 값이다.
• 2W를 쓴 식은 자중 효과를 과대평가한 값이다.

최대 처짐 위치는 A에서 $3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$이다.

단순보에 집중하중이 작용하면 최대 처짐은 긴 구간 쪽에서 처짐각이 0인 곳에 생긴다. 하중에서 가까운 지점까지 거리를 b라 하면

$x=\sqrt{\dfrac{L^{2}-b^{2}}{3}}=\sqrt{\dfrac{144-9}{3}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

• $2\sqrt{3}$은 약 3.5 m로 지간 중앙보다 너무 왼쪽이다.
• $4\sqrt{5}$는 약 8.9 m로 하중 위치(9 m)에 가까워 처짐각 0 조건을 만족하지 않는다.
• $5\sqrt{7}$은 약 13.2 m로 지간 밖이다.

처짐각 비는 $\dfrac{5}{3}$이다.

모멘트면적법: 고정단 A의 처짐각은 0이므로 각 점 처짐각은 A부터의 M/EI 면적이다. 자유단 B에서 거리 s인 곳의 모멘트는 Ps이다.

AC 구간(2EI): $\theta_{C}=\dfrac{1}{2EI}\int_{L}^{2L}Ps\,ds=\dfrac{3PL^{2}}{4EI}$
CB 구간(EI) 추가분: $\dfrac{1}{EI}\int_{0}^{L}Ps\,ds=\dfrac{PL^{2}}{2EI}$
$\theta_{B}=\dfrac{5PL^{2}}{4EI}$

$\dfrac{\theta_{B}}{\theta_{C}}=\dfrac{5}{3}$

• 1/3은 B점 처짐각이 C점보다 작다는 값이라 자유단으로 갈수록 커지는 처짐각과 맞지 않는다.
• 2/3도 같은 이유로 맞지 않는다.
• 7/3은 CB 구간 추가분을 실제($\dfrac{PL^{2}}{2EI}$)보다 크게 잡은 값이다.

절점 D의 수직변위와 수평변위는 모두 0이다.

제작오차에 의한 변위는 단위하중법 $\delta=\sum n\,\Delta L$로 구한다(n은 D에 단위하중을 둘 때의 부재력).

D에 연직 단위하중: 절점 D·F 평형에서 $n_{EF}=+1,\ n_{CF}=-1$
$\delta_{V}=1\times 10+(-1)\times 10=0$

D에 수평 단위하중: 하현재 CD만 힘을 받고 $n_{EF}=n_{CF}=0$
$\delta_{H}=0$

• 수직변위 10 mm는 CF 부재의 압축력 부호를 빠뜨려 두 효과가 상쇄됨을 놓친 값이다.
• 수평변위 20 mm는 두 부재 늘어남을 단순히 더한 값이다.

소성하중은 $P_{p}=\sigma_{y}A$이므로 α는 1이다.

붕괴 시 두 봉 모두 항복하여 각각 $\sigma_{y}A$를 부담한다. 힌지 B에 대한 모멘트 평형:

$\sigma_{y}A\times 1+\sigma_{y}A\times 2=P_{p}\times 3$
$P_{p}=\sigma_{y}A$

• α=2는 두 봉 항복력을 단순 합산(모멘트 팔길이 무시)한 값이다.
• α=3은 하중의 팔길이 3 m를 반영하지 않은 값이다.
• α=4이면 하중 모멘트가 두 봉의 저항모멘트 3σ(y)A·m를 넘어 평형식을 만족하지 않는다.