[7급 국가직 자동제어] 22년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

폐루프 제어시스템은 출력을 되먹임하므로 시스템 파라미터의 변화에 둔감하다.
오차를 측정해 계속 보정하기 때문에 플랜트 특성이 변해도 출력이 크게 달라지지 않는다. 이것이 피드백의 대표적 장점인 감도 저하이다.
외란에 의한 영향을 제거하지 못한다는 설명은 틀리다 — 피드백은 외란의 영향을 줄이는 것이 장점이다.
불안정한 시스템을 항상 안정화할 수 있다는 설명은 틀리다 — 이득에 따라 오히려 불안정해질 수도 있다.
구조가 간단하고 비용이 적다는 것은 센서·비교기가 필요 없는 개루프 제어의 특징이다.

폐루프 주파수 응답의 대역폭은 크기가 저주파 값의 $1/\sqrt{2}$(약 −3 dB)로 떨어지는 주파수이므로, 대역폭에서 $|M(j\omega)|=\dfrac{|M(j0)|}{\sqrt{2}}$라는 설명이 옳다.
단위 피드백이므로 $M(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)}$이고, 개루프 크기에 따라 극한을 따져 보면 나머지 설명을 소거할 수 있다.
$|G(j\omega)|\ll 1$이면 분모가 1에 가까워 $|M(j\omega)|\cong|G(j\omega)|$가 되므로, 1에 가깝다는 설명은 틀리다.
$|G(j\omega)|\gg 1$이면 $M\cong G/G=1$이 되어 크기가 1에 수렴하므로, $|G(j\omega)|$와 같다는 설명은 틀리다.
$G(j\omega)$가 순허수이고 크기가 1인 점에서는 $|M|=\dfrac{1}{|1+j|}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이므로 $\dfrac{1}{2}$이라는 설명은 틀리다.

진상보상기는 극점이 영점보다 왼쪽에 있으므로, 극점이 항상 영점의 오른쪽에 있다는 설명이 옳지 않다.
진상보상기 $G_c(s)=\dfrac{s+z}{s+p}$는 $p>z>0$여서 영점이 원점에 더 가깝고, 그 결과 양(+)의 위상을 더해 준다. 극점이 영점보다 오른쪽이면 지상보상기가 된다.
과도응답 개선은 진상보상기의 주된 목적이다(상승시간·오버슈트 감소).
고주파 이득이 커지므로 폐루프 대역폭이 증가한다.
교차주파수 부근에 위상을 앞세워 위상여유를 개선한다.

개루프 전달함수의 극점은 3개, 영점은 1개이므로 점근선 개수는 2개이다.
내부 루프를 먼저 정리하면 $\dfrac{1/2}{1+\frac{1}{2s}}=\dfrac{s}{2s+1}$이고, 여기에 $\dfrac{1}{s^2}$을 곱하면 $\dfrac{1}{s(2s+1)}$이 된다.
따라서 개루프 전달함수는 $KG(s)H(s)=\dfrac{K(s+1)}{s^2(2s+1)}$이다.
극점 $n=3$, 영점 $m=1$ → 점근선 수 $n-m=2$
점근선이 1개가 되려면 극점과 영점의 개수 차가 1이어야 하는데, 극점 3개·영점 1개로 차이는 2이다.
3개나 4개는 영점 $s=-1$을 빠뜨리는 등 극점·영점 개수를 잘못 셌을 때 나오는 값이다.

주파수 응답은 $G(s)=\dfrac{1}{s^2+3s+2}$에 해당하므로 극점은 $-1,\ -2$이다.
$G(j\omega)=\dfrac{1}{(2-\omega^2)+j3\omega}$이면 크기는 $\dfrac{1}{\sqrt{(2-\omega^2)^2+(3\omega)^2}}$, 위상은 $-\arctan\dfrac{3\omega}{2-\omega^2}$로 주어진 식과 일치한다.
특성방정식 $s^2+3s+2=(s+1)(s+2)=0$
$-2,\ -3$은 분모가 $s^2+5s+6$일 때의 극점이다.
$-1,\ -3$은 분모가 $s^2+4s+3$일 때의 극점이다.
$-\sqrt{2},\ -2$를 극점으로 하면 분모가 $s^2+(2+\sqrt{2})s+2\sqrt{2}$가 되어 주어진 식과 다르다.

특성다항식이 $s^2-4s-16$이므로 $a=-4,\ b=-16$이고 $\dfrac{b}{a}=4$이다.
$\det(sI-A)=(s+2)(s-6)-4=s^2-4s-16$
분자 확인: $C\,\mathrm{adj}(sI-A)B=\begin{bmatrix}s-6&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=s+2$로 주어진 분자와 일치한다.
$\dfrac{1}{4}$은 $\dfrac{a}{b}$로 뒤집어 계산한 값이다.
$\dfrac{1}{2}$은 위에서 구한 $a,\ b$로는 나오지 않는 값이다.
2도 위에서 구한 $a,\ b$로는 나오지 않는 값이다.

직류 이득 조건에서 이득 상수가 5로 정해지므로 $\dfrac{5(s+2)(s+3)}{(s+1)(s+5)}$가 옳다.
영점 $-2,-3$은 인수 $(s+2)(s+3)$, 극점 $-1,-5$는 $(s+1)(s+5)$이다.
직류 이득: $G(0)=K\cdot\dfrac{2\cdot 3}{1\cdot 5}=\dfrac{6K}{5}=6$
$K=5$
이득 상수가 6인 식은 직류 이득이 $\dfrac{36}{5}$가 되어 조건과 다르다.
$(s-2)(s-3)$처럼 부호를 바꾼 식(이득 5)은 영점이 $2,3$, 극점이 $1,5$로 위치가 다르다.
부호를 바꾸고 이득 상수를 6으로 둔 식도 영점·극점 위치가 다르다.

임계 안정 조건은 $K=30$이고, 이때 특성방정식의 근은 $-5,\ \pm j\sqrt{6}$이다.
특성방정식: $s(s+2)(s+3)+K=s^3+5s^2+6s+K=0$
루스 표의 $s^1$행이 $\dfrac{5\cdot 6-K}{5}$이므로 0이 되는 $K=30$에서 임계 안정이다.
보조방정식: $5s^2+30=0$ → $s=\pm j\sqrt{6}$
세 근의 합이 $-5$이므로 나머지 실근은 $-5$이다.
$\pm j\sqrt{3}$을 포함한 근은 보조방정식 $5s^2+30=0$을 만족하지 않는다.
실근이 $-10$이나 $-30$이면 근의 합이 특성방정식의 $s^2$ 계수와 맞지 않는다($-30$은 임계 이득 값과 혼동한 것).

네 특성방정식 중 안정한 것은 ㄹ 하나뿐이다.
ㄹ $s^3+4s^2+5s+10$은 계수가 모두 양이고 3차 조건 $a_2a_1>a_0a_3$, 즉 $4\times5=20>10$을 만족해 Routh 표 첫 열의 부호 변화가 없다.
ㄱ은 $s^5,\ s^4,\ s^3$ 항이 빠져 계수가 0이므로 안정 필요조건을 어겨 불안정하다.
ㄴ은 $s^3$ 항이 없고 $-2s^2$로 음의 계수가 있어 불안정하다.
ㄷ은 계수 부호가 섞여 있어($-3s^3,\ -7s^2$) 불안정하다.

입출력 전달함수는 $\dfrac{2s+1}{2(2s^2+s+1)}$이다.
뒤쪽 블록에 들어가는 신호는 두 가합점을 거쳐 $\dfrac{1}{2}R-Y+sR$이다.
$Y=\dfrac{1}{s(2s+1)}\left(\left(s+\dfrac{1}{2}\right)R-Y\right)$
$Y\left(2s^2+s+1\right)=\dfrac{2s+1}{2}R$ → $\dfrac{Y}{R}=\dfrac{2s+1}{2(2s^2+s+1)}$
$\dfrac{2s+1}{2s^2+s+1}$은 앞먹임 이득 $\dfrac{1}{2}$을 분자에서 빠뜨린 결과이다.
$\dfrac{2s+1}{s(s+1)}$과 $\dfrac{2s+1}{2s(s+1)}$은 분모에 폐루프 특성다항식 $2s^2+s+1$이 나타나지 않아 맞지 않는다.

출력 쪽 적분기 출력을 첫째 상태, 입력 쪽 적분기 출력을 둘째 상태로 두면 $\mathrm{A}=\begin{bmatrix}-2&1\\0&-1\end{bmatrix},\ \mathrm{B}=\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}$이다.
입력 쪽 적분기: 입력 노드 신호가 $2r-x_2$이므로 $\dot{x}_2=-x_2+2r$
출력 쪽 적분기: 입력 노드 신호가 $x_2-2x_1$이므로 $\dot{x}_1=-2x_1+x_2$, 출력 $y=x_1$
두 1차 블록 $\dfrac{2}{s+1}$과 $\dfrac{1}{s+2}$이 직렬로 이어진 종속형 구조이며, 대각 성분은 각 루프 이득 −2, −1이다.
B의 성분이 −2인 형태는 입력 가지 이득 2의 부호를 뒤집은 것이다.
대각 성분이 양수(2, 1)인 형태는 피드백 가지 −1, −2의 부호를 반대로 취한 것이다.
행렬 A의 아래 행에 −2가 오는 형태는 가제어 표준형 모양으로, 종속형 상태 정의와 맞지 않는다.

극점 $-2\pm j2\sqrt{3}$에서 $\omega_n=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4$이므로, 고유주파수가 16 rad/sec라는 설명이 옳지 않다(16은 $\omega_n^2$이다).
2차 표준형 극점은 $-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$이므로 $\zeta\omega_n=2$, $\omega_d=2\sqrt{3}$이다.
감쇠비: $\zeta=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$로 옳다.
2 % 정착 시간: $T_s\cong\dfrac{4}{\zeta\omega_n}=\dfrac{4}{2}=2$ sec로 옳다.
최고시간: $T_p=\dfrac{\pi}{\omega_d}=\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}$ sec로 옳다.

위상교차주파수 $\omega=2$에서 $|L|=\dfrac{1}{4}$이므로 이득 여유는 $20\log_{10}4$ dB이다.
위상교차: $-90^\circ-2\tan^{-1}\dfrac{\omega}{2}=-180^\circ$
$\tan^{-1}\dfrac{\omega}{2}=45^\circ\Rightarrow\omega=2$
$|L(j2)|=\dfrac{4}{2\times(2^2+2^2)}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$
$GM=20\log_{10}\dfrac{1}{|L|}=20\log_{10}4$
$20\log_{10}2$는 위상교차점에서 $|L|=\frac{1}{2}$이어야 나오는 값이다.
$20\log_{10}3$은 $|L|=\frac{1}{3}$이어야 나오는 값이다.
$20\log_{10}5$는 $|L|=\frac{1}{5}$이어야 나오는 값이다.

$a=2,\ b=1$이므로 $a+b=3$이다.
특성방정식 $s(s+1)+(k_1s+b)(s+a)=0$을 $k_1$에 대해 정리하면
$1+k_1\dfrac{s(s+a)}{s^2+(1+b)s+ab}=0$
근궤적의 영점은 $0,\ -a$이고 그림의 영점이 0과 −2이므로 $a=2$이다.
근궤적의 극점은 $s^2+(1+b)s+2b=0$의 근이고 그림의 극점 $-1\pm j1$은 $s^2+2s+2=0$이므로 $b=1$이다($2b=2$로 일치).
합이 1이나 2가 되려면 $a$ 또는 $b$가 더 작아야 하는데, 그러면 영점 −2나 극점 $-1\pm j1$과 맞지 않는다.
합이 4가 되려면 $b=2$여야 하는데, 이때 극점 방정식은 $s^2+3s+4=0$이 되어 그림과 다르다.

Routh 조건을 모두 만족하는 범위는 $\dfrac{2}{5}$이다.
동반행렬이므로 특성방정식은 $s^3+s^2+(4-K^2)s+(5K-2)=0$이다.
3차 안정 조건
$4-K^2>0\Rightarrow -2$
$-6$
$-6$
$\dfrac{2}{5}$

출력이 단위계단을 그대로 따라가므로 정상상태오차는 0이다.
$x_2(0)=0$이고 $\dot{x}_2=-2x_2$이므로 $x_2(t)=0$이다.
따라서 $\dot{x}_1=-x_1+r$, $\dfrac{Y(s)}{R(s)}=\dfrac{1}{s+1}$
최종값 정리: $y_{ss}=\lim_{s\to0}s\cdot\dfrac{1}{s+1}\cdot\dfrac{1}{s}=1$
$e_{ss}=1-1=0$
1은 오차가 아니라 출력의 정상상태값이다.
－1은 출력이 입력보다 커져 정상값 2에 이를 때 나오는 값인데, 직류 이득이 1이므로 그렇지 않다.
∞는 시스템이 안정하고 직류 이득이 1이므로 나올 수 없다.

단위계단 입력에 대해 정상상태오차가 0이려면 폐루프 직류 이득이 1이어야 하고, 이를 만족하는 것은 $G_p(s)=30+0.1s$이다.
전체 전달함수: $T(s)=G_p(s)\dfrac{K(s+0.1)}{s(s+2)(s+0.1)+K(s+3)}$
$T(0)=G_p(0)\dfrac{0.1K}{3K}=\dfrac{G_p(0)}{30}$
따라서 $G_p(0)=30$이고 유한해야 한다. $30+0.1s$는 $G_p(0)=30$을 만족한다.
$30+\dfrac{0.1}{s}$는 적분항 때문에 $G_p(0)$가 무한대가 되어 출력이 발산한다.
$20+10s$는 $G_p(0)=20$이라 최종값이 $\dfrac{2}{3}$에 머문다.
$10+\dfrac{0.1}{s}+20s$도 적분항이 있어 $G_p(0)$가 유한하지 않다.

위상교차점에서 이득이 −15.6 dB이므로 이득 여유는 15.6 dB이고, 임계 안정이 되려면 $K$를 6배 키워야 한다.
$20\log_{10}x=15.6$ → $\log_{10}x=0.78$
$0.78=0.30+0.48=\log_{10}2+\log_{10}3=\log_{10}6$ → $x=6$
2배나 3배는 각각 약 6 dB, 9.6 dB만 올리므로 이득 여유 15.6 dB를 다 쓰지 못한다(9.6은 그림의 위상 여유 값이다).
5배는 약 14 dB로, 이득 교차점이 아직 위상교차점에 닿지 않는다.

폐루프 전달함수가 $\dfrac{1}{(s+2)(s+9)}$이므로 단위계단 응답은 $\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{14}e^{-2t}+\dfrac{1}{63}e^{-9t}$이다.
둘째 가합점 출력을 $U$라 하면 $Y=\dfrac{U}{s+5}$, 즉 $U=(s+5)Y$이다.
첫째 가합점: $E=R-U-(2s+1)Y=R-(3s+6)Y$
둘째 가합점: $U=\dfrac{E}{s+2}-Y$ → $(s+6)(s+2)Y=R-(3s+6)Y$
$Y(s^2+11s+18)=R$ → $\dfrac{Y}{R}=\dfrac{1}{(s+2)(s+9)}$
$Y(s)=\dfrac{1}{s(s+2)(s+9)}$의 유수: $s=0$에서 $\dfrac{1}{18}$, $s=-2$에서 $-\dfrac{1}{14}$, $s=-9$에서 $\dfrac{1}{63}$
상수항이 없는 응답은 최종값이 0이 되어, 직류 이득 $\dfrac{1}{18}$인 계단 응답이 될 수 없다.
$e^{-7t}$를 포함한 응답은 극점이 −7이어야 하는데, 특성다항식 $s^2+11s+18$의 근은 −2, −9이므로 맞지 않는다.

메이슨 공식으로 구하면 ㄱ, ㄴ, ㄹ의 전달함수가 모두 $\dfrac{s+8}{s^2+6s+8}$로 같고, ㄷ만 다르다.
전달함수는 전향 경로 이득과 루프 이득으로 $T=\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}$를 계산해 비교한다.
ㄱ: 루프 $-\dfrac{6}{s}$, $-\dfrac{8}{s^2}$(서로 접촉), 경로 $\dfrac{8}{s^2}$, $\dfrac{1}{s}$ → $\dfrac{8/s^2+1/s}{1+6/s+8/s^2}=\dfrac{s+8}{s^2+6s+8}$
ㄴ: 비접촉 루프 $-\dfrac{2}{s}$, $-\dfrac{4}{s}$, 경로 $\dfrac{8}{s^2}$, $\dfrac{1}{s}$ → $\dfrac{s+8}{(s+2)(s+4)}=\dfrac{s+8}{s^2+6s+8}$
ㄹ: 병렬 합 $\dfrac{3}{s+2}-\dfrac{2}{s+4}=\dfrac{s+8}{(s+2)(s+4)}$
ㄷ: 접촉 루프 $-\dfrac{2}{s}$, $-\dfrac{4}{s^2}$ → $\dfrac{s+8}{s^2+2s+4}$로 분모가 달라 제외된다.

극점이 모두 양의 실수부를 가지면 우반평면에 있으므로 $G(s)$는 불안정하다.
선형 시스템의 안정도는 극점의 위치만으로 결정되며, 영점은 응답 모양에만 영향을 준다.
극점이 모두 양수이면 우반평면 극점이므로 안정하지 않고 불안정하다.
안정도가 영점 위치로 결정된다는 설명은 틀리다 — 극점이 결정한다.
불안정한 극점이 있어도 피드백 제어기로 안정화해 제어대상으로 쓸 수 있다.

이득교차주파수가 $\sqrt{2}$가 되고 $a\omega_c=\sqrt{3}$이므로 $a=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$이다.
위상 조건: $\angle G(j\omega)=-180^\circ+\tan^{-1}(a\omega)$이므로 $PM=\tan^{-1}(a\omega_c)=60^\circ$
$a\omega_c=\sqrt{3}$
크기 조건: $\dfrac{\sqrt{1+a^2\omega_c^2}}{\omega_c^2}=1\Rightarrow\dfrac{\sqrt{1+3}}{\omega_c^2}=1\Rightarrow\omega_c=\sqrt{2}$
$a=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$이면 $a$가 작아 위상여유가 60°보다 작다.
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$도 위상여유가 60°에 미치지 못한다.
$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$도 $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$보다 작아 위상여유가 60°에 미치지 못한다.