22년 1회차

폐루프 제어시스템은 출력을 되먹임하므로 시스템 파라미터의 변화에 둔감하다.

오차를 측정해 계속 보정하기 때문에 플랜트 특성이 변해도 출력이 크게 달라지지 않는다. 이것이 피드백의 대표적 장점인 감도 저하이다.

• 외란에 의한 영향을 제거하지 못한다는 설명은 틀리다 — 피드백은 외란의 영향을 줄이는 것이 장점이다.
• 불안정한 시스템을 항상 안정화할 수 있다는 설명은 틀리다 — 이득에 따라 오히려 불안정해질 수도 있다.
• 구조가 간단하고 비용이 적다는 것은 센서·비교기가 필요 없는 개루프 제어의 특징이다.

폐루프 주파수 응답의 대역폭은 크기가 저주파 값의 $1/\sqrt{2}$(약 −3 dB)로 떨어지는 주파수이므로, 대역폭에서 $|M(j\omega)|=\dfrac{|M(j0)|}{\sqrt{2}}$라는 설명이 옳다.

단위 피드백이므로 $M(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)}$이고, 개루프 크기에 따라 극한을 따져 보면 나머지 설명을 소거할 수 있다.

• $|G(j\omega)|\ll 1$이면 분모가 1에 가까워 $|M(j\omega)|\cong|G(j\omega)|$가 되므로, 1에 가깝다는 설명은 틀리다.
• $|G(j\omega)|\gg 1$이면 $M\cong G/G=1$이 되어 크기가 1에 수렴하므로, $|G(j\omega)|$와 같다는 설명은 틀리다.
• $G(j\omega)$가 순허수이고 크기가 1인 점에서는 $|M|=\dfrac{1}{|1+j|}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이므로 $\dfrac{1}{2}$이라는 설명은 틀리다.

진상보상기는 극점이 영점보다 왼쪽에 있으므로, 극점이 항상 영점의 오른쪽에 있다는 설명이 옳지 않다.

진상보상기 $G_c(s)=\dfrac{s+z}{s+p}$는 $p>z>0$여서 영점이 원점에 더 가깝고, 그 결과 양(+)의 위상을 더해 준다. 극점이 영점보다 오른쪽이면 지상보상기가 된다.

• 과도응답 개선은 진상보상기의 주된 목적이다(상승시간·오버슈트 감소).
• 고주파 이득이 커지므로 폐루프 대역폭이 증가한다.
• 교차주파수 부근에 위상을 앞세워 위상여유를 개선한다.

개루프 전달함수의 극점은 3개, 영점은 1개이므로 점근선 개수는 2개이다.

내부 루프를 먼저 정리하면 $\dfrac{1/2}{1+\frac{1}{2s}}=\dfrac{s}{2s+1}$이고, 여기에 $\dfrac{1}{s^2}$을 곱하면 $\dfrac{1}{s(2s+1)}$이 된다.

따라서 개루프 전달함수는 $KG(s)H(s)=\dfrac{K(s+1)}{s^2(2s+1)}$이다.
극점 $n=3$, 영점 $m=1$ → 점근선 수 $n-m=2$

• 점근선이 1개가 되려면 극점과 영점의 개수 차가 1이어야 하는데, 극점 3개·영점 1개로 차이는 2이다.
• 3개나 4개는 영점 $s=-1$을 빠뜨리는 등 극점·영점 개수를 잘못 셌을 때 나오는 값이다.

주파수 응답은 $G(s)=\dfrac{1}{s^2+3s+2}$에 해당하므로 극점은 $-1,\ -2$이다.

$G(j\omega)=\dfrac{1}{(2-\omega^2)+j3\omega}$이면 크기는 $\dfrac{1}{\sqrt{(2-\omega^2)^2+(3\omega)^2}}$, 위상은 $-\arctan\dfrac{3\omega}{2-\omega^2}$로 주어진 식과 일치한다.
특성방정식 $s^2+3s+2=(s+1)(s+2)=0$

• $-2,\ -3$은 분모가 $s^2+5s+6$일 때의 극점이다.
• $-1,\ -3$은 분모가 $s^2+4s+3$일 때의 극점이다.
• $-\sqrt{2},\ -2$를 극점으로 하면 분모가 $s^2+(2+\sqrt{2})s+2\sqrt{2}$가 되어 주어진 식과 다르다.

특성다항식이 $s^2-4s-16$이므로 $a=-4,\ b=-16$이고 $\dfrac{b}{a}=4$이다.

$\det(sI-A)=(s+2)(s-6)-4=s^2-4s-16$

분자 확인: $C\,\mathrm{adj}(sI-A)B=\begin{bmatrix}s-6&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=s+2$로 주어진 분자와 일치한다.

• $\dfrac{1}{4}$은 $\dfrac{a}{b}$로 뒤집어 계산한 값이다.
• $\dfrac{1}{2}$은 위에서 구한 $a,\ b$로는 나오지 않는 값이다.
• 2도 위에서 구한 $a,\ b$로는 나오지 않는 값이다.

직류 이득 조건에서 이득 상수가 5로 정해지므로 $\dfrac{5(s+2)(s+3)}{(s+1)(s+5)}$가 옳다.

영점 $-2,-3$은 인수 $(s+2)(s+3)$, 극점 $-1,-5$는 $(s+1)(s+5)$이다.
직류 이득: $G(0)=K\cdot\dfrac{2\cdot 3}{1\cdot 5}=\dfrac{6K}{5}=6$
$K=5$

• 이득 상수가 6인 식은 직류 이득이 $\dfrac{36}{5}$가 되어 조건과 다르다.
• $(s-2)(s-3)$처럼 부호를 바꾼 식(이득 5)은 영점이 $2,3$, 극점이 $1,5$로 위치가 다르다.
• 부호를 바꾸고 이득 상수를 6으로 둔 식도 영점·극점 위치가 다르다.

임계 안정 조건은 $K=30$이고, 이때 특성방정식의 근은 $-5,\ \pm j\sqrt{6}$이다.

특성방정식: $s(s+2)(s+3)+K=s^3+5s^2+6s+K=0$
루스 표의 $s^1$행이 $\dfrac{5\cdot 6-K}{5}$이므로 0이 되는 $K=30$에서 임계 안정이다.

보조방정식: $5s^2+30=0$ → $s=\pm j\sqrt{6}$
세 근의 합이 $-5$이므로 나머지 실근은 $-5$이다.

• $\pm j\sqrt{3}$을 포함한 근은 보조방정식 $5s^2+30=0$을 만족하지 않는다.
• 실근이 $-10$이나 $-30$이면 근의 합이 특성방정식의 $s^2$ 계수와 맞지 않는다($-30$은 임계 이득 값과 혼동한 것).

네 특성방정식 중 안정한 것은 ㄹ 하나뿐이다.

ㄹ $s^3+4s^2+5s+10$은 계수가 모두 양이고 3차 조건 $a_2a_1>a_0a_3$, 즉 $4\times5=20>10$을 만족해 Routh 표 첫 열의 부호 변화가 없다.

• ㄱ은 $s^5,\ s^4,\ s^3$ 항이 빠져 계수가 0이므로 안정 필요조건을 어겨 불안정하다.
• ㄴ은 $s^3$ 항이 없고 $-2s^2$로 음의 계수가 있어 불안정하다.
• ㄷ은 계수 부호가 섞여 있어($-3s^3,\ -7s^2$) 불안정하다.

입출력 전달함수는 $\dfrac{2s+1}{2(2s^2+s+1)}$이다.

뒤쪽 블록에 들어가는 신호는 두 가합점을 거쳐 $\dfrac{1}{2}R-Y+sR$이다.
$Y=\dfrac{1}{s(2s+1)}\left(\left(s+\dfrac{1}{2}\right)R-Y\right)$

$Y\left(2s^2+s+1\right)=\dfrac{2s+1}{2}R$ → $\dfrac{Y}{R}=\dfrac{2s+1}{2(2s^2+s+1)}$

• $\dfrac{2s+1}{2s^2+s+1}$은 앞먹임 이득 $\dfrac{1}{2}$을 분자에서 빠뜨린 결과이다.
• $\dfrac{2s+1}{s(s+1)}$과 $\dfrac{2s+1}{2s(s+1)}$은 분모에 폐루프 특성다항식 $2s^2+s+1$이 나타나지 않아 맞지 않는다.

출력 쪽 적분기 출력을 첫째 상태, 입력 쪽 적분기 출력을 둘째 상태로 두면 $\mathrm{A}=\begin{bmatrix}-2&1\\0&-1\end{bmatrix},\ \mathrm{B}=\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}$이다.

입력 쪽 적분기: 입력 노드 신호가 $2r-x_2$이므로 $\dot{x}_2=-x_2+2r$
출력 쪽 적분기: 입력 노드 신호가 $x_2-2x_1$이므로 $\dot{x}_1=-2x_1+x_2$, 출력 $y=x_1$

두 1차 블록 $\dfrac{2}{s+1}$과 $\dfrac{1}{s+2}$이 직렬로 이어진 종속형 구조이며, 대각 성분은 각 루프 이득 −2, −1이다.

• B의 성분이 −2인 형태는 입력 가지 이득 2의 부호를 뒤집은 것이다.
• 대각 성분이 양수(2, 1)인 형태는 피드백 가지 −1, −2의 부호를 반대로 취한 것이다.
• 행렬 A의 아래 행에 −2가 오는 형태는 가제어 표준형 모양으로, 종속형 상태 정의와 맞지 않는다.

극점 $-2\pm j2\sqrt{3}$에서 $\omega_n=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4$이므로, 고유주파수가 16 rad/sec라는 설명이 옳지 않다(16은 $\omega_n^2$이다).

2차 표준형 극점은 $-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$이므로 $\zeta\omega_n=2$, $\omega_d=2\sqrt{3}$이다.

• 감쇠비: $\zeta=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$로 옳다.
• 2 % 정착 시간: $T_s\cong\dfrac{4}{\zeta\omega_n}=\dfrac{4}{2}=2$ sec로 옳다.
• 최고시간: $T_p=\dfrac{\pi}{\omega_d}=\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}$ sec로 옳다.

위상교차주파수 $\omega=2$에서 $|L|=\dfrac{1}{4}$이므로 이득 여유는 $20\log_{10}4$ dB이다.

위상교차: $-90^\circ-2\tan^{-1}\dfrac{\omega}{2}=-180^\circ$
$\tan^{-1}\dfrac{\omega}{2}=45^\circ\Rightarrow\omega=2$

$|L(j2)|=\dfrac{4}{2\times(2^2+2^2)}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$
$GM=20\log_{10}\dfrac{1}{|L|}=20\log_{10}4$

• $20\log_{10}2$는 위상교차점에서 $|L|=\frac{1}{2}$이어야 나오는 값이다.
• $20\log_{10}3$은 $|L|=\frac{1}{3}$이어야 나오는 값이다.
• $20\log_{10}5$는 $|L|=\frac{1}{5}$이어야 나오는 값이다.

$a=2,\ b=1$이므로 $a+b=3$이다.

특성방정식 $s(s+1)+(k_1s+b)(s+a)=0$을 $k_1$에 대해 정리하면
$1+k_1\dfrac{s(s+a)}{s^2+(1+b)s+ab}=0$

근궤적의 영점은 $0,\ -a$이고 그림의 영점이 0과 −2이므로 $a=2$이다.
근궤적의 극점은 $s^2+(1+b)s+2b=0$의 근이고 그림의 극점 $-1\pm j1$은 $s^2+2s+2=0$이므로 $b=1$이다($2b=2$로 일치).

• 합이 1이나 2가 되려면 $a$ 또는 $b$가 더 작아야 하는데, 그러면 영점 −2나 극점 $-1\pm j1$과 맞지 않는다.
• 합이 4가 되려면 $b=2$여야 하는데, 이때 극점 방정식은 $s^2+3s+4=0$이 되어 그림과 다르다.

Routh 조건을 모두 만족하는 범위는 $\dfrac{2}{5}$이다.

동반행렬이므로 특성방정식은 $s^3+s^2+(4-K^2)s+(5K-2)=0$이다.

3차 안정 조건
$4-K^2>0\Rightarrow -2$

• $-6$
• $-6$
• $\dfrac{2}{5}$

출력이 단위계단을 그대로 따라가므로 정상상태오차는 0이다.

$x_2(0)=0$이고 $\dot{x}_2=-2x_2$이므로 $x_2(t)=0$이다.
따라서 $\dot{x}_1=-x_1+r$, $\dfrac{Y(s)}{R(s)}=\dfrac{1}{s+1}$

최종값 정리: $y_{ss}=\lim_{s\to0}s\cdot\dfrac{1}{s+1}\cdot\dfrac{1}{s}=1$
$e_{ss}=1-1=0$

• 1은 오차가 아니라 출력의 정상상태값이다.
• －1은 출력이 입력보다 커져 정상값 2에 이를 때 나오는 값인데, 직류 이득이 1이므로 그렇지 않다.
• ∞는 시스템이 안정하고 직류 이득이 1이므로 나올 수 없다.

단위계단 입력에 대해 정상상태오차가 0이려면 폐루프 직류 이득이 1이어야 하고, 이를 만족하는 것은 $G_p(s)=30+0.1s$이다.

전체 전달함수: $T(s)=G_p(s)\dfrac{K(s+0.1)}{s(s+2)(s+0.1)+K(s+3)}$
$T(0)=G_p(0)\dfrac{0.1K}{3K}=\dfrac{G_p(0)}{30}$

따라서 $G_p(0)=30$이고 유한해야 한다. $30+0.1s$는 $G_p(0)=30$을 만족한다.

• $30+\dfrac{0.1}{s}$는 적분항 때문에 $G_p(0)$가 무한대가 되어 출력이 발산한다.
• $20+10s$는 $G_p(0)=20$이라 최종값이 $\dfrac{2}{3}$에 머문다.
• $10+\dfrac{0.1}{s}+20s$도 적분항이 있어 $G_p(0)$가 유한하지 않다.

위상교차점에서 이득이 −15.6 dB이므로 이득 여유는 15.6 dB이고, 임계 안정이 되려면 $K$를 6배 키워야 한다.

$20\log_{10}x=15.6$ → $\log_{10}x=0.78$
$0.78=0.30+0.48=\log_{10}2+\log_{10}3=\log_{10}6$ → $x=6$

• 2배나 3배는 각각 약 6 dB, 9.6 dB만 올리므로 이득 여유 15.6 dB를 다 쓰지 못한다(9.6은 그림의 위상 여유 값이다).
• 5배는 약 14 dB로, 이득 교차점이 아직 위상교차점에 닿지 않는다.

폐루프 전달함수가 $\dfrac{1}{(s+2)(s+9)}$이므로 단위계단 응답은 $\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{14}e^{-2t}+\dfrac{1}{63}e^{-9t}$이다.

둘째 가합점 출력을 $U$라 하면 $Y=\dfrac{U}{s+5}$, 즉 $U=(s+5)Y$이다.
첫째 가합점: $E=R-U-(2s+1)Y=R-(3s+6)Y$
둘째 가합점: $U=\dfrac{E}{s+2}-Y$ → $(s+6)(s+2)Y=R-(3s+6)Y$

$Y(s^2+11s+18)=R$ → $\dfrac{Y}{R}=\dfrac{1}{(s+2)(s+9)}$
$Y(s)=\dfrac{1}{s(s+2)(s+9)}$의 유수: $s=0$에서 $\dfrac{1}{18}$, $s=-2$에서 $-\dfrac{1}{14}$, $s=-9$에서 $\dfrac{1}{63}$

• 상수항이 없는 응답은 최종값이 0이 되어, 직류 이득 $\dfrac{1}{18}$인 계단 응답이 될 수 없다.
• $e^{-7t}$를 포함한 응답은 극점이 −7이어야 하는데, 특성다항식 $s^2+11s+18$의 근은 −2, −9이므로 맞지 않는다.

메이슨 공식으로 구하면 ㄱ, ㄴ, ㄹ의 전달함수가 모두 $\dfrac{s+8}{s^2+6s+8}$로 같고, ㄷ만 다르다.

전달함수는 전향 경로 이득과 루프 이득으로 $T=\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}$를 계산해 비교한다.

• ㄱ: 루프 $-\dfrac{6}{s}$, $-\dfrac{8}{s^2}$(서로 접촉), 경로 $\dfrac{8}{s^2}$, $\dfrac{1}{s}$ → $\dfrac{8/s^2+1/s}{1+6/s+8/s^2}=\dfrac{s+8}{s^2+6s+8}$
• ㄴ: 비접촉 루프 $-\dfrac{2}{s}$, $-\dfrac{4}{s}$, 경로 $\dfrac{8}{s^2}$, $\dfrac{1}{s}$ → $\dfrac{s+8}{(s+2)(s+4)}=\dfrac{s+8}{s^2+6s+8}$
• ㄹ: 병렬 합 $\dfrac{3}{s+2}-\dfrac{2}{s+4}=\dfrac{s+8}{(s+2)(s+4)}$
• ㄷ: 접촉 루프 $-\dfrac{2}{s}$, $-\dfrac{4}{s^2}$ → $\dfrac{s+8}{s^2+2s+4}$로 분모가 달라 제외된다.

극점이 모두 양의 실수부를 가지면 우반평면에 있으므로 $G(s)$는 불안정하다.

선형 시스템의 안정도는 극점의 위치만으로 결정되며, 영점은 응답 모양에만 영향을 준다.

• 극점이 모두 양수이면 우반평면 극점이므로 안정하지 않고 불안정하다.
• 안정도가 영점 위치로 결정된다는 설명은 틀리다 — 극점이 결정한다.
• 불안정한 극점이 있어도 피드백 제어기로 안정화해 제어대상으로 쓸 수 있다.

이득교차주파수가 $\sqrt{2}$가 되고 $a\omega_c=\sqrt{3}$이므로 $a=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$이다.

위상 조건: $\angle G(j\omega)=-180^\circ+\tan^{-1}(a\omega)$이므로 $PM=\tan^{-1}(a\omega_c)=60^\circ$
$a\omega_c=\sqrt{3}$

크기 조건: $\dfrac{\sqrt{1+a^2\omega_c^2}}{\omega_c^2}=1\Rightarrow\dfrac{\sqrt{1+3}}{\omega_c^2}=1\Rightarrow\omega_c=\sqrt{2}$
$a=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

• $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$이면 $a$가 작아 위상여유가 60°보다 작다.
• $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$도 위상여유가 60°에 미치지 못한다.
• $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$도 $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$보다 작아 위상여유가 60°에 미치지 못한다.

정상상태오차 조건에서 $k_1=8$, 안정 조건을 만족하는 짝은 $k_1=8,\ k_2=5$이다.

폐루프 행렬 $A-BK=\begin{bmatrix}0&1\\-(2+k_1)&-(4+k_2)\end{bmatrix}$
$T(s)=\dfrac{1}{s^2+(4+k_2)s+(2+k_1)}$

정상상태오차: $e_{ss}=1-T(0)=1-\dfrac{1}{2+k_1}=0.9$
$2+k_1=10\Rightarrow k_1=8$
이때 $4+k_2=9>0$이므로 안정하다.

• $k_1=4,\ k_2=-5$는 $s$ 계수가 $-1$로 불안정하고 오차도 0.9가 아니다.
• $k_1=-4,\ k_2=5$는 상수항이 $-2$로 불안정하다.
• $k_1=-8,\ k_2=-5$는 두 계수가 모두 음수라 불안정하다.