[7급 국가직 통계학] 24년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

상자그림에서 상자의 길이가 사분위수범위(IQR)인데, 남자의 상자가 여자보다 훨씬 길므로 IQR이 남자가 여자보다 작다는 설명이 옳지 않다.
여자의 상자는 대략 10에서 14 사이로 짧고, 남자의 상자는 대략 9에서 17.5 사이로 길다. 즉 $Q_3-Q_1$ 은 남자 쪽이 두 배 이상 크다.
최솟값 비교: 남자의 왼쪽 수염 끝(약 5)이 여자(약 8)보다 왼쪽에 있어 남자의 최솟값이 더 작다.
이상점: 여자 자료에는 수염 밖 약 24 위치에 동그라미로 표시된 이상점이 있다.
범위 비교: 범위는 이상점까지 포함한 최댓값과 최솟값의 차이다. 최댓값은 둘 다 약 24로 비슷하지만 최솟값은 남자가 더 작으므로 범위는 남자가 더 크다.

상위 16% 기준은 표준화점수 $z\gt 1$이므로 통계학과 영어만 A학점이다.
$P(-1\le Z\le 1)=0.68$이면 양쪽 꼬리가 각각 0.16이므로 $P(Z\gt 1)=0.16$이다. 따라서 표준화점수가 1을 넘는 과목이 A학점이다.
통계학: $z=\dfrac{85-78}{5}=1.4$
영어: $z=\dfrac{90-85}{4}=1.25$
미적분학은 $z=\dfrac{87-82}{6}\approx 0.83$으로 1보다 작아 A학점이 아니다.
경제학은 원점수가 가장 높지만 $z=\dfrac{92-90}{3}\approx 0.67$로 1보다 작아 A학점이 아니다.

모집단을 성별이라는 층으로 나눈 뒤 각 층에서 무작위로 뽑았으므로 층화추출법이다.
층 내부는 동질적이고 층 간에는 이질적일 때(성별에 따라 사용 시간 차이가 큼) 층화하면 추정의 정밀도가 높아진다.
집락추출법은 모집단을 여러 집락으로 나눈 뒤 일부 집락을 뽑아 그 안을 조사하는 방법으로, 모든 집단에서 표본을 뽑는 이 상황과 다르다.
할당추출법은 범주별 인원만 정해 두고 조사자가 임의로 대상을 고르는 비확률추출법이다.
계통추출법은 명부에서 일정 간격마다 대상을 뽑는 방법이다.

옳은 것은 ㄷ뿐이다.
반복이 없는 이원배치에서는 교호작용 변동이 오차와 분리되지 않으므로, 교호작용을 검출하려면 반복이 필요하다.
ㄱ: 일원배치법은 수준별 반복수가 달라도 분석할 수 있다(불균형 설계).
ㄴ: 수준 수를 a, b라 하면 자유도는 $a-1,\ b-1,\ (a-1)(b-1)$이다. 예컨대 $a=2$이면 교호작용 자유도가 $b-1$로 $SS_B$의 자유도와 같아지므로 항상 작다고 할 수 없다.

그림은 A와 B가 직렬로 연결된 경로와 C 하나로 된 경로가 병렬로 연결된 구조이므로, 전기가 전달될 확률은 0.824이다.
위쪽 경로(A·B 직렬)가 통할 확률: $P(A\cap B)=0.8\times 0.7=0.56$
두 경로가 모두 끊길 확률: $(1-0.56)(1-0.6)=0.44\times 0.4=0.176$
따라서 전달 확률: $1-0.176=0.824$
합의 법칙으로 검산해도 같다: $0.56+0.6-0.56\times 0.6=0.824$

상수 $a=4$이고 $Y$의 주변밀도가 $2y$이므로 $P(Y\le \frac{1}{3})=\frac{1}{9}$가 옳다.
전체 적분이 1이어야 하므로 $a\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy=\dfrac{a}{4}=1$, 즉 $a=4$이다.
주변밀도는 $f_X(x)=\int_0^1 4xy\,dy=2x$, 같은 방식으로 $f_Y(y)=2y$이므로 누적분포는 각각 $x^2,\ y^2$이다.
$P(Y\le \frac{1}{3})=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$
$P(X\le \frac{1}{2})=\frac{1}{4}$이지 $\frac{3}{4}$가 아니다.
$P(X\gt \frac{1}{4})=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$이다.
$P(Y\le \frac{1}{5})=\frac{1}{25}$이다.

$\mathrm{Cov}(X,Y)=-\dfrac{1}{8}$이므로 $\mathrm{Cov}(W,Z)=4$이다.
$E(X)=1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, $E(Y)=\frac{1}{4}$, $E(XY)=1\cdot1\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
$\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}=-\frac{1}{8}$
공분산은 상수항에 영향받지 않고 두 계수의 곱만큼 배가된다.
$\mathrm{Cov}(W,Z)=(-4)(8)\left(-\frac{1}{8}\right)=4$
$-\frac{1}{8}$은 변환 전 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ 자체로, 계수 곱 $-32$를 빠뜨린 값이다.
$\frac{1}{8}$과 $-4$는 부호나 계수 곱을 잘못 처리한 값이다.

세 쌍 모두 $P(E\cap F)=P(E)P(F)$가 성립하므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 독립이다.
$P(A)=\frac{1}{2},\ P(B)=\frac{1}{3},\ P(C)=\frac{1}{2},\ P(D)=\frac{2}{3}$
ㄱ: $A\cap B=\{6\}$, $\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}$이므로 독립이다.
ㄴ: $B\cap C=\{3\}$, $\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}$이므로 독립이다.
ㄷ: $C\cap D=\{1,5\}$, $\frac{2}{6}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}$이므로 독립이다.
$C,\ D$는 각각 $A,\ B$의 여사건이고, 두 사건이 독립이면 여사건끼리도 독립이므로 ㄴ·ㄷ은 ㄱ에서 바로 따라 나온다.

$Z_1^2$은 자유도 1인 카이제곱분포를 따라 분산이 2이므로 $Var(Z_1^2)=1$이 옳지 않다.
자유도 $k$인 카이제곱분포의 평균은 $k$, 분산은 $2k$이다.
$Z_1,\ Z_2$는 모두 표준정규이므로 $E(Z_1)=E(Z_2)=0$으로 옳다.
$Var\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)=\frac{\sigma^2}{2}$이므로 2배하면 $\sigma^2=Var(X_1)$로 옳다.
$E(Z_i^2)=1$이므로 $E(Z_1^2+Z_2^2)=2$로 옳다.

검정력 조건을 표준화하면 $\dfrac{\sqrt n}{3}\ge 1.645$이므로 $n\ge(3\times1.645)^2$이다.
검정력 $=P(\overline{X}\ge 11\mid\mu=13)=P\left(Z\ge\dfrac{11-13}{6/\sqrt n}\right)=P\left(Z\ge-\dfrac{\sqrt n}{3}\right)$
이 값이 0.95 이상이려면 $-\dfrac{\sqrt n}{3}\le -z_{0.05}=-1.645$, 즉 $\sqrt n\ge 3\times1.645$이다.
검정력 0.95에 대응하는 분위수는 $z_{0.05}=1.645$이므로 1.96을 쓴 식은 틀리다.
계수 6을 쓴 식은 평균 차이 $13-11=2$로 나누는 과정을 빠뜨린 것이다.

불편추정량은 $T_1,\ T_2,\ T_4$이고, 그중 분산이 가장 작은 것은 $T_1$이다.
계수 합이 1이면 불편이고, 분산은 계수 제곱합 $\times\sigma^2$이다.
$T_1$: 계수 합 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$, 분산 $\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)\sigma^2=\frac{\sigma^2}{2}$
$T_2$: 계수 합 $\frac{2+2-1}{3}=1$로 불편이지만 분산 $\frac{4+4+1}{9}\sigma^2=\sigma^2$로 더 크다.
$T_3$: 계수 합 $\frac{3}{4}$로 편의가 있어 불편추정량이 아니다.
$T_4$: 계수 합 1로 불편이지만 분산 $3\sigma^2$로 가장 크다.

$E(\hat\theta)=\theta$이므로 편의는 0, 평균제곱오차는 분산과 같아 $\frac{1}{60}$이다.
균일분포 $(\theta,\theta+1)$의 평균은 $\theta+\frac{1}{2}$, 분산은 $\frac{1}{12}$이다.
$E(\hat\theta)=\theta+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\theta$
$\mathrm{MSE}=Var(\overline{X})+\mathrm{bias}^2=\dfrac{1/12}{5}+0=\dfrac{1}{60}$
편의를 $\frac{1}{2}$로 둔 조합은 $\frac{1}{2}$을 빼서 보정한 점을 무시한 것이다.
$\frac{1}{30}$은 표본평균의 분산 $\frac{1}{12}\div5$를 잘못 계산한 값이다.

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
ㄱ: 단순회귀에서 $R^2=r^2$이고 상관계수의 부호는 기울기 부호와 같으므로 $r=-\sqrt{0.81}=-0.9$이다.
ㄴ: 회귀직선은 평균점 $(\bar x,\bar y)$를 지나므로 $\bar y=200-0.4\times150=140$이다.
ㄷ: $\hat y=200-0.4\times100=160$이다.
설명변수의 표준편차 80은 세 진술을 판단하는 데 필요하지 않은 정보다.

$X_1+2X_2=2$가 되는 경우는 두 가지이고, 확률의 합은 $\frac{13}{2}e^{-5}$이다.
음이 아닌 정수 해: $(X_1,X_2)=(2,0)$ 또는 $(0,1)$
$P(2,0)=\dfrac{e^{-3}3^2}{2!}\cdot e^{-2}=\dfrac{9}{2}e^{-5}$
$P(0,1)=e^{-3}\cdot 2e^{-2}=2e^{-5}$
$\left(\frac{9}{2}+2\right)e^{-5}=\frac{13}{2}e^{-5}$
$\frac{9}{2}e^{-5}$은 $(0,1)$인 경우를 빠뜨린 값이다.
$\frac{25}{2}e^{-5}$는 $X_1+X_2=2$(합이 모수 5인 포아송)로 잘못 본 값이다.

(가)는 양측 95% 구간이므로 $t_{0.025}(14)=2.15$를 쓰고, (나)는 검정통계량이 임곗값보다 작아 기각할 수 없다.
오차 자유도는 $n-2=14$이다.
(가) $120\pm2.15\times40$
(나) 표의 t-값 3.6은 $\beta_1=0$ 기준이므로 다시 계산한다.
$t=\dfrac{1.8-1}{0.5}=1.6\lt t_{0.05}(14)=1.76$
1.76을 쓴 신뢰구간은 단측 분위수를 양측 구간에 잘못 쓴 것이다.
기각할 수 있다는 판단은 표의 $\beta_1=0$ 검정 결과(p-값 0.0029)를 그대로 가져다 쓴 오류다.

검정통계량 $\chi^2=8.5$가 $\chi^2_{0.05}(2)=5.99$와 $\chi^2_{0.01}(2)=9.21$ 사이에 있으므로 $0.01\le p\lt 0.05$이다.
열 합계가 A 100, B 80, C 40이고 두 행의 합계가 같으므로 각 행의 기대도수는 $50,\ 40,\ 20$이다.
남자: $\frac{5^2}{50}+\frac{10^2}{40}+\frac{5^2}{20}=0.5+2.5+1.25=4.25$
여자도 편차 크기가 같아 4.25, 합계 $\chi^2=8.5$
자유도는 $(2-1)(3-1)=2$이므로 자유도 5의 값과 비교하면 안 된다.
8.5는 9.21보다 작아 1% 수준에서 기각되지 않으므로 p-값이 0.01 미만은 아니다.
8.5는 5.99보다 커서 5% 수준에서 기각되므로 p-값이 0.05 이상인 범위는 틀리다.

(가) 3, (나) 5, (다) 2로 연결된다.
처리 자유도 $=4-1=3$, 총 자유도 $=40-1=39$로 오차 자유도 36과 맞는다.
오차제곱합 $=210-30=180$
(나) $MSE=\dfrac{180}{36}=5$
처리 평균제곱 $=\dfrac{30}{3}=10$
(다) $F=\dfrac{10}{5}=2$
(가)를 4로 둔 것은 처리 수준 수를 그대로 자유도로 쓴 오류다.
(나)·(다)를 6.7, 1.5로 둔 조합은 오차제곱합 180, 자유도 36으로 계산한 값과 맞지 않는다.

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
두 집단 비교에서 일원배치 분산분석은 합동분산 t-검정과 동치로, $F=t^2$이고 양측 t-검정과 p-값이 같다.
ㄷ: t의 자유도는 $10+12-2=20$이고 F의 분자 자유도는 $2-1=1$이다. t의 자유도와 같은 것은 F의 분모 자유도(20)다.

표본평균의 표준오차가 $\frac{1}{6}$이므로 구하는 확률은 $2\times P(Z\ge 0.6)$이다.
$\overline{X}\sim N\left(\mu,\ \frac{1}{36}\right)$, 표준오차 $\frac{1}{\sqrt{36}}=\frac{1}{6}$
$P(|\overline{X}-\mu|\ge0.1)=P\left(|Z|\ge\dfrac{0.1}{1/6}\right)=P(|Z|\ge0.6)=2P(Z\ge0.6)$
$P(|Z|\le 0.6)$는 차이가 0.1 이하일 확률로 방향이 반대다.
0.1을 그대로 쓴 식은 표준오차로 나누는 표준화를 빠뜨린 것이다.

$\beta_1=0$은 선형관계가 없음을 뜻할 뿐이므로, 어떠한 관계성도 없다는 진술이 옳지 않다.
$Y$가 $X$와 2차 함수처럼 비선형으로 관련되어 있어도 기울기는 0일 수 있다.
오차의 평균이 0이면 최소제곱추정량 $\hat\beta_0,\ \hat\beta_1$은 불편추정량이다.
정규방정식에 의해 $\sum e_i=0$, $\sum x_ie_i=0$이 성립한다.
$Var(\hat\beta_1)=\dfrac{\sigma^2}{\sum(x_i-\bar x)^2}$는 기울기 추정량의 표준 결과다.

유의확률은 $p=\frac{2}{3}$일 때 4개 이상이 관측될 확률로 $\frac{112}{3^5}$이다.
$X\sim B\left(5,\frac{2}{3}\right)$이고 대립가설이 $p\gt\frac{2}{3}$이므로 $P(X\ge4)$를 구한다.
$P(X=4)=5\cdot\dfrac{2^4}{3^5}=\dfrac{80}{3^5}$
$P(X=5)=\dfrac{2^5}{3^5}=\dfrac{32}{3^5}$
$P(X\ge4)=\dfrac{112}{3^5}$
$\frac{80}{3^5}$는 관측값 4의 확률만 구하고 더 극단적인 5를 빠뜨린 값이다.
$\frac{11}{3^5}$와 $\frac{1}{3^5}$는 성공확률을 $\frac{1}{3}$로 잘못 놓고 계산한 값이다.

잔차제곱합은 40이 아니라 50이므로 그 진술이 옳지 않다(40은 회귀제곱합).
$\hat\beta_1=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{20}{10}=2$
회귀제곱합 $SSR=\hat\beta_1S_{xy}=2\times20=40$
$SSE=SST-SSR=90-40=50$
기울기 추정값 2는 위 계산과 같다.
절편 추정값은 $\bar y-\hat\beta_1\bar x=8-2\times1.5=5$로 옳다.
오차분산 추정값은 $\dfrac{SSE}{n-2}=\dfrac{50}{10}=5$로 옳다.

오차한계가 같으면 표본 수는 $z^2$에 비례하므로 올해 최소 표본은 64명이다.
오차한계 $e=z\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$에서 $n=\dfrac{z^2p(1-p)}{e^2}$
$n=100\times\left(\dfrac{z_{0.05}}{z_{0.025}}\right)^2=100\times\left(\dfrac{1.6}{2}\right)^2=64$
90% 신뢰수준의 양측 분위수는 $z_{0.05}=1.6$이며, $z_{0.1}=1.3$을 쓰면 약 43명으로 잘못 나온다.
표본 수는 $z$의 비율이 아니라 그 제곱에 비례하므로 줄어드는 폭이 더 크다.

합동분산 24를 쓴 t-통계량과 자유도 $11+16-2=25$의 양측 기각역이 맞는 조합이다.
등분산 가정이므로 합동분산을 쓴다.
$s_p^2=\dfrac{10\times36+15\times16}{25}=\dfrac{600}{25}=24$
$t=\dfrac{70-65}{\sqrt{24\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{16}\right)}}$
차이 유무를 보는 양측검정이므로 기각역은 $|t|\ge t_{0.025}(25)$이다.
분산을 $\frac{36}{11}+\frac{16}{16}$로 따로 더한 식은 등분산을 가정하지 않을 때의 통계량이다.
자유도 26은 $n_1+n_2-1$로 하나를 덜 뺀 값이다.