모수가 \lambda인 포아송 분포를 따르는 확률변수(X)의 확률질량함… | [7급 국가직 통계학] 24년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통계학] 24년 1회차

모수가  $\lambda$ 인 포아송 분포를 따르는 확률변수( $X$ )의 확률질량함수는
다음과 같다. $f(x)=\begin{cases} \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, & x=0,1,2,\cdots \\ 0, & \text{그 외} \end{cases}\qquad(\lambda>0)$ 
 $X_1,\ X_2$ 를 서로 독립이며 각각 모수가  $\lambda_1=3, \lambda_2=2$ 인 포아송 분포를
따르는 확률변수라고 할 때,  $P(X_1+2X_2=2)$ 의 값은?

 $\frac{9}{2}e^{-5}$

 $\frac{11}{2}e^{-5}$

 $\frac{13}{2}e^{-5}$

 $\frac{25}{2}e^{-5}$

해설

 $X_1+2X_2=2$ 가 되는 경우는 두 가지이고, 확률의 합은  $\frac{13}{2}e^{-5}$ 이다.
음이 아닌 정수 해:  $(X_1,X_2)=(2,0)$  또는  $(0,1)$ 
 $P(2,0)=\dfrac{e^{-3}3^2}{2!}\cdot e^{-2}=\dfrac{9}{2}e^{-5}$ 
 $P(0,1)=e^{-3}\cdot 2e^{-2}=2e^{-5}$ 
 $\left(\frac{9}{2}+2\right)e^{-5}=\frac{13}{2}e^{-5}$ 
 $\frac{9}{2}e^{-5}$ 은  $(0,1)$ 인 경우를 빠뜨린 값이다.
 $\frac{25}{2}e^{-5}$ 는  $X_1+X_2=2$ (합이 모수 5인 포아송)로 잘못 본 값이다.

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