X_1,X_2,\cdots,X_5를 (\theta,\ \theta+1)… | [7급 국가직 통계학] 24년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통계학] 24년 1회차

 $X_1,X_2,\cdots,X_5$ 를  $(\theta,\ \theta+1)$ 에서 균일분포(uniform distribution)를
따르는 모집단으로부터 추출된 크기 5인 확률표본이라 하고, 표본평균을
 $\overline{X}$ 라고 하자. 모수  $\theta$ 에 대한 추정량으로  $\hat{\theta}=\overline{X}-\frac{1}{2}$ 을 사용할 때, 이
추정량의 편의(bias)와 평균제곱오차(MSE)를 바르게 연결한 것은?
편의 평균제곱오차

 $0\qquad\frac{1}{60}$

 $0\qquad\frac{1}{30}$

 $\frac{1}{2}\qquad\frac{1}{60}$

 $\frac{1}{2}\qquad\frac{1}{30}$

해설

 $E(\hat\theta)=\theta$ 이므로 편의는 0, 평균제곱오차는 분산과 같아  $\frac{1}{60}$ 이다.
균일분포  $(\theta,\theta+1)$ 의 평균은  $\theta+\frac{1}{2}$ , 분산은  $\frac{1}{12}$ 이다.
 $E(\hat\theta)=\theta+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\theta$ 
 $\mathrm{MSE}=Var(\overline{X})+\mathrm{bias}^2=\dfrac{1/12}{5}+0=\dfrac{1}{60}$ 
편의를  $\frac{1}{2}$ 로 둔 조합은  $\frac{1}{2}$ 을 빼서 보정한 점을 무시한 것이다.
 $\frac{1}{30}$ 은 표본평균의 분산  $\frac{1}{12}\div5$ 를 잘못 계산한 값이다.

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