연속형 확률변수 X와 Y의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때,옳은 것은… | [7급 국가직 통계학] 24년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통계학] 24년 1회차

연속형 확률변수  $X$ 와  $Y$ 의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때,
옳은 것은? (단,  $a$ 는 상수이다) $f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases} axy, & 0<x<1,\ 0<y<1 \\ 0, & \text{그 외} \end{cases}$

 $P(X\le \frac{1}{2})=\frac{3}{4}$

 $P(Y\le \frac{1}{3})=\frac{1}{9}$

 $P(X> \frac{1}{4})=\frac{1}{16}$

 $P(Y\le \frac{1}{5})=\frac{24}{25}$

해설

상수  $a=4$ 이고  $Y$ 의 주변밀도가  $2y$ 이므로  $P(Y\le \frac{1}{3})=\frac{1}{9}$ 가 옳다.
전체 적분이 1이어야 하므로  $a\int_0^1\int_0^1 xy\,dx\,dy=\dfrac{a}{4}=1$ , 즉  $a=4$ 이다.
주변밀도는  $f_X(x)=\int_0^1 4xy\,dy=2x$ , 같은 방식으로  $f_Y(y)=2y$ 이므로 누적분포는 각각  $x^2,\ y^2$ 이다.
 $P(Y\le \frac{1}{3})=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$ 
 $P(X\le \frac{1}{2})=\frac{1}{4}$ 이지  $\frac{3}{4}$ 가 아니다.
 $P(X\gt \frac{1}{4})=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$ 이다.
 $P(Y\le \frac{1}{5})=\frac{1}{25}$ 이다.

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