평균이 \mu이고 분산이 \sigma^2인 모집단으로부터 추출된 크기 … | [7급 국가직 통계학] 24년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통계학] 24년 1회차

평균이  $\mu$ 이고 분산이  $\sigma^2$ 인 모집단으로부터 추출된 크기 5인 확률
표본을  $X_1,X_2,\cdots,X_5$ 라고 하자. 다음에 제시된  $\mu$ 에 대한 추정량
중에서 불편추정량이면서 동시에 분산이 제일 작은 추정량은? (단,
 $\sigma^2>0$ 이다) $T_1=\frac{X_1+X_5}{2},\qquad T_2=\frac{2X_1+2X_2-X_3}{3},$ 
 $T_3=\frac{X_1+X_2+X_5}{4},\qquad T_4=X_3+X_4-X_5$

 $T_1$

 $T_2$

 $T_3$

 $T_4$

해설

불편추정량은  $T_1,\ T_2,\ T_4$ 이고, 그중 분산이 가장 작은 것은  $T_1$ 이다.
계수 합이 1이면 불편이고, 분산은 계수 제곱합  $\times\sigma^2$ 이다.
 $T_1$ : 계수 합  $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ , 분산  $\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)\sigma^2=\frac{\sigma^2}{2}$ 
 $T_2$ : 계수 합  $\frac{2+2-1}{3}=1$ 로 불편이지만 분산  $\frac{4+4+1}{9}\sigma^2=\sigma^2$ 로 더 크다.
 $T_3$ : 계수 합  $\frac{3}{4}$ 로 편의가 있어 불편추정량이 아니다.
 $T_4$ : 계수 합 1로 불편이지만 분산  $3\sigma^2$ 로 가장 크다.

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