관측 자료 (x_i,\ y_i)\,(i=1,2,\cdots,50)를 이… | [7급 국가직 통계학] 24년 1회차 기출문제 상세 페이지

관측 자료 $(x_i,\ y_i)\,(i=1,2,\cdots,50)$를 이용하여 단순선형회귀모형
$Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i$를 최소제곱법으로 추정한 결과 $\hat{\beta}_0=200,$
$\hat{\beta}_1=-0.4$를 얻었다. 설명변수의 평균이 150, 표준편차가 80이고,
추정된 회귀직선의 결정계수($R^2$)가 0.81일 때, 이에 대한 설명으로
옳은 것만을 모두 고르면? (단, $\epsilon_i$는 $N(0,\sigma^2)$을 따르고 서로 독립이다)
ㄱ. 설명변수와 반응변수 간의 표본상관계수는 $-0.9$이다.
ㄴ. 반응변수의 평균은 140이다.
ㄷ. $x=100$일 때, 반응변수의 추정값은 160이다.

ㄱ

ㄱ, ㄴ

ㄴ, ㄷ

ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
ㄱ: 단순회귀에서 $R^2=r^2$이고 상관계수의 부호는 기울기 부호와 같으므로 $r=-\sqrt{0.81}=-0.9$이다.
ㄴ: 회귀직선은 평균점 $(\bar x,\bar y)$를 지나므로 $\bar y=200-0.4\times150=140$이다.
ㄷ: $\hat y=200-0.4\times100=160$이다.
설명변수의 표준편차 80은 세 진술을 판단하는 데 필요하지 않은 정보다.