평균이 \mu이고 분산이 \sigma^2인 정규모집단으로부터 추출된 크… | [7급 국가직 통계학] 24년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통계학] 24년 1회차

평균이  $\mu$ 이고 분산이  $\sigma^2$ 인 정규모집단으로부터 추출된 크기 2인
확률표본을  $X_1, X_2$ 라고 하자.  $X_1$ 과  $X_2$ 의 표준화된 확률변수를 각각
 $Z_1$ 과  $Z_2$ 라고 할 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

 $E(Z_1)=E(Z_2)$

 $Var(X_1)=2\times Var\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)$

 $Var(Z_1^2)=1$

 $E(Z_1^2+Z_2^2)=2$

해설

 $Z_1^2$ 은 자유도 1인 카이제곱분포를 따라 분산이 2이므로  $Var(Z_1^2)=1$ 이 옳지 않다.
자유도  $k$ 인 카이제곱분포의 평균은  $k$ , 분산은  $2k$ 이다.
 $Z_1,\ Z_2$ 는 모두 표준정규이므로  $E(Z_1)=E(Z_2)=0$ 으로 옳다.
 $Var\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)=\frac{\sigma^2}{2}$ 이므로 2배하면  $\sigma^2=Var(X_1)$ 로 옳다.
 $E(Z_i^2)=1$ 이므로  $E(Z_1^2+Z_2^2)=2$ 로 옳다.

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