[철도신호기사 필기] 11년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

$Y=AB\,\overline{(A+B)}$ 는 이 회로의 출력이 될 수 없다.
그림의 회로는 입력 $A$와 $B$를 위쪽 게이트에 그대로 넣고, 같은 두 입력을 입력마다 부정 원(◦)이 붙은 아래쪽 게이트에도 넣은 뒤 두 출력을 마지막 게이트에서 묶어 $Y$를 만든다. 부정 원이 붙은 입력은 드모르간 정리에 따라 $\overline{A}+\overline{B}=\overline{AB}$ 로 읽히므로, 전체 출력은 배타적 논리합(XOR) 곧 $Y=(A+B)\cdot\overline{AB}$ 가 된다.
나머지 세 식은 표현만 다를 뿐 모두 이 XOR과 같은 식이다.
$\overline{A}B+A\overline{B}$ 는 XOR의 최소항 표현 그 자체다.
$\overline{AB}\,(A+B)$ 는 “적어도 하나는 1이면서 둘 다 1은 아니다”라는 조건이므로 XOR과 같다.
$(A+B)(\overline{A}+\overline{B})$ 는 드모르간에 따라 $\overline{A}+\overline{B}=\overline{AB}$ 이므로 위 식과 동일하다.
반면 $AB\,\overline{(A+B)}=AB\cdot\overline{A}\,\overline{B}=0$ 으로, 입력이 무엇이든 항상 0이 되어 어떤 논리회로의 출력도 될 수 없다. 부정 기호가 곱 전체에 걸렸는지 합 전체에 걸렸는지를 놓치면 그대로 오답으로 이어진다.

정현파(사인파) 발진기에 속하는 것은 LC 발진기이다.
멀티바이브레이터, 블로킹 발진기, 톱니파 발진기는 모두 스위칭 동작이나 콘덴서의 충방전을 이용해 구형파·펄스·톱니파 등 비정현파를 출력하는 이완(弛緩)발진기 계열이다.

발진 주파수는 $f=\dfrac{1}{2\pi RC}\,[\mathrm{Hz}]$이다.
그림은 연산증폭기 $A$의 비반전(+) 입력에 직렬로 이어진 $C$·$R$ 가지와 접지로 내려가는 병렬 $R$·$C$ 가지로 짜인 윈 브리지 궤환망을 붙이고, 반전(−) 입력에는 출력을 $R_1$과 $R_2$로 나눈 전압을 되돌린 표준 윈 브리지 발진회로다.
이 궤환망의 귀환률이 실수가 되어 위상이 0°가 되는 주파수에서 발진한다. 일반식은 $f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{R_1C_1R_2C_2}}$ 이고, 그림처럼 두 저항이 모두 $R$, 두 커패시터가 모두 $C$이면 $f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{R^{2}C^{2}}}=\dfrac{1}{2\pi RC}$ 가 된다.
이때 귀환률이 $1/3$이므로 발진을 지속하려면 증폭도가 3 이상이어야 하고, 그 조건이 $R_1=2R_2$ 이다. $RC$가 분모에 1차로만 들어가고 계수가 $2\pi$라는 점만 확인하면, $C$가 제곱으로 붙은 형태·$C$가 아예 빠진 형태·계수 2가 없는 형태는 모두 걸러진다.

진폭변조도 m이 1보다 커져 신호파 진폭이 반송파 진폭을 넘어서면 포락선이 찌그러지면서 변조 일그러짐이 생기는데, 이를 과변조라 한다.
과변조 상태에서는 포락선 검파로 원래의 신호파형을 정확히 복원할 수 없어 왜곡이 발생하고, 불필요한 측파대가 넓어져 다른 통신에 방해를 준다.

연산증폭기 출력단의 B급 푸시풀 전력증폭회로에서는 두 트랜지스터가 모두 꺼져 있는 구간 때문에 크로스오버 일그러짐이 생기는데, 이를 방지하기 위해 다이오드로 바이어스 전압을 걸어준다.
다이오드의 순방향 전압강하를 이용해 두 트랜지스터에 미세한 바이어스 전류를 미리 흘려주면 신호가 0을 지날 때도 끊김 없이 증폭이 이어져 일그러짐이 줄어든다.

안정도를 좋게 하려면 이미터 저항을 크게 하고 베이스 분압 저항 두 개를 작게 해야 한다.
그림은 $V_{CC}$를 $R_1$과 $R_2$로 나누어 베이스에 주고, 컬렉터에 $R_C$, 이미터에 $R_E$와 바이패스 커패시터 $C_E$를 둔 전압분배(자기) 바이어스 회로다. 베이스에서 본 등가저항을 $R_B=R_1\parallel R_2$ 라 하면 안정계수는 $S=(1+\beta)\dfrac{1+R_B/R_E}{1+\beta+R_B/R_E}$ 로 주어진다.
$S$는 1에 가까울수록 좋은데, 위 식에서 $R_B/R_E$ 가 0에 가까워질수록 $S\to 1$ 이 된다. 곧 이미터 저항은 키우고 등가 베이스 저항은 줄여야 하며, $R_B$를 줄이려면 $R_1$과 $R_2$를 함께 작게 잡아야 한다. $R_E$가 클수록 컬렉터 전류가 늘 때 이미터 전위가 따라 올라가 베이스–이미터 순바이어스를 깎는 부궤환이 강해지는 것이 물리적 이유다.
다만 $R_1$·$R_2$를 지나치게 낮추면 분압회로로 흐르는 전류가 커져 손실이 늘고 입력 임피던스가 떨어지므로 무한정 줄일 수는 없다. $R_C$나 $V_{CC}$는 동작점의 위치를 정할 뿐 안정계수 식에는 들어가지 않는다.

출력은 입력을 미분한 형태인 $V_o=-RC\dfrac{dV_i}{dt}$이다.
그림은 입력 $V_i$가 커패시터 $C$를 거쳐 반전(−) 입력으로 들어가고, 반전 입력과 출력 사이에 저항 $R$이 걸리며 비반전(+) 입력은 접지된 회로, 곧 미분기다.
이득이 큰 연산증폭기에서는 반전 입력이 가상접지가 되므로 커패시터 양단 전압이 곧 $V_i$이고, 흐르는 전류는 $i=C\dfrac{dV_i}{dt}$ 이다.
입력 임피던스가 커서 이 전류가 그대로 $R$로 흐르므로 $V_o=0-iR=-RC\dfrac{dV_i}{dt}$ 가 된다.
저항과 커패시터의 자리를 맞바꿔 입력에 $R$, 궤환에 $C$를 두면 적분기가 되어 $V_o=-\dfrac{1}{RC}\displaystyle\int V_i\,dt$ 가 된다. 미분기의 계수는 $RC$, 적분기의 계수는 $1/RC$로 서로 뒤집힌다는 점을 함께 외워 두면 보기에서 혼동하지 않는다.

진폭변조도는 신호파 진폭을 반송파 진폭으로 나눈 값이며, 계산 결과 약 67%이다.
$m = \dfrac{V_s}{V_c} = \dfrac{20}{30} ≈ 0.667 = 66.7\%$

멀티바이브레이터는 정궤환(양의 되먹임) 작용으로 두 트랜지스터가 번갈아 온·오프되며 발진하는 회로이므로, 부궤환 작용으로 발진한다는 설명은 옳지 않다.
회로의 시정수(RC)로 출력파형의 주기가 결정되며, 스위칭 동작으로 인해 출력에는 많은 고조파가 포함되고 전원전압 변동에는 비교적 둔감하다.

입력 단자가 하나뿐인 단일 트랜지스터 스위칭 회로이므로 이 회로는 NOT(인버터) 게이트로 동작한다.
그림은 이미터를 접지한 NPN 트랜지스터에 베이스 저항 $R_B$와 컬렉터 저항 $R_C$를 $V_{CC}$에 연결하고, 입력 $V_i$는 베이스에, 출력 $V_o$는 컬렉터에서 뽑아낸 이미터 공통(공통 이미터) 구성이다.
입력이 낮은 준위(0)면 베이스–이미터 사이에 순방향 전압이 걸리지 않아 트랜지스터가 차단되고, $R_C$에 전압 강하가 없으므로 출력은 $V_o \simeq V_{CC}$ 즉 1이 된다. 반대로 입력이 높은 준위(1)면 베이스 전류가 흘러 트랜지스터가 포화되고 컬렉터–이미터 사이가 거의 단락되므로 $V_o \simeq 0$ 즉 0이 된다. 결국 입력과 출력의 논리값이 항상 반전된다.
AND·EX-OR·EX-NOR는 모두 두 개 이상의 입력 단자를 필요로 하는 게이트인데, 이 회로의 입력은 $V_i$ 하나뿐이라 논리곱이나 배타적 논리합을 만들 수 없다.

실리콘 BJT의 베이스-이미터 접합이 순방향으로 바이어스되면 실리콘 PN 접합의 문턱전압(barrier potential)인 약 $0.7\mathrm{V}$ 부근에서 전도가 시작된다.
게르마늄 접합의 순방향 전압이 약 0.2~0.3V인 것과 달리, 실리콘 접합은 밴드갭이 커서 문턱전압이 더 높게 나타난다.
0.1V와 0.2V는 실리콘 접합의 문턱전압에 크게 못 미치는 값으로, 이 구간에서는 접합이 거의 전도되지 않는다.
0.4V도 순방향 전류가 본격적으로 흐르기 전의 낮은 전압 구간에 해당한다.

확산전류는 반도체 내에서 캐리어(전자·정공)의 농도 차이로 인해 고농도에서 저농도로 이동하며 형성되는 전류이다.
이는 전계에 의해 캐리어가 이동하는 드리프트전류(표류전류)와 구분되는 개념이다.
드리프트전류는 전계(전압)에 의해 발생하는 전류로 농도차와 무관하다.
차단전류와 포화전류는 다이오드·트랜지스터의 동작 상태를 나타내는 전류로 확산 현상 자체를 가리키는 용어가 아니다.

전압 증폭도의 데시벨 값은 $20\log_{10}(\text{전압증폭도})$ 로 구하며, 증폭도 30을 대입하면 약 30dB가 된다.
$20\log_{10}30 = 20 \times 1.477 \approx 29.5\mathrm{dB}$ 로 근사적으로 30dB에 해당한다.

다이오드 검파는 반송파의 포락선을 다이오드의 정류 작용만으로 추출하는 방식으로, 별도의 발진회로(국부발진기) 없이 동작한다.
동기검파는 반송파와 같은 주파수의 국부발진 신호를 곱하는 방식이라 발진회로가 필요하다.
링 변조는 반송파(발진 신호)를 스위칭 신호로 사용하므로 발진회로가 필요하다.
헤테로다인 검파는 국부발진기 신호와 혼합하여 중간주파수를 만드는 방식이라 발진회로가 필수이다.

출력은 기준전압 $V_R$보다 높은 부분만 수평으로 잘려 나가고 나머지 구간(음의 반주기 포함)은 입력 정현파 그대로 나타난다.
회로는 입력에서 다이오드를 거쳐 출력 단자로 이어지고, 그 접속점에서 저항 $R$과 기준전원 $V_R$이 직렬로 접지된 기준전압을 가진 직렬형 클리퍼(리미터)이다. 다이오드는 캐소드(막대)가 입력 쪽을 향하고 있다.
입력이 기준전압보다 낮은 동안($V_i < V_R$)에는 기준전원이 $R$을 통해 다이오드를 순방향으로 밀어 도통시키므로 출력 단자 전압은 입력을 그대로 따라가 $V_o = V_i$가 된다.
입력이 기준전압을 넘어서면($V_i > V_R$) 다이오드가 역방향이 되어 차단되고, 전류가 끊겨 $R$에 전압 강하가 없으므로 출력은 $V_o = V_R$로 고정된다.
따라서 $V_R$ 위쪽만 평탄하게 잘린 파형이 답이며, 반대로 $V_R$ 위쪽만 통과시키고 나머지를 $V_R$로 붙잡아 두는 파형, 위아래를 $\pm V_R$로 모두 자른 파형, 음의 반주기를 통째로 없앤 반파 정류 파형은 이 다이오드 방향과 기준전원 배치로는 만들어지지 않는다.

CMRR은 $20\log_{10}\left(\dfrac{A_d}{A_{cm}}\right)$ 로 정의되며, 차동이득 2000과 동상이득 0.2를 대입하면 약 80dB가 된다.
$\dfrac{A_d}{A_{cm}} = \dfrac{2000}{0.2} = 10000$
$20\log_{10}10000 = 20 \times 4 = 80\mathrm{dB}$

D 플립플롭은 입력을 클록 에지에서만 출력에 반영하는 지연(delay) 특성을 가지므로, 입력 신호에 순간적인 채터링(chattering)이 있어도 클록 시점의 값만 래치되어 오동작을 방지한다.
T·JK·RS 플립플롭은 각각 토글, 범용, 세트-리셋 동작을 하는 소자로 지연형 구조와는 목적이 다르다.

바렉터 다이오드(가변용량 다이오드)는 역바이어스 전압의 크기에 따라 공핍층의 폭이 변하면서 접합용량이 변화하는 특성을 이용한다.
제너 다이오드는 항복전압에서의 정전압 특성을 이용하는 소자이다.
터널 다이오드는 부성저항 특성을 이용한다.
쇼트키 다이오드는 금속-반도체 접합의 낮은 순방향 전압과 고속 스위칭 특성을 이용한다.

접합형 FET의 핀치오프(pinch-off)는 게이트 역바이어스에 의해 채널이 좁아져 전류가 포화되는 현상으로, 항복(breakdown) 현상과는 다른 개념이므로 "항복현상이 일어나는 전압이 된다"는 설명은 틀린 내용이다.
핀치오프 상태에서는 채널 폭이 최소가 되어 저항이 최대가 되고, 게이트 전압을 더 낮추면 드레인 전류가 차단(cut-off)되는데, 이는 항복과는 별개로 정상적인 FET 동작 범위 내의 현상이다.

다이오드를 병렬로 연결하면 하나의 다이오드가 감당할 전류를 여러 개로 분담하게 되어 허용 전류 용량이 커지고, 결과적으로 과전류로부터 보호하는 효과를 얻는다.
참고로 다이오드를 직렬로 연결하면 내전압(과전압 대응)이 커지는 것과 대비되는 개념이다.

$Q = \dfrac{\omega L}{R}$ 관계에서 저항은 $R = \dfrac{2\pi f L}{Q}$ 로 구할 수 있으며, 계산하면 약 4.2Ω이 된다.
$R = \dfrac{2\pi \times 2\times10^{6} \times 0.02\times10^{-3}}{60}$
$= \dfrac{251.3}{60} \approx 4.2\mathrm{\Omega}$

영상분 전압은 $\dfrac{40}{3}\sin \omega t\,[\mathrm{V}]$이다.
영상(0상)대칭분은 세 상전압의 산술평균으로 정의된다.
$V_0=\dfrac{1}{3}\left(V_a+V_b+V_c\right)$
b상과 c상은 위상이 $+90^\circ$와 $-90^\circ$로 서로 반대이므로 합이 상쇄된다.
$V_b+V_c=40\left[\sin(\omega t+90^\circ)+\sin(\omega t-90^\circ)\right]=40\left(\cos\omega t-\cos\omega t\right)=0$
따라서 $V_0=\dfrac{1}{3}\left(40\sin \omega t+0\right)=\dfrac{40}{3}\sin \omega t$가 된다. 평균을 구하는 것이므로 3으로 나누는 과정을 빠뜨리지 않는 것이 이 문제의 요점이며, $40\sin \omega t$는 3으로 나누기 전의 값일 뿐이다.

무한장 선로에서 송전단으로 본 단위길이당 직렬임피던스는 $Z=\gamma Z_0$이다.
분포정수 회로에서 단위길이당 직렬임피던스를 $Z$, 병렬 어드미턴스를 $Y$라 하면 특성임피던스와 전파정수는 각각
$Z_0=\sqrt{\dfrac{Z}{Y}}$, $\gamma=\sqrt{ZY}$로 정의된다.
두 값을 곱하면 어드미턴스가 소거되어 직렬임피던스만 남는다.
$\gamma Z_0=\sqrt{ZY}\cdot\sqrt{\dfrac{Z}{Y}}=\sqrt{Z^{2}}=Z$
참고로 같은 두 식을 나누면 $\dfrac{\gamma}{Z_0}=Y$가 되어 병렬 어드미턴스가 나온다. 즉 곱하면 직렬임피던스, 나누면 병렬 어드미턴스라는 관계를 기억하면 되며, $\sqrt{\gamma Z_0}$처럼 근호가 남은 형태는 차원이 맞지 않는다.

방전 과도전류는 $i(t)=\dfrac{Q}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\,[\mathrm{A}]$이다.
그림은 전하 $Q$가 축적된 커패시터 $C$와 저항 $R$, 스위치 $S$만으로 이루어진 전원이 없는 RC 방전 회로이다. 스위치를 닫는 순간 커패시터에 걸려 있던 초기 전압은 $V_0=\dfrac{Q}{C}$이다.
이때 회로에는 저항 $R$만 있으므로 초기 전류는 $i(0)=\dfrac{V_0}{R}=\dfrac{Q}{RC}$이고, 전류는 시정수 $\tau=RC$로 지수 감쇠한다.
$i(t)=\dfrac{V_0}{R}e^{-\frac{t}{RC}}=\dfrac{Q}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}$
충전이 아니라 방전이므로 $\left(1-e^{-t/RC}\right)$ 형태가 아니라 순수한 지수 감쇠 형태가 되며, 계수도 $Q/C$나 $Q/R$가 아니라 $Q/RC$라는 점을 확인해야 한다.

왜형율(THD)은 기본파에 대한 고조파 성분의 실효값 비율로, $\dfrac{\sqrt{I_2^2+I_3^2+I_4^2}}{I_1}$ 로 계산하면 약 1.0이 된다.
$\sqrt{25^2+30^2+40^2} = \sqrt{3125} \approx 55.9$
$\dfrac{55.9}{56} \approx 1.0$

직렬공진 조건 $\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$ 에서 $C = \dfrac{1}{\omega^2 L}$ 로 구하면 약 1.27μF가 된다.
$\omega = 2\pi \times 1000 \approx 6283$
$C = \dfrac{1}{6283^2 \times 0.02} \approx 1.27\mu\mathrm{F}$

역변환 결과는 $e^{-2t}\cos 3t$이다.
분모를 완전제곱 꼴로 정리하는 것이 출발점이다.
$s^{2}+4s+13=(s+2)^{2}+9=(s+2)^{2}+3^{2}$
이때 분자가 마침 $s+2$이므로 식 전체가 코사인 변환쌍의 복소추이(주파수 이동) 형태가 된다.
$F(s)=\dfrac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}}$
기본 변환쌍 $\mathcal{L}\left[\cos \omega t\right]=\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}$에서 $s \to s+a$로 옮기면 시간영역에 $e^{-at}$가 곱해지므로, $a=2$, $\omega=3$을 대입해 $f(t)=e^{-2t}\cos 3t$를 얻는다. 감쇠지수의 2와 각주파수 3을 서로 바꿔 쓰지 않도록 주의해야 한다.

대칭 6상 성형결선에서는 선간전압과 상전압이 같다($E_t=E_p$).
n상 성형(Y)결선의 선간전압과 상전압 사이에는 다음 관계가 성립한다.
$E_t=2\sin\dfrac{\pi}{n}\,E_p$
여기에 $n=6$을 대입하면
$E_t=2\sin\dfrac{\pi}{6}E_p=2\times 0.5\times E_p=E_p$가 된다.
같은 식에 $n=3$을 넣으면 $2\sin 60^\circ=\sqrt{3}$이 되어 익숙한 3상의 $\sqrt{3}$배 관계가 나온다. 3상의 $\sqrt{3}$배를 그대로 6상에 적용하면 안 된다는 것이 이 문제의 핵심이며, 상수가 늘어날수록 인접 두 상의 위상차가 작아져 선간전압 배율도 작아진다.

최대 전력 전달 조건은 $R_L=r$이고, 그때의 최대전력은 $P_m=\dfrac{E^{2}}{4r}$이다.
회로에 흐르는 전류는 $I=\dfrac{E}{r+R_L}$이므로 부하가 소비하는 전력은
$P=I^{2}R_L=\dfrac{E^{2}R_L}{(r+R_L)^{2}}$이다.
이 식을 $R_L$에 대해 미분해 0으로 두거나 분모를 $(r-R_L)^{2}+4rR_L$ 꼴로 변형하면, 내부저항과 부하저항이 같을 때 즉 $R_L=r$에서 전력이 최대가 됨을 알 수 있다.
이 조건을 대입하면
$P_m=\dfrac{E^{2}\cdot r}{(2r)^{2}}=\dfrac{E^{2}}{4r}$가 된다. 분모가 $2r$이나 $4R_L^{2}$이 아니라 $4r$이라는 점, 그리고 이때 전원에서 나온 전력의 절반만 부하에 전달되어 효율은 50%에 그친다는 점을 함께 기억하면 좋다.

두 영상 임피던스의 비는 $\dfrac{Z_{01}}{Z_{02}}=\dfrac{A}{D}$이다.
4단자 정수로 표현한 입력·출력측 영상 임피던스는 각각 다음과 같다.
$Z_{01}=\sqrt{\dfrac{AB}{CD}}$, $Z_{02}=\sqrt{\dfrac{BD}{AC}}$
이를 나누면 $B$와 $C$가 약분되어 $A$와 $D$만 남는다.
$\dfrac{Z_{01}}{Z_{02}}=\sqrt{\dfrac{AB}{CD}\cdot\dfrac{AC}{BD}}=\sqrt{\dfrac{A^{2}}{D^{2}}}=\dfrac{A}{D}$
반대로 두 값을 곱하면 $Z_{01}Z_{02}=\dfrac{B}{C}$가 된다. 즉 나누면 $A/D$, 곱하면 $B/C$가 정답 쌍이며, 좌우 대칭 회로에서는 $A=D$이므로 비가 1이 되어 $Z_{01}=Z_{02}$가 된다는 점도 함께 확인해 두면 좋다.

전달함수는 $G(s)=\dfrac{s+3}{2s^{2}+3s+4}$이다.
초기조건이 모두 0이므로 미분은 곧 $s$를 곱하는 것으로 대응된다. 주어진 미분방정식 $2y''+3y'+4y=x'+3x$의 양변을 라플라스 변환하면
$2s^{2}Y(s)+3sY(s)+4Y(s)=sX(s)+3X(s)$가 된다.
좌변은 $Y(s)$로, 우변은 $X(s)$로 묶어 정리하면
$\left(2s^{2}+3s+4\right)Y(s)=(s+3)X(s)$
전달함수는 출력의 변환을 입력의 변환으로 나눈 것이므로
$G(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{s+3}{2s^{2}+3s+4}$이다. 입력 쪽 항이 분자, 출력 쪽 항이 분모로 가야 하며 분자와 분모를 뒤집지 않도록 주의한다.

전달비는 $\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{a^{3}}{(1-ab)^{3}}$이다.
선도는 이득 $1$과 $a$의 가지가 번갈아 이어진 8개 마디의 종속 구조로, $a$ 가지 뒤쪽 마디에서 앞쪽 마디로 되돌아가는 이득 $b$의 궤환이 세 군데 있다. 즉 이득 $a$와 궤환 $b$로 이루어진 동일한 단이 3단 종속 연결된 형태다.
메이슨 공식을 적용하면 전향경로는 $P_1=1\cdot a\cdot 1\cdot a\cdot 1\cdot a\cdot 1=a^{3}$ 하나뿐이고, 루프는 이득이 각각 $ab$인 것이 3개이며 서로 마디를 공유하지 않아 모두 비접촉이다.
$\Delta=1-3(ab)+3(ab)^{2}-(ab)^{3}=(1-ab)^{3}$
전향경로가 모든 루프와 접촉하므로 $\Delta_1=1$이고, 따라서
$\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{P_1\Delta_1}{\Delta}=\dfrac{a^{3}}{(1-ab)^{3}}$이다. 동일한 단 $\dfrac{a}{1-ab}$가 3단 종속이므로 그 세제곱이라고 보아도 같은 결과가 나온다.

근궤적에서 K=0인 점은 개루프 전달함수의 극점(pole)에서 시작하므로, 특성방정식에서 K가 곱해지지 않는 항인 $(S+1)(S+2)(S+3)=0$ 의 근, 즉 $S=-1, -2, -3$ 인 점이 된다.
반대로 K가 무한대로 갈 때는 영점인 $S=-4$ 로 근궤적이 수렴한다.

상태 천이 방정식은 $x(t)=\phi(t)x(0)+\displaystyle\int_{0}^{t}\phi(t-\tau)Bu(\tau)\,d\tau$이다.
상태방정식 $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$를 라플라스 변환하면 $sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)$이고, 정리하면 $X(s)=(sI-A)^{-1}x(0)+(sI-A)^{-1}BU(s)$가 된다.
여기서 $(sI-A)^{-1}$의 역변환이 곧 상태 천이 행렬 $\phi(t)=e^{At}$이며, 두 번째 항은 두 함수의 곱이므로 시간영역에서 합성곱(convolution)으로 되돌아온다.
따라서 해는 초기상태가 만드는 영입력 응답 $\phi(t)x(0)$와 입력이 만드는 영상태 응답 $\int_{0}^{t}\phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau$의 합이 된다. 적분 안의 인수는 $\phi(t)$가 아니라 반드시 지연이 반영된 $\phi(t-\tau)$여야 하고, 적분변수도 $\tau$로 잡아야 한다.

2차 시스템에서 감쇠율 $\delta > 1$ 인 경우는 과제동(overdamped) 상태로, 시스템이 진동 없이 서서히 목표값에 도달한다.
참고로 $\delta = 1$은 임계제동, $0 < \delta < 1$은 부족제동(진동하며 수렴), $\delta = 0$은 비제동(감쇠 없이 계속 진동), $\delta < 0$이면 발산에 해당한다.

피드백 요소 H에 대한 감도는 $S^T_H=-\dfrac{GH}{1+GH}$이다.
그림은 입력 $R$가 가산점에 (+)로 들어가고 출력 $C$가 $H$를 거쳐 (−)로 되돌아오는 부궤환 구조이므로, 폐루프 전달함수는 $T=\dfrac{C}{R}=\dfrac{G}{1+GH}$이다.
감도의 정의는 $S^T_H=\dfrac{\partial T/T}{\partial H/H}=\dfrac{H}{T}\cdot\dfrac{\partial T}{\partial H}$이고, $T$를 $H$로 미분하면 $\dfrac{\partial T}{\partial H}=-\dfrac{G^{2}}{(1+GH)^{2}}$이다.
대입하면 $S^T_H=\dfrac{H(1+GH)}{G}\times\left(-\dfrac{G^{2}}{(1+GH)^{2}}\right)=-\dfrac{GH}{1+GH}$가 되어, 부호가 음(−)이고 분모가 (1+GH)의 1제곱인 형태가 정답이다.

보드선도에서 이득교차점의 위상각이 $-180°$ 축보다 위쪽(즉 위상여유가 양(+)의 값)에 있으면 계는 안정하다고 판정한다.
반대로 위상각이 -180°보다 아래에 있으면 위상여유가 음수가 되어 불안정하다.

결론부터 말하면 이 계의 이득여유는 −20[㏈]이다.
개루프 전달함수 $G(s)H(s)=\dfrac{20}{s(s-1)(s+2)}$에 $s=j\omega$를 대입하면 분모는 $j\omega(j\omega-1)(j\omega+2)=-\omega^{2}-j\omega(\omega^{2}+2)$가 된다.
위상교차점은 허수부가 0이 되는 조건 $\omega^{2}+2=0$에서 얻어지며, 이를 실수부 $-\omega^{2}$에 대입하면 분모는 2가 되어 $|GH|=\dfrac{20}{2}=10$이다.
따라서 $GM=20\log_{10}\dfrac{1}{|GH|}=20\log_{10}0.1=-20$[㏈]이다. 이득여유가 음수라는 것은 계가 불안정하다는 뜻이며, 개루프 극점 $s=1$이 우반평면에 있는 것과도 맞아떨어진다.

Nyquist 판정법은 개루프 주파수응답 궤적이 $(-1,0)$ 점을 감싸는 횟수로 폐루프 시스템의 안정 여부와 안정도(이득여유·위상여유)를 판정하는 기법이다.
그러나 이는 안정성 판별에 관한 정보이지, 시스템의 오차 응답 자체에 대한 정보를 직접 제공하지는 않으므로 해당 설명은 틀린 내용이다.

결론은 $\dfrac{1}{1-z^{-1}e^{\alpha T}}$, 즉 $\dfrac{z}{z-e^{\alpha T}}$이다.
라플라스 변환 $\dfrac{1}{s-\alpha}$에 대응하는 시간함수는 $f(t)=e^{\alpha t}$이고, 이를 샘플링 주기 $T$로 이산화하면 $f(kT)=e^{\alpha kT}=\left(e^{\alpha T}\right)^{k}$이다.
정의에 따라 $F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{\alpha T}\right)^{k}z^{-k}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{\alpha T}z^{-1}\right)^{k}$이고, 등비급수의 합 공식으로 $F(z)=\dfrac{1}{1-e^{\alpha T}z^{-1}}=\dfrac{z}{z-e^{\alpha T}}$가 된다.
지수가 $e^{-\alpha T}$인 식은 $\dfrac{1}{s+\alpha}$, 즉 $e^{-\alpha t}$의 변환이므로 부호가 반대다.
분모에 $z^{-1}$ 대신 $z$가 곱해진 $1\mp ze^{\alpha T}$ 꼴은 등비급수 공비가 $e^{\alpha T}z^{-1}$이라는 점과 어긋난다.

마그네트 클러치는 영구자석을 이용해 비접촉 구조로 회전력을 전달하는 방식으로, 코일에 전류를 흘려야만 동작하는 전자클러치와 구분된다.
코일을 여자시켜 전자력으로 마찰판을 흡인하는 방식이나 전자석을 이용하는 방식은 별도의 전자클러치 계열에 해당한다.

분기기의 크로싱 번수가 클수록 분기 각도가 작아져 선형이 직선에 가까워지므로, 열차가 통과할 때 고속운전에 유리하다.
번수가 클수록 곡선이 완만해지는 것이지 심해지는 것이 아니다.
번수가 적을수록 각도가 커져 통과 시 충격이 커지므로 기계적으로 오히려 불리하다.
번수가 적을수록 직선에서 벗어난 급한 분기가 되므로 직선에 가깝다는 설명과 반대이다.

직류전동기의 속도제어 방법 중 전압제어(워드-레오나드 방식 등)는 전기자에 가하는 전압 자체를 조절하므로 광범위한 속도 제어가 가능하고 손실이 적어 운전 효율이 가장 우수하다.
저항제어(직렬·병렬)는 저항에서 열손실이 발생해 효율이 낮고, 계자제어는 속도 제어 범위가 상대적으로 좁다.

전기자 회로에 기동 저항기를 직렬로 삽입해 기동전류를 제한하는 방식은 직류 전동기의 대표적인 기동법이다.
직류전동기는 기동 초기 역기전력이 거의 없어 큰 기동전류가 흐르므로, 저항을 직렬로 넣어 전류를 제한한 뒤 가속에 따라 저항을 서서히 줄여나간다.

비례추이 원리에 의해 전부하 슬립과 목표 슬립의 비로 삽입 저항을 구하면 약 2.9Ω이 된다.
동기속도 $N_s = \dfrac{120 \times 60}{4} = 1800\mathrm{rpm}$, 전부하 슬립 $s_1=0.04$이고, 1200rpm 유지 시 슬립은 $s_2 = \dfrac{1800-1200}{1800} \approx 0.333$이다.
같은 토크를 내려면 $\dfrac{r_2}{s_1} = \dfrac{r_2+R}{s_2}$ 이므로 $R = r_2\left(\dfrac{s_2}{s_1}-1\right) = 0.4 \times \left(\dfrac{0.333}{0.04}-1\right) \approx 2.9\mathrm{\Omega}$

변압기의 등가회로 정수(저항·리액턴스 등)를 구하는 시험은 무부하시험, 단락시험, 권선저항측정시험이며, 이 값들로 여자어드미턴스·누설임피던스 등을 산출한다.
절연내력시험은 절연물의 내전압 성능을 확인하는 시험으로 등가회로 정수 산출과는 무관하다.

병렬운전 중인 단상 변압기의 부하 전류 분담은 각 변압기의 누설 임피던스에 반비례한다.
누설 임피던스가 작은 변압기일수록 전압강하가 작아 더 많은 전류를 분담하게 되기 때문이다.

직류기의 정류불량 원인 중 정류자의 편심은 제작·조립·보수 과정에서 발생하는 기계적 결함이며, 회로·자기적 설계 단계의 문제가 아니다.
반면 부적정한 보극 설계, 브러시 선정 불량, 과대한 리액턴스 전압은 모두 정류 성능을 고려한 설계 단계에서 원인이 발생하는 항목이다.

전기 선로전환기의 제어 계전기는 직류 24V의 2위식 자기유지형 계전기로, 직류 전원의 극성(전극)을 바꾸어 정위·반위 전환을 지시하고 지시가 끊긴 뒤에도 접점 상태를 스스로 유지한다.
무유도 부하를 연속 개폐하는 선조계전기는 선로 전환 지시를 담당하는 제어 계전기와 용도가 다르다.
전류의 유무만으로 동작한다는 것은 무극계전기의 특징으로, 극성으로 전환 방향을 구분해야 하는 제어 계전기의 설명이 될 수 없다.
무극계전기 2개의 접극자를 연동 구조로 제약한 방식도 제어 계전기의 구성이 아니다.

ATS 지상자는 신호기가 정지신호일 때 열차가 신호기 앞에서 정지할 수 있도록 신호기 외방(바깥쪽)에 설치하며, 계획운전속도가 높을수록 제동거리가 길어지므로 신호기에서 더 먼 지점에 두어야 한다.
여객열차의 계획운전속도 최대값이 120km/h인 구간에서는 신호기로부터 1,100m 지점이 지상자 설치지점이 된다.

변압기 유기기전력식 $E = 4.44fN\Phi_m = 4.44fNB_mA$ 에서 자속밀도를 구하면 약 1.3[Wb/m²]가 된다.
$B_m = \dfrac{E_1}{4.44fN_1A} = \dfrac{3300}{4.44\times60\times600\times0.016} \approx 1.3\mathrm{Wb/m^2}$

건널목 전동차단기는 정지 상태에서 무거운 차단간을 곧바로 움직여야 하므로, 기동토크가 큰 직류 직권전동기가 주로 사용된다.
직권전동기는 부하가 클수록 큰 토크를 내는 특성이 있어 차단간 동작 초기의 큰 부하를 이겨내는 데 유리하다.

건널목 경보장치의 경보등은 건널목을 통행하는 사람과 차량이 충분히 앞에서 경보를 알아볼 수 있어야 하므로, 특수한 경우를 제외하면 45m 이상의 거리에서 확인할 수 있도록 설치한다.
경보음과 달리 경보등은 시각으로만 전달되므로, 확인거리를 확보하기 위해 등의 광도와 설치 각도를 함께 조정한다.

장대형전동차단기의 조정범위에서 정격전압은 신호 제어회로 전원과 같은 계열인 직류 24V이다.
철도신호 설비의 제어회로는 대부분 저압 직류(24V 계열)로 통일되어 운용된다.

콘덴서 기동형 단상유도전동기는 NS형 전기선로전환기에 사용된다.
MJ81형 선로전환기는 3상유도전동기로 구동되는 방식으로 NS형과 구동 모터 방식이 다르다.

3상유도전동기의 발생 토크는 $T[\mathrm{kg\cdot m}] = \dfrac{975 \times P[\mathrm{kW}]}{N[\mathrm{rpm}]}$ 로 구하며, 값을 대입하면 약 13.4[kg·m]가 된다.
$T = \dfrac{975 \times 20}{1450} \approx 13.4\mathrm{kg\cdot m}$

전동차단기 전자석에 전류가 흐르지 않는 상태에서 전자석 브레이크와 아마추어 사이의 이격 거리는 1~1.5mm 범위로 조정한다.
간격이 너무 넓으면 여자 시 흡인력이 부족해 제동이 확실하지 않고, 너무 좁으면 무여자 상태에서도 아마추어가 닿아 차단간 동작을 방해하므로 좁은 범위로 관리한다.

3상유도전동기의 비례추이는 2차 저항을 조정해 토크, 1차전류, 2차전류, 역률 등의 특성을 같은 슬립 비율로 이동시키는 원리이다.
그러나 출력(기계적 출력)은 슬립에 따라 손실분이 함께 변하므로 비례추이 관계가 성립하지 않는다.

SCR은 PNPN 구조를 갖는 4층 반도체 소자이며, 애노드(A)·캐소드(K)·게이트(G) 3단자로 구성된다.
게이트에 트리거 신호를 가하면 애노드에서 캐소드 방향으로만 전류가 흐르는 단일 방향성 스위칭 소자로 동작하며, 한번 도통되면 게이트로는 차단할 수 없고 유지전류 이하로 낮춰야 꺼진다.
쌍방향성이라는 설명은 SCR의 단일 방향성 특성과 맞지 않는다(쌍방향 3단자 소자는 TRIAC이다).
SCR은 스위칭 소자이지 증폭 기능을 갖는 소자가 아니다.

정류회로의 전압변동률은 $\dfrac{V_0-V_f}{V_f}\times100$로 구하며, $V_0$는 무부하 전압, $V_f$는 전부하 전압이다.
대입하면 $\dfrac{28-24}{24}\times100\approx16.7\,\%$이므로 전압변동률은 약 17%이다.