다음 중 \dfrac{1}{s-\alpha} 을 z변환하면? | [철도신호기사 필기] 11년 1회차 기출문제 상세 페이지

결론은 $\dfrac{1}{1-z^{-1}e^{\alpha T}}$, 즉 $\dfrac{z}{z-e^{\alpha T}}$이다.
라플라스 변환 $\dfrac{1}{s-\alpha}$에 대응하는 시간함수는 $f(t)=e^{\alpha t}$이고, 이를 샘플링 주기 $T$로 이산화하면 $f(kT)=e^{\alpha kT}=\left(e^{\alpha T}\right)^{k}$이다.
정의에 따라 $F(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{\alpha T}\right)^{k}z^{-k}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^{\alpha T}z^{-1}\right)^{k}$이고, 등비급수의 합 공식으로 $F(z)=\dfrac{1}{1-e^{\alpha T}z^{-1}}=\dfrac{z}{z-e^{\alpha T}}$가 된다.
지수가 $e^{-\alpha T}$인 식은 $\dfrac{1}{s+\alpha}$, 즉 $e^{-\alpha t}$의 변환이므로 부호가 반대다.
분모에 $z^{-1}$ 대신 $z$가 곱해진 $1\mp ze^{\alpha T}$ 꼴은 등비급수 공비가 $e^{\alpha T}z^{-1}$이라는 점과 어긋난다.