선형 시불변 시스템의 상태 방정식이 \dfrac{d}{dx}x(t)=A… | [철도신호기사 필기] 11년 1회차 기출문제 상세 페이지

상태 천이 방정식은 $x(t)=\phi(t)x(0)+\displaystyle\int_{0}^{t}\phi(t-\tau)Bu(\tau)\,d\tau$이다.
상태방정식 $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$를 라플라스 변환하면 $sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)$이고, 정리하면 $X(s)=(sI-A)^{-1}x(0)+(sI-A)^{-1}BU(s)$가 된다.
여기서 $(sI-A)^{-1}$의 역변환이 곧 상태 천이 행렬 $\phi(t)=e^{At}$이며, 두 번째 항은 두 함수의 곱이므로 시간영역에서 합성곱(convolution)으로 되돌아온다.
따라서 해는 초기상태가 만드는 영입력 응답 $\phi(t)x(0)$와 입력이 만드는 영상태 응답 $\int_{0}^{t}\phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau$의 합이 된다. 적분 안의 인수는 $\phi(t)$가 아니라 반드시 지연이 반영된 $\phi(t-\tau)$여야 하고, 적분변수도 $\tau$로 잡아야 한다.