[7급 국가직 통신이론] 24년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

베이즈 정리로 구하면 심벌 1로 판정되었을 때 실제로 1이 송신되었을 사후확률은 $\dfrac{2}{3}$이다.
1 판정 전체 확률: $P(\hat{1})=0.5\times0.3+0.5\times0.6=0.45$
사후확률: $P(1\mid\hat{1})=\dfrac{0.5\times0.6}{0.45}=\dfrac{0.3}{0.45}=\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{1}{3}$은 0이 송신되었을 사후확률 $\dfrac{0.15}{0.45}$이다.
$\dfrac{1}{2}$은 송신 사전확률을 그대로 쓴 값이다.
$\dfrac{7}{9}$은 이 조건에서 나오지 않는 값이다.

가우시안 과정을 선형 시스템(RC 필터)에 통과시키면 출력도 가우시안 과정이다.
선형 변환은 확률분포의 형태(가우시안)는 유지하지만, 출력 전력스펙트럼은 $S_y(f)=\dfrac{N_0}{2}|H(f)|^2$로 저역 형태로 모양이 바뀐다.
스펙트럼이 필터 응답으로 성형되므로 더 이상 평탄한 백색 잡음이 아니다.
자기상관 함수는 임펄스가 아니라 지수 감쇠 형태 $R_y(\tau)\propto e^{-|\tau|/RC}$이다.
3 dB 차단 주파수는 $f=\dfrac{1}{2\pi RC}\ \mathrm{Hz}$이며, $\dfrac{1}{RC}$은 각주파수(rad/s) 단위의 값이다.

시간 영역의 지연은 주파수 영역에서 주파수 천이가 아니라 선형 위상 변화로 나타나므로 이 설명이 옳지 않다.
시간 지연 성질: $x(t-t_0)\leftrightarrow X(f)e^{-j2\pi ft_0}$. 크기 스펙트럼은 그대로이고 위상만 바뀐다. 주파수 천이는 시간 영역에서 복소 지수를 곱할 때 생긴다.
스펙트럼 $X(f)$는 크기 스펙트럼과 위상 스펙트럼으로 나누어 표현한다.
주기 신호는 푸리에 급수 성분만 가지므로 이산(선) 스펙트럼이 된다.
시간 영역 에너지와 주파수 영역 에너지가 같다는 것은 파스발 정리이다.

채널용량은 오류 없이 보낼 수 있는 최대 전송 속도이므로, 용량이 커지면 최대 전송 속도는 커진다. 작아진다는 설명이 옳지 않다.
섀넌 용량: $C=B\log_2\left(1+\dfrac{S}{N_0B}\right)$. 대역폭이 늘면 잡음 전력도 함께 늘어 용량은 $\dfrac{S}{N_0}\log_2 e$로 포화된다.
대역폭 증가 시 SNR이 함께 줄어 용량은 선형으로 늘지 않는다.
신호 전력이 커지면 SNR이 커져 용량이 증가한다.
잡음 전력 $N_0B$가 대역폭에 비례하므로 같은 신호 전력에서 대역폭을 늘리면 SNR은 감소한다.

코히런스 시간은 도플러 확산에 반비례하므로 짧은 코히런스 시간은 큰 도플러 확산을 뜻한다. 작다는 설명이 옳지 않다.
관계식: $T_c\approx\dfrac{1}{f_D}$. 단말이 빨리 움직일수록 도플러 확산이 커지고 채널이 빨리 변한다(고속 페이딩).
지연확산이 심벌 주기보다 크면 앞 심벌의 지연 성분이 다음 심벌에 겹쳐 심벌 간 간섭이 생긴다.
코히런스 시간은 채널 응답이 거의 일정하게 유지되는 시간 폭이다.
지연확산이 심벌 주기보다 크면 코히런스 대역폭이 신호 대역폭보다 작아져 주파수 선택적 채널이 된다.

PM과 FM은 모두 비선형 변조여서 둘 다 중첩의 원리를 만족하지 않는다. PM만 만족한다는 설명이 옳지 않다.
각 변조는 메시지가 코사인의 위상 안에 들어가므로 $\cos(\phi_1+\phi_2)\neq\cos\phi_1+\cos\phi_2$이다. 중첩을 만족하는 것은 AM 계열 같은 선형 변조이다.
VCO는 입력 전압에 비례해 발진 주파수가 변하므로 FM 직접 변조에 쓰인다.
음성처럼 불규칙한 메시지로 변조하면 순시 주파수가 계속 변해 영점 교차가 비주기적이 된다.
카슨 대역폭 $B\approx2(\Delta f+f_m)$이므로 최대 주파수 편이가 클수록 대역폭이 넓어진다.

제곱 신호의 대역폭은 $2B$로 넓어지므로 최소 표본화 주파수는 $4B$ Hz이다.
시간 영역의 곱은 주파수 영역의 컨벌루션이다: $x^2(t)\leftrightarrow X(f)*X(f)$. 대역 $[-B,B]$끼리의 컨벌루션은 $[-2B,2B]$를 차지한다.
나이퀴스트: $f_s=2\times2B=4B$
$2B$는 원신호 $x(t)$의 나이퀴스트 율로, 대역 확장을 반영하지 않은 값이다.
$2\pi B$, $4\pi B$는 Hz와 rad/s 단위를 혼동한 값이다.

임펄스 응답 $100\,\mathrm{sinc}(100t)$의 주파수 응답은 폭 100 Hz의 사각 함수이므로 통과 가능한 최대 주파수는 50 Hz이다.
푸리에 쌍: $W\,\mathrm{sinc}(Wt)\leftrightarrow\mathrm{rect}\left(\dfrac{f}{W}\right)$
$W=100$이면 통과대역은 $-50\le f\le50\ \mathrm{Hz}$로, 단측 대역폭은 $\dfrac{W}{2}=50$이다.
100은 양측 사각 폭 전체를 대역폭으로 본 값이다.
150, 200은 sinc 인자와 대역폭 관계를 잘못 적용한 값이다.

컨벌루션으로 계산하면 $y[1]=-1$이므로 $y[1]=-2$라는 값이 옳지 않다.
컨벌루션: $y[n]=x[n]h[0]+x[n-1]h[1]+x[n-2]h[2]$(입력이 0, 1에서만 1)
$y[0]=1$, $y[1]=-2+1=-1$, $y[2]=1-2=-1$, $y[3]=1$
$y[0]=1$은 $x[0]h[0]$만 남아 옳다.
$y[2]=-1$은 $x[0]h[2]+x[1]h[1]=1-2$로 옳다.
$y[3]=1$은 $x[1]h[2]$만 남아 옳다.

엔트로피가 1.5 bit/심벌이고 심벌률이 1000이므로 정보율은 1500 bps이다.
엔트로피: $H=\dfrac{1}{2}\log_2 2+2\times\dfrac{1}{4}\log_2 4=0.5+1=1.5\ \mathrm{bit}$
정보율: $R=r\cdot H=1000\times1.5=1500\ \mathrm{bps}$
1000은 심벌당 1비트로 잘못 본 값이다.
2000은 심벌당 2비트(4개 등확률 가정)로 계산한 값이다.
2500은 이 확률 분포에서 나올 수 없는 값이다.

※ 인사혁신처 최종정답이 정답 없음(전항 정답 처리)으로 공개된 문항입니다. 어느 보기를 골라도 실제 시험에서는 정답 처리되었습니다.

최대 주파수 편이는 $k_f|m(t)|_{\max}=10^7\ \mathrm{Hz}$이므로 0.01 GHz이다.
순시 주파수: $f_i(t)=f_c+k_fm(t)$
최대 편이: $\Delta f=k_f\cdot\max|m(t)|=10^7\times1=10^7\ \mathrm{Hz}=0.01\ \mathrm{GHz}$
0.1, 10은 Hz와 GHz 환산 자릿수를 잘못 옮긴 값이다.
1은 반송파 주파수 자체로, 편이량이 아니다.

FM 신호는 진폭이 일정하므로 평균 전력은 반송파 진폭만으로 정해져 50이다.
공식: $P=\dfrac{A_c^2}{2}$
대입: $P=\dfrac{10^2}{2}=50$
메시지·편이 상수는 대역폭에만 영향을 주고 전력은 바꾸지 않는다.
5, 10은 진폭과 전력을 혼동하거나 제곱을 빠뜨린 값이다.
20은 메시지 진폭을 전력에 반영한 잘못된 값이다.

국부발진 주파수가 수신 주파수보다 높으므로 이미지 주파수는 $f_L+f_{IF}$인 1621 kHz이다.
이미지 주파수: $f_{im}=f_c+2f_{IF}=f_L+f_{IF}$
대입: $f_{im}=1166+455=1621\ \mathrm{kHz}$
이 주파수도 국부발진과 섞이면 같은 중간 주파수가 되어 간섭을 일으킨다.
455는 중간 주파수 자체이다.
910은 $2f_{IF}$만 계산한 값이다.
2076은 이미지 주파수에 중간 주파수를 한 번 더 더한 값이다.

동기 검출 BFSK의 최소 직교 간격은 심벌률의 절반인 0.1 MHz이므로 최소 $f_2$는 1.1 MHz이다.
동기 검출 직교 조건: $\Delta f_{\min}=\dfrac{1}{2T_s}=\dfrac{R_s}{2}$
대입: $\Delta f=\dfrac{2\times10^5}{2}=10^5\ \mathrm{Hz}=0.1\ \mathrm{MHz}$
$f_2=1+0.1=1.1\ \mathrm{MHz}$
1.2는 비동기 검출의 최소 간격 $\dfrac{1}{T_s}$을 쓴 값이다.
1.3, 1.4는 최소 조건이 아닌 더 넓은 간격이다.

MPSK는 M이 커질수록 심벌당 비트 수가 늘어 같은 대역폭에 더 많은 비트를 보내므로 대역폭 효율이 증가한다. 감소한다는 설명이 옳지 않다.
대역폭 효율은 $\log_2 M$에 비례해 커지는 대신, 성상점 간 거리가 줄어 오류 성능이 나빠진다.
DPSK는 이전 심벌과의 위상 차로 판정하므로 반송파 복구 없이 복조된다.
VCO 하나로 주파수만 바꾸면 위상이 끊기지 않아 연속 위상 FSK가 된다.
정합필터 출력과 상관 수신기 출력은 표본화 시점 $t=T_b$에서 같은 값을 준다.

상승 코사인 대역폭 식으로 심벌률 12 ksymbol/s를 얻고, 4진 PAM은 심벌당 2비트이므로 최대 비트율은 24 kbps이다.
기저대역 상승 코사인: $B=\dfrac{R_s}{2}(1+r)$
대입: $12=\dfrac{R_s}{2}\times2\Rightarrow R_s=12\ \mathrm{ksymbol/s}$
비트율: $R_b=R_s\log_2 4=24\ \mathrm{kbps}$
12는 심벌률을 비트율로 그대로 쓴 값이다.
48은 롤 오프에 따른 대역 확장을 무시한 값이다.
18은 이 조건에서 나오지 않는 값이다.

채널 사이에만 보호 대역을 두면 채널 N개에 보호 대역 N−1개가 필요하므로 최대 5개까지 할당된다.
조건: $250N+50(N-1)\le1450$
정리: $300N\le1500\Rightarrow N\le5$
5채널이면 $1250+200=1450\ \mathrm{kHz}$로 정확히 전체 대역을 채운다.
4는 대역이 남는 경우로 최대가 아니다.
6채널이면 $250\times6+50\times5=1750\ \mathrm{kHz}$로 전체 대역을 넘는다.
7채널은 더 많은 대역이 필요하므로 불가능하다.

m 계열 한 주기에는 1이 $2^{m-1}$개, 0이 $2^{m-1}-1$개 있으므로 0이 $2^{m-1}$개라는 설명이 옳지 않다.
주기 $N=2^m-1$은 홀수이고, 전부 0인 상태가 빠지므로 1이 0보다 하나 더 많다(균형 성질).
자기상관은 지연 0에서 1, 그 밖에서 $-\dfrac{1}{N}$의 두 값만 갖는다.
런 성질상 길이 1인 런이 전체의 절반, 길이 2인 런이 1/4이므로 전체 8개면 길이 2인 런은 2개이다.
최장 부호열의 반복 주기는 $2^m-1$이다.

메시지 다항식에 $X^3$을 곱해 $g(X)$로 나눈 나머지가 패리티 011이므로 부호어는 [1010011]이다.
메시지: $m(X)=X^3+X$, $X^3m(X)=X^6+X^4$
$X^3\equiv X+1$를 쓰면 $X^4\equiv X^2+X$, $X^6\equiv X^2+1$
나머지: $(X^2+1)+(X^2+X)=X+1\Rightarrow[011]$
[1010101]은 패리티가 101로, $g(X)$로 나눈 나머지가 0이 되지 않는다.
[1010010]은 패리티가 010으로, 나머지 계산(모듈로 2 덧셈)을 잘못한 결과이다.
[1010001]은 패리티가 001로, 역시 부호어 조건을 만족하지 않는다.
체계적 부호이므로 앞 4비트는 메시지 [1010] 그대로이고 패리티만 비교하면 된다.

최소 해밍 거리가 5이므로 정정 가능한 오류 수는 2개이다.
선형 부호의 최소 거리 = 0이 아닌 부호어의 최소 무게: 11110001은 5, 00111110은 5, 11001111은 6 → $d_{\min}=5$
정정 능력: $t=\left\lfloor\dfrac{d_{\min}-1}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{4}{2}\right\rfloor=2$
1은 정정 능력을 지나치게 작게 본 값이다.
4는 검출 능력 $d_{\min}-1$과 혼동한 값이다.
5는 최소 거리 자체이다.

반송파 전력 8과 측파대 전력 1을 더하면 AM 신호 전력은 9이다.
$m(t)=-\sin(2\pi f_mt)$이므로 $\overline{m^2}=\dfrac{1}{2}$(위상 천이는 전력에 영향 없음)
반송파: $\dfrac{4^2}{2}=8$
측파대: $\dfrac{4^2}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\times\dfrac{1}{2}=1$
합계: $8+1=9$
8은 반송파 전력만 계산한 값이다.
4는 진폭을 전력으로 착각한 값이다.
3은 이 조건에서 나오지 않는 값이다.

정규직교 기저에서 심벌 에너지는 $I_i^2+Q_i^2$이므로 평균하면 10이다.
$I_i$는 ±1, ±3이 등확률이므로 $E[I^2]=\dfrac{1+9}{2}=5$, 마찬가지로 $E[Q^2]=5$
평균 에너지: $E_s=5+5=10$
2는 내부 점(±1, ±1)의 에너지만 계산한 값이다.
$\sqrt{10}$, $\sqrt{2}$는 에너지가 아닌 원점 거리(진폭)이다.

균일 양자화에서 비트 하나가 늘 때마다 SQNR이 약 6 dB 증가하므로, 8비트에서 10비트로 2비트 늘면 12 dB 증가한다.
공식: $\mathrm{SQNR}\approx6.02n+\alpha\ \mathrm{dB}$
증가량: $6.02\times(10-8)\approx12\ \mathrm{dB}$
레벨 수가 4배이면 양자화 잡음 전력은 1/16로 준다($10\log_{10}16\approx12$).
6은 1비트 증가분이다.
9, 18은 비트당 증가량을 잘못 적용한 값이다.

전달함수는 이득 0.5와 지연 0.2를 뜻하므로 출력은 입력 전체를 0.5배하고 0.2만큼 늦춘 $0.5m(t-0.2)\cos[\omega_c(t-0.2)]$이다.
시간 지연 성질: $e^{-j\omega t_0}\leftrightarrow\delta(t-t_0)$이므로 $y(t)=0.5\,s(t-0.2)$
선형 위상 시스템은 무왜곡 전송이라 메시지와 반송파가 함께 같은 시간만큼 지연된다.
이득 0.5를 빠뜨리거나 반송파 주파수에 0.2를 곱한 표현은 지연 성질에 맞지 않는다.
반송파 위상에서 0.2만 빼는 표현은 지연량 $0.2\omega_c$를 반영하지 못한다.
메시지만 지연시키고 반송파는 지연시키지 않은 표현은 입력 전체 지연과 다르다.