[7급 국가직 응용역학] 24년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

합력은 아래 방향 7 N이고, O점에서 작용점까지의 거리는 2 m이다.
아래 방향을 양(+)으로 두면 합력은 $R=8-7+6=7\,\mathrm{N}$이다.
O점에 대한 모멘트는 $8\times0-7\times4+6\times7=14\,\mathrm{N\cdot m}$이므로 $x=\dfrac{14}{7}=2\,\mathrm{m}$이다.
합력 6 N은 위 방향 7 N을 더하는 대신 다른 힘을 빼는 등 부호를 잘못 처리한 값이다.
거리 3 m는 바리뇽 정리의 모멘트 합을 잘못 계산한 값이다.

BC 부재는 10 kN 압축을 받는다.
BC·BF·EF를 끊는 단면법을 쓰고, EF와 BF가 만나는 F점(B에서 오른쪽 2 m, 위 3 m)에 대해 왼쪽 자유물체의 모멘트 평형을 세운다.
$5\times4+5\times2+3N_{BC}=0$
$N_{BC}=-10\,\mathrm{kN}$ → 음(-)이므로 압축이다.
10 kN 인장은 크기는 맞지만 부재력의 방향(부호)을 반대로 본 것이다.
20 kN 압축·20 kN 인장은 모멘트 팔 길이를 높이 3 m가 아닌 다른 값으로 잡은 결과로, 평형식을 만족하지 않는다.

옳지 않은 것은 단면 C 전단력 영향선이다.
영향선은 지점 위치에서 반드시 0이어야 한다(지점에 놓인 단위하중은 곧바로 지점으로 전달). 그런데 그림의 C 전단력 영향선은 지점 A에서 0이 아닌 일정값으로 그려져 있어 성립하지 않는다. 또한 연속보이므로 AC 구간도 곡선이어야 하고, C의 양쪽 기울기가 평행해야 한다.
지점 A 반력 영향선은 A에서 1, 다른 지점에서 0이고 경간마다 부호가 바뀌는 곡선이라 옳다.
지점 B 반력 영향선은 B에서 최대(1)이고 나머지 지점에서 0인 곡선이라 옳다.
단면 C 휨모멘트 영향선은 C에서 꺾이고 모든 지점에서 0인 곡선이라 옳다.

이 구조물의 부정정차수는 10차이다.
세 기둥이 고정지점이므로 지반을 포함하면 2경간×2층으로 폐합 고리 4개가 생긴다. 고리 하나당 3차이므로 $3\times4=12$이다.
보 중간의 내부힌지 2개는 각각 휨모멘트 구속 1개를 풀어 주므로 $12-2=10$이다.
12차는 내부힌지에 의한 구속 해제를 빼지 않은 값이다.
6차·8차는 폐합 고리 수를 적게 세거나 힌지 해제를 과다하게 뺀 값이다.

영(0)부재는 AC이다.
절점 C에는 부재 CA(연직)와 CD(수평)만 연결되고, C의 롤러는 연직 벽에 붙어 있어 반력이 수평 방향뿐이다. 연직 방향 힘의 평형에서 AC 외에는 연직 성분이 없으므로 $N_{AC}=0$이다.
AB는 경사하중 P가 작용하는 절점 B에 연결되어 하중의 수평 성분을 받는다.
AD는 대각 부재로 B에서 전달된 힘을 지점 A로 보내므로 0이 아니다.
CD는 C점 수평 반력과 평형을 이루므로 0이 아니다.

반력이 생기지 않으려면 간격이 부재 오른쪽 끝의 자유 신장량 2.5 mm 이상이어야 한다.
왼쪽부터 각 구간의 축력은 첫 구간 3P, 둘째 구간 2P, 셋째 구간 0이다.
$\delta=\dfrac{3PL}{E(2A)}+\dfrac{2PL}{(2E)A}+0=1.5\dfrac{PL}{EA}+1.0\dfrac{PL}{EA}$
$\delta=2.5\,\mathrm{mm}$
1.0 mm·1.5 mm는 한 구간의 신장량만 더한 값이다.
2.0 mm는 첫 구간의 축력을 2P로 잘못 잡은 값이다.

주응력은 $-200\pm300\sqrt{2}$ MPa, 최대전단응력은 $300\sqrt{2}$ MPa이다.
회전된 요소의 두 면에 수직응력 $-500$(압축)과 $+100$(인장), 전단응력 300이 작용한다. 주응력은 좌표 회전과 무관하다.
중심 $\dfrac{-500+100}{2}=-200$, 반지름 $R=\sqrt{300^2+300^2}=300\sqrt{2}$
$-100\pm100\sqrt{2}$는 중심과 반지름을 모두 잘못 계산한 값이다.
$-200\pm200\sqrt{2}$는 반지름을 잘못 구한 값이다.
$-300\pm200\sqrt{3}$는 중심을 잘못 구했고 최대전단응력과도 반지름이 맞지 않는다.

단면2차모멘트 없이 구할 수 있는 것은 축부재의 유연도이다.
축부재의 유연도는 단위 축력당 늘음량으로 $f=\dfrac{L}{EA}$이며, 길이·탄성계수·단면적만으로 정해지고 단면2차모멘트는 들어가지 않는다.
장주의 좌굴하중은 오일러 식 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$으로 단면2차모멘트가 필요하다.
단순보의 휨강성은 $EI$ 자체이므로 단면2차모멘트가 필요하다.
캔틸레버보의 처짐은 예컨대 자유단 집중하중에서 $\delta=\dfrac{PL^3}{3EI}$처럼 휨강성에 반비례하므로 단면2차모멘트가 필요하다.

열응력은 단면적과 무관하므로, 단면적에 비례한다는 설명이 옳지 않다.
양단이 구속된 부재의 온도응력은 $\sigma=E\alpha\Delta T$로, 탄성계수·열팽창계수·온도변화량에만 의존한다. 단면적은 반력(축력) $P=E\alpha\Delta T A$에는 곱해지지만 응력으로 나누면 소거된다.
응력이므로 단위로 Pa($\mathrm{N/m^2}$)을 쓸 수 있다는 설명은 옳다.
$\sigma=E\alpha\Delta T$에서 열팽창 계수에 비례한다는 설명은 옳다.
같은 식에서 탄성계수에 비례한다는 설명은 옳다.

최대·최소 주단면2차모멘트의 합은 200 $cm^{4}$이다.
주축 회전과 관계없이 $I_{\max}+I_{\min}=I_x+I_y$(불변량)이다. 2×8 직사각형과 4×2 직사각형으로 나누면 도심은 밑면에서 3 cm, 왼쪽에서 2 cm이다.
$I_x=\left(\dfrac{2\cdot8^3}{12}+16\cdot1^2\right)+\left(\dfrac{4\cdot2^3}{12}+8\cdot2^2\right)=136$
$I_y=\left(\dfrac{8\cdot2^3}{12}+16\cdot1^2\right)+\left(\dfrac{2\cdot4^3}{12}+8\cdot2^2\right)=64$
100·154·170은 평행축 이동항을 빠뜨리거나 한 축 값만 반영한 결과로, 136+64와 맞지 않는다.
합을 구하는 데 상승모멘트나 주축 각도는 필요 없다.

보가 지지할 수 있는 최대 등분포하중은 3.2 kN/m이다.
허용 휨모멘트는 $M=\sigma_a Z$이고, 단면계수는 $Z=\dfrac{bh^2}{6}=\dfrac{120\times200^2}{6}=8.0\times10^5\,\mathrm{mm^3}$이다.
$M=50\times8.0\times10^5=4.0\times10^7\,\mathrm{N\cdot mm}=40\,\mathrm{kN\cdot m}$
단순보 등분포하중의 최대 휨모멘트는 $M_{\max}=\dfrac{wL^2}{8}$이므로
$w=\dfrac{8M}{L^2}=\dfrac{8\times40}{10^2}=3.2\,\mathrm{kN/m}$

최대 휨모멘트 크기는 10 kN·m이다.
$\sum M_A=0:\ 5R_B=20\times2+10\times6$ → $R_B=20,\ R_A=10\,\mathrm{kN}$
정모멘트 최대(전단 0, A에서 2 m): $10\times2-\dfrac{5\times2^2}{2}=10$
지점 B 부모멘트: $-10\times1=-10$
15·20 kN·m는 반력이나 분포하중 합력의 위치를 잘못 잡은 값으로, 정모멘트 최대(10)와도 지점 B 부모멘트(10)와도 맞지 않는다.
25 kN·m는 B점 반력을 빼지 않고 내민 끝까지 모멘트를 누적하는 등 평형을 어긴 값이다.

케이블의 최소 인장력은 최저점의 수평장력 10,000 N이다.
포물선 케이블의 수평장력은 전 구간 일정하고, 최저점에서는 연직 성분이 0이므로 인장력이 최소가 된다.
$H=\dfrac{wL^2}{8f}=\dfrac{10\times200^2}{8\times5}=10000\,\mathrm{N}$
5,000 N·7,500 N은 수평장력 식에 맞지 않는 값으로, 최저점 장력은 수평장력 자체이므로 그보다 작을 수 없다.
12,500 N은 최대 장력(지점부)으로도 맞지 않는다. 지점 연직반력이 $10\times100=1000\,\mathrm{N}$이므로 지점 장력은 $\sqrt{10000^2+1000^2}\approx10050\,\mathrm{N}$이다.

최대 휨응력은 $102\dfrac{wL^2}{bh^2}$로 고정단에서 생긴다.
고정단 모멘트(하중을 등분포·직사각형·삼각형으로 분해):
$M=wL\cdot\dfrac{L}{2}+3wL\cdot2.5L+3wL\cdot3L=0.5wL^2+7.5wL^2+9wL^2=17wL^2$
$\sigma=\dfrac{6M}{bh^2}=102\dfrac{wL^2}{bh^2}$
계수 100·150·156은 삼각형 부분의 합력(3wL)이나 그 작용점(고정단에서 3L)을 잘못 잡은 결과다.
단면계수는 $\dfrac{bh^2}{6}$이므로 응력은 모멘트의 6배를 $bh^2$로 나눈다.

$\dfrac{\delta_B}{\delta_A}$는 4.0이다.
하중·경간·탄성계수가 같으므로 처짐은 단면2차모멘트에 반비례한다.
$I_A=\dfrac{5\times10^3}{12},\ I_B=\dfrac{10\times5^3}{12}$ → $\dfrac{I_A}{I_B}=4$
2.0은 처짐이 춤(h)에 반비례한다고 본 값이다.
1.0은 단면적이 같으니 처짐도 같다고 본 값이다.
0.5는 춤의 비(5/10)를 그대로 쓴 값이다.

C점 모멘트 크기는 25 kN·m이다.
모든 부재의 먼 끝이 고정이므로 분배율은 강성비로 정한다.
$DF_{DC}=\dfrac{8}{6+8+2}=0.5$ → $M_{DC}=50\,\mathrm{kN\cdot m}$
고정단으로의 전달률 1/2: $M_{CD}=25\,\mathrm{kN\cdot m}$
35·45·55 kN·m는 분배율이나 전달률(1/2)을 잘못 적용한 값이다.
D점 분배모멘트 50을 그대로 C점 값으로 보면 안 된다.

C점 수직변위는 $\dfrac{wL^4}{6EI}$(아래 방향)이다.
등분포하중: $\theta_B=\dfrac{wL^3}{24EI}$로 내민 끝을 $\dfrac{wL^4}{24EI}$만큼 들어 올린다.
끝 모멘트 $M=\dfrac{wL^2}{4}$(시계방향): $\theta_B L+\dfrac{ML^2}{2EI}=\dfrac{ML^2}{3EI}+\dfrac{ML^2}{2EI}=\dfrac{5wL^4}{24EI}$ 아래로
합: $\dfrac{5wL^4}{24EI}-\dfrac{wL^4}{24EI}=\dfrac{wL^4}{6EI}$
$\dfrac{wL^4}{24EI}$는 등분포하중의 효과만 본 값이다.
$\dfrac{wL^4}{3EI}$·$\dfrac{wL^4}{12EI}$는 두 효과의 방향(부호)이나 B점 회전각을 잘못 합한 값이다.

지점 B의 수직반력은 55 N이다.
지점 B 바로 위의 집중하중 5 N은 보를 휘게 하지 않고 그대로 B로 전달된다.
등경간 2경간 연속보의 등분포하중 중간지점 반력: $R_B=1.25wL=1.25\times4\times10=50\,\mathrm{N}$
$R_B=50+5=55\,\mathrm{N}$
50 N은 집중하중을 빠뜨린 값이다.
45 N은 집중하중을 반대로 뺀 값이다.
60 N은 집중하중을 두 번 더하는 등 과다 계산한 값이다.

케이블의 최대 허용 인장력은 $\dfrac{5\pi^2EI}{24H^2}$이다.
케이블 기울기 4:3(연직:수평)이므로 연직 성분은 $\dfrac{4}{5}T$이고, 두 케이블의 수평 성분은 상쇄된다. 기둥 압축력 $\dfrac{8}{5}T$.
양단 힌지 기둥: $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{H^2}$, 안전율 3 적용
$\dfrac{8}{5}T=\dfrac{\pi^2EI}{3H^2}$ → $T=\dfrac{5\pi^2EI}{24H^2}$
$\dfrac{5\pi^2EI}{18H^2}$는 연직 성분 비를 3/5 등으로 잘못 잡은 값이다.
$\dfrac{2\pi^2EI}{9H^2}$·$\dfrac{7\pi^2EI}{12H^2}$는 케이블 개수나 안전율 적용이 맞지 않는 값이다.

보가 받는 모멘트는 108 kN·m이다.
플랜지는 전부 항복(200 MPa), 웨브는 선형 분포다.
플랜지: $200\times100\times20=400\,\mathrm{kN}$, 팔 길이 220 mm → $400\times0.22=88\,\mathrm{kN\cdot m}$
웨브(삼각형 분포): $\dfrac{200\times15\times200^2}{6}=20\,\mathrm{kN\cdot m}$
합: $88+20=108\,\mathrm{kN\cdot m}$
64 kN·m는 플랜지 항복분(88 kN·m)보다도 작아 응력 분포와 맞지 않는다.
124·196 kN·m는 과다 계산한 값이다. 웨브까지 전부 항복해도 웨브 기여는 $200\times15\times100\times100=30\times10^6\,\mathrm{N\cdot mm}$로 소성모멘트가 118 kN·m라 이를 넘을 수 없다.

부재에 발생하는 모멘트는 $\dfrac{5}{3}Ebh^2\alpha$이다.
안팎 온도차 $20$도가 높이 h에 걸쳐 선형이므로 모든 부재에 같은 곡률 $\kappa=\dfrac{20\alpha}{h}$가 생기려 한다. 양단 고정 라멘에서는 이 곡률이 전부 구속되어 일정 모멘트 $M=EI\kappa$가 생긴다.
$M=E\dfrac{bh^3}{12}\cdot\dfrac{20\alpha}{h}=\dfrac{5}{3}Ebh^2\alpha$
$\dfrac{10}{3}Ebh^2\alpha$는 온도차를 두 배로 잡은 값이다.
$h^3$을 포함한 두 식은 단면 폭 b가 빠져 단면2차모멘트 차원이 맞지 않는다.

AB 부재의 절대최대 휨모멘트는 $\dfrac{PL}{12}$(B단)이다.
대칭이므로 보 BC의 수정강성 $\dfrac{2EI}{L}$, 기둥 $\dfrac{4EI}{L}$를 쓴다. 분배율 기둥 2/3, 보 1/3.
고정단모멘트 $\dfrac{PL}{8}$의 2/3가 기둥으로: $M_{BA}=\dfrac{PL}{12}$
전달률 1/2: $M_{AB}=\dfrac{PL}{24}$. 수평반력 $\dfrac{PL/12+PL/24}{L}=\dfrac{P}{8}$로 그림과 일치한다.
$\dfrac{PL}{24}$는 A단 모멘트로, 절대최대가 아니다.
$\dfrac{PL}{6}$은 분배 없이 고정단모멘트를 키운 값이고, $\dfrac{PL}{48}$은 전달을 한 번 더 한 값이다.

E점의 처짐은 $\dfrac{41wL^4}{24EI}$이다.
BC는 두 캔틸레버(AB 길이 L, CD 길이 2L) 끝에 얹힌 단순보로, 양 끝 반력은 각각 $wL$이다.
$\delta_B=\dfrac{wL\cdot L^3}{3EI}=\dfrac{wL^4}{3EI},\ \delta_C=\dfrac{wL(2L)^3}{3EI}=\dfrac{8wL^4}{3EI}$
강체 이동분 $\dfrac{\delta_B+\delta_C}{2}=\dfrac{36wL^4}{24EI}$ + 단순보 처짐 $\dfrac{5w(2L)^4}{384EI}=\dfrac{5wL^4}{24EI}$
합: $\dfrac{41wL^4}{24EI}$
$\dfrac{25wL^4}{24EI}$는 지점 침하를 일부만 반영한 값이다.
$\dfrac{6wL^4}{5EI}$·$\dfrac{37wL^4}{31EI}$는 캔틸레버 끝 처짐이나 BC 중앙 처짐을 잘못 합한 값이다.

C점의 수직응력은 $\dfrac{27wL^2}{80bh^2}$, 전단응력은 $\dfrac{6wL}{25bh}$이다.
$x=\dfrac{L}{4}$: $M=\dfrac{wL}{2}\cdot\dfrac{L}{4}-\dfrac{w}{2}\left(\dfrac{L}{4}\right)^2=\dfrac{3wL^2}{32},\ V=\dfrac{wL}{4}$
중립축에서 $y=\dfrac{3h}{10}$: $\sigma=\dfrac{My}{I}=\dfrac{3wL^2}{32}\cdot\dfrac{3h}{10}\cdot\dfrac{12}{bh^3}=\dfrac{27wL^2}{80bh^2}$
$Q=b\cdot\dfrac{h}{5}\cdot\dfrac{2h}{5}=\dfrac{2bh^2}{25}$, $\tau=\dfrac{VQ}{Ib}=\dfrac{6wL}{25bh}$
전단응력 $\dfrac{3wL}{25bh}$는 전단력을 절반으로 잡은 값이다.
수직응력 $\dfrac{27wL^2}{40bh^2}$는 모멘트를 두 배로 계산한 값이다.

콘크리트 응력은 25 MPa이다.
강재와 콘크리트는 일체로 같은 변형률을 가진다. 탄성계수비 $n=\dfrac{200}{20}=10$으로 환산단면적을 구한다.
$A_{tr}=2000+10\times120=3200\,\mathrm{mm^2}$
$\sigma_c=\dfrac{80000}{3200}=25\,\mathrm{MPa}$ (강재는 그 10배인 250 MPa)
40 MPa는 하중을 콘크리트 단면적만으로 나눈 값이다.
35 MPa는 환산단면적 식에 맞지 않는 값이다(단면적을 단순 합산해 나누어도 약 37.7 MPa).
80 MPa는 탄성계수비 적용을 잘못한 값이다.