[7급 국가직 통신이론] 23년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

시간 지연된 입력 $x(t-t_0)$에 대한 출력이 그대로 $y(t)$라는 설명이 틀렸다. 시불변 시스템이면 출력도 같은 만큼 지연된 $y(t-t_0)$가 되어야 한다.
LTI 시스템은 선형성(중첩의 원리)과 시불변성을 함께 만족하므로 출력이 $y(t)=x(t)*h(t)$로 결정된다.
임펄스 응답이 $t\lt 0$에서 0이면 미래 입력에 반응하지 않으므로 인과 시스템이다.
임펄스 응답을 알면 컨볼루션으로 임의 입력에 대한 출력을 구할 수 있다.
입력의 선형 결합 $ax_1(t)+bx_2(t)$에 출력 $ay_1(t)+by_2(t)$가 대응하는 것은 선형성의 정의이다.

분산은 평균으로부터 편차 제곱의 기댓값이며, 이를 전개한 $E[X^2]-m_X^2$와 같은 $E[X^2-(m_X)^2]$가 분산이다.
$E[(X-m_X)^2]=E[X^2]-2m_XE[X]+m_X^2=E[X^2]-m_X^2$이고, $m_X^2$는 상수이므로 기댓값 안에 넣어도 값이 같다(기댓값의 선형성).
$E[(X+m_X)^2]$는 $E[X^2]+3m_X^2$로 분산보다 $4m_X^2$만큼 크다.
$E[X^2]+(m_X)^2$는 평균 제곱을 빼야 할 자리에 더해 분산보다 $2m_X^2$만큼 크다.
$E[(X-m_X)^2]+(m_X)^2$는 분산에 평균 제곱을 더한 것으로 2차 모멘트 $E[X^2]$와 같다.

확률밀도함수를 적분하면 $F_X(x)=\dfrac{1}{9}(x^2+2x+1)$ ($-1\le x\lt 2$)이다.
전체 면적이 1이어야 하므로 $\int_{-1}^{2}a(x+1)\,dx=\dfrac{9a}{2}=1$에서 $a=\dfrac{2}{9}$이다.
$F_X(x)=\int_{-1}^{x}\dfrac{2}{9}(u+1)\,du=\dfrac{1}{9}(x+1)^2$이다.
나머지 식은 양 끝에서 0과 1이 되더라도 미분한 결과가 $\dfrac{2}{9}(x+1)$와 다르다.
$\dfrac{1}{3}(-x^2+2x+3)$은 도함수가 $x\gt 1$에서 음수가 되어 분포함수의 단조 증가 성질을 어긴다.
$\dfrac{1}{6}(-x^2+3x+4)$도 도함수가 $x\gt 1.5$에서 음수가 되어 분포함수가 될 수 없다.
$\dfrac{1}{12}(x^2+3x+2)$은 도함수 $\dfrac{2x+3}{12}$가 $x=-1$에서 0이 되지 않아 주어진 밀도 $a(x+1)$와 맞지 않는다.

DSB-SC 신호의 전송 대역폭은 $2W$이다.
메시지에 $\cos(2\pi f_ct)$를 곱하면 스펙트럼이 $\pm f_c$로 이동하며, 양의 주파수 쪽에서 $f_c-W$부터 $f_c+W$까지 상·하 측파대를 모두 차지한다.
$\dfrac{1}{2}W$는 메시지 대역보다도 좁아 메시지 정보를 온전히 담을 수 없다.
$W$는 한쪽 측파대만 보내는 SSB의 대역폭이다.
$4W$는 측파대 폭을 중복해 센 값으로 실제보다 두 배 크다.

순시 주파수는 $f_c+50\cos(5t)$ [Hz]이다.
순시 위상 $\theta(t)=2\pi f_ct+20\pi\sin(5t)$를 미분하면 각주파수 $\dfrac{d\theta}{dt}=2\pi f_c+100\pi\cos(5t)$ [rad/s]이다.
이를 $2\pi$로 나누면 $f_i(t)=f_c+50\cos(5t)$ [Hz]이다.
$2\pi f_c+100\pi\cos(5t)$는 각주파수로, Hz 단위로 바꾸지 않은 값이다.
$\pi f_c+50\pi\cos(5t)$는 2로만 나눠 $\pi$가 남은 값이다.
$2f_c+100\cos(5t)$는 $\pi$로만 나눠 두 배 큰 값이다.

$p=1$이면 수신 비트가 항상 반전되므로 수신단에서 다시 뒤집어 오류 없이 복원할 수 있어 채널용량이 1이다.
이진 대칭 채널의 용량은 $C=1-H(p)$이고 $H(p)=-p\log_2p-(1-p)\log_2(1-p)$이며, $p=0$과 $p=1$에서 $H(p)=0$이다.
$p=0.5$이면 $H(p)=1$이 되어 출력이 입력과 무관해지므로 용량은 0이다.
$p=0$이면 오류가 전혀 없는 채널이므로 용량은 0이 아니라 1이다.
$0\lt p\lt 0.5$일 때 용량은 $1+p\log_2p+(1-p)\log_2(1-p)$로, $(1-p)\log_2(1-p)$ 항이 빠져서는 안 된다.

합성 메시지 $x_1x_3x_4$의 정보량은 7 bits이다.
독립 메시지의 정보량은 각 정보량의 합이고, 정보량은 $I=-\log_2P$이다.
$I=\log_22+\log_28+\log_28=1+3+3=7$
1 bits는 $x_1$ 하나의 정보량만 센 값이다.
3 bits는 $x_3$ 또는 $x_4$ 하나의 정보량이다.
5 bits는 합성 확률 $\dfrac{1}{128}$이 아니라 $\dfrac{1}{32}$에 해당하는 값이다.

틀린 설명은 대역폭이 메시지와 같다는 것으로, 표준 AM(DSB-TC) 신호의 대역폭은 메시지 대역폭의 2배이다.
주어진 $s(t)=A_c[1+k_am(t)]\cos(2\pi f_ct)$는 반송파와 상·하 양측파대를 함께 보내는 진폭 변조이다.
반송파와 동기된 국부 반송파를 곱한 뒤 저역 통과하면 메시지를 복원할 수 있으므로 동기 복조가 가능하다.
$f_c$가 메시지 대역폭보다 크면 양·음 주파수 쪽 측파대가 서로 겹치지 않는다.
$|k_am(t)|\gt 1$인 과변조에서는 $1+k_am(t)$가 음이 되어 위상이 반전되고 포락선 왜곡이 생긴다.

틀린 설명은 구형파 메시지에서 PM과 FM을 파형만으로 구별할 수 없다는 것이다. 구형파로 PM하면 위상이 계단식으로 급변하고, FM하면 위상은 연속인 채 주파수가 두 값 사이를 오가므로 파형이 다르다.
PM은 $s(t)=A_c\cos(2\pi f_ct+k_pm(t))$로 메시지가 위상 안에 들어가는 비선형 변조이다.
메시지가 코사인 안에 들어가 중첩의 원리가 성립하지 않으므로 비선형적이다.
진폭이 $A_c$로 일정하므로 평균 전력 $\dfrac{A_c^2}{2}$는 메시지와 무관하다.
메시지 신호에 비례해 반송파의 위상을 바꾸는 것이 PM의 정의이다.

필요한 최소 전송 속도는 240 Mbps이다.
16 단계가 등확률이므로 화소당 엔트로피는 $\log_216=4$ bits이다.
전송 속도 $=30\times(2\times10^6)\times4=2.4\times10^8\ \mathrm{bps}$이다.
120 Mbps는 화소당 2 bits로 계산한 값이다.
480 Mbps는 화소당 8 bits로 계산한 값이다.
960 Mbps는 명암 단계 수 16을 화소당 비트 수로 혼동한 값이다.

전송 대역폭이 가장 좁은 것은 단측파대(SSB) 변조로, 메시지 대역폭 $W$만 차지한다.
양측파대 방식은 상·하 측파대를 모두 보내 $2W$가 필요하고, VSB는 그 중간인 $W$보다 약간 넓은 대역을 쓴다.
VSB는 한 측파대 전체와 다른 측파대 일부(잔류분)를 함께 보내므로 SSB보다 넓다.
DSB-SC는 반송파만 억압할 뿐 두 측파대를 모두 보내 $2W$이다.
DSB-TC도 반송파 성분이 추가될 뿐 대역폭은 $2W$이다.

옳은 것은 $E[X+Y]=1.2E[X]-0.1$이다.
기댓값은 선형이므로 $E[X+Y]=E[X]+0.2E[X]-0.1=1.2E[X]-0.1$이다. 분산은 상수 이동에 무관하고 계수의 제곱배가 된다.
$E[Y]=0.2E[X]-0.1$이므로 상수항이 빠진 식은 틀렸다.
$Var[Y]=0.04\,Var[X]$이며 상수 $-0.1$은 분산에 영향을 주지 않는다.
$X+Y=1.2X-0.1$이므로 $Var[X+Y]=1.44\,Var[X]$이다.

출력 자기상관함수는 $N_0 f_1 \mathrm{sinc}(2f_1\tau)$이다.
그래프의 진폭 특성은 $-f_1$부터 $f_1$까지 크기 1인 이상적 저역통과 필터이므로, 출력 전력 스펙트럼 밀도는 $S_Y(f)=|H(f)|^2\dfrac{N_0}{2}$로 대역 $|f|$
폭 $2f_1$인 직사각 스펙트럼의 역푸리에 변환은 sinc 함수이다.
$R(\tau)=\dfrac{N_0}{2}\cdot 2f_1\,\mathrm{sinc}(2f_1\tau)=N_0 f_1\,\mathrm{sinc}(2f_1\tau)$
$N_0 f_1 \mathrm{sinc}(f_1\tau)$: sinc 인자를 대역폭 $f_1$로 잡은 것으로, 양측 대역 폭은 $2f_1$이다.
$\frac{1}{2}N_0 f_1 \mathrm{sinc}(f_1\tau)$: 진폭과 sinc 인자를 모두 단측 대역만으로 계산한 값이다.
$\frac{1}{2}N_0 f_1 \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2}f_1\tau\right)$: 진폭과 주파수 스케일이 모두 맞지 않는다. 검산하면 $R(0)$는 출력 평균전력 $N_0 f_1$이어야 한다.

틀린 설명은 순환전치를 넣은 뒤 IDFT를 한다는 것으로, 실제 순서는 IDFT 후 순환전치 삽입이다.
순환전치는 시간 영역 OFDM 심볼의 뒷부분을 앞에 복사하는 것이므로 IDFT로 시간 신호를 만든 다음에 붙이며, 이것이 심볼 간 간섭을 막는다.
OFDM은 여러 부반송파에 데이터를 나누어 싣는 다중화이자 변조 방식이다.
부반송파들이 서로 직교하므로 스펙트럼을 겹쳐도 분리할 수 있다.
많은 부반송파가 동위상으로 더해질 때 큰 피크가 생겨 PAPR이 높아질 수 있다.

임펄스 샘플링 신호의 푸리에 변환은 $f_s\sum_{n=-\infty}^{\infty}G(f-nf_s)$이다.
임펄스열 $\sum_{n}\delta(t-nT_s)$의 푸리에 변환은 $f_s\sum_{n}\delta(f-nf_s)$이고, 시간 영역 곱은 주파수 영역 컨볼루션이므로 $G(f)$가 $f_s$ 간격으로 반복되며 크기가 $f_s$배가 된다.
$T_s\sum G(f-nT_s)$는 반복 간격과 배율을 모두 $T_s$로 잘못 쓴 식이다.
$\sum G(f-nT_s)$는 반복 간격을 $T_s$로 쓰고 배율 $f_s$도 빠졌다.
$\sum G(f-nf_s)$는 반복 간격은 맞지만 배율 $f_s$가 빠졌다.

틀린 설명은 급수 전개가 가능한 신호가 모두 디리클레 조건을 만족한다는 것으로, 디리클레 조건은 수렴의 충분조건일 뿐 필요조건이 아니다.
디리클레 조건을 만족하면 푸리에 급수가 수렴한다는 방향만 성립하며, 조건을 만족하지 않아도 급수로 표현되는 신호가 있다(역은 성립하지 않음).
주기 신호의 푸리에 급수는 기본주파수의 정수배에만 성분이 있는 이산 스펙트럼이다.
파스발의 정리에 따라 신호의 평균 전력은 계수 크기 제곱의 합과 같다.
각 계수는 해당 고조파 성분의 크기와 위상을 나타내 신호의 주파수 성질을 반영한다.

옳은 것은 신호점들의 최소 거리가 멀어질수록 SNR이 높아진다는 설명이다.
같은 잡음에서 신호점 간 거리가 클수록 판정 경계까지의 여유가 커져 오류확률이 줄어들며, 이는 신호대잡음비가 높아진 것과 같은 효과이다.
$M$이 커지면 심볼당 $\log_2M$ 비트를 실어 스펙트럼 효율이 높아진다.
성상도의 신호점은 진폭과 위상(동상·직교 성분)을 나타내며 주파수 정보는 담지 않는다.
$M=4$이면 QPSK와 4-QAM은 같은 성상도이므로 최소 거리가 같다.

최대 샘플링 간격은 0.25 msec이다.
시간 영역의 제곱은 주파수 영역에서 자기 컨볼루션이므로 $m^2(t)$의 대역폭은 두 배인 $2000\ \mathrm{Hz}$가 된다.
나이퀴스트율 $=2\times2000=4000\ \mathrm{Hz}$, 간격 $T_s=\dfrac{1}{4000}=0.25\ \mathrm{ms}$이다.
0.125 msec는 대역폭을 네 배로 잡은 값이다.
0.5 msec는 $m(t)$의 대역폭 1,000 Hz로 계산해 제곱에 의한 대역 확장을 무시한 값이다.
1 msec는 대역 확장과 대역폭의 두 배라는 나이퀴스트 조건을 모두 빠뜨린 값이다.

직교 8-FSK의 비는 $\dfrac{4}{7}$이다.
직교 $M$진 신호에서 심볼 오류가 나면 나머지 $M-1$개 심볼이 등확률로 선택되며, 그중 특정 비트가 틀리는 심볼은 $\dfrac{M}{2}$개이다.
$\dfrac{P_b}{P_s}=\dfrac{M/2}{M-1}=\dfrac{4}{7}$
1은 심볼 오류가 나면 비트가 항상 틀린다고 본 값이다.
$\dfrac{8}{15}$는 $M=16$일 때의 비이다.
$\dfrac{16}{31}$은 $M=32$일 때의 비이다.

메시지 (1001)의 부호어는 $(0\,1\,1\,1\,0\,0\,1)$이다.
H의 앞 세 열이 단위행렬이므로 부호어는 패리티 3비트 + 메시지 4비트 순서이고, $Hc^T=0$에서 각 패리티는 해당 행의 뒤 네 열과 메시지의 모듈로 2 내적이다.
$p_1=1+0+0+1\equiv0$
$p_2=1+0+0+0=1$
$p_3=0+0+0+1=1$
$(0\,0\,1\,1\,0\,1\,0)$은 뒤 네 비트가 (1010)으로 메시지와 다르다.
$(0\,0\,1\,0\,1\,1\,1)$은 뒤 네 비트가 (0111)로 메시지와 다르다.
$(0\,1\,1\,0\,1\,0\,1)$은 뒤 네 비트가 (0101)로 메시지와 다르다.

출력은 입력을 절반 크기로 줄이고 $\frac{1}{2}$만큼 지연한 신호, 즉 $\frac{1}{2}x\left(t-\frac{1}{2}\right)$이다.
진폭 특성은 모든 주파수에서 0.5로 일정하고, 위상 특성은 원점을 지나 $f=1$에서 $-\pi$가 되는 직선이므로 $\angle H(f)=-\pi f$이다.
$H(f)=0.5\,e^{-j\pi f}=0.5\,e^{-j2\pi f\cdot\frac{1}{2}}$
푸리에 변환의 시간 이동 성질 $x(t-t_0)\leftrightarrow X(f)e^{-j2\pi f t_0}$에서 $t_0=\frac{1}{2}$이므로 출력은 크기 0.5배, 지연 $\frac{1}{2}$이다.
$x(t-1)$: 위상 기울기 $-\pi$를 지연 1로 잘못 읽고 진폭 0.5도 빠뜨린 것이다.
$x(t+1)$: 크기도 틀리고, 음의 위상 기울기는 지연이므로 앞당김이 될 수 없다.
$\frac{1}{2}x\left(t+\frac{1}{2}\right)$: 크기는 맞지만 위상 기울기의 부호를 반대로 해석해 시간 앞당김으로 만든 것이다.

틀린 설명은 동일한 심볼에너지에서 BPSK와 비트에러확률이 같다는 것으로, 같아지는 조건은 동일한 비트에너지이다.
QPSK는 심볼당 2비트이므로 $E_b=\dfrac{E_s}{2}$이고, 심볼에너지가 같으면 BPSK보다 비트에너지가 절반이 되어 비트에러확률이 커진다.
QPSK는 같은 대역폭에서 심볼당 2비트를 보내 BPSK보다 전송 속도가 두 배이다.
동상(cos)·직교(sin) 반송파에 각각 실린 두 BPSK 신호의 합으로 볼 수 있다.
진폭은 일정하고 입력 2비트에 따라 네 가지 위상 중 하나를 갖는다.

옳은 것은 한 주기 안에서 －1과 1의 개수 차이가 한 개 이하라는 설명으로, 이는 PN 코드의 균형 특성이다.
최대 길이 시퀀스(m-시퀀스)는 한 주기 $2^m-1$ 칩 중 한쪽 값이 정확히 하나 더 많아, 잡음처럼 평균이 거의 0이 된다.
$m$단 선형 궤환 시프트 레지스터의 최대 주기는 모두 0인 상태를 제외한 $2^m-1$이다.
자기상관은 칩 지연이 0일 때 최대가 되고 그 밖에서는 작아진다.
PN 코드에는 같은 값이 연속되는 런(run)이 정해진 비율로 나타난다(런 특성).

틀린 설명은 25 Hz의 위상 성분이 $\dfrac{\pi}{2}$라는 것으로, 실제 위상은 $-\dfrac{\pi}{2}$이다.
주기가 0.2 s이므로 $f_0=5\ \mathrm{Hz}$이고, 25 Hz는 $n=5$에 해당한다.
$X_5=-\dfrac{3j}{5\pi}$는 음의 허수축 위에 있으므로 위상이 $-\dfrac{\pi}{2}$이다.
$X_{-n}=\dfrac{3j}{n\pi}=X_n^{*}$로 켤레 대칭이므로 실수 신호이다.
기본주파수는 주기의 역수 $\dfrac{1}{0.2}=5\ \mathrm{Hz}$이다.
15 Hz는 $n=3$이고 $|X_3|=\dfrac{3}{3\pi}=\dfrac{1}{\pi}$이다.

복호에러확률은 $\dfrac{13}{125}$이다.
다수결 복호는 세 비트 중 두 개 이상이 틀릴 때 오류가 난다.
$P_e=\binom{3}{2}p^2(1-p)+p^3=3(0.2)^2(0.8)+(0.2)^3$
$=0.096+0.008=0.104=\dfrac{13}{125}$
$\dfrac{12}{125}$는 두 비트가 틀리는 경우만 더하고 세 비트 모두 틀리는 경우를 빠뜨린 값이다.
$\dfrac{4}{125}$는 특정 두 비트만 틀리는 한 가지 조합의 확률만 계산한 값이다.
$\dfrac{1}{125}$는 세 비트가 모두 틀리는 확률 $p^3$만 계산한 값이다.