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1[7급 국가직 통신이론] 23년 1회차

주기가 0.2[sec]인 연속 신호  $x(t)$ 가 복소 지수 푸리에 급수  $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X_n e^{j2\pi nf_0t}$ 로 표현되고 계수  $X_n$ 이 다음과 같을 때, 신호  $x(t)$ 에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? $X_n=\begin{cases} -\frac{3j}{n\pi}, & n\text{이 홀수일 때} \\ 0, & n\text{이 짝수일 때} \end{cases}$

실수 신호이다.

기본주파수는 5[Hz]이다.

주파수가 15[Hz]일 때  $x(t)$ 의 진폭 스펙트럼 성분은  $\frac{1}{\pi}$ 이다.

주파수가 25[Hz]일 때  $x(t)$ 의 위상 스펙트럼 성분은  $\frac{\pi}{2}$ [rad]이다.

해설

틀린 설명은 25 Hz의 위상 성분이  $\dfrac{\pi}{2}$ 라는 것으로, 실제 위상은  $-\dfrac{\pi}{2}$ 이다.
주기가 0.2 s이므로  $f_0=5\ \mathrm{Hz}$ 이고, 25 Hz는  $n=5$ 에 해당한다.
 $X_5=-\dfrac{3j}{5\pi}$ 는 음의 허수축 위에 있으므로 위상이  $-\dfrac{\pi}{2}$ 이다.
 $X_{-n}=\dfrac{3j}{n\pi}=X_n^{*}$ 로 켤레 대칭이므로 실수 신호이다.
기본주파수는 주기의 역수  $\dfrac{1}{0.2}=5\ \mathrm{Hz}$ 이다.
15 Hz는  $n=3$ 이고  $|X_3|=\dfrac{3}{3\pi}=\dfrac{1}{\pi}$ 이다.

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