23년 1회차

시간 지연된 입력 $x(t-t_0)$에 대한 출력이 그대로 $y(t)$라는 설명이 틀렸다. 시불변 시스템이면 출력도 같은 만큼 지연된 $y(t-t_0)$가 되어야 한다.

LTI 시스템은 선형성(중첩의 원리)과 시불변성을 함께 만족하므로 출력이 $y(t)=x(t)*h(t)$로 결정된다.

• 임펄스 응답이 $t\lt 0$에서 0이면 미래 입력에 반응하지 않으므로 인과 시스템이다.
• 임펄스 응답을 알면 컨볼루션으로 임의 입력에 대한 출력을 구할 수 있다.
• 입력의 선형 결합 $ax_1(t)+bx_2(t)$에 출력 $ay_1(t)+by_2(t)$가 대응하는 것은 선형성의 정의이다.

분산은 평균으로부터 편차 제곱의 기댓값이며, 이를 전개한 $E[X^2]-m_X^2$와 같은 $E[X^2-(m_X)^2]$가 분산이다.

$E[(X-m_X)^2]=E[X^2]-2m_XE[X]+m_X^2=E[X^2]-m_X^2$이고, $m_X^2$는 상수이므로 기댓값 안에 넣어도 값이 같다(기댓값의 선형성).

• $E[(X+m_X)^2]$는 $E[X^2]+3m_X^2$로 분산보다 $4m_X^2$만큼 크다.
• $E[X^2]+(m_X)^2$는 평균 제곱을 빼야 할 자리에 더해 분산보다 $2m_X^2$만큼 크다.
• $E[(X-m_X)^2]+(m_X)^2$는 분산에 평균 제곱을 더한 것으로 2차 모멘트 $E[X^2]$와 같다.

확률밀도함수를 적분하면 $F_X(x)=\dfrac{1}{9}(x^2+2x+1)$ ($-1\le x\lt 2$)이다.

전체 면적이 1이어야 하므로 $\int_{-1}^{2}a(x+1)\,dx=\dfrac{9a}{2}=1$에서 $a=\dfrac{2}{9}$이다.
$F_X(x)=\int_{-1}^{x}\dfrac{2}{9}(u+1)\,du=\dfrac{1}{9}(x+1)^2$이다.

나머지 식은 양 끝에서 0과 1이 되더라도 미분한 결과가 $\dfrac{2}{9}(x+1)$와 다르다.

• $\dfrac{1}{3}(-x^2+2x+3)$은 도함수가 $x\gt 1$에서 음수가 되어 분포함수의 단조 증가 성질을 어긴다.
• $\dfrac{1}{6}(-x^2+3x+4)$도 도함수가 $x\gt 1.5$에서 음수가 되어 분포함수가 될 수 없다.
• $\dfrac{1}{12}(x^2+3x+2)$은 도함수 $\dfrac{2x+3}{12}$가 $x=-1$에서 0이 되지 않아 주어진 밀도 $a(x+1)$와 맞지 않는다.

DSB-SC 신호의 전송 대역폭은 $2W$이다.

메시지에 $\cos(2\pi f_ct)$를 곱하면 스펙트럼이 $\pm f_c$로 이동하며, 양의 주파수 쪽에서 $f_c-W$부터 $f_c+W$까지 상·하 측파대를 모두 차지한다.

• $\dfrac{1}{2}W$는 메시지 대역보다도 좁아 메시지 정보를 온전히 담을 수 없다.
• $W$는 한쪽 측파대만 보내는 SSB의 대역폭이다.
• $4W$는 측파대 폭을 중복해 센 값으로 실제보다 두 배 크다.

순시 주파수는 $f_c+50\cos(5t)$ [Hz]이다.

순시 위상 $\theta(t)=2\pi f_ct+20\pi\sin(5t)$를 미분하면 각주파수 $\dfrac{d\theta}{dt}=2\pi f_c+100\pi\cos(5t)$ [rad/s]이다.
이를 $2\pi$로 나누면 $f_i(t)=f_c+50\cos(5t)$ [Hz]이다.

• $2\pi f_c+100\pi\cos(5t)$는 각주파수로, Hz 단위로 바꾸지 않은 값이다.
• $\pi f_c+50\pi\cos(5t)$는 2로만 나눠 $\pi$가 남은 값이다.
• $2f_c+100\cos(5t)$는 $\pi$로만 나눠 두 배 큰 값이다.

$p=1$이면 수신 비트가 항상 반전되므로 수신단에서 다시 뒤집어 오류 없이 복원할 수 있어 채널용량이 1이다.

이진 대칭 채널의 용량은 $C=1-H(p)$이고 $H(p)=-p\log_2p-(1-p)\log_2(1-p)$이며, $p=0$과 $p=1$에서 $H(p)=0$이다.

• $p=0.5$이면 $H(p)=1$이 되어 출력이 입력과 무관해지므로 용량은 0이다.
• $p=0$이면 오류가 전혀 없는 채널이므로 용량은 0이 아니라 1이다.
• $0\lt p\lt 0.5$일 때 용량은 $1+p\log_2p+(1-p)\log_2(1-p)$로, $(1-p)\log_2(1-p)$ 항이 빠져서는 안 된다.

합성 메시지 $x_1x_3x_4$의 정보량은 7 bits이다.

독립 메시지의 정보량은 각 정보량의 합이고, 정보량은 $I=-\log_2P$이다.
$I=\log_22+\log_28+\log_28=1+3+3=7$

• 1 bits는 $x_1$ 하나의 정보량만 센 값이다.
• 3 bits는 $x_3$ 또는 $x_4$ 하나의 정보량이다.
• 5 bits는 합성 확률 $\dfrac{1}{128}$이 아니라 $\dfrac{1}{32}$에 해당하는 값이다.

틀린 설명은 대역폭이 메시지와 같다는 것으로, 표준 AM(DSB-TC) 신호의 대역폭은 메시지 대역폭의 2배이다.

주어진 $s(t)=A_c[1+k_am(t)]\cos(2\pi f_ct)$는 반송파와 상·하 양측파대를 함께 보내는 진폭 변조이다.

• 반송파와 동기된 국부 반송파를 곱한 뒤 저역 통과하면 메시지를 복원할 수 있으므로 동기 복조가 가능하다.
• $f_c$가 메시지 대역폭보다 크면 양·음 주파수 쪽 측파대가 서로 겹치지 않는다.
• $|k_am(t)|\gt 1$인 과변조에서는 $1+k_am(t)$가 음이 되어 위상이 반전되고 포락선 왜곡이 생긴다.

틀린 설명은 구형파 메시지에서 PM과 FM을 파형만으로 구별할 수 없다는 것이다. 구형파로 PM하면 위상이 계단식으로 급변하고, FM하면 위상은 연속인 채 주파수가 두 값 사이를 오가므로 파형이 다르다.

PM은 $s(t)=A_c\cos(2\pi f_ct+k_pm(t))$로 메시지가 위상 안에 들어가는 비선형 변조이다.

• 메시지가 코사인 안에 들어가 중첩의 원리가 성립하지 않으므로 비선형적이다.
• 진폭이 $A_c$로 일정하므로 평균 전력 $\dfrac{A_c^2}{2}$는 메시지와 무관하다.
• 메시지 신호에 비례해 반송파의 위상을 바꾸는 것이 PM의 정의이다.

필요한 최소 전송 속도는 240 Mbps이다.

16 단계가 등확률이므로 화소당 엔트로피는 $\log_216=4$ bits이다.
전송 속도 $=30\times(2\times10^6)\times4=2.4\times10^8\ \mathrm{bps}$이다.

• 120 Mbps는 화소당 2 bits로 계산한 값이다.
• 480 Mbps는 화소당 8 bits로 계산한 값이다.
• 960 Mbps는 명암 단계 수 16을 화소당 비트 수로 혼동한 값이다.

전송 대역폭이 가장 좁은 것은 단측파대(SSB) 변조로, 메시지 대역폭 $W$만 차지한다.

양측파대 방식은 상·하 측파대를 모두 보내 $2W$가 필요하고, VSB는 그 중간인 $W$보다 약간 넓은 대역을 쓴다.

• VSB는 한 측파대 전체와 다른 측파대 일부(잔류분)를 함께 보내므로 SSB보다 넓다.
• DSB-SC는 반송파만 억압할 뿐 두 측파대를 모두 보내 $2W$이다.
• DSB-TC도 반송파 성분이 추가될 뿐 대역폭은 $2W$이다.

옳은 것은 $E[X+Y]=1.2E[X]-0.1$이다.

기댓값은 선형이므로 $E[X+Y]=E[X]+0.2E[X]-0.1=1.2E[X]-0.1$이다. 분산은 상수 이동에 무관하고 계수의 제곱배가 된다.

• $E[Y]=0.2E[X]-0.1$이므로 상수항이 빠진 식은 틀렸다.
• $Var[Y]=0.04\,Var[X]$이며 상수 $-0.1$은 분산에 영향을 주지 않는다.
• $X+Y=1.2X-0.1$이므로 $Var[X+Y]=1.44\,Var[X]$이다.

출력 자기상관함수는 $N_0 f_1 \mathrm{sinc}(2f_1\tau)$이다.

그래프의 진폭 특성은 $-f_1$부터 $f_1$까지 크기 1인 이상적 저역통과 필터이므로, 출력 전력 스펙트럼 밀도는 $S_Y(f)=|H(f)|^2\dfrac{N_0}{2}$로 대역 $|f|$

폭 $2f_1$인 직사각 스펙트럼의 역푸리에 변환은 sinc 함수이다.
$R(\tau)=\dfrac{N_0}{2}\cdot 2f_1\,\mathrm{sinc}(2f_1\tau)=N_0 f_1\,\mathrm{sinc}(2f_1\tau)$

• $N_0 f_1 \mathrm{sinc}(f_1\tau)$: sinc 인자를 대역폭 $f_1$로 잡은 것으로, 양측 대역 폭은 $2f_1$이다.
• $\frac{1}{2}N_0 f_1 \mathrm{sinc}(f_1\tau)$: 진폭과 sinc 인자를 모두 단측 대역만으로 계산한 값이다.
• $\frac{1}{2}N_0 f_1 \mathrm{sinc}\left(\frac{1}{2}f_1\tau\right)$: 진폭과 주파수 스케일이 모두 맞지 않는다. 검산하면 $R(0)$는 출력 평균전력 $N_0 f_1$이어야 한다.

틀린 설명은 순환전치를 넣은 뒤 IDFT를 한다는 것으로, 실제 순서는 IDFT 후 순환전치 삽입이다.

순환전치는 시간 영역 OFDM 심볼의 뒷부분을 앞에 복사하는 것이므로 IDFT로 시간 신호를 만든 다음에 붙이며, 이것이 심볼 간 간섭을 막는다.

• OFDM은 여러 부반송파에 데이터를 나누어 싣는 다중화이자 변조 방식이다.
• 부반송파들이 서로 직교하므로 스펙트럼을 겹쳐도 분리할 수 있다.
• 많은 부반송파가 동위상으로 더해질 때 큰 피크가 생겨 PAPR이 높아질 수 있다.

임펄스 샘플링 신호의 푸리에 변환은 $f_s\sum_{n=-\infty}^{\infty}G(f-nf_s)$이다.

임펄스열 $\sum_{n}\delta(t-nT_s)$의 푸리에 변환은 $f_s\sum_{n}\delta(f-nf_s)$이고, 시간 영역 곱은 주파수 영역 컨볼루션이므로 $G(f)$가 $f_s$ 간격으로 반복되며 크기가 $f_s$배가 된다.

• $T_s\sum G(f-nT_s)$는 반복 간격과 배율을 모두 $T_s$로 잘못 쓴 식이다.
• $\sum G(f-nT_s)$는 반복 간격을 $T_s$로 쓰고 배율 $f_s$도 빠졌다.
• $\sum G(f-nf_s)$는 반복 간격은 맞지만 배율 $f_s$가 빠졌다.

틀린 설명은 급수 전개가 가능한 신호가 모두 디리클레 조건을 만족한다는 것으로, 디리클레 조건은 수렴의 충분조건일 뿐 필요조건이 아니다.

디리클레 조건을 만족하면 푸리에 급수가 수렴한다는 방향만 성립하며, 조건을 만족하지 않아도 급수로 표현되는 신호가 있다(역은 성립하지 않음).

• 주기 신호의 푸리에 급수는 기본주파수의 정수배에만 성분이 있는 이산 스펙트럼이다.
• 파스발의 정리에 따라 신호의 평균 전력은 계수 크기 제곱의 합과 같다.
• 각 계수는 해당 고조파 성분의 크기와 위상을 나타내 신호의 주파수 성질을 반영한다.

옳은 것은 신호점들의 최소 거리가 멀어질수록 SNR이 높아진다는 설명이다.

같은 잡음에서 신호점 간 거리가 클수록 판정 경계까지의 여유가 커져 오류확률이 줄어들며, 이는 신호대잡음비가 높아진 것과 같은 효과이다.

• $M$이 커지면 심볼당 $\log_2M$ 비트를 실어 스펙트럼 효율이 높아진다.
• 성상도의 신호점은 진폭과 위상(동상·직교 성분)을 나타내며 주파수 정보는 담지 않는다.
• $M=4$이면 QPSK와 4-QAM은 같은 성상도이므로 최소 거리가 같다.

최대 샘플링 간격은 0.25 msec이다.

시간 영역의 제곱은 주파수 영역에서 자기 컨볼루션이므로 $m^2(t)$의 대역폭은 두 배인 $2000\ \mathrm{Hz}$가 된다.
나이퀴스트율 $=2\times2000=4000\ \mathrm{Hz}$, 간격 $T_s=\dfrac{1}{4000}=0.25\ \mathrm{ms}$이다.

• 0.125 msec는 대역폭을 네 배로 잡은 값이다.
• 0.5 msec는 $m(t)$의 대역폭 1,000 Hz로 계산해 제곱에 의한 대역 확장을 무시한 값이다.
• 1 msec는 대역 확장과 대역폭의 두 배라는 나이퀴스트 조건을 모두 빠뜨린 값이다.

직교 8-FSK의 비는 $\dfrac{4}{7}$이다.

직교 $M$진 신호에서 심볼 오류가 나면 나머지 $M-1$개 심볼이 등확률로 선택되며, 그중 특정 비트가 틀리는 심볼은 $\dfrac{M}{2}$개이다.
$\dfrac{P_b}{P_s}=\dfrac{M/2}{M-1}=\dfrac{4}{7}$

• 1은 심볼 오류가 나면 비트가 항상 틀린다고 본 값이다.
• $\dfrac{8}{15}$는 $M=16$일 때의 비이다.
• $\dfrac{16}{31}$은 $M=32$일 때의 비이다.

메시지 (1001)의 부호어는 $(0\,1\,1\,1\,0\,0\,1)$이다.

H의 앞 세 열이 단위행렬이므로 부호어는 패리티 3비트 + 메시지 4비트 순서이고, $Hc^T=0$에서 각 패리티는 해당 행의 뒤 네 열과 메시지의 모듈로 2 내적이다.

$p_1=1+0+0+1\equiv0$
$p_2=1+0+0+0=1$
$p_3=0+0+0+1=1$

• $(0\,0\,1\,1\,0\,1\,0)$은 뒤 네 비트가 (1010)으로 메시지와 다르다.
• $(0\,0\,1\,0\,1\,1\,1)$은 뒤 네 비트가 (0111)로 메시지와 다르다.
• $(0\,1\,1\,0\,1\,0\,1)$은 뒤 네 비트가 (0101)로 메시지와 다르다.

출력은 입력을 절반 크기로 줄이고 $\frac{1}{2}$만큼 지연한 신호, 즉 $\frac{1}{2}x\left(t-\frac{1}{2}\right)$이다.

진폭 특성은 모든 주파수에서 0.5로 일정하고, 위상 특성은 원점을 지나 $f=1$에서 $-\pi$가 되는 직선이므로 $\angle H(f)=-\pi f$이다.
$H(f)=0.5\,e^{-j\pi f}=0.5\,e^{-j2\pi f\cdot\frac{1}{2}}$

푸리에 변환의 시간 이동 성질 $x(t-t_0)\leftrightarrow X(f)e^{-j2\pi f t_0}$에서 $t_0=\frac{1}{2}$이므로 출력은 크기 0.5배, 지연 $\frac{1}{2}$이다.

• $x(t-1)$: 위상 기울기 $-\pi$를 지연 1로 잘못 읽고 진폭 0.5도 빠뜨린 것이다.
• $x(t+1)$: 크기도 틀리고, 음의 위상 기울기는 지연이므로 앞당김이 될 수 없다.
• $\frac{1}{2}x\left(t+\frac{1}{2}\right)$: 크기는 맞지만 위상 기울기의 부호를 반대로 해석해 시간 앞당김으로 만든 것이다.

틀린 설명은 동일한 심볼에너지에서 BPSK와 비트에러확률이 같다는 것으로, 같아지는 조건은 동일한 비트에너지이다.

QPSK는 심볼당 2비트이므로 $E_b=\dfrac{E_s}{2}$이고, 심볼에너지가 같으면 BPSK보다 비트에너지가 절반이 되어 비트에러확률이 커진다.

• QPSK는 같은 대역폭에서 심볼당 2비트를 보내 BPSK보다 전송 속도가 두 배이다.
• 동상(cos)·직교(sin) 반송파에 각각 실린 두 BPSK 신호의 합으로 볼 수 있다.
• 진폭은 일정하고 입력 2비트에 따라 네 가지 위상 중 하나를 갖는다.

옳은 것은 한 주기 안에서 －1과 1의 개수 차이가 한 개 이하라는 설명으로, 이는 PN 코드의 균형 특성이다.

최대 길이 시퀀스(m-시퀀스)는 한 주기 $2^m-1$ 칩 중 한쪽 값이 정확히 하나 더 많아, 잡음처럼 평균이 거의 0이 된다.

• $m$단 선형 궤환 시프트 레지스터의 최대 주기는 모두 0인 상태를 제외한 $2^m-1$이다.
• 자기상관은 칩 지연이 0일 때 최대가 되고 그 밖에서는 작아진다.
• PN 코드에는 같은 값이 연속되는 런(run)이 정해진 비율로 나타난다(런 특성).

틀린 설명은 25 Hz의 위상 성분이 $\dfrac{\pi}{2}$라는 것으로, 실제 위상은 $-\dfrac{\pi}{2}$이다.

주기가 0.2 s이므로 $f_0=5\ \mathrm{Hz}$이고, 25 Hz는 $n=5$에 해당한다.
$X_5=-\dfrac{3j}{5\pi}$는 음의 허수축 위에 있으므로 위상이 $-\dfrac{\pi}{2}$이다.

• $X_{-n}=\dfrac{3j}{n\pi}=X_n^{*}$로 켤레 대칭이므로 실수 신호이다.
• 기본주파수는 주기의 역수 $\dfrac{1}{0.2}=5\ \mathrm{Hz}$이다.
• 15 Hz는 $n=3$이고 $|X_3|=\dfrac{3}{3\pi}=\dfrac{1}{\pi}$이다.

복호에러확률은 $\dfrac{13}{125}$이다.

다수결 복호는 세 비트 중 두 개 이상이 틀릴 때 오류가 난다.
$P_e=\binom{3}{2}p^2(1-p)+p^3=3(0.2)^2(0.8)+(0.2)^3$
$=0.096+0.008=0.104=\dfrac{13}{125}$

• $\dfrac{12}{125}$는 두 비트가 틀리는 경우만 더하고 세 비트 모두 틀리는 경우를 빠뜨린 값이다.
• $\dfrac{4}{125}$는 특정 두 비트만 틀리는 한 가지 조합의 확률만 계산한 값이다.
• $\dfrac{1}{125}$는 세 비트가 모두 틀리는 확률 $p^3$만 계산한 값이다.