랜덤 변수 X의 확률밀도함수(probability density fun… | [7급 국가직 통신이론] 23년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통신이론] 23년 1회차

랜덤 변수  $X$ 의 확률밀도함수(probability density function)  $f_X(x)$ 가 다음과 같을 때,  $X$ 의 확률분포함수(probability distribution function)  $F_X(x)$ 는? (단,  $a$ 는 상수이다) $f_X(x)=\begin{cases} a(x+1), & -1 \le x \le 2 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

 $F_X(x)=\begin{cases} 0, & x < -1 \\ \frac{1}{9}(x^2+2x+1), & -1 \le x < 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases}$

 $F_X(x)=\begin{cases} 0, & x < -1 \\ \frac{1}{3}(-x^2+2x+3), & -1 \le x < 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases}$

 $F_X(x)=\begin{cases} 0, & x < -1 \\ \frac{1}{6}(-x^2+3x+4), & -1 \le x < 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases}$

 $F_X(x)=\begin{cases} 0, & x < -1 \\ \frac{1}{12}(x^2+3x+2), & -1 \le x < 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases}$

해설

확률밀도함수를 적분하면  $F_X(x)=\dfrac{1}{9}(x^2+2x+1)$  ( $-1\le x\lt 2$ )이다.
전체 면적이 1이어야 하므로  $\int_{-1}^{2}a(x+1)\,dx=\dfrac{9a}{2}=1$ 에서  $a=\dfrac{2}{9}$ 이다.
 $F_X(x)=\int_{-1}^{x}\dfrac{2}{9}(u+1)\,du=\dfrac{1}{9}(x+1)^2$ 이다.
나머지 식은 양 끝에서 0과 1이 되더라도 미분한 결과가  $\dfrac{2}{9}(x+1)$ 와 다르다.
 $\dfrac{1}{3}(-x^2+2x+3)$ 은 도함수가  $x\gt 1$ 에서 음수가 되어 분포함수의 단조 증가 성질을 어긴다.
 $\dfrac{1}{6}(-x^2+3x+4)$ 도 도함수가  $x\gt 1.5$ 에서 음수가 되어 분포함수가 될 수 없다.
 $\dfrac{1}{12}(x^2+3x+2)$ 은 도함수  $\dfrac{2x+3}{12}$ 가  $x=-1$ 에서 0이 되지 않아 주어진 밀도  $a(x+1)$ 와 맞지 않는다.

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