기댓값이 m_X인 랜덤 변수 X의 분산은? (단, E[\,\cdot\,… | [7급 국가직 통신이론] 23년 1회차 기출문제 상세 페이지

1[7급 국가직 통신이론] 23년 1회차

기댓값이  $m_X$ 인 랜덤 변수  $X$ 의 분산은? (단,  $E[\,\cdot\,]$ 는 랜덤 변수의 기댓값이고  $m_X \neq 0$ 이다)

 $E[(X+m_X)^2]$

 $E[X^2]+(m_X)^2$

 $E[X^2-(m_X)^2]$

 $E[(X-m_X)^2]+(m_X)^2$

해설

분산은 평균으로부터 편차 제곱의 기댓값이며, 이를 전개한  $E[X^2]-m_X^2$ 와 같은  $E[X^2-(m_X)^2]$ 가 분산이다.
 $E[(X-m_X)^2]=E[X^2]-2m_XE[X]+m_X^2=E[X^2]-m_X^2$ 이고,  $m_X^2$ 는 상수이므로 기댓값 안에 넣어도 값이 같다(기댓값의 선형성).
 $E[(X+m_X)^2]$ 는  $E[X^2]+3m_X^2$ 로 분산보다  $4m_X^2$ 만큼 크다.
 $E[X^2]+(m_X)^2$ 는 평균 제곱을 빼야 할 자리에 더해 분산보다  $2m_X^2$ 만큼 크다.
 $E[(X-m_X)^2]+(m_X)^2$ 는 분산에 평균 제곱을 더한 것으로 2차 모멘트  $E[X^2]$ 와 같다.

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