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1[7급 국가직 통신이론] 23년 1회차

송신 심볼과 수신 심볼이 각각  $x \in \{0,1\}$ 와  $y \in \{0,1\}$ 이고 조건부 확률이 다음과 같은 이진 대칭 채널의 채널용량[bits/symbol]에 대한 설명으로 옳은 것은? (단,  $x$ 의 0과 1의 발생 확률은 각각  $\frac{1}{2}$ 이다) $P(y=1 \mid x=0)=P(y=0 \mid x=1)=p$ 
 $P(y=0 \mid x=0)=P(y=1 \mid x=1)=1-p$

 $p=1$ 이면 채널용량은 1이다.

 $p=0.5$ 이면 채널용량은 0.5이다.

 $p=0$ 이면 채널용량은 0이다.

 $0 < p < 0.5$ 이면 채널용량은  $1+p\log_2 p$ 이다.

해설

 $p=1$ 이면 수신 비트가 항상 반전되므로 수신단에서 다시 뒤집어 오류 없이 복원할 수 있어 채널용량이 1이다.
이진 대칭 채널의 용량은  $C=1-H(p)$ 이고  $H(p)=-p\log_2p-(1-p)\log_2(1-p)$ 이며,  $p=0$ 과  $p=1$ 에서  $H(p)=0$ 이다.
 $p=0.5$ 이면  $H(p)=1$ 이 되어 출력이 입력과 무관해지므로 용량은 0이다.
 $p=0$ 이면 오류가 전혀 없는 채널이므로 용량은 0이 아니라 1이다.
 $0\lt p\lt 0.5$ 일 때 용량은  $1+p\log_2p+(1-p)\log_2(1-p)$ 로,  $(1-p)\log_2(1-p)$  항이 빠져서는 안 된다.

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