[7급 국가직 회로이론] 24년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

옳지 않은 설명은 이상적인 연산증폭기의 폐루프 이득이 무한대라는 내용이다. 무한대인 것은 귀환을 걸지 않은 개루프 이득이다.
폐루프 이득은 외부 귀환 소자로 정해지는 유한한 값이며(예: 반전 증폭기 $-\dfrac{R_f}{R_i}$), 개루프 이득이 무한대이므로 두 입력단자 전압이 같아지는 가상단락이 성립한다.
입력저항이 무한대이므로 두 입력단자에 흐르는 전류는 0이다 — 옳은 설명이다.
CMRR은 공통모드 이득에 대한 차동모드 이득의 비 $\dfrac{A_d}{A_{cm}}$로 정의한다 — 옳은 설명이다.
실제 소자는 내부 불평형 때문에 두 입력을 단락해도 출력이 0이 되지 않으며, 이를 오프셋 전압이라 한다 — 옳은 설명이다.

시정수는 0.01 [sec]이다.
스위치가 닫힌 뒤 전압원을 단락하고 인덕터 쪽에서 본 저항은 5 [Ω]에 두 10 [Ω]의 병렬이 직렬로 붙은 값이다.
$R_{th}=5+\dfrac{10\times 10}{10+10}=10\,\Omega$
RL 회로의 시정수는 $\tau=\dfrac{L}{R_{th}}=\dfrac{0.1}{10}=0.01\,\mathrm{s}$이다.
0.001은 시정수를 한 자리 작게 잡은 값으로 회로와 맞지 않는다.
0.005는 저항을 20 [Ω]으로 잡아 L/R을 계산한 값이다.
0.05는 저항을 2 [Ω]으로 잡은 것과 같아 회로와 맞지 않는다.

전류 $I_o$는 3 [A]이다.
오른쪽부터 직병렬로 묶는다. 8 [Ω]과 12 [Ω]의 직렬 20 [Ω]은 대각선 20 [Ω]과 병렬로 10 [Ω], 위쪽 20 [Ω]을 더해 30 [Ω], 이것이 60 [Ω]과 병렬로 20 [Ω]이다. 여기에 30 [Ω]을 더하면 50 [Ω]이고 대각선 50 [Ω]과 병렬이 되어 25 [Ω]이다.
전원 쪽 전체 저항은 $25+15=40\,\Omega$이므로 전원 전류는 $\dfrac{240}{40}=6\,\mathrm{A}$이다.
25 [Ω] 구간 양단 전압은 $6\times 25=150\,\mathrm{V}$이므로 $I_o=\dfrac{150}{50}=3\,\mathrm{A}$이다.
4는 전원 전류의 분배 비율을 잘못 잡은 값이다.
5는 50 [Ω] 가지와 나머지 가지의 병렬 관계를 놓친 값이다.
6은 전원 전류 전체이며, 두 50 [Ω] 가지로 반씩 나뉜다는 점을 빠뜨린 값이다.

출력단 저항이 소비하는 전력은 10 [μW]이다.
출력이 반전 입력에 직접 연결된 전압 팔로워이다. 이상적 연산증폭기는 입력 전류가 0이므로 10 [kΩ]에 전압강하가 없어 비반전 입력은 1 [V]이고, 출력도 1 [V]이다.
$P=\dfrac{V^2}{R}=\dfrac{1^2}{100\times 10^{3}}=10^{-5}\,\mathrm{W}=10\,\mu\mathrm{W}$
1은 저항을 1 [MΩ]으로 본 것과 같은 값이다.
100은 10 [kΩ]으로 나누는 등 저항을 잘못 대입한 값이다.
1,000은 출력 전압을 약 3.2배로 크게 잡은 것과 같아 팔로워 동작과 맞지 않는다.

옳지 않은 것은 전류비가 권수비와 같다는 진술이다.
이상적 변압기는 전압비가 권수비와 같고 전류비는 권수비의 역수이다. 그림의 점 표시와 전류 방향에서 $N_1 i_1=N_2 i_2$이므로 $\dfrac{i_1}{i_2}=\dfrac{N_2}{N_1}$이다.
이상적 변압기는 누설자속이 없어 결합계수가 1이므로 옳은 설명이다.
권선 저항과 철손이 없어 손실이 0이므로 옳은 설명이다.
자화전류가 0이 되도록 1차·2차 인덕턴스를 무한대로 보므로 옳은 설명이다.

10 [Ω]이 소비하는 전력은 40 [W]이다.
아래 도선을 기준으로 왼쪽 위 마디는 10 [V]이다. 5 [Ω] 위 마디를 $V_N$, 오른쪽 위 마디를 $V_R$로 두고 절점해석을 한다. 6 [A] 전류원이 직렬로 끼어 있어 종속전원 쪽 마디 전압은 두 식에 영향을 주지 않는다.
$V_N$ 마디: $6=\dfrac{V_N}{5}+\dfrac{V_N-V_R}{3}$
$V_R$ 마디: $\dfrac{10-V_R}{10}+\dfrac{V_N-V_R}{3}=7$
풀면 $V_N=5\,\mathrm{V}$, $V_R=-10\,\mathrm{V}$이다.
$i_a=\dfrac{10-(-10)}{10}=2\,\mathrm{A}$, $P=i_a^2R=2^2\times 10=40\,\mathrm{W}$
10은 전류를 1 [A]로 잡은 값이다.
30은 전류 제곱에 저항을 곱한 결과와 맞지 않는 값이다.
90은 전류를 3 [A]로 잡은 값으로 절점 방정식의 해와 다르다.

전류 $I_1$은 $25\angle -45^{\circ}$ [A]이다.
권수비가 1:5이므로 부하를 1차로 환산하면 권수비 제곱으로 나눈다.
$Z_{in}=\dfrac{Z_L}{n^2}=\dfrac{100\angle 45^{\circ}}{25}=4\angle 45^{\circ}\,\Omega$
$I_1=\dfrac{V_S}{Z_{in}}=\dfrac{100\angle 0^{\circ}}{4\angle 45^{\circ}}=25\angle -45^{\circ}\,\mathrm{A}$로, 유도성 부하라 전류가 뒤진다.
크기 25에 위상 +45°는 임피던스 각의 부호를 그대로 옮긴 실수이다.
크기 40에 위상 +45°는 크기와 위상 모두 맞지 않는다.
크기 40에 위상 -45°는 환산 임피던스 크기를 잘못 잡은 값이다.

커패시터 전압은 $8e^{-\frac{1}{8}t}$ [V]이다.
개방 전 정상상태에서 커패시터는 개방이므로 가운데 마디 $V_x$에서 오른쪽은 2 [Ω]+2 [Ω]=4 [Ω]으로 접지된다. 7 [A]는 마디로 그대로 들어온다.
$\dfrac{7-V_x}{3}+7=\dfrac{V_x}{4}\Rightarrow V_x=16\,\mathrm{V}$
커패시터 전압은 세로 2 [Ω] 양단 전압과 같아 분압으로 $v_c(0)=8\,\mathrm{V}$이다.
개방 후 커패시터는 2 [Ω]+2 [Ω]로 방전하므로 $\tau=RC=4\times 2=8\,\mathrm{s}$이다.
초기값 4, 지수 -t/4는 초기 전압과 시정수를 모두 절반으로 잡은 것이다.
초기값 8, 지수 -t/4는 방전 저항을 2 [Ω]만 본 것이다.
초기값 4, 지수 -t/8은 초기 전압을 절반으로 잘못 잡은 것이다.

필요한 커패시터 용량은 7 μF이다. 개선 전후 무효전력의 차를 커패시터가 공급하면 된다.
개선 전: 피상전력 $S_1=\dfrac{36}{0.6}=60\,\mathrm{VA}$, 무효전력 $Q_1=60\times0.8=48\,\mathrm{var}$
개선 후: $Q_2=36\times\dfrac{0.6}{0.8}=27\,\mathrm{var}$
보상 무효전력 $Q_C=48-27=21\,\mathrm{var}$
$C=\dfrac{Q_C}{\omega V^2}=\dfrac{21}{300\times100^2}=7\times10^{-6}\,\mathrm{F}$
6 μF는 보상 무효전력이 18 var에 그쳐 역률이 0.8에 못 미친다.
8 μF는 24 var를 보상해 목표 역률을 넘어선다.
9 μF는 27 var를 보상해 목표보다 더 과하게 개선된다.

테브난 등가저항은 100 [Ω]이다.
종속전원이 있으므로 독립전원 10 [V]만 단락하고 a, b에 시험전압 $v$를 건다. 왼쪽 루프에서 2 [kΩ] 전류는
$i=\dfrac{0-2v}{2000}=-\dfrac{v}{1000}$
a 단자로 들어가는 전류는 50 [Ω] 전류와 종속전류원 전류의 합이다.
$I=\dfrac{v}{50}+10i=\dfrac{v}{50}-\dfrac{v}{100}=\dfrac{v}{100}$
따라서 $R_{th}=\dfrac{v}{I}=100\,\Omega$이다.
25는 50 [Ω]보다 작은 값으로, 종속전류원이 들어오는 전류를 줄여 등가저항을 키운다는 점과 반대이다.
50은 종속전류원을 무시하고 50 [Ω]만 본 값이다.
75는 종속전원의 기여를 부분적으로만 반영한 값으로 계산과 맞지 않는다.

콘볼루션 결과는 $20(e^{-t}-e^{-2t})$이다.
정의 $s_1*s_2=\int_0^t 4e^{-\tau}\cdot5e^{-2(t-\tau)}\,d\tau$
$=20e^{-2t}\int_0^t e^{\tau}\,d\tau=20e^{-2t}(e^{t}-1)$
$=20(e^{-t}-e^{-2t})$
라플라스 변환으로 검산하면 $\dfrac{4}{s+1}\cdot\dfrac{5}{s+2}=\dfrac{20}{s+1}-\dfrac{20}{s+2}$로 같다.
$-20(e^{-t}-e^{-2t})$는 부호가 반대로, 양의 신호끼리의 콘볼루션이 음수가 될 수 없다.
$20(e^{-t}+e^{-2t})$는 $t=0$에서 0이 되어야 한다는 조건을 만족하지 않는다.
$-20(e^{-t}+e^{-2t})$는 부호와 초기값 모두 맞지 않는다.

전류는 $\frac{4}{3}e^{-10t}-\frac{1}{3}e^{-40t}$ [A]이다.
개방 전 정상상태에서 인덕터는 단락, 커패시터는 개방이므로 $i(0)=\dfrac{6}{6}=1\,\mathrm{A}$, 커패시터 전압은 인덕터에 단락되어 $v_c(0)=0$이다.
개방 후 14 [Ω]과 6 [Ω]이 직렬 20 [Ω]으로 L·C와 병렬인 병렬 RLC가 된다.
$s^2+\dfrac{1}{RC}s+\dfrac{1}{LC}=s^2+50s+400=0\Rightarrow s=-10,\,-40$
$i=Ae^{-10t}+Be^{-40t}$에서 $A+B=1$, 인덕터 전압이 0이라 $i'(0)=-10A-40B=0$이므로 $A=\dfrac{4}{3}$, $B=-\dfrac{1}{3}$이다.
계수 -4/3, +1/3 조합은 초기 전류가 -1 [A]가 되어 맞지 않는다.
계수 -1/3, +4/3 조합은 초기 기울기가 0이 아니다.
계수 4/3, +1/3 조합은 초기 전류가 5/3 [A]가 되어 맞지 않는다.

입력전압은 $\left[\frac{1}{2}\cos(t)+\frac{5}{2}\sin(t)\right]u(t)$이다.
$V_o=H(s)V_i$이므로 $V_i(s)=\dfrac{s+5}{2}V_o(s)$, 즉 $v_i=\dfrac{1}{2}\dfrac{dv_o}{dt}+\dfrac{5}{2}v_o$이다.
$v_o=\sin t$를 대입하면 $v_i=\dfrac{1}{2}\cos t+\dfrac{5}{2}\sin t$이다. 페이저로 보면 $\dfrac{5+j}{2}$를 곱한 것과 같다.
사인 계수 1/2·코사인 계수 5/2 조합은 미분항과 비례항의 계수를 뒤바꾼 것이다.
$\frac{1}{2}\sin(t)-\frac{5}{2}\cos(t)$는 계수를 뒤바꾸고 부호까지 틀린 식이다.
$\frac{1}{2}\cos(t)-\frac{5}{2}\sin(t)$는 비례항의 부호가 음으로, $v_o$에 양의 계수를 곱한다는 점과 맞지 않는다.

출력전압은 $(-e^{-7t}+e^{-5t})u(t)$이다.
램프 입력 $V_i(s)=\dfrac{1}{s^2}$이므로
$V_o(s)=\dfrac{2s^2}{(s+5)(s+7)}\cdot\dfrac{1}{s^2}=\dfrac{2}{(s+5)(s+7)}$
부분분수 전개: $\dfrac{2}{(s+5)(s+7)}=\dfrac{1}{s+5}-\dfrac{1}{s+7}$
역변환: $v_o(t)=(e^{-5t}-e^{-7t})u(t)$
$(e^{-7t}-e^{-5t})u(t)$는 부호가 반대인 결과이다.
$(e^{-7t}+e^{-5t})u(t)$는 부분분수 계수의 부호를 잘못 둔 것이다.
$(e^{7t}-e^{5t})u(t)$는 극이 좌반평면($s=-5,-7$)에 있다는 점과 맞지 않는 발산 응답이다.

커패시터 전압은 $e^{-0.5t}[-\cos(0.5t)-9\sin(0.5t)]$ [V]이다.
t<0에서 2 [V]는 위쪽이 −이므로 5 [Ω]·5 [Ω] 분압으로 $v_c(0)=-1\,\mathrm{V}$이다. 오른쪽은 인덕터가 단락이라 1 [Ω]에 5 [V]가 걸리고, 인덕터에는 아래로 $i_L(0)=5\,\mathrm{A}$가 흐른다.
t>0에서 5u(−t) 전원은 0이 되고 커패시터는 2 [H], 1 [Ω]과 병렬 RLC를 이룬다.
$s^2+\dfrac{1}{RC}s+\dfrac{1}{LC}=s^2+s+0.5=0\Rightarrow s=-0.5\pm j0.5$
$v_c=e^{-0.5t}[A\cos(0.5t)+B\sin(0.5t)]$에서 $A=-1$이다.
KCL로 $v_c'(0)=-\dfrac{1}{C}\left(\dfrac{v_c(0)}{R}+i_L(0)\right)=-(-1+5)=-4$이고, $-0.5A+0.5B=-4$에서 $B=-9$이다.
사인 계수 -6은 초기 기울기를 잘못 잡은 값이다.
코사인 계수 -2와 사인 계수 -9 조합은 초기 전압이 -2 [V]가 되어 분압 결과(-1 [V])와 맞지 않는다.
코사인 계수 -2와 사인 계수 -6 조합은 초기 전압과 초기 기울기를 모두 잘못 잡은 것이다.

출력전압은 −1 [V]이다.
이상적 연산증폭기의 가상단락으로 반전 입력 전압은 비반전 입력과 같은 4 [V]이다.
4 [kΩ] 전류: $\dfrac{6-4}{4\,\mathrm{k}}=0.5\,\mathrm{mA}$
이 전류가 모두 10 [kΩ]으로 흐르므로
$V_{out}=4-0.5\,\mathrm{mA}\times 10\,\mathrm{k}\Omega=4-5=-1\,\mathrm{V}$
−7은 가상단락 전압 4 [V]와 10 [kΩ] 전압강하 5 [V]로 나오지 않는 값이다.
−5는 10 [kΩ] 양단 전압 크기만 출력으로 보고 반전 입력의 4 [V]를 빠뜨린 값이다.
−3은 반전 입력 전압 4 [V]에서 전압강하 5 [V]를 빼는 과정과 맞지 않는 값이다.

C 파라미터는 $\frac{1}{2}(-1+j)$ [S]이다.
병렬 어드미턴스 $Y_1=j\omega C=j0.5$, 직렬 임피던스 $Z=j\omega L=j4$, 병렬 어드미턴스 $Y_2=\dfrac{1}{2}$인 π형 회로이다.
π형의 C 파라미터는 $C=Y_1+Y_2+Y_1Y_2Z$이다.
$C=j0.5+0.5+(j0.5)(0.5)(j4)=0.5+j0.5-1=-0.5+j0.5$
순허수 j는 실수부 −0.5가 빠지고 허수부도 0.5가 아니어서 계산 결과와 맞지 않는다.
j2는 실수부가 없고 허수부가 2로 계산 결과와 맞지 않는다.
1+j2는 실수부 부호와 허수부 크기가 모두 맞지 않는다.

임펄스 응답은 $10\delta(t)-40e^{-t}\sin(4t)u(t)$이다.
$X(s)=\dfrac{1}{s+1}$, $Y(s)=\dfrac{10(s+1)}{(s+1)^2+16}$이므로
$H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{10(s+1)^2}{(s+1)^2+16}$
$H(s)=10-\dfrac{160}{(s+1)^2+16}=10-40\cdot\dfrac{4}{(s+1)^2+16}$
역변환하면 $h(t)=10\delta(t)-40e^{-t}\sin(4t)u(t)$
$10\delta(t)+40e^{-t}\sin(4t)u(t)$는 나머지항의 부호가 반대이다.
$16\delta(t)-40e^{-4t}\sin(t)u(t)$는 감쇠 지수와 진동 주파수를 뒤바꾼 것으로, 출력의 $e^{-t}\cos(4t)$와 맞지 않는다.
$16\delta(t)+40e^{-4t}\sin(t)u(t)$는 지수·주파수뿐 아니라 임펄스 계수($H(\infty)=10$)와 부호도 틀렸다.

저항 R은 10 [Ω]이다.
입력 개방($I_1=0$) 시 출력 쪽에서 보이는 것은 R 하나이므로 $h_{22}=\dfrac{I_2}{V_2}=\dfrac{1}{R}$이다.
$\dfrac{1}{R}=0.1\Rightarrow R=10\,\Omega$
나머지도 일관된다. 출력 단락 시 R이 단락되어 $h_{11}=50$, $h_{21}=-1$이고, 입력 개방 시 50 [Ω]에 전류가 없어 $h_{12}=1$이다.
20은 h22=0.05에 해당하는 값으로 주어진 조건과 다르다.
50은 직렬 50 [Ω]과 혼동한 값이며 이는 h11에 해당한다.
100은 h22=0.01에 해당하는 값으로 주어진 조건과 다르다.

전달함수는 $\dfrac{3s}{s^2+3s+1}$이다.
가운데 마디 전압을 $V_x$라 하면 커패시터 전류는 $I=\dfrac{s}{3}(V_i-V_x)$이고, 종속전류원 $2I$가 같은 마디로 들어온다.
KCL: $I+2I=\dfrac{V_x}{s+3}\Rightarrow s(V_i-V_x)=\dfrac{V_x}{s+3}$
$V_x=\dfrac{s(s+3)}{s^2+3s+1}V_i$
출력은 1 [H]–3 [Ω] 분압: $V_o=\dfrac{3}{s+3}V_x=\dfrac{3s}{s^2+3s+1}V_i$
분자가 s 제곱인 함수는 인덕터 양단 전압 비에 해당한다.
분자가 9s인 함수는 분압 계수 3을 한 번 더 곱한 값이다.
분자가 s 제곱+3s인 함수는 가운데 마디 전압 비이며 출력이 아니다.

두 식 모두 자기 항과 상호 항이 함께 음(−)인 조합이 옳다.
$i_1$은 L1의 점(위) 단자로 들어가고, $i_2$는 L2 위 단자에서 나가므로 L2의 점(아래) 단자로 들어간다. 두 전류가 모두 점으로 들어가므로 상호 유도 전압은 자기 유도 전압과 같은 부호이다.
전류가 들어가는 단자를 +로 잡으면 L1 전압은 위가 +이지만 $v_1$은 아래가 +, L2 전압은 아래가 +이지만 $v_2$는 위가 +이다.
$v_1=-L_1\dfrac{di_1}{dt}-M\dfrac{di_2}{dt}$, $v_2=-L_2\dfrac{di_2}{dt}-M\dfrac{di_1}{dt}$
v1의 상호 항만 +인 조합은 두 전류의 점 단자 관계를 한쪽만 반대로 본 것이다.
두 식의 상호 항이 모두 +인 조합은 전류가 점을 기준으로 반대 방향이라고 본 것이다.
자기 항이 +인 조합은 v1·v2의 측정 극성이 전류 유입 단자와 반대임을 놓친 것이다.

대역폭은 4 [rad/sec]이다.
병렬 RLC는 공진에서 L·C 병렬이 개방되어 $|Z|_{max}=R$이므로 그래프에서 $R=50\,\Omega$, 공진 각주파수 $\omega_0=10$이다.
$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\Rightarrow C=\dfrac{1}{\omega_0^2L}=\dfrac{1}{100\times 2}=0.005\,\mathrm{F}$
병렬 RLC의 대역폭 $B=\dfrac{1}{RC}=\dfrac{1}{50\times 0.005}=4\,\mathrm{rad/s}$
2는 대역폭을 절반으로 잡은 값이다.
3은 대역폭 공식으로 나오지 않는 값이다.
5는 공진 각주파수 10을 2로 나눈 값으로 대역폭 공식과 무관하다.

실효치는 5 [A], 평균 전력은 100 [W]이다.
파형은 +5 [A]와 −5 [A]만 오가므로 $i^2(t)=25$가 항상 일정하다. 듀티비와 관계없이 $I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{25}=5\,\mathrm{A}$이다.
$P=I_{\mathrm{rms}}^2R=25\times 4=100\,\mathrm{W}$
실효치 2.5와 전력 50은 실효치를 진폭의 절반으로 잡은 값으로, 전류 제곱이 항상 25라는 점과 맞지 않는다.
실효치 2.5와 전력 100은 실효치와 전력이 서로 맞지 않는 조합이다.
실효치 5와 전력 50은 전력을 절반으로 잡은 값이다.

차단대역폭은 250 [rad/sec]이다.
대역 차단 필터의 대역폭은 크기가 통과대역의 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$배(반전력점)가 되는 두 차단주파수의 차이다.
$B=\omega_{c2}-\omega_{c1}=880-630=250\,\mathrm{rad/s}$
120은 크기가 1/2인 두 주파수의 차 800−680으로, 반전력점이 아니다.
500은 반전력점 차이를 두 배로 잡은 값이다.
745는 크기가 0인 중심(공진) 주파수로 대역폭이 아니다.

5 [Ω]이 소비하는 전력은 45 [W]이다.
출력단에 5 [Ω]이 연결되어 $V_2=-5I_2$이다. Z 파라미터 식에 대입하면
$-5I_2=8I_1+11I_2\Rightarrow I_2=-\dfrac{I_1}{2}$
$V_1=14I_1+8I_2=10I_1$이므로 입력 임피던스는 10 [Ω]이다.
12 [A]가 10 [Ω]과 입력 임피던스 10 [Ω]에 반씩 나뉘어 $I_1=6\,\mathrm{A}$, $I_2=-3\,\mathrm{A}$이다.
$P=I_2^2\times 5=9\times 5=45\,\mathrm{W}$
5는 출력 전류를 1 [A]로 잡은 값이다.
20은 출력 전류를 2 [A]로 잡은 값이다.
40은 출력 전류 제곱을 8로 잡는 등 계산이 맞지 않는 값이다.