[9급 지방직 응용역학개론] 22년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

전단탄성계수는 탄성계수 E보다 작고, 포아송비가 커질수록 감소한다.
등방성 재료에서 세 탄성상수 사이에는 다음 관계가 성립한다.
$G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}$
포아송비가 양수이므로 분모 $2(1+\nu)$는 2보다 크고, 따라서 G는 E의 절반보다도 작다. ν가 커지면 분모가 커지므로 G는 감소한다.
E보다 크고 ν에 따라 증가한다는 설명: 분모가 1보다 크므로 G가 E보다 클 수 없고, ν가 커질수록 G는 줄어든다.
E보다 작고 ν에 따라 증가한다는 설명: E보다 작다는 점은 맞지만 ν가 분모에 있으므로 증가가 아니라 감소한다.
E보다 크고 ν에 따라 감소한다는 설명: 감소한다는 점은 맞지만 G는 항상 E보다 작다.

우력의 모멘트는 기준점 위치와 무관하게 크기와 방향이 항상 같다. 따라서 B점과 C점의 모멘트 크기가 다르다는 설명이 옳지 않다.
크기가 같고 방향이 반대인 두 힘의 모멘트 합은 $M = F\times d$(d는 두 작용선 사이의 수직거리)로, 어느 점을 기준으로 잡아도 같은 값이 된다.
그림에서 D점 힘은 아래로, B점 힘은 위로 작용하므로 A·B·C·D 어느 점에서나 반시계 방향의 같은 모멘트가 생긴다.
A점과 C점의 모멘트 크기가 같다는 설명은 우력의 성질 그대로이므로 옳다.
B점과 D점의 모멘트 방향이 같다는 설명은 옳다.
A점과 D점의 모멘트 크기와 방향이 모두 같다는 설명도 옳다.

음영 도형의 도심 높이는 12.5이다.
도형을 윗부분 직사각형(가로 30, 세로 10, 높이 10~20)과 아랫부분 직사각형(가로 10, 세로 10, 높이 0~10)으로 나눈다.
$A_1 = 300,\ y_1 = 15$, $A_2 = 100,\ y_2 = 5$
도심 공식 $y_0 = \dfrac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}$
$y_0 = \dfrac{300\times 15 + 100\times 5}{400} = \dfrac{5000}{400} = 12.5$
11.5는 도심이 실제보다 아래에 있다고 본 값으로, $5000/400$과 맞지 않는다.
13.5는 면적이 큰 윗부분 쪽으로 도심을 지나치게 올린 값이다.
14.5는 윗부분 직사각형의 도심(15)에 거의 붙은 값으로, 아랫부분 면적 100을 거의 반영하지 않았다.

두 고정지점 사이를 폐합 없이 한 줄로 이은 라멘(가운데가 아래로 꺾인 형태)만 부정정 차수가 3차이고, 나머지는 모두 6차이다.
강절 라멘의 부정정 차수는 $N = r - 3 + 3c$(r: 지점 반력 수, c: 폐합 고리 수)로 구한다. 고정지점은 반력 3개이다.
고정지점 2개, 폐합 없음: $N = 6 - 3 = 3$
기둥 3개가 모두 고정지점이고 보로 연결된 라멘: $N = 9 - 3 = 6$
고정지점 2개에 내부에 닫힌 사각형 고리가 하나 있는 라멘: $N = 6 - 3 + 3 = 6$
기둥 2개와 오른쪽 벽이 모두 고정인 라멘: $N = 9 - 3 = 6$

단면적이 같으면 (가)＞(나)＞(다) 순으로 단면2차모멘트가 크다.
직사각형은 $I = \dfrac{bh^3}{12} = \dfrac{A h^2}{12}$이다. (가)는 $h_1 > b_1$이므로 $h_1^2 > A$, 정사각형 (나)는 $h_2^2 = A$이다.
원형 (다)는 $I = \dfrac{\pi d^4}{64} = \dfrac{A^2}{4\pi}$이다.
비교하면 $\dfrac{A h_1^2}{12} > \dfrac{A^2}{12} > \dfrac{A^2}{4\pi}$이다($4\pi > 12$). 즉 면적이 도심축에서 멀리 분포할수록 I가 커진다.
(가)＞(다)＞(나)는 원형이 정사각형보다 크다고 본 것인데, $4\pi > 12$이므로 원형이 더 작다.
(나)＞(다)＞(가)는 세로로 긴 직사각형을 가장 작다고 본 것으로, I가 높이 제곱에 비례하는 성질과 맞지 않는다.
(나)＞(가)＞(다)는 정사각형이 세로로 긴 직사각형보다 크다고 본 것으로, $h_1^2 > A = h_2^2$와 맞지 않는다.

두 최대휨모멘트가 같으려면 등분포하중은 $w=\dfrac{2P}{L}$이어야 한다.
단순보의 최대휨모멘트는 두 경우 모두 보 중앙에서 생긴다.
$M_{\max(P)}=\dfrac{PL}{4}$
$M_{\max(w)}=\dfrac{wL^2}{8}$
두 값을 같게 놓고 w에 대해 정리한다.
$\dfrac{PL}{4}=\dfrac{wL^2}{8}$
$w=\dfrac{8PL}{4L^2}=\dfrac{2P}{L}$
$w=\dfrac{P}{2L}$: 최대휨모멘트가 $\dfrac{PL}{16}$로 집중하중 경우의 1/4에 그친다.
$w=\dfrac{P}{L}$: 최대휨모멘트가 $\dfrac{PL}{8}$로 집중하중 경우의 절반이다.
$w=\dfrac{3P}{L}$: 최대휨모멘트가 $\dfrac{3PL}{8}$로 집중하중 경우의 1.5배가 된다.

A점의 등가 힘－우력계는 연직 하향 9 kN과 시계 방향 45 kN·m이며 수평력은 없다.
경사 하중 5 kN은 기울기 3:4이므로 수평 4 kN, 연직 3 kN으로 분해된다. 좌우 경사 하중의 수평 성분은 서로 반대 방향이라 상쇄된다.
$\sum F_y = 3 + 3 + 3 = 9\ \mathrm{kN}$(하향)
A점 기준 모멘트(시계 방향):
$M_A = 3\times 3 + 3\times 5 + 3\times 7 = 45\ \mathrm{kN\cdot m}$
연직력 9 kN만 있고 모멘트가 없는 계는 하중 위치에 따른 모멘트를 빠뜨렸다.
모멘트 45 kN·m만 있고 연직력이 없는 계는 합력을 빠뜨렸다.
수평력 8 kN이 추가된 계는 좌우 수평 성분이 반대 방향으로 상쇄된다는 점을 놓쳤다.

부재 AB의 부재력은 4 kN(인장)이다.
지점 A(힌지), C(롤러) 반력을 구한다. F점 수평하중 4 kN(높이 4L), B점 연직하중 4 kN(A에서 4L).
$\sum M_A = 0:\ R_C\times 8L = 4\times 4L + 4\times 4L \Rightarrow R_C = 4\ \mathrm{kN}$
$\sum F_y = 0:\ R_{Ay} = 4 - 4 = 0$, $\sum F_x = 0:\ H_A = 4\ \mathrm{kN}$(좌향)
절점 A에서 연직 반력이 0이므로 경사 부재 AD의 힘은 0이다. 수평 평형에서 AB가 좌향 반력 4 kN과 맞서려면 A를 B 쪽으로 당겨야 하므로 $F_{AB} = 4\ \mathrm{kN}$ 인장이다.
0이라고 본 것은 연직 반력이 0인 점만 보고 수평 반력을 빠뜨린 것이다.
2√2 kN 압축은 경사 부재에 힘이 걸린다고 본 것인데, 절점 A의 연직 평형에서 경사 부재 AD는 0부재이다.
4 kN 압축은 크기는 맞으나 수평 반력 방향(좌향)을 반대로 본 것이다.

최대휨모멘트는 전단력이 부호를 바꾸는 C점에서 생기며 크기는 24 kN·m이다.
휨모멘트 = 전단력도의 면적 누적이고, 전단력이 0을 지나는 점(+2 kN에서 −2 kN으로 바뀌는 C점)에서 휨모멘트가 최대가 된다.
A~C 구간 사다리꼴 면적:
$M_C = \dfrac{10 + 2}{2}\times 4 = 24\ \mathrm{kN\cdot m}$
18 kN·m는 A~C 구간 전단력도 면적(24)보다 작아 최대값이 될 수 없다.
20 kN·m도 같은 이유로 C점 휨모멘트 24에 못 미친다.
30 kN·m는 전단력도의 양(+) 면적 전체(24)를 넘는 값이라 나올 수 없다. 검산으로 C 이후 음(−) 면적 $2\times 3 + 6\times 3 = 24$를 빼면 E점에서 휨모멘트가 0으로 돌아온다.

두 반력이 같으려면 집중하중 P는 8 kN이어야 한다.
삼각형 분포하중 합력: $W = \dfrac{1}{2}\times 3\times 8 = 12\ \mathrm{kN}$, 작용점은 A에서 $\dfrac{2}{3}\times 8 = \dfrac{16}{3}\ \mathrm{m}$
$\sum M_A = 0:\ R_B\times 8 = P\times 2 + 12\times \dfrac{16}{3} = 2P + 64$
반력이 같다는 조건 $R_A = R_B = \dfrac{P + 12}{2}$를 대입하면
$4P + 48 = 2P + 64 \Rightarrow P = 8\ \mathrm{kN}$
P가 4 kN이면 B쪽 반력이 더 커져 두 반력이 같아지지 않는다.
P가 6 kN이어도 B쪽 반력이 A쪽보다 크다.
P가 9 kN이면 A쪽 반력이 더 커진다.

평면 내 최대전단응력의 크기는 20 MPa이다.
전단응력이 없으므로 $\sigma_x, \sigma_y$가 곧 주응력이다. 최대전단응력 = 두 주응력 차의 절반이다.
$\tau_{max} = \left|\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right| = \left|\dfrac{-60 - (-20)}{2}\right| = 20\ \mathrm{MPa}$
10 MPa은 응력 차의 절반(20 MPa)보다 작아 공식과 맞지 않는다.
30 MPa은 면외 주응력 0까지 포함한 절대 최대전단응력 $|-60 - 0|/2$로, 평면 내 값이 아니다.
40 MPa은 응력 차를 2로 나누지 않은 값이다.

두 조건으로 구한 최대 하중이 모두 20 kN으로 같으므로 비는 1:1이다.
지간 9 m, A에서 3 m 지점에 P가 작용한다.
$R_A = \dfrac{6P}{9} = \dfrac{2P}{3}$, $M_{max} = \dfrac{2P}{3}\times 3 = 2P\ (\mathrm{kN\cdot m})$, $V_{max} = \dfrac{2P}{3}$
휨: $Z = \dfrac{100\times 200^2}{6} = 666{,}667\ \mathrm{mm^3}$
$\dfrac{2P\times 10^6}{666{,}667} = 60 \Rightarrow P = 20\ \mathrm{kN}$
전단: $\tau_{max} = \dfrac{3}{2}\dfrac{V}{A} = \dfrac{3}{2}\times \dfrac{(2P/3)\times 10^3}{20{,}000} = 1 \Rightarrow P = 20\ \mathrm{kN}$
2:1은 휨 기준 하중이 전단 기준의 두 배라는 뜻이나, 두 조건 모두 20 kN이 나오므로 맞지 않는다.
3:1도 두 하중이 같다는 계산 결과와 맞지 않는다.
4:1 역시 휨·전단 기준 하중이 각각 20 kN으로 같으므로 성립하지 않는다.

A점의 처짐 크기는 $7PL^{3}/6EI$이다(하향).
중첩법으로 두 하중의 처짐을 더한다. 고정단 C에서 A까지 길이는 2L이다.
P에 의한 처짐(하향): $\delta_1 = \dfrac{P(2L)^3}{3EI} = \dfrac{8PL^3}{3EI}$
B점 모멘트 $M = PL$(시계 방향)은 B 왼쪽 부분을 위로 들어 올린다. 고정단에서 B까지 길이 L이므로
$\theta_B = \dfrac{ML}{EI},\ \delta_B = \dfrac{ML^2}{2EI}$
$\delta_2 = \delta_B + \theta_B L = \dfrac{3ML^2}{2EI} = \dfrac{3PL^3}{2EI}$(상향)
$\delta_A = \dfrac{8PL^3}{3EI} - \dfrac{3PL^3}{2EI} = \dfrac{7PL^3}{6EI}$
$5PL^{3}/3EI$는 모멘트에 의한 상향 처짐 중 $\theta_B L = PL^3/EI$만 빼고 $\delta_B$를 빠뜨린 값이다.
$13PL^{3}/6EI$는 반대로 $\delta_B = PL^3/2EI$만 빼고 $\theta_B L$을 빠뜨린 값이다.
$10PL^{3}/3EI$는 P 단독 처짐 $8PL^{3}/3EI$보다 커서, 시계 방향 모멘트가 A점을 들어 올린다는 점과 맞지 않는다.

부재력의 비 $F_{BD}/F_{CD}$는 4이다.
대칭 구조이므로 D점은 연직으로만 δ만큼 내려간다. 부재 길이는 BD가 L, CD가 $\dfrac{L}{\cos 60^\circ} = 2L$이다.
적합조건: 각 부재의 신장량은 변위의 부재축 방향 성분이다.
$\Delta_{BD} = \delta,\ \Delta_{CD} = \delta\cos 60^\circ = \dfrac{\delta}{2}$
$F = \dfrac{EA\,\Delta}{l}$이므로 $F_{BD} = \dfrac{EA\delta}{L},\ F_{CD} = \dfrac{EA\delta}{4L}$ → 비 4
2는 신장량 비만 반영하고 부재 길이 차이(L과 2L)를 빠뜨린 값이다.
2√3은 변형 적합조건 $\Delta_{CD} = \delta\cos 60^\circ$와 부재 길이 비로 나오지 않는 값이다.
1/√3은 BD가 CD보다 힘을 덜 받는다고 본 것으로, 짧고 변위 방향과 나란한 BD가 더 큰 힘을 받는다는 점과 반대이다.

양단 고정 4 m 기둥의 좌굴하중은 1,000 kN이다.
오일러 좌굴하중 $P_{cr} = \dfrac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$에서 EI가 같으므로 유효길이 제곱에 반비례한다.
(가) 양단 핀: $KL = 1.0\times 5 = 5\ \mathrm{m}$
(나) 양단 고정: $KL = 0.5\times 4 = 2\ \mathrm{m}$
$P_{cr,2} = 160\times \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 = 1000\ \mathrm{kN}$
200 kN은 유효길이계수를 빠뜨리고 길이 비 5/4를 제곱하지도 않은 값이다.
250 kN은 유효길이계수 0.5를 빠뜨리고 길이 비 5/4만 제곱한 값이다.
800 kN은 유효길이 비 5/2를 제곱해 곱한 결과(1,000 kN)와 맞지 않는다.

C점 휨모멘트의 영향선은 A~B 구간은 0이고, B에서 C까지 올라가 C에서 정점, D에서 0을 지나 E까지 음(−)으로 내려가는 형태이다.
하중이 고정단 쪽 A~B 구간에 있으면 캔틸레버 AB가 모두 받아 내므로 힌지 B 오른쪽 부재(B~E)에는 힘이 전달되지 않는다. 따라서 이 구간 영향선은 0이다.
B~E 부재는 힌지 B와 롤러 D로 지지되는 내민보처럼 거동한다. 단순보 구간 B~D 안의 C점 휨모멘트 영향선은 C에서 정점을 갖는 삼각형이고, 내민 부분 D~E에서는 직선이 연장되어 음(−)이 된다.
A에서부터 값이 생기고 C에서 불연속인 영향선은 A~B 구간 하중이 C점에 영향을 준다고 본 데다 전단력 영향선 모양이다.
B에서 시작해 C에서 값이 급변하는 영향선은 휨모멘트가 아니라 C점 전단력 영향선의 모양이다.
A에서 음(−)으로 시작해 B를 지나 C에서 정점인 영향선은 A~B 구간 하중이 C점에 영향을 준다고 본 것이다.

지점 B의 반력 크기는 40.0 kN이다.
A점 모멘트 평형으로 B점 반력의 연직 성분을 먼저 구한다.
$\sum M_A = 0:\ R_{By}\times 10 = 50\times 4 \Rightarrow R_{By} = 20\ \mathrm{kN}$
롤러 반력은 60° 경사면에 수직으로 작용하므로 연직선과 60°를 이룬다.
$R_B = \dfrac{R_{By}}{\cos 60^\circ} = \dfrac{20}{0.5} = 40\ \mathrm{kN}$
37.5 kN은 연직 성분 20 kN을 cos 60°로 나눈 값(40 kN)과 맞지 않는다.
35.0 kN도 같은 이유로 성립하지 않는다.
30.0 kN은 A점 연직 반력(50 − 20)과 같은 값으로, B점 반력이 아니다.

C점 단면 최상부 응력은 4 MPa(압축)이다.
축인장응력: $\sigma_N = \dfrac{120\times 10^3}{300\times 400} = 1\ \mathrm{MPa}$(인장)
중앙 휨모멘트: $M_C = \dfrac{PL}{4} = \dfrac{20\times 8}{4} = 40\ \mathrm{kN\cdot m}$
$Z = \dfrac{300\times 400^2}{6} = 8\times 10^6\ \mathrm{mm^3}$, $\sigma_b = \dfrac{40\times 10^6}{8\times 10^6} = 5\ \mathrm{MPa}$
단순보 중앙은 정모멘트이므로 상연은 휨압축이다. $\sigma = 1 - 5 = -4\ \mathrm{MPa}$
4 MPa 인장은 상연의 휨응력 부호를 반대로 본 것이다.
2 MPa 압축은 휨모멘트나 단면계수를 잘못 계산해 휨응력을 3 MPa로 본 값이다.
2 MPa 인장도 휨응력 크기와 부호가 모두 계산 결과와 맞지 않는다.

B점 반력과 하중의 비 $R_B/P$는 3/4이다.
변위일치법: 지점 B를 제거한 캔틸레버에서 P에 의한 B점 처짐에서 $R_B$에 의한 B점 처짐을 뺀 값이 지점침하 Δ와 같아야 한다.
P(고정단에서 $a = \dfrac{5L}{4}$)에 의한 B점($x = L$) 처짐:
$\delta_P = \dfrac{Px^2(3a - x)}{6EI} = \dfrac{PL^2(15L/4 - L)}{6EI} = \dfrac{11PL^3}{24EI}$
$R_B$에 의한 처짐: $\delta_R = \dfrac{R_B L^3}{3EI}$
$\dfrac{11PL^3}{24EI} - \dfrac{R_B L^3}{3EI} = \dfrac{5PL^3}{24EI} \Rightarrow R_B = \dfrac{3}{4}P$
지점침하가 없다면 $R_B = \dfrac{11}{8}P$가 되므로, 침하가 반력을 줄인다는 점을 확인할 수 있다.
1/2은 적합조건식 $\dfrac{11}{24} - \dfrac{R_B}{3P} = \dfrac{5}{24}$을 만족하지 않는다.
2/3도 같은 적합조건식을 만족하지 않는다.
5/6 역시 적합조건식에 대입하면 성립하지 않는다.

보 단면의 최대변형률은 0.0020이다.
그림의 응력분포에서 상·하 바깥 h/4 구간은 항복응력 $\sigma_y$로 일정하고, 중립축에서 h/4까지만 탄성(선형) 구간이다. 즉 중립축에서 h/4 떨어진 곳의 변형률이 항복변형률이다.
$\varepsilon_y = \dfrac{\sigma_y}{E} = \dfrac{200}{200{,}000} = 0.001$
변형률은 단면 높이에 따라 선형이므로 최외단(중립축에서 h/2)에서
$\varepsilon_{max} = 0.001\times \dfrac{h/2}{h/4} = 0.002$
0.0010은 항복변형률 자체로, 최외단이 막 항복하는 탄성 한계 상태에 해당한다.
0.0015는 탄성 구간이 중립축에서 h/3까지일 때의 값으로 그림의 h/4와 맞지 않는다.
0.0025는 탄성 구간이 중립축에서 h/5까지일 때의 값이다.