22년 1회차

전단탄성계수는 탄성계수 E보다 작고, 포아송비가 커질수록 감소한다.

등방성 재료에서 세 탄성상수 사이에는 다음 관계가 성립한다.
$G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}$

포아송비가 양수이므로 분모 $2(1+\nu)$는 2보다 크고, 따라서 G는 E의 절반보다도 작다. ν가 커지면 분모가 커지므로 G는 감소한다.

• E보다 크고 ν에 따라 증가한다는 설명: 분모가 1보다 크므로 G가 E보다 클 수 없고, ν가 커질수록 G는 줄어든다.
• E보다 작고 ν에 따라 증가한다는 설명: E보다 작다는 점은 맞지만 ν가 분모에 있으므로 증가가 아니라 감소한다.
• E보다 크고 ν에 따라 감소한다는 설명: 감소한다는 점은 맞지만 G는 항상 E보다 작다.

우력의 모멘트는 기준점 위치와 무관하게 크기와 방향이 항상 같다. 따라서 B점과 C점의 모멘트 크기가 다르다는 설명이 옳지 않다.

크기가 같고 방향이 반대인 두 힘의 모멘트 합은 $M = F\times d$(d는 두 작용선 사이의 수직거리)로, 어느 점을 기준으로 잡아도 같은 값이 된다.
그림에서 D점 힘은 아래로, B점 힘은 위로 작용하므로 A·B·C·D 어느 점에서나 반시계 방향의 같은 모멘트가 생긴다.

• A점과 C점의 모멘트 크기가 같다는 설명은 우력의 성질 그대로이므로 옳다.
• B점과 D점의 모멘트 방향이 같다는 설명은 옳다.
• A점과 D점의 모멘트 크기와 방향이 모두 같다는 설명도 옳다.

음영 도형의 도심 높이는 12.5이다.

도형을 윗부분 직사각형(가로 30, 세로 10, 높이 10~20)과 아랫부분 직사각형(가로 10, 세로 10, 높이 0~10)으로 나눈다.
$A_1 = 300,\ y_1 = 15$, $A_2 = 100,\ y_2 = 5$

도심 공식 $y_0 = \dfrac{\sum A_i y_i}{\sum A_i}$
$y_0 = \dfrac{300\times 15 + 100\times 5}{400} = \dfrac{5000}{400} = 12.5$

• 11.5는 도심이 실제보다 아래에 있다고 본 값으로, $5000/400$과 맞지 않는다.
• 13.5는 면적이 큰 윗부분 쪽으로 도심을 지나치게 올린 값이다.
• 14.5는 윗부분 직사각형의 도심(15)에 거의 붙은 값으로, 아랫부분 면적 100을 거의 반영하지 않았다.

두 고정지점 사이를 폐합 없이 한 줄로 이은 라멘(가운데가 아래로 꺾인 형태)만 부정정 차수가 3차이고, 나머지는 모두 6차이다.

강절 라멘의 부정정 차수는 $N = r - 3 + 3c$(r: 지점 반력 수, c: 폐합 고리 수)로 구한다. 고정지점은 반력 3개이다.
고정지점 2개, 폐합 없음: $N = 6 - 3 = 3$

• 기둥 3개가 모두 고정지점이고 보로 연결된 라멘: $N = 9 - 3 = 6$
• 고정지점 2개에 내부에 닫힌 사각형 고리가 하나 있는 라멘: $N = 6 - 3 + 3 = 6$
• 기둥 2개와 오른쪽 벽이 모두 고정인 라멘: $N = 9 - 3 = 6$

단면적이 같으면 (가)＞(나)＞(다) 순으로 단면2차모멘트가 크다.

직사각형은 $I = \dfrac{bh^3}{12} = \dfrac{A h^2}{12}$이다. (가)는 $h_1 > b_1$이므로 $h_1^2 > A$, 정사각형 (나)는 $h_2^2 = A$이다.
원형 (다)는 $I = \dfrac{\pi d^4}{64} = \dfrac{A^2}{4\pi}$이다.

비교하면 $\dfrac{A h_1^2}{12} > \dfrac{A^2}{12} > \dfrac{A^2}{4\pi}$이다($4\pi > 12$). 즉 면적이 도심축에서 멀리 분포할수록 I가 커진다.

• (가)＞(다)＞(나)는 원형이 정사각형보다 크다고 본 것인데, $4\pi > 12$이므로 원형이 더 작다.
• (나)＞(다)＞(가)는 세로로 긴 직사각형을 가장 작다고 본 것으로, I가 높이 제곱에 비례하는 성질과 맞지 않는다.
• (나)＞(가)＞(다)는 정사각형이 세로로 긴 직사각형보다 크다고 본 것으로, $h_1^2 > A = h_2^2$와 맞지 않는다.

두 최대휨모멘트가 같으려면 등분포하중은 $w=\dfrac{2P}{L}$이어야 한다.

단순보의 최대휨모멘트는 두 경우 모두 보 중앙에서 생긴다.
$M_{\max(P)}=\dfrac{PL}{4}$
$M_{\max(w)}=\dfrac{wL^2}{8}$

두 값을 같게 놓고 w에 대해 정리한다.
$\dfrac{PL}{4}=\dfrac{wL^2}{8}$
$w=\dfrac{8PL}{4L^2}=\dfrac{2P}{L}$

• $w=\dfrac{P}{2L}$: 최대휨모멘트가 $\dfrac{PL}{16}$로 집중하중 경우의 1/4에 그친다.
• $w=\dfrac{P}{L}$: 최대휨모멘트가 $\dfrac{PL}{8}$로 집중하중 경우의 절반이다.
• $w=\dfrac{3P}{L}$: 최대휨모멘트가 $\dfrac{3PL}{8}$로 집중하중 경우의 1.5배가 된다.

A점의 등가 힘－우력계는 연직 하향 9 kN과 시계 방향 45 kN·m이며 수평력은 없다.

경사 하중 5 kN은 기울기 3:4이므로 수평 4 kN, 연직 3 kN으로 분해된다. 좌우 경사 하중의 수평 성분은 서로 반대 방향이라 상쇄된다.
$\sum F_y = 3 + 3 + 3 = 9\ \mathrm{kN}$(하향)

A점 기준 모멘트(시계 방향):
$M_A = 3\times 3 + 3\times 5 + 3\times 7 = 45\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 연직력 9 kN만 있고 모멘트가 없는 계는 하중 위치에 따른 모멘트를 빠뜨렸다.
• 모멘트 45 kN·m만 있고 연직력이 없는 계는 합력을 빠뜨렸다.
• 수평력 8 kN이 추가된 계는 좌우 수평 성분이 반대 방향으로 상쇄된다는 점을 놓쳤다.

부재 AB의 부재력은 4 kN(인장)이다.

지점 A(힌지), C(롤러) 반력을 구한다. F점 수평하중 4 kN(높이 4L), B점 연직하중 4 kN(A에서 4L).
$\sum M_A = 0:\ R_C\times 8L = 4\times 4L + 4\times 4L \Rightarrow R_C = 4\ \mathrm{kN}$
$\sum F_y = 0:\ R_{Ay} = 4 - 4 = 0$, $\sum F_x = 0:\ H_A = 4\ \mathrm{kN}$(좌향)

절점 A에서 연직 반력이 0이므로 경사 부재 AD의 힘은 0이다. 수평 평형에서 AB가 좌향 반력 4 kN과 맞서려면 A를 B 쪽으로 당겨야 하므로 $F_{AB} = 4\ \mathrm{kN}$ 인장이다.

• 0이라고 본 것은 연직 반력이 0인 점만 보고 수평 반력을 빠뜨린 것이다.
• 2√2 kN 압축은 경사 부재에 힘이 걸린다고 본 것인데, 절점 A의 연직 평형에서 경사 부재 AD는 0부재이다.
• 4 kN 압축은 크기는 맞으나 수평 반력 방향(좌향)을 반대로 본 것이다.

최대휨모멘트는 전단력이 부호를 바꾸는 C점에서 생기며 크기는 24 kN·m이다.

휨모멘트 = 전단력도의 면적 누적이고, 전단력이 0을 지나는 점(+2 kN에서 −2 kN으로 바뀌는 C점)에서 휨모멘트가 최대가 된다.

A~C 구간 사다리꼴 면적:
$M_C = \dfrac{10 + 2}{2}\times 4 = 24\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 18 kN·m는 A~C 구간 전단력도 면적(24)보다 작아 최대값이 될 수 없다.
• 20 kN·m도 같은 이유로 C점 휨모멘트 24에 못 미친다.
• 30 kN·m는 전단력도의 양(+) 면적 전체(24)를 넘는 값이라 나올 수 없다. 검산으로 C 이후 음(−) 면적 $2\times 3 + 6\times 3 = 24$를 빼면 E점에서 휨모멘트가 0으로 돌아온다.

두 반력이 같으려면 집중하중 P는 8 kN이어야 한다.

삼각형 분포하중 합력: $W = \dfrac{1}{2}\times 3\times 8 = 12\ \mathrm{kN}$, 작용점은 A에서 $\dfrac{2}{3}\times 8 = \dfrac{16}{3}\ \mathrm{m}$

$\sum M_A = 0:\ R_B\times 8 = P\times 2 + 12\times \dfrac{16}{3} = 2P + 64$
반력이 같다는 조건 $R_A = R_B = \dfrac{P + 12}{2}$를 대입하면
$4P + 48 = 2P + 64 \Rightarrow P = 8\ \mathrm{kN}$

• P가 4 kN이면 B쪽 반력이 더 커져 두 반력이 같아지지 않는다.
• P가 6 kN이어도 B쪽 반력이 A쪽보다 크다.
• P가 9 kN이면 A쪽 반력이 더 커진다.

평면 내 최대전단응력의 크기는 20 MPa이다.

전단응력이 없으므로 $\sigma_x, \sigma_y$가 곧 주응력이다. 최대전단응력 = 두 주응력 차의 절반이다.
$\tau_{max} = \left|\dfrac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right| = \left|\dfrac{-60 - (-20)}{2}\right| = 20\ \mathrm{MPa}$

• 10 MPa은 응력 차의 절반(20 MPa)보다 작아 공식과 맞지 않는다.
• 30 MPa은 면외 주응력 0까지 포함한 절대 최대전단응력 $|-60 - 0|/2$로, 평면 내 값이 아니다.
• 40 MPa은 응력 차를 2로 나누지 않은 값이다.

두 조건으로 구한 최대 하중이 모두 20 kN으로 같으므로 비는 1:1이다.

지간 9 m, A에서 3 m 지점에 P가 작용한다.
$R_A = \dfrac{6P}{9} = \dfrac{2P}{3}$, $M_{max} = \dfrac{2P}{3}\times 3 = 2P\ (\mathrm{kN\cdot m})$, $V_{max} = \dfrac{2P}{3}$

휨: $Z = \dfrac{100\times 200^2}{6} = 666{,}667\ \mathrm{mm^3}$
$\dfrac{2P\times 10^6}{666{,}667} = 60 \Rightarrow P = 20\ \mathrm{kN}$

전단: $\tau_{max} = \dfrac{3}{2}\dfrac{V}{A} = \dfrac{3}{2}\times \dfrac{(2P/3)\times 10^3}{20{,}000} = 1 \Rightarrow P = 20\ \mathrm{kN}$

• 2:1은 휨 기준 하중이 전단 기준의 두 배라는 뜻이나, 두 조건 모두 20 kN이 나오므로 맞지 않는다.
• 3:1도 두 하중이 같다는 계산 결과와 맞지 않는다.
• 4:1 역시 휨·전단 기준 하중이 각각 20 kN으로 같으므로 성립하지 않는다.

A점의 처짐 크기는 $7PL^{3}/6EI$이다(하향).

중첩법으로 두 하중의 처짐을 더한다. 고정단 C에서 A까지 길이는 2L이다.
P에 의한 처짐(하향): $\delta_1 = \dfrac{P(2L)^3}{3EI} = \dfrac{8PL^3}{3EI}$

B점 모멘트 $M = PL$(시계 방향)은 B 왼쪽 부분을 위로 들어 올린다. 고정단에서 B까지 길이 L이므로
$\theta_B = \dfrac{ML}{EI},\ \delta_B = \dfrac{ML^2}{2EI}$
$\delta_2 = \delta_B + \theta_B L = \dfrac{3ML^2}{2EI} = \dfrac{3PL^3}{2EI}$(상향)

$\delta_A = \dfrac{8PL^3}{3EI} - \dfrac{3PL^3}{2EI} = \dfrac{7PL^3}{6EI}$

• $5PL^{3}/3EI$는 모멘트에 의한 상향 처짐 중 $\theta_B L = PL^3/EI$만 빼고 $\delta_B$를 빠뜨린 값이다.
• $13PL^{3}/6EI$는 반대로 $\delta_B = PL^3/2EI$만 빼고 $\theta_B L$을 빠뜨린 값이다.
• $10PL^{3}/3EI$는 P 단독 처짐 $8PL^{3}/3EI$보다 커서, 시계 방향 모멘트가 A점을 들어 올린다는 점과 맞지 않는다.

부재력의 비 $F_{BD}/F_{CD}$는 4이다.

대칭 구조이므로 D점은 연직으로만 δ만큼 내려간다. 부재 길이는 BD가 L, CD가 $\dfrac{L}{\cos 60^\circ} = 2L$이다.

적합조건: 각 부재의 신장량은 변위의 부재축 방향 성분이다.
$\Delta_{BD} = \delta,\ \Delta_{CD} = \delta\cos 60^\circ = \dfrac{\delta}{2}$
$F = \dfrac{EA\,\Delta}{l}$이므로 $F_{BD} = \dfrac{EA\delta}{L},\ F_{CD} = \dfrac{EA\delta}{4L}$ → 비 4

• 2는 신장량 비만 반영하고 부재 길이 차이(L과 2L)를 빠뜨린 값이다.
• 2√3은 변형 적합조건 $\Delta_{CD} = \delta\cos 60^\circ$와 부재 길이 비로 나오지 않는 값이다.
• 1/√3은 BD가 CD보다 힘을 덜 받는다고 본 것으로, 짧고 변위 방향과 나란한 BD가 더 큰 힘을 받는다는 점과 반대이다.

양단 고정 4 m 기둥의 좌굴하중은 1,000 kN이다.

오일러 좌굴하중 $P_{cr} = \dfrac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$에서 EI가 같으므로 유효길이 제곱에 반비례한다.
(가) 양단 핀: $KL = 1.0\times 5 = 5\ \mathrm{m}$
(나) 양단 고정: $KL = 0.5\times 4 = 2\ \mathrm{m}$

$P_{cr,2} = 160\times \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 = 1000\ \mathrm{kN}$

• 200 kN은 유효길이계수를 빠뜨리고 길이 비 5/4를 제곱하지도 않은 값이다.
• 250 kN은 유효길이계수 0.5를 빠뜨리고 길이 비 5/4만 제곱한 값이다.
• 800 kN은 유효길이 비 5/2를 제곱해 곱한 결과(1,000 kN)와 맞지 않는다.

C점 휨모멘트의 영향선은 A~B 구간은 0이고, B에서 C까지 올라가 C에서 정점, D에서 0을 지나 E까지 음(−)으로 내려가는 형태이다.

하중이 고정단 쪽 A~B 구간에 있으면 캔틸레버 AB가 모두 받아 내므로 힌지 B 오른쪽 부재(B~E)에는 힘이 전달되지 않는다. 따라서 이 구간 영향선은 0이다.

B~E 부재는 힌지 B와 롤러 D로 지지되는 내민보처럼 거동한다. 단순보 구간 B~D 안의 C점 휨모멘트 영향선은 C에서 정점을 갖는 삼각형이고, 내민 부분 D~E에서는 직선이 연장되어 음(−)이 된다.

• A에서부터 값이 생기고 C에서 불연속인 영향선은 A~B 구간 하중이 C점에 영향을 준다고 본 데다 전단력 영향선 모양이다.
• B에서 시작해 C에서 값이 급변하는 영향선은 휨모멘트가 아니라 C점 전단력 영향선의 모양이다.
• A에서 음(−)으로 시작해 B를 지나 C에서 정점인 영향선은 A~B 구간 하중이 C점에 영향을 준다고 본 것이다.

지점 B의 반력 크기는 40.0 kN이다.

A점 모멘트 평형으로 B점 반력의 연직 성분을 먼저 구한다.
$\sum M_A = 0:\ R_{By}\times 10 = 50\times 4 \Rightarrow R_{By} = 20\ \mathrm{kN}$

롤러 반력은 60° 경사면에 수직으로 작용하므로 연직선과 60°를 이룬다.
$R_B = \dfrac{R_{By}}{\cos 60^\circ} = \dfrac{20}{0.5} = 40\ \mathrm{kN}$

• 37.5 kN은 연직 성분 20 kN을 cos 60°로 나눈 값(40 kN)과 맞지 않는다.
• 35.0 kN도 같은 이유로 성립하지 않는다.
• 30.0 kN은 A점 연직 반력(50 − 20)과 같은 값으로, B점 반력이 아니다.

C점 단면 최상부 응력은 4 MPa(압축)이다.

축인장응력: $\sigma_N = \dfrac{120\times 10^3}{300\times 400} = 1\ \mathrm{MPa}$(인장)

중앙 휨모멘트: $M_C = \dfrac{PL}{4} = \dfrac{20\times 8}{4} = 40\ \mathrm{kN\cdot m}$
$Z = \dfrac{300\times 400^2}{6} = 8\times 10^6\ \mathrm{mm^3}$, $\sigma_b = \dfrac{40\times 10^6}{8\times 10^6} = 5\ \mathrm{MPa}$

단순보 중앙은 정모멘트이므로 상연은 휨압축이다. $\sigma = 1 - 5 = -4\ \mathrm{MPa}$

• 4 MPa 인장은 상연의 휨응력 부호를 반대로 본 것이다.
• 2 MPa 압축은 휨모멘트나 단면계수를 잘못 계산해 휨응력을 3 MPa로 본 값이다.
• 2 MPa 인장도 휨응력 크기와 부호가 모두 계산 결과와 맞지 않는다.

B점 반력과 하중의 비 $R_B/P$는 3/4이다.

변위일치법: 지점 B를 제거한 캔틸레버에서 P에 의한 B점 처짐에서 $R_B$에 의한 B점 처짐을 뺀 값이 지점침하 Δ와 같아야 한다.

P(고정단에서 $a = \dfrac{5L}{4}$)에 의한 B점($x = L$) 처짐:
$\delta_P = \dfrac{Px^2(3a - x)}{6EI} = \dfrac{PL^2(15L/4 - L)}{6EI} = \dfrac{11PL^3}{24EI}$
$R_B$에 의한 처짐: $\delta_R = \dfrac{R_B L^3}{3EI}$

$\dfrac{11PL^3}{24EI} - \dfrac{R_B L^3}{3EI} = \dfrac{5PL^3}{24EI} \Rightarrow R_B = \dfrac{3}{4}P$

• 지점침하가 없다면 $R_B = \dfrac{11}{8}P$가 되므로, 침하가 반력을 줄인다는 점을 확인할 수 있다.
• 1/2은 적합조건식 $\dfrac{11}{24} - \dfrac{R_B}{3P} = \dfrac{5}{24}$을 만족하지 않는다.
• 2/3도 같은 적합조건식을 만족하지 않는다.
• 5/6 역시 적합조건식에 대입하면 성립하지 않는다.

보 단면의 최대변형률은 0.0020이다.

그림의 응력분포에서 상·하 바깥 h/4 구간은 항복응력 $\sigma_y$로 일정하고, 중립축에서 h/4까지만 탄성(선형) 구간이다. 즉 중립축에서 h/4 떨어진 곳의 변형률이 항복변형률이다.

$\varepsilon_y = \dfrac{\sigma_y}{E} = \dfrac{200}{200{,}000} = 0.001$
변형률은 단면 높이에 따라 선형이므로 최외단(중립축에서 h/2)에서
$\varepsilon_{max} = 0.001\times \dfrac{h/2}{h/4} = 0.002$

• 0.0010은 항복변형률 자체로, 최외단이 막 항복하는 탄성 한계 상태에 해당한다.
• 0.0015는 탄성 구간이 중립축에서 h/3까지일 때의 값으로 그림의 h/4와 맞지 않는다.
• 0.0025는 탄성 구간이 중립축에서 h/5까지일 때의 값이다.