[7급 국가직 회로이론] 26년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

출력 전압은 $V_o=6\ \mathrm{V}$이다. 첫 단은 전압 폴로어, 둘째 단은 비반전 증폭기다.
첫 단 출력은 입력과 같은 $2\ \mathrm{V}$이고 이것이 둘째 단의 비반전 입력이 된다.
$V_o=\left(1+\dfrac{80}{40}\right)\times 2=3\times 2=6\ \mathrm{V}$
$-6$: 둘째 단을 반전 증폭기로 잘못 본 값이다.
0: 폴로어 출력을 0으로 본 경우로, 이상적 폴로어는 입력 전압을 그대로 낸다.
12: 이득을 6배로 잘못 잡은 값이다.

필요한 귀환 저항은 $R=15\ \mathrm{k\Omega}$이다. 회로는 반전 증폭기다.
반전 증폭기 이득은 $\dfrac{V_o}{V_i}=-\dfrac{R}{3\ \mathrm{k\Omega}}$이다.
$-\dfrac{R}{3}=-5\ \Rightarrow\ R=15\ \mathrm{k\Omega}$
3 kΩ: 이득이 $-1$이 된다.
5 kΩ: 이득이 $-5/3$에 그친다.
10 kΩ: 이득이 $-10/3$에 그친다.

행렬식은 $Z_1Z_2+Z_2Z_3+Z_1Z_3$이다. T형 회로의 z 파라미터로 구한다.
포트를 하나씩 개방하면 $z_{11}=Z_1+Z_2,\ z_{22}=Z_2+Z_3,\ z_{12}=z_{21}=Z_2$이다.
$\Delta_Z=(Z_1+Z_2)(Z_2+Z_3)-Z_2^2=Z_1Z_2+Z_2Z_3+Z_1Z_3$
$Z_1Z_2Z_3+Z_1Z_3$: 임피던스 세 개의 곱이 섞여 있어 행렬식의 차원(임피던스 제곱)과 맞지 않는다.
$Z_1^2Z_2+Z_2^2Z_3$: 모든 항이 임피던스 세제곱 차원이라 성립하지 않는다.
$Z_1Z_3^2+Z_2Z_3^2+Z_1Z_2^2$: 역시 세제곱 차원이며 대칭 구조와도 맞지 않는다.

$z_{12}=s-1$이다. 포트 1의 직렬 종속 전압원이 $I_2$에 비례하므로 $z_{12}$에 반영된다.
종속원은 왼쪽이 −, 오른쪽이 +이므로 종속원 오른쪽 전위는 $V_1+I_2$이다.
$V_1+I_2=2I_1+s(I_1+I_2)$
$V_1=(s+2)I_1+(s-1)I_2\ \Rightarrow\ z_{12}=s-1$
$s$: 종속 전압원을 빠뜨린 값이다.
$s+2$: $I_1$의 계수인 $z_{11}$이다.
$s+3$: 포트 2 쪽에서 본 $z_{22}$이다.

위배되는 것은 $i_2$가 점 없는 단자로 들어가는데 점 쪽이 +인 $v_1$을 $+M\dfrac{di_2}{dt}$로 쓴 경우다.
점 규약: 전류가 점 단자로 들어가면 다른 코일의 점 단자가 +가 되는 방향으로 $+M\dfrac{di}{dt}$가 유도된다. 이 경우 $i_2$가 점 없는 쪽(위)으로 들어가고 $v_1$의 +는 점 쪽(위)이므로 $v_1=-M\dfrac{di_2}{dt}$여야 한다.
두 점이 모두 위에 있고 $i_1$이 점으로 들어가며 $v_2$의 +가 점 쪽인 경우: $v_2=+M\dfrac{di_1}{dt}$로 옳다.
2차 점이 아래에 있고 $v_2$의 +가 점 없는 위쪽인 경우: 극성이 반대이므로 $v_2=-M\dfrac{di_1}{dt}$로 옳다.
두 점이 모두 아래에 있고 $i_2$가 점 없는 쪽으로 들어가며 $v_1$의 +도 점 없는 쪽인 경우: 두 기준이 함께 뒤집혀 $+M\dfrac{di_2}{dt}$로 옳다.

권선비는 $n=10\sqrt{10}$이다. 부하를 1차로 환산한 값이 전원 내부저항과 같을 때 최대전력이 전달된다.
1차 환산 저항은 $\dfrac{R_L}{n^2}$이다.
$\dfrac{10000}{n^2}=10\ \Rightarrow\ n^2=1000\ \Rightarrow\ n=10\sqrt{10}$
10: 환산 저항이 100 Ω으로 정합되지 않는다.
100: 환산 저항이 1 Ω으로 정합되지 않는다.
$100\sqrt{10}$: 환산 저항이 0.1 Ω으로 정합되지 않는다.

전달함수는 $\dfrac{20000(s+500)}{(s+50)(s+2000)}$이다. 저주파 이득 40 dB와 꺾임점 순서(극 50, 영점 500, 극 2000)가 모두 맞는다.
40 dB는 크기 100이다. 50에서 −20 dB/dec로 꺾이므로 극, 500에서 평탄해지므로 영점, 2000에서 다시 꺾이므로 극이다.
$H(0)=\dfrac{K\cdot 500}{50\cdot 2000}=\dfrac{K}{200}=100\ \Rightarrow\ K=20000$
계수 2000에 같은 극·영점: 저주파 이득이 10(20 dB)에 그친다.
계수 8000에 영점 50: 50에서 기울기가 올라가는 형태라 선도와 반대이다.
계수 40000에 영점 50: 역시 50에서 영점이 먼저 나와 선도와 맞지 않는다.

$I(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+1}$이다. 초기 인덕터 전류 0인 RL 직렬회로의 계단응답이다.
스위치가 닫히기 전 전류는 0이므로 초기조건 항이 없다.
$I(s)=\dfrac{1/s}{1+s}=\dfrac{1}{s(s+1)}=\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+1}$
$\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s-1}$: 우반면 극이 있어 수동 회로에서 나올 수 없는 발산 응답이다.
$\dfrac{1}{s-1}$: 역시 지수적으로 증가하는 응답이다.
$\dfrac{1}{s}$: 인덕터를 무시해 전류가 즉시 1 A로 뛰는 값으로, 인덕터 전류 연속성에 어긋난다.

부하에 전달되는 평균전력은 500 W이다. 평균전력은 저항분에서만 소비되므로 $P=I^2R$로 구한다.
임피던스 크기: $|Z|=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\,\mathrm{\Omega}$
실횻값 전류: $I=\dfrac{100}{10\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\,\mathrm{A}$
평균전력: $P=(5\sqrt{2})^2\times 10=50\times 10=500\,\mathrm{W}$
전압이 이미 실횻값이므로 1/2 계수를 곱하지 않는다.
1000 W는 리액턴스를 무시하고 $V^2/R$로 계산한 값이다.
250 W는 100 V를 최댓값으로 보고 1/2 계수를 곱한 값이다.
100 W는 위 계산 결과보다 훨씬 작아 성립하지 않는다.

10 kΩ 저항의 평균전력은 6.25 W이다. 부하를 1차로 환산하면 100 Ω이 되어 내부저항과 정합된다.
환산 저항 $\dfrac{10000}{10^2}=100\ \Omega$, 1차 전류 $I=\dfrac{50}{100+100}=0.25\ \mathrm{A}$이다.
$P=0.25^2\times 100=6.25\ \mathrm{W}$ (점 방향은 전력 크기에 영향이 없다)
12.5 W: 전원이 공급하는 전체 전력(두 저항 합)이다.
25.0 W: 직렬 100 Ω을 무시하고 $50^2/100$으로 계산한 값이다.
50.0 W: 이 전원이 정합 부하에 줄 수 있는 최대전력 $\dfrac{50^2}{4\times 100}=6.25\ \mathrm{W}$를 넘어 성립하지 않는다.

임펄스 응답은 $h(t)=2e^{-2t}u(t)$이다. $(s+1)$ 항이 약분되어 극이 하나만 남는다.
중간 마디 전압을 $V_x$라 하면 오른쪽 가지($2+\dfrac{2}{s}$)에서 $V_o=\dfrac{V_x}{s+1}$이다.
$I_s=\dfrac{V_x}{s+1}+\dfrac{sV_x}{2(s+1)}=\dfrac{(s+2)V_x}{2(s+1)}$
$H(s)=\dfrac{V_o}{I_s}=\dfrac{2}{s+2}$
$(e^{-t}+e^{-2t})u(t)$: 약분되는 $s=-1$ 극을 남긴 형태이다.
$2(e^{-t}+e^{-2t})u(t)$: 역시 존재하지 않는 $e^{-t}$ 성분을 포함한다.
$e^{-2t}u(t)$: 이득 2를 빠뜨린 값이다.

선전류 크기는 $4\sqrt{3}\ \mathrm{A}$이다. Δ 부하를 Y로 변환해 선로 임피던스와 직렬로 묶는다.
$Z_Y=\dfrac{18+j12}{3}=6+j4$, 한 상 총 임피던스 $8+j6$, 크기 10 Ω이다.
$I=\dfrac{120/\sqrt{3}}{10}=\dfrac{40\sqrt{3}}{10}=4\sqrt{3}\ \mathrm{A}$
4 A: Δ 부하의 상전류로, 선전류의 $1/\sqrt{3}$이다.
12 A: 선간전압을 Y 상전압처럼 그대로 쓴 값이다.
$12\sqrt{3}$ A: 위 오류에 $\sqrt{3}$을 또 곱한 값이다.

$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{1}{2}$이다. 비반전 입력은 분압, 반전 입력은 마디 전류 합 0으로 푼다.
비반전 입력: $V_+=\dfrac{6R}{7R}V_2=\dfrac{6}{7}V_2$
반전 입력 KCL: $\dfrac{V_1-V}{R}+\dfrac{5-V}{R}+\dfrac{-15-V}{3R}=0\ \Rightarrow\ V=\dfrac{3}{7}V_1$
$\dfrac{6}{7}V_2=\dfrac{3}{7}V_1\ \Rightarrow\ \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{1}{2}$
2: 비를 거꾸로 잡은 값이다.
3: 대입하면 반전 입력 마디의 전류 합이 0이 되지 않는다.
$\dfrac{1}{3}$: 마찬가지로 두 입력 전위가 같아지지 않는다.

$i(t)=\dfrac{4}{3}e^{-t/0.2}\ \mathrm{mA}$이다. 초기 커패시터 전압 4 V가 6 kΩ ∥ 3 kΩ을 통해 방전된다.
정상상태 커패시터 전압 $12\times\dfrac{3}{9}=4\ \mathrm{V}$, 따라서 $i(0^+)=\dfrac{4}{3}\ \mathrm{mA}$이다.
$\tau=(6\parallel 3)\ \mathrm{k\Omega}\times 100\ \mu\mathrm{F}=2000\times 10^{-4}=0.2\ \mathrm{s}$
$e^{-0.2t}$: 시정수와 그 역수를 혼동한 형태이다.
$e^{-t/0.05}$: 시정수 0.05 s는 등가저항 500 Ω에 해당해 회로와 맞지 않는다.
$e^{-0.05t}$: 시정수 20 s에 해당해 역시 맞지 않는다.

임계감쇠 저항은 $R=250\ \Omega$이다. 병렬 RLC에서 $\alpha=\omega_0$ 조건을 쓴다.
$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0.025\times 10^{-7}}}=2\times 10^4\ \mathrm{rad/s}$
$\alpha=\dfrac{1}{2RC}=\omega_0\ \Rightarrow\ R=\dfrac{1}{2\times 10^{-7}\times 2\times 10^4}=250\ \Omega$
125 Ω: 과감쇠($\alpha\gt \omega_0$)가 된다.
500 Ω: $\sqrt{L/C}$로 1/2을 빠뜨린 값이며 부족감쇠가 된다.
1000 Ω: 직렬 RLC 조건 $2\sqrt{L/C}$를 잘못 적용한 값이다.

$V_{TH}(s)=\dfrac{20}{s+1}$이다. 개방전압은 인덕터 양단 전압이다.
전류원 $8/s$가 2.5 Ω과 (17.5 Ω + 20s) 가지로 분류된다.
$I_L=\dfrac{8}{s}\cdot\dfrac{2.5}{20+20s}=\dfrac{1}{s(s+1)}$
$V_{TH}=20s\cdot I_L=\dfrac{20}{s+1}$
검산: $t=0^+$에 인덕터는 개방이므로 17.5 Ω에 전류가 없고 $v_{ab}=8\times 2.5=20\ \mathrm{V}$로 초기값이 일치한다.
$\dfrac{5}{s+1}$: 초기값이 5 V가 되어 맞지 않는다.
$\dfrac{10}{s+1}$: 초기값 10 V로 맞지 않는다.
$\dfrac{15}{s+1}$: 초기값 15 V로 맞지 않는다.

$V_o=33.75\ \mathrm{V}$이다. 단자가 개방이므로 2 kΩ·4 kΩ에는 전류가 없고, 두 중간 마디의 전위차가 곧 $V_o$다.
전류원 18 mA가 두 가지(10+15 = 25 kΩ, 3+12 = 15 kΩ)로 분류된다: 왼쪽 6.75 mA, 오른쪽 11.25 mA.
위 마디를 0 V로 두면 아래 마디는 $18\times(25\parallel 15)=168.75\ \mathrm{V}$이다.
왼쪽 중간 $168.75-15\times 6.75=67.5\ \mathrm{V}$, 오른쪽 중간 $168.75-12\times 11.25=33.75\ \mathrm{V}$
$V_o=67.5-33.75=33.75\ \mathrm{V}$
$-101.25$: 15 kΩ 전압강하 하나만 취한 값이다.
15.5: 분류 전류로 구한 두 마디 전위차와 맞지 않는다.
24.5: 역시 두 마디 전위차와 맞지 않는다.

$I_x=0\ \mathrm{A}$이다. 30 Ω 양끝 마디 전압이 같기 때문이다.
왼쪽 마디 A(20 Ω 가지), 오른쪽 마디 B(10 Ω)에 대한 마디 방정식:
$5=\dfrac{V_A}{20}+\dfrac{V_A-V_B}{30},\quad 10=\dfrac{V_B}{10}+\dfrac{V_B-V_A}{30}$
풀면 $V_A=V_B=100\ \mathrm{V}$이므로 30 Ω에는 전류가 흐르지 않는다.
1 A: 30 Ω에 30 V 전위차가 있어야 하나 실제 전위차는 0이다.
2 A: 60 V 전위차가 필요해 성립하지 않는다.
3 A: 90 V 전위차가 필요해 성립하지 않는다.

초기 에너지는 2.25 J이다. 정상상태에서 커패시터는 개방이므로 9 Ω 양단 전압이 그대로 걸린다.
1 Ω에는 전류가 없으므로 $V=20\times\dfrac{9}{3+9}=15\ \mathrm{V}$
$W=\dfrac{1}{2}CV^2=\dfrac{1}{2}\times 0.02\times 15^2=2.25\ \mathrm{J}$
2.20 J: 커패시터 전압이 15 V보다 낮아야 나오는 값이다.
2.30 J: 15 V보다 높은 전압을 가정한 값이다.
2.35 J: 역시 15 V와 맞지 않는다.

$I(s)=\dfrac{s+7}{s(s+5)}$이다. 초기 인덕터 전류 1 A를 초기조건 항으로 넣는다.
$t\lt 0$: $i(0^-)=\dfrac{7}{5+2}=1\ \mathrm{A}$. $t\gt 0$: 스위치가 2 Ω을 단락한다.
$sI-1+5I=\dfrac{7}{s}\ \Rightarrow\ I(s)=\dfrac{s+7}{s(s+5)}$
검산: 초기값 $\lim sI=1$, 최종값 $7/5=1.4\ \mathrm{A}$로 두 조건을 모두 만족한다.
$\dfrac{2s}{s(s+3)}$: 초기값이 2 A여서 전류 연속성에 어긋난다.
$\dfrac{7}{s(s+7)}$: 초기값이 0이 되어 초기 전류 1 A를 무시한다.
$\dfrac{s}{s(s+2)}$: 최종값이 0이 되어 정상전류 1.4 A와 맞지 않는다.

R의 평균전력은 38 W이다. 두 전원의 주파수가 달라 중첩한 전력의 합(20 W + 18 W)으로 구한다.
전류원(ω=20) 단독: 커패시터 $-j2$, 마디 어드미턴스 $0.5+0.5+j0.5$.
$|V|^2=\dfrac{100}{1.25}=80,\quad P_1=\dfrac{80}{2\times 2}=20\ \mathrm{W}$
전압원(ω=40) 단독: 커패시터 $-j1$, $Z=2\parallel(-j1)=0.4-j0.8$.
$|V|^2=576\times\dfrac{0.8}{6.4}=72,\quad P_2=\dfrac{72}{4}=18\ \mathrm{W}$
18 W: 전압원 성분만 계산한 값이다.
28 W: 두 성분 전력의 합과 맞지 않는다.
48 W: 역시 20 W와 18 W의 합과 맞지 않는다.

$H(s)=\dfrac{10^6s}{s^2+400s+16\times 10^6}$이다. 병렬 RLC의 입력 임피던스이며 공진주파수와 대역폭으로 계수를 정한다.
$H(s)=\dfrac{s/C}{s^2+\dfrac{\omega_0}{Q}s+\omega_0^2}$, $\dfrac{1}{C}=10^6$
$\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{0.0625\times 10^{-6}}}=4000\ \mathrm{rad/s},\ \omega_0^2=16\times 10^6$
$\dfrac{\omega_0}{Q}=\dfrac{4000}{10}=400$
분자 $10^6s$, 분모 $s^2+200s+4\times 10^6$: 공진주파수가 2000 rad/s로 소자값과 맞지 않는다.
분자 $10^6$, 분모 $s^2+200s+4\times 10^6$: 분자에 s가 없고 공진주파수도 틀리다.
분자 $10^6$, 분모 $s^2+400s+16\times 10^6$: 직류에서 인덕터가 단락하므로 $H(0)=0$이어야 하는데 0이 아니다.

$H(s)=\dfrac{1}{2+\left(\dfrac{L}{R}+CR\right)s+LCs^2}$이다. 중간 마디의 KCL과 출력 측 분압으로 구한다.
중간 마디 전압 $V_x$: $V_2=\dfrac{R}{R+sL}V_x$, $\dfrac{V_1-V_x}{R}=sCV_x+\dfrac{V_x}{R+sL}$
$H=\dfrac{R}{(R+sL)(1+sCR)+R}=\dfrac{1}{2+\left(\dfrac{L}{R}+CR\right)s+LCs^2}$
검산: 직류($s=0$)에서 두 R의 분압 1/2이 나온다.
상수항이 $2CR$인 식: 직류 이득이 1/2이 되지 않는다.
s의 계수가 $RL+\dfrac{C}{R}$인 식: 시간 차원이 아닌 항이 섞여 있다.
s의 계수가 $RL+CR$인 식: $RL$은 시간 차원이 아니어서 성립하지 않는다.

테브난 저항은 $R_{th}=21\ \mathrm{k\Omega}$이다. 독립 전원을 단락하고 시험 전류를 넣어 구한다.
시험 전류 $I$를 a로 넣으면 중간 마디로 모두 흘러 두 2 kΩ(병렬 1 kΩ)을 지난다: $V_M=1000I$, $v_0=-V_M=-1000I$
종속원 전류 $Gv_0=-I$이므로 10 kΩ 전류는 $I-(-I)=2I$이다.
$V_a=V_M+10^4\times 2I=21000I\ \Rightarrow\ R_{th}=21\ \mathrm{k\Omega}$
11 kΩ: 종속 전류원을 무시한 값(10 + 1)이다.
12 kΩ: 2 kΩ 하나만 직렬로 더한 값이다.
22 kΩ: 두 2 kΩ을 병렬(1 kΩ)이 아닌 2 kΩ으로 두고 10 kΩ 몫만 2배로 잡은 값으로, 같은 가정을 끝까지 적용하면 32 kΩ이 되어 성립하지 않는다.

$v_o(t)=\left(\dfrac{8}{27}te^{-t/3}+\dfrac{22}{9}e^{-t/3}\right)u(t)$이다. 특성근이 중근 $-1/3$인 임계감쇠 응답이다.
초기조건: 인덕터 전류 $i_L(0)=\dfrac{2}{2}=1\ \mathrm{A}$, 커패시터 전압 $2\ \mathrm{V}$. $t\gt 0$에서 마디 KCL:
$2\left(\dfrac{3}{s}-V\right)=\dfrac{V}{2s}+\dfrac{1}{s}+\dfrac{sV-2}{4s+2}$
$V(s)=\dfrac{22s+10}{(3s+1)^2}=\dfrac{22}{9}\cdot\dfrac{1}{s+\frac{1}{3}}+\dfrac{8}{27}\cdot\dfrac{1}{(s+\frac{1}{3})^2}$
검산: $v_o(0^+)=\dfrac{22}{9}\ \mathrm{V}$로 초기값이 맞다.
상수항 계수 $\dfrac{8}{27}$인 식: 초기값이 $\dfrac{8}{27}$ V가 되어 맞지 않는다.
상수항 계수 $\dfrac{1}{3}$인 식: 초기값이 $\dfrac{1}{3}$ V로 맞지 않는다.
상수항 계수 $\dfrac{8}{3}$인 식: 초기값이 $\dfrac{8}{3}$ V로 맞지 않는다.