[9급 지방직 응용역학개론] 10년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

스프링 A가 받는 힘은 8 N이다.
도르래 마찰이 없으므로 줄의 장력은 매달린 블록 C의 무게와 같아 $T=10\ \mathrm{N}$이다. 줄은 수평 4 : 연직 3 비율로 기울어 있으므로 빗변 비율은 5이다.
블록 B의 수평 평형: $F_A=T\times\dfrac{4}{5}=10\times\dfrac{4}{5}=8\ \mathrm{N}$
바닥 마찰이 없으므로 이 장력의 수평성분을 스프링이 모두 받는다.
9는 4 : 3 : 5 비율로 분해한 수평성분과 맞지 않는다.
10은 줄 장력 전체를 수평력으로 본 값이다.
12는 줄 장력 10 N보다 커서 장력의 수평성분이 될 수 없다.

직사각형 단면의 단면계수와 소성계수의 비는 2 : 3이다.
폭 b, 높이 h인 직사각형에서 도심축에 대한 단면계수와 소성계수는 다음과 같다.
$Z=\dfrac{bh^2}{6},\quad Z_p=\dfrac{bh^2}{4}$
비는 $\dfrac{1}{6}:\dfrac{1}{4}=2:3$으로 치수(12 cm×20 cm)와 무관하며, 형상계수 $\dfrac{Z_p}{Z}=1.5$와 같은 내용이다(형상계수 1.5).
1 : 2는 형상계수를 2로 본 것으로 직사각형에 맞지 않는다.
1 : 4는 두 계수의 차이를 과도하게 잡은 값이다.
4 : 1은 단면계수가 소성계수보다 크다는 뜻이어서 성립하지 않는다(소성계수가 항상 크다).

부재 AB의 분배계수는 1/3이다.
세 부재 모두 타단이 고정이므로 강도는 $\dfrac{4EI}{L}$에 비례하고, 분배계수는 강비 $\dfrac{I}{L}$의 비율로 정해진다.
AB: $\dfrac{I}{5}$, AC: $\dfrac{I}{5}$, AD: $\dfrac{2I}{10}=\dfrac{I}{5}$
세 강비가 모두 같으므로 $DF_{AB}=\dfrac{I/5}{3\times I/5}=\dfrac{1}{3}$이다(강비가 모두 같음).
1/2은 부재가 두 개뿐인 경우의 값이다.
1/4은 AD의 강비를 2배로 잘못 본 경우의 값이다.
1/5은 강비 비율과 맞지 않는다.

B점의 전단력 크기는 1.25 kN이다.
A(힌지)에 대한 모멘트 평형(반시계 +): 지점 C는 A에서 4 m, 하중 P는 5 m 떨어져 있고 A의 모멘트 3 kN·m은 반시계방향이다.
$4R_C-8\times5+3=0\ \Rightarrow\ R_C=9.25\ \mathrm{kN}$
연직 평형: $R_A=8-9.25=-1.25\ \mathrm{kN}$(하향)
B는 A와 C 사이이므로 왼쪽 자유물체에서 $V_B=R_A=-1.25\ \mathrm{kN}$, 크기 1.25 kN이다.
0.25는 평형식에서 얻은 A 반력 크기보다 작다.
0.75는 평형식에서 얻은 A 반력 크기와 맞지 않는다.
1.75는 평형식에서 얻은 A 반력 크기보다 크다.

지간 중앙의 휨모멘트는 0이다.
두 집중하중 10 kN, 20 kN이 각각 지점 A, B 바로 위에 작용한다. 따라서 하중은 그대로 지점으로 전달되어 $R_A=10\ \mathrm{kN},\ R_B=20\ \mathrm{kN}$이다.
중앙 단면의 왼쪽 자유물체: $M=R_A\times5-10\times5=0$
10은 하중 10 kN을 모멘트로 혼동한 값이다.
50은 하중 하나에 팔 길이 5 m만 곱하고 지점 반력을 빼먹은 값이다.
100은 20 kN에 5 m를 곱한 값으로, 반력과의 상쇄를 고려하지 않았다.

옹벽은 전도에는 안전하고 활동에는 불안전하다.
전도(앞굽 기준): 삼각형 130 kN의 도심은 앞굽에서 $\dfrac{2}{3}\times3=2\ \mathrm{m}$, 직사각형 170 kN은 $3+1=4\ \mathrm{m}$이다.
$M_r=130\times2+170\times4=940\ \mathrm{kN\cdot m},\ M_o=100\times4=400\ \mathrm{kN\cdot m}$
$F_s=\dfrac{940}{400}=2.35\ge1.5$ → 안전
활동: $F_s=\dfrac{0.4\times300}{100}=1.2<1.5$ → 불안전
둘 다 안전하다는 판정은 활동 안전율 1.2가 1.5에 못 미치는 점을 놓쳤다.
둘 다 불안전하다는 판정은 전도 안전율 2.35를 무시했다.
전도 불안전·활동 안전은 두 판정이 모두 반대다.

하중 위치는 X = 0.6L이다.
보가 수평을 유지하려면 두 봉의 신장량이 같아야 한다(EA 동일).
$\dfrac{F_A(3h)}{EA}=\dfrac{F_B(2h)}{EA}\ \Rightarrow\ 3F_A=2F_B$
$F_A+F_B=P$와 연립하면 $F_A=0.4P,\ F_B=0.6P$
A에 대한 모멘트 평형: $P\cdot X=F_B\cdot L=0.6PL\ \Rightarrow\ X=0.6L$
짧은 봉 B가 더 큰 힘을 받으므로 하중은 B 쪽으로 치우친다.
0.3L은 비율과 맞지 않는 값이다.
0.4L은 F(A)의 분담률을 위치로 잘못 쓴 값이다.
0.5L은 두 봉 길이가 같을 때의 위치다.

D점의 수평변위는 8 cm이다.
자유단 D부터 각 구간 축력을 구한다(인장 +).
CD: $N=20\ \mathrm{kN}$
BC: $N=20+15=35\ \mathrm{kN}$
AB: $N=35-30=5\ \mathrm{kN}$
$EA=100\ \mathrm{GPa}\times1\ \mathrm{mm^2}=10^5\ \mathrm{N}$
$\delta=\dfrac{(5\times100+35\times100+20\times200)\times10^3}{10^5}=\dfrac{8\times10^6}{10^5}=80\ \mathrm{mm}$
즉 구간별 축력의 합산으로 8 cm이다.
2는 세 구간 신장량의 합보다 작다.
4는 CD 구간(20 kN×200 mm) 변형만 계산한 값이다.
6은 구간별 누적 축력과 맞지 않는 값이다.

절대최대휨모멘트는 35.28 kN·m이다.
합력 $R=6+12=18\ \mathrm{kN}$, 12 kN에서 합력까지 거리 $e=\dfrac{6\times1.8}{18}=0.6\ \mathrm{m}$이다. 보 중앙이 큰 하중과 합력 사이를 이등분하도록 12 kN을 A에서 $4.5+0.3=4.8\ \mathrm{m}$에 둔다.
합력 위치는 A에서 4.2 m이므로 $R_B=\dfrac{18\times4.2}{9}=8.4\ \mathrm{kN}$
$M_{max}=8.4\times(9-4.8)=35.28\ \mathrm{kN\cdot m}$
27.62는 이등분 위치에서 구한 최대값보다 작다.
30.42도 이등분 위치에서 구한 최대값보다 작다.
41.26은 두 하중이 중앙에 모두 모인 경우(40.5)보다도 커서 나올 수 없는 값이다.

탄성변형에너지는 $\dfrac{P^2L^3}{128EI}$이다.
반력은 각 $\dfrac{P}{2}$이고, 각 지점에서 x만큼 떨어진 단면의 휨모멘트는 $M=\dfrac{Px}{2}$이다. 반 구간 적분값은 $\int_0^{L/2}\left(\dfrac{Px}{2}\right)^2dx=\dfrac{P^2L^3}{96}$이다.
왼쪽(2EI): $\dfrac{1}{2(2EI)}\cdot\dfrac{P^2L^3}{96}=\dfrac{P^2L^3}{384EI}$
오른쪽(EI): $\dfrac{1}{2EI}\cdot\dfrac{P^2L^3}{96}=\dfrac{P^2L^3}{192EI}$
합: $\dfrac{3P^2L^3}{384EI}=\dfrac{P^2L^3}{128EI}$ (강성이 다른 구간을 나눠 적분)
$\dfrac{P^2L^3}{24EI}$는 적분을 크게 잘못한 과대값이다.
$\dfrac{P^2L^3}{192EI}$는 전 구간이 2EI인 균일보의 값으로, 오른쪽 구간의 EI를 반영하지 않았다.
$\dfrac{P^2L^3}{250EI}$는 두 구간 합과 맞지 않는다.

A점의 전단력은 −1 N이다.
힌지 오른쪽 보(4 m)는 중앙에 4 N이 있으므로 힌지에 $2\ \mathrm{N}$을 하향으로 전달한다. 왼쪽 보는 왼쪽 롤러(0 m)·힌지 지점(6 m)·내민 끝 힌지(9 m)로 이루어진다.
힌지 지점(6 m)에 대한 모멘트 평형: $6R_L=12\times3-2\times3\ \Rightarrow\ R_L=5\ \mathrm{N}$
A(3 m)의 왼쪽 자유물체: $V_A=5-2\times3=-1\ \mathrm{N}$
주어진 부호 규약(왼쪽 면 위·오른쪽 면 아래가 +)에 따라 부(−)의 전단력이다.
+1은 크기는 맞지만 부호가 반대다.
−6은 분포하중 합만 보고 반력을 빼먹은 값이다.
+6은 부호와 크기가 모두 맞지 않는다.

부재력은 CG 압축 10 N, DE 0이다.
절점 E: 부재는 수평 FE와 경사 DE뿐이고 외력 5 N은 수평이다. 연직 평형에서 DE의 연직성분이 0이어야 하므로 $F_{DE}=0$이다(0부재).
절점 C: 수평 부재 BC·CD와 연직 부재 CG가 모이고, 하향 10 N이 작용한다. 연직 평형 $\Sigma F_y=0$에서 CG가 C를 위로 10 N 밀어야 하므로 CG는 압축 10 N이다.
CG 압축 10 N, DE 압축 5 N은 E의 수평력 5 N을 DE가 받는다고 본 것으로, 실제로는 FE가 받는다.
CG·DE 모두 인장으로 본 경우는 CG의 방향과 DE의 0부재 판정이 모두 틀렸다.
CG 인장 10 N, DE 0은 C의 하중을 CG가 아래로 당긴다고 본 것으로 방향이 반대다.

이 재료의 푸아송비는 0.25이다.
푸아송비는 가로변형률과 세로변형률의 비이다: $\nu=\left|\dfrac{\varepsilon_d}{\varepsilon_L}\right|$
가로변형률: $\varepsilon_d=\dfrac{100-99.8}{100}=0.002$
세로변형률: $\varepsilon_L=\dfrac{252-250}{250}=0.008$
따라서 $\nu=\dfrac{0.002}{0.008}=0.25$
0.2는 계산값 0.25보다 작아 측정된 변형률 비와 맞지 않는다.
0.3은 일반 강재의 대표값일 뿐, 주어진 치수 변화로 계산한 값이 아니다.
0.35는 계산값 0.25보다 커서 측정된 변형률 비와 맞지 않는다.

수평반력은 88 kN이다.
양단 고정봉은 늘어날 수 없으므로 열변형만큼 압축력이 생기며, 힘은 길이와 무관하다.
$R=EA\alpha\Delta T$
$R=2.0\times10^6\times100\times1.1\times10^{-5}\times40=88000\ \mathrm{N}=88\ \mathrm{kN}$
22는 온도 변화를 10 ℃로 본 값이다.
44는 온도 변화를 절반으로 본 값이다.
66은 온도 변화를 30 ℃로 본 값이다.

좌굴하중 관계는 A＝B＞C이다.
오일러 좌굴하중 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}$에서 EI가 같으므로 유효길이만 비교한다.
A(고정-자유, L): $KL=2L$
B(양단 힌지, 2L): $KL=2L$
C(고정-힌지, 3L): $KL=0.7\times3L=2.1L$
유효길이가 가장 긴 C의 좌굴하중이 가장 작다.
A＝B＜C는 C의 유효길이가 더 긴 점을 반대로 판정했다.
A＜B＜C는 실제 길이만 보고 지점 조건을 무시했다.
A＞B＞C는 A와 B의 유효길이가 같다는 점을 놓쳤다.

B점의 최대주응력은 750 kPa이다.
반력: $R_A=\dfrac{40\times6}{8}=30\ \mathrm{kN},\ R_B=10\ \mathrm{kN}$. B 단면(A에서 4 m)은 하중 오른쪽이므로 전단력 크기는 10 kN이다. B는 상단에서 10 cm, 즉 높이 20 cm 단면의 중립축에 있어 휨응력이 0이다.
$\tau=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{V}{A}=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{10000}{0.1\times0.2}=750000\ \mathrm{Pa}=750\ \mathrm{kPa}$
순수전단 상태이므로 $\sigma_1=\tau=750\ \mathrm{kPa}$이다.
0은 중립축에서 휨응력만 보고 전단응력을 무시한 값이다.
500은 평균전단응력 V/A로, 직사각형 중립축의 1.5배 계수를 빠뜨렸다.
1,100은 중립축의 최대 전단응력보다 커서 순수전단 상태의 주응력이 될 수 없다.

C점의 처짐은 $-\dfrac{PL^3}{32EI}$(상향)이다.
AB 구간은 중앙 D에 P를 받는 단순보이고, BC 구간에는 하중이 없어 직선으로 회전만 한다. 단순보 중앙집중하중의 지점 처짐각은 $\theta_B=\dfrac{PL^2}{16EI}$이다.
B에서 AB 구간이 처지며 회전하면 내민 부분은 위로 들린다.
$\delta_C=-\theta_B\times\dfrac{L}{2}=-\dfrac{PL^2}{16EI}\times\dfrac{L}{2}=-\dfrac{PL^3}{32EI}$
$-\dfrac{PL^3}{8EI}$는 처짐각 계산이 과대한 값이다.
$\dfrac{PL^3}{24EI}$는 방향이 하향(+)이어서 맞지 않는다.
$\dfrac{PL^3}{48EI}$는 단순보 중앙 처짐으로, C의 처짐이 아니며 방향도 반대다.

최대 전단응력은 $\dfrac{122}{I}V$이다.
최대 전단응력은 중립축에서 생기며 $\tau=\dfrac{VQ}{Ib}$이다. 전체 높이 20 mm이므로 중립축은 위에서 10 mm 위치이다.
중립축 위쪽의 1차모멘트:
플랜지: $10\times2\times9=180\ \mathrm{mm^3}$
웨브: $2\times8\times4=64\ \mathrm{mm^3}$
$Q=244\ \mathrm{mm^3}$, 웨브 폭 $b=2\ \mathrm{mm}$ → $\tau=\dfrac{244V}{2I}=\dfrac{122V}{I}$ (웨브 폭으로 나눔)
$\dfrac{45}{I}V$는 Q 계산이 맞지 않는 값이다.
$\dfrac{64}{I}V$는 웨브 부분의 1차모멘트 64 mm³만 쓴 값으로, 플랜지 몫 180 mm³와 웨브 폭으로 나누는 과정이 빠졌다.
$\dfrac{100}{I}V$는 플랜지·웨브 Q 합과 맞지 않는 값이다.

옳지 않은 것은 B점의 전단응력이 D점보다 크다는 설명이다.
캔틸레버의 전단력 P와 비틀림 T는 길이 방향으로 일정하다. B와 D는 두 단면에서 같은 위치(측면, 중립축)에 있으므로 비틀림 전단응력과 휨 전단응력이 모두 같아 두 점의 전단응력은 같다.
A점의 수직응력이 B·C보다 크다: B는 중립축이라 휨응력이 0이고, A는 C보다 고정단에 가까워 휨모멘트가 크므로 옳다.
A·C의 전단응력은 같고 B보다 작다: A·C는 상단 최외측이라 횡전단응력이 0이고 비틀림 전단응력만 있어 서로 같으며, B에는 횡전단응력이 추가로 작용하므로 옳다.
A점에 전단응력과 수직응력이 모두 존재한다: 비틀림 전단응력과 휨 수직응력이 함께 있으므로 옳다.

분포하중의 길이는 X = 3 m이다.
왼쪽 지점 A에 대한 모멘트 평형(반시계 +): 분포하중 합력 $2X$는 A에서 $\dfrac{X}{2}$에 작용하고, 오른쪽 끝의 모멘트 1 kN·m은 시계방향이다.
$1\times10-2X\cdot\dfrac{X}{2}-1=0\ \Rightarrow\ X^2=9\ \Rightarrow\ X=3\ \mathrm{m}$
집중 모멘트의 부호를 빠뜨리지 않는 것이 핵심이다.
4는 이 식을 만족하지 않는다($X^2=16$).
5는 이 식을 만족하지 않는다($X^2=25$).
6은 이 식을 만족하지 않는다($X^2=36$).