10년 1회차

스프링 A가 받는 힘은 8 N이다.

도르래 마찰이 없으므로 줄의 장력은 매달린 블록 C의 무게와 같아 $T=10\ \mathrm{N}$이다. 줄은 수평 4 : 연직 3 비율로 기울어 있으므로 빗변 비율은 5이다.

블록 B의 수평 평형: $F_A=T\times\dfrac{4}{5}=10\times\dfrac{4}{5}=8\ \mathrm{N}$
바닥 마찰이 없으므로 이 장력의 수평성분을 스프링이 모두 받는다.

• 9는 4 : 3 : 5 비율로 분해한 수평성분과 맞지 않는다.
• 10은 줄 장력 전체를 수평력으로 본 값이다.
• 12는 줄 장력 10 N보다 커서 장력의 수평성분이 될 수 없다.

직사각형 단면의 단면계수와 소성계수의 비는 2 : 3이다.

폭 b, 높이 h인 직사각형에서 도심축에 대한 단면계수와 소성계수는 다음과 같다.
$Z=\dfrac{bh^2}{6},\quad Z_p=\dfrac{bh^2}{4}$

비는 $\dfrac{1}{6}:\dfrac{1}{4}=2:3$으로 치수(12 cm×20 cm)와 무관하며, 형상계수 $\dfrac{Z_p}{Z}=1.5$와 같은 내용이다(형상계수 1.5).

• 1 : 2는 형상계수를 2로 본 것으로 직사각형에 맞지 않는다.
• 1 : 4는 두 계수의 차이를 과도하게 잡은 값이다.
• 4 : 1은 단면계수가 소성계수보다 크다는 뜻이어서 성립하지 않는다(소성계수가 항상 크다).

부재 AB의 분배계수는 1/3이다.

세 부재 모두 타단이 고정이므로 강도는 $\dfrac{4EI}{L}$에 비례하고, 분배계수는 강비 $\dfrac{I}{L}$의 비율로 정해진다.

AB: $\dfrac{I}{5}$, AC: $\dfrac{I}{5}$, AD: $\dfrac{2I}{10}=\dfrac{I}{5}$
세 강비가 모두 같으므로 $DF_{AB}=\dfrac{I/5}{3\times I/5}=\dfrac{1}{3}$이다(강비가 모두 같음).

• 1/2은 부재가 두 개뿐인 경우의 값이다.
• 1/4은 AD의 강비를 2배로 잘못 본 경우의 값이다.
• 1/5은 강비 비율과 맞지 않는다.

B점의 전단력 크기는 1.25 kN이다.

A(힌지)에 대한 모멘트 평형(반시계 +): 지점 C는 A에서 4 m, 하중 P는 5 m 떨어져 있고 A의 모멘트 3 kN·m은 반시계방향이다.
$4R_C-8\times5+3=0\ \Rightarrow\ R_C=9.25\ \mathrm{kN}$

연직 평형: $R_A=8-9.25=-1.25\ \mathrm{kN}$(하향)
B는 A와 C 사이이므로 왼쪽 자유물체에서 $V_B=R_A=-1.25\ \mathrm{kN}$, 크기 1.25 kN이다.

• 0.25는 평형식에서 얻은 A 반력 크기보다 작다.
• 0.75는 평형식에서 얻은 A 반력 크기와 맞지 않는다.
• 1.75는 평형식에서 얻은 A 반력 크기보다 크다.

지간 중앙의 휨모멘트는 0이다.

두 집중하중 10 kN, 20 kN이 각각 지점 A, B 바로 위에 작용한다. 따라서 하중은 그대로 지점으로 전달되어 $R_A=10\ \mathrm{kN},\ R_B=20\ \mathrm{kN}$이다.

중앙 단면의 왼쪽 자유물체: $M=R_A\times5-10\times5=0$

• 10은 하중 10 kN을 모멘트로 혼동한 값이다.
• 50은 하중 하나에 팔 길이 5 m만 곱하고 지점 반력을 빼먹은 값이다.
• 100은 20 kN에 5 m를 곱한 값으로, 반력과의 상쇄를 고려하지 않았다.

옹벽은 전도에는 안전하고 활동에는 불안전하다.

전도(앞굽 기준): 삼각형 130 kN의 도심은 앞굽에서 $\dfrac{2}{3}\times3=2\ \mathrm{m}$, 직사각형 170 kN은 $3+1=4\ \mathrm{m}$이다.
$M_r=130\times2+170\times4=940\ \mathrm{kN\cdot m},\ M_o=100\times4=400\ \mathrm{kN\cdot m}$
$F_s=\dfrac{940}{400}=2.35\ge1.5$ → 안전

활동: $F_s=\dfrac{0.4\times300}{100}=1.2<1.5$ → 불안전

• 둘 다 안전하다는 판정은 활동 안전율 1.2가 1.5에 못 미치는 점을 놓쳤다.
• 둘 다 불안전하다는 판정은 전도 안전율 2.35를 무시했다.
• 전도 불안전·활동 안전은 두 판정이 모두 반대다.

하중 위치는 X = 0.6L이다.

보가 수평을 유지하려면 두 봉의 신장량이 같아야 한다(EA 동일).
$\dfrac{F_A(3h)}{EA}=\dfrac{F_B(2h)}{EA}\ \Rightarrow\ 3F_A=2F_B$
$F_A+F_B=P$와 연립하면 $F_A=0.4P,\ F_B=0.6P$

A에 대한 모멘트 평형: $P\cdot X=F_B\cdot L=0.6PL\ \Rightarrow\ X=0.6L$
짧은 봉 B가 더 큰 힘을 받으므로 하중은 B 쪽으로 치우친다.

• 0.3L은 비율과 맞지 않는 값이다.
• 0.4L은 F(A)의 분담률을 위치로 잘못 쓴 값이다.
• 0.5L은 두 봉 길이가 같을 때의 위치다.

D점의 수평변위는 8 cm이다.

자유단 D부터 각 구간 축력을 구한다(인장 +).
CD: $N=20\ \mathrm{kN}$
BC: $N=20+15=35\ \mathrm{kN}$
AB: $N=35-30=5\ \mathrm{kN}$

$EA=100\ \mathrm{GPa}\times1\ \mathrm{mm^2}=10^5\ \mathrm{N}$
$\delta=\dfrac{(5\times100+35\times100+20\times200)\times10^3}{10^5}=\dfrac{8\times10^6}{10^5}=80\ \mathrm{mm}$
즉 구간별 축력의 합산으로 8 cm이다.

• 2는 세 구간 신장량의 합보다 작다.
• 4는 CD 구간(20 kN×200 mm) 변형만 계산한 값이다.
• 6은 구간별 누적 축력과 맞지 않는 값이다.

절대최대휨모멘트는 35.28 kN·m이다.

합력 $R=6+12=18\ \mathrm{kN}$, 12 kN에서 합력까지 거리 $e=\dfrac{6\times1.8}{18}=0.6\ \mathrm{m}$이다. 보 중앙이 큰 하중과 합력 사이를 이등분하도록 12 kN을 A에서 $4.5+0.3=4.8\ \mathrm{m}$에 둔다.

합력 위치는 A에서 4.2 m이므로 $R_B=\dfrac{18\times4.2}{9}=8.4\ \mathrm{kN}$
$M_{max}=8.4\times(9-4.8)=35.28\ \mathrm{kN\cdot m}$

• 27.62는 이등분 위치에서 구한 최대값보다 작다.
• 30.42도 이등분 위치에서 구한 최대값보다 작다.
• 41.26은 두 하중이 중앙에 모두 모인 경우(40.5)보다도 커서 나올 수 없는 값이다.

탄성변형에너지는 $\dfrac{P^2L^3}{128EI}$이다.

반력은 각 $\dfrac{P}{2}$이고, 각 지점에서 x만큼 떨어진 단면의 휨모멘트는 $M=\dfrac{Px}{2}$이다. 반 구간 적분값은 $\int_0^{L/2}\left(\dfrac{Px}{2}\right)^2dx=\dfrac{P^2L^3}{96}$이다.

왼쪽(2EI): $\dfrac{1}{2(2EI)}\cdot\dfrac{P^2L^3}{96}=\dfrac{P^2L^3}{384EI}$
오른쪽(EI): $\dfrac{1}{2EI}\cdot\dfrac{P^2L^3}{96}=\dfrac{P^2L^3}{192EI}$
합: $\dfrac{3P^2L^3}{384EI}=\dfrac{P^2L^3}{128EI}$ (강성이 다른 구간을 나눠 적분)

• $\dfrac{P^2L^3}{24EI}$는 적분을 크게 잘못한 과대값이다.
• $\dfrac{P^2L^3}{192EI}$는 전 구간이 2EI인 균일보의 값으로, 오른쪽 구간의 EI를 반영하지 않았다.
• $\dfrac{P^2L^3}{250EI}$는 두 구간 합과 맞지 않는다.

A점의 전단력은 −1 N이다.

힌지 오른쪽 보(4 m)는 중앙에 4 N이 있으므로 힌지에 $2\ \mathrm{N}$을 하향으로 전달한다. 왼쪽 보는 왼쪽 롤러(0 m)·힌지 지점(6 m)·내민 끝 힌지(9 m)로 이루어진다.

힌지 지점(6 m)에 대한 모멘트 평형: $6R_L=12\times3-2\times3\ \Rightarrow\ R_L=5\ \mathrm{N}$
A(3 m)의 왼쪽 자유물체: $V_A=5-2\times3=-1\ \mathrm{N}$
주어진 부호 규약(왼쪽 면 위·오른쪽 면 아래가 +)에 따라 부(−)의 전단력이다.

• +1은 크기는 맞지만 부호가 반대다.
• −6은 분포하중 합만 보고 반력을 빼먹은 값이다.
• +6은 부호와 크기가 모두 맞지 않는다.

부재력은 CG 압축 10 N, DE 0이다.

절점 E: 부재는 수평 FE와 경사 DE뿐이고 외력 5 N은 수평이다. 연직 평형에서 DE의 연직성분이 0이어야 하므로 $F_{DE}=0$이다(0부재).

절점 C: 수평 부재 BC·CD와 연직 부재 CG가 모이고, 하향 10 N이 작용한다. 연직 평형 $\Sigma F_y=0$에서 CG가 C를 위로 10 N 밀어야 하므로 CG는 압축 10 N이다.

• CG 압축 10 N, DE 압축 5 N은 E의 수평력 5 N을 DE가 받는다고 본 것으로, 실제로는 FE가 받는다.
• CG·DE 모두 인장으로 본 경우는 CG의 방향과 DE의 0부재 판정이 모두 틀렸다.
• CG 인장 10 N, DE 0은 C의 하중을 CG가 아래로 당긴다고 본 것으로 방향이 반대다.

이 재료의 푸아송비는 0.25이다.

푸아송비는 가로변형률과 세로변형률의 비이다: $\nu=\left|\dfrac{\varepsilon_d}{\varepsilon_L}\right|$

가로변형률: $\varepsilon_d=\dfrac{100-99.8}{100}=0.002$
세로변형률: $\varepsilon_L=\dfrac{252-250}{250}=0.008$
따라서 $\nu=\dfrac{0.002}{0.008}=0.25$

• 0.2는 계산값 0.25보다 작아 측정된 변형률 비와 맞지 않는다.
• 0.3은 일반 강재의 대표값일 뿐, 주어진 치수 변화로 계산한 값이 아니다.
• 0.35는 계산값 0.25보다 커서 측정된 변형률 비와 맞지 않는다.

수평반력은 88 kN이다.

양단 고정봉은 늘어날 수 없으므로 열변형만큼 압축력이 생기며, 힘은 길이와 무관하다.
$R=EA\alpha\Delta T$

$R=2.0\times10^6\times100\times1.1\times10^{-5}\times40=88000\ \mathrm{N}=88\ \mathrm{kN}$

• 22는 온도 변화를 10 ℃로 본 값이다.
• 44는 온도 변화를 절반으로 본 값이다.
• 66은 온도 변화를 30 ℃로 본 값이다.

좌굴하중 관계는 A＝B＞C이다.

오일러 좌굴하중 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}$에서 EI가 같으므로 유효길이만 비교한다.

A(고정-자유, L): $KL=2L$
B(양단 힌지, 2L): $KL=2L$
C(고정-힌지, 3L): $KL=0.7\times3L=2.1L$
유효길이가 가장 긴 C의 좌굴하중이 가장 작다.

• A＝B＜C는 C의 유효길이가 더 긴 점을 반대로 판정했다.
• A＜B＜C는 실제 길이만 보고 지점 조건을 무시했다.
• A＞B＞C는 A와 B의 유효길이가 같다는 점을 놓쳤다.

B점의 최대주응력은 750 kPa이다.

반력: $R_A=\dfrac{40\times6}{8}=30\ \mathrm{kN},\ R_B=10\ \mathrm{kN}$. B 단면(A에서 4 m)은 하중 오른쪽이므로 전단력 크기는 10 kN이다. B는 상단에서 10 cm, 즉 높이 20 cm 단면의 중립축에 있어 휨응력이 0이다.

$\tau=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{V}{A}=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{10000}{0.1\times0.2}=750000\ \mathrm{Pa}=750\ \mathrm{kPa}$
순수전단 상태이므로 $\sigma_1=\tau=750\ \mathrm{kPa}$이다.

• 0은 중립축에서 휨응력만 보고 전단응력을 무시한 값이다.
• 500은 평균전단응력 V/A로, 직사각형 중립축의 1.5배 계수를 빠뜨렸다.
• 1,100은 중립축의 최대 전단응력보다 커서 순수전단 상태의 주응력이 될 수 없다.

C점의 처짐은 $-\dfrac{PL^3}{32EI}$(상향)이다.

AB 구간은 중앙 D에 P를 받는 단순보이고, BC 구간에는 하중이 없어 직선으로 회전만 한다. 단순보 중앙집중하중의 지점 처짐각은 $\theta_B=\dfrac{PL^2}{16EI}$이다.

B에서 AB 구간이 처지며 회전하면 내민 부분은 위로 들린다.
$\delta_C=-\theta_B\times\dfrac{L}{2}=-\dfrac{PL^2}{16EI}\times\dfrac{L}{2}=-\dfrac{PL^3}{32EI}$

• $-\dfrac{PL^3}{8EI}$는 처짐각 계산이 과대한 값이다.
• $\dfrac{PL^3}{24EI}$는 방향이 하향(+)이어서 맞지 않는다.
• $\dfrac{PL^3}{48EI}$는 단순보 중앙 처짐으로, C의 처짐이 아니며 방향도 반대다.

최대 전단응력은 $\dfrac{122}{I}V$이다.

최대 전단응력은 중립축에서 생기며 $\tau=\dfrac{VQ}{Ib}$이다. 전체 높이 20 mm이므로 중립축은 위에서 10 mm 위치이다.

중립축 위쪽의 1차모멘트:
플랜지: $10\times2\times9=180\ \mathrm{mm^3}$
웨브: $2\times8\times4=64\ \mathrm{mm^3}$
$Q=244\ \mathrm{mm^3}$, 웨브 폭 $b=2\ \mathrm{mm}$ → $\tau=\dfrac{244V}{2I}=\dfrac{122V}{I}$ (웨브 폭으로 나눔)

• $\dfrac{45}{I}V$는 Q 계산이 맞지 않는 값이다.
• $\dfrac{64}{I}V$는 웨브 부분의 1차모멘트 64 mm³만 쓴 값으로, 플랜지 몫 180 mm³와 웨브 폭으로 나누는 과정이 빠졌다.
• $\dfrac{100}{I}V$는 플랜지·웨브 Q 합과 맞지 않는 값이다.

옳지 않은 것은 B점의 전단응력이 D점보다 크다는 설명이다.

캔틸레버의 전단력 P와 비틀림 T는 길이 방향으로 일정하다. B와 D는 두 단면에서 같은 위치(측면, 중립축)에 있으므로 비틀림 전단응력과 휨 전단응력이 모두 같아 두 점의 전단응력은 같다.

• A점의 수직응력이 B·C보다 크다: B는 중립축이라 휨응력이 0이고, A는 C보다 고정단에 가까워 휨모멘트가 크므로 옳다.
• A·C의 전단응력은 같고 B보다 작다: A·C는 상단 최외측이라 횡전단응력이 0이고 비틀림 전단응력만 있어 서로 같으며, B에는 횡전단응력이 추가로 작용하므로 옳다.
• A점에 전단응력과 수직응력이 모두 존재한다: 비틀림 전단응력과 휨 수직응력이 함께 있으므로 옳다.

분포하중의 길이는 X = 3 m이다.

왼쪽 지점 A에 대한 모멘트 평형(반시계 +): 분포하중 합력 $2X$는 A에서 $\dfrac{X}{2}$에 작용하고, 오른쪽 끝의 모멘트 1 kN·m은 시계방향이다.

$1\times10-2X\cdot\dfrac{X}{2}-1=0\ \Rightarrow\ X^2=9\ \Rightarrow\ X=3\ \mathrm{m}$
집중 모멘트의 부호를 빠뜨리지 않는 것이 핵심이다.

• 4는 이 식을 만족하지 않는다($X^2=16$).
• 5는 이 식을 만족하지 않는다($X^2=25$).
• 6은 이 식을 만족하지 않는다($X^2=36$).