[9급 지방직 응용역학개론] 11년 1회차 기출문제 정답·해설 페이지

지점 A의 휨모멘트는 −12 kN·m이다.
내부힌지 B에서 BC는 단순보처럼 거동한다. 삼각형 분포하중의 합력은 $\dfrac{1}{2}\times3\times2=3\ \mathrm{kN}$이고 B에서 $\dfrac{4}{3}\ \mathrm{m}$ 위치에 작용하므로 힌지 B에 전달되는 힘은 $R_B=3\times\dfrac{2/3}{2}=1\ \mathrm{kN}$이다.
AB는 캔틸레버로서 2 m 위치의 4 kN과 끝단 B의 1 kN을 받는다.
$M_A=-(4\times2+1\times4)=-12\ \mathrm{kN\cdot m}$이며 부모멘트(상단 인장)이다.
−10은 힌지 전달력을 0.5 kN으로 본 값이다.
−14는 힌지 전달력을 1.5 kN(합력의 절반)으로 본 값이다.
−16은 힌지 전달력을 2 kN으로 크게 잡은 값이다.

양단 고정 강봉의 열응력은 7.2 MPa(압축)이다.
양단이 고정되어 자유 신장이 완전히 구속되므로 길이와 무관하게 $\sigma=E\alpha\Delta T$이다.
$\sigma=200000\ \mathrm{MPa}\times1.2\times10^{-6}\times30=7.2\ \mathrm{MPa}$
온도 상승을 막으므로 압축응력이 생긴다.
3.6은 자유 신장의 절반만 구속된 것으로 본 값이다.
9.6은 온도변화를 40℃로 본 값이다.
14.4는 열응력을 두 배로 잡은 값으로, 열응력은 봉 길이 2 m와 무관하다.

반력 R의 크기는 W이다.
벽면이 수평면과 60°를 이루므로 각 벽면의 법선(반력 방향)은 연직선과 60°를 이룬다. 두 반력은 좌우 대칭이어서 수평성분은 서로 상쇄된다.
연직 평형: $2R\cos60^{\circ}=W$
$R=\dfrac{W}{2\times0.5}=W$이므로 반력은 구의 무게와 같다.
W의 절반은 두 반력이 모두 연직 방향이라고 본 값이다.
W에 √2/2를 곱한 값은 벽 경사가 45°일 때의 결과이다.
W에 √3/2를 곱한 값은 연직 평형식 $2R\cos60^{\circ}=W$를 만족하지 않는다.

C점의 처짐은 $\dfrac{4PL^3}{243EI}$이다.
단순보에 집중하중이 a, b 위치에 작용할 때 하중점 처짐 공식은 $\delta_C=\dfrac{Pa^2b^2}{3EIL}$이다.
대입: $a=\dfrac{L}{3},\ b=\dfrac{2L}{3}$
$\delta_C=\dfrac{P\cdot\dfrac{L^2}{9}\cdot\dfrac{4L^2}{9}}{3EIL}=\dfrac{4PL^3}{243EI}$로 분자 계수는 4이다.
분자 계수 1은 $b^2=\dfrac{4L^2}{9}$의 4를 빠뜨린 값이다.
분자 계수 2는 $a^2b^2$ 대입 결과의 절반으로 공식과 맞지 않는다.
분자 계수 11은 하중점 처짐 공식에서 나올 수 없는 값이다.

회전체의 표면적은 30π cm²이다.
파푸스 정리에 따라 표면적은 선분 길이와 선분 도심이 그리는 원주의 곱이다. $A=2\pi\bar{x}L$
선분 길이: 수평 $5-1=4$, 연직 3이므로 $L=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{cm}$
도심의 Y축 거리: $\bar{x}=\dfrac{1+5}{2}=3\ \mathrm{cm}$
$A=2\pi\times3\times5=30\pi\ \mathrm{cm^2}$로 도심 반지름 3 cm가 핵심이다.
40π는 도심 반지름을 4 cm로 잡은 값이다.
50π는 B점 반지름 5 cm를 그대로 쓴 값이다.
60π는 도심 반지름을 6 cm(두 반지름의 합)로 잘못 잡은 값이다.

B점이 움직이지 않으려면 P$_B$=10 MN이어야 한다.
B점의 변위는 고정단 C와 B 사이 구간의 신장량과 같다. BC 구간의 축력은 $N_{BC}=P_A-P_B$이다.
$\delta_B=\dfrac{(P_A-P_B)L_2}{EA_2}=0$
따라서 $P_B=P_A=10\ \mathrm{MN}$이며 BC 구간 축력이 0이 되면 된다. AB 구간의 신장은 A점만 움직일 뿐 B 위치에는 영향이 없다.
20은 BC 구간을 반대로 압축시켜 B점이 C쪽으로 이동한다.
5는 BC 구간에 인장이 남아 B점이 A쪽으로 이동한다.
15는 BC 구간에 압축 5 MN이 남아 B점이 C쪽으로 이동한다.

D점에 소성힌지가 생기는 하중은 $w=\dfrac{2bh^2\sigma_y}{L^2}$이다.
AB 구간은 하중이 없고 양 끝이 핀·힌지이므로 힘을 전달하지 않는다. 따라서 BCE는 C·E를 지점으로 하는 경간 2L 단순보에 등분포하중 w가 실린 것과 같고, 중앙 D의 모멘트는 $M_D=\dfrac{w(2L)^2}{8}=\dfrac{wL^2}{2}$이다.
폭 b, 높이 2h 직사각형의 소성모멘트: $M_p=\sigma_y\dfrac{b(2h)^2}{4}=\sigma_ybh^2$
$\dfrac{wL^2}{2}=\sigma_ybh^2$에서 $w=\dfrac{2bh^2\sigma_y}{L^2}$이다.
분모가 $4L^{2}$인 값은 실제 붕괴하중의 1/8로, D점 모멘트 평형식을 만족하지 않는다.
분모가 $2L^{2}$인 값은 단면 높이를 h로 보고 소성모멘트를 $\dfrac{bh^2\sigma_y}{4}$로 잡은 결과이다.
분자 계수 4인 값은 중앙 모멘트를 $\dfrac{wL^2}{4}$로 잘못 잡은 결과이다.

이 트러스의 내적 부정정 차수는 5차이다.
절점 j=12(상·하현 각 6개), 부재 m=26(상현 5, 하현 5, 수직재 6, 각 패널 X형 사재 10), 반력 r=5(롤러 3개, 힌지 1개)이다.
전체 차수: $m+r-2j=26+5-24=7$
외적 차수: $r-3=5-3=2$
내적 차수: $7-2=5$이며 X형 사재가 있는 패널 5개마다 1차씩 생긴다고 봐도 같다.
4차는 패널 수를 하나 적게 센 값이다.
6차는 외적 차수를 1차로 잘못 보고 전체에서 뺀 값이다.
7차는 외적 차수까지 포함한 전체 부정정 차수이다.

옳지 않은 설명은 C점의 집중하중이 1.8 kN이라는 것이다.
전단력도에서 C점의 전단력은 5.8 kN에서 1.8 kN으로 떨어지므로 C의 집중하중은 $5.8-1.8=4.0\ \mathrm{kN}$이다. 1.8 kN은 C~D 구간의 전단력 값이다.
최대 휨모멘트는 전단력 부호가 바뀌는 D점에서 생기며, 전단력도 면적 $5.8\times3+1.8\times2=21\ \mathrm{kN\cdot m}$이므로 옳다.
양 끝 전단력이 반력이므로 지점반력이 5.8 kN과 4.2 kN이라는 설명은 옳다.
전단력도의 최댓값은 A~C 구간의 5.8 kN이므로 옳다.

곡률에 대한 처짐의 비는 $\dfrac{x^2-L^2}{6}$이다.
B의 모멘트하중 M$_0$에 대해 A의 반력은 $\dfrac{M_0}{L}$이고, 단면 모멘트는 x에 비례한다. 처짐을 아래 방향 +로 두면 $v''=\dfrac{M_0x}{EIL}$이다.
적분: $v=\dfrac{M_0x^3}{6EIL}+C_1x$
$v(L)=0$에서 $C_1=-\dfrac{M_0L}{6EI}$, 따라서 $v=\dfrac{M_0(x^3-L^2x)}{6EIL}$
$\dfrac{v}{v''}=\dfrac{x^3-L^2x}{6x}=\dfrac{x^2-L^2}{6}$로 분모는 6이다.
$\dfrac{x-L}{2}$는 x에 대해 1차식이어서 3차 처짐식을 1차 곡률식으로 나눈 결과와 맞지 않는다.
분모가 4인 값은 적분 계수 6을 잘못 적용한 값이다.
세제곱 차를 24로 나눈 값은 등분포하중 처짐식과 혼동한 값이다.

C점의 수직응력은 64 MPa(인장)이다.
반력 $R_A=\dfrac{20\times2}{2}=20\ \mathrm{kN}$
x=0.4 m의 휨모멘트: $M=20\times0.4-\dfrac{20\times0.4^2}{2}=6.4\ \mathrm{kN\cdot m}$
단면2차모멘트: $I=\dfrac{36\times100^3}{12}=3\times10^6\ \mathrm{mm^4}$
C점은 하단에서 20 mm이므로 중립축에서 30 mm 아래이다.
$\sigma=\dfrac{6.4\times10^6\times30}{3\times10^6}=64\ \mathrm{MPa}$
42.7은 중립축 거리를 20 mm로 그대로 쓴 값이다.
106.7은 하단 연단(50 mm)의 응력이다.
128은 중립축 거리를 60 mm로 잘못 잡은 값이다.

포아송 비는 0.3이다.
포아송 비는 세로 변형률에 대한 가로 변형률의 비이다. $\nu=\dfrac{\varepsilon_{lat}}{\varepsilon_{long}}$
세로: $\varepsilon=\dfrac{0.02}{2}=0.01$
가로(두께 0.1 m): $\varepsilon'=\dfrac{0.0003}{0.1}=0.003$
$\nu=\dfrac{0.003}{0.01}=0.3$으로 변형률끼리 비교해야 한다.
0.4는 두 변형률의 비와 맞지 않는다.
0.6은 가로 변형률을 두 배로 잡은 값이다.
0.5는 체적 변화가 없는 이론 상한값으로, 주어진 변형량과 맞지 않는다.

BC 부재의 최대 휨모멘트는 31.25 kN·m이다.
반력: $H_A=10\ \mathrm{kN}$(좌향). $\sum M_A=0$: $4R_D=10\times2+40\times2$, $R_D=25\ \mathrm{kN}$, $R_A=40-25=15\ \mathrm{kN}$
B점 모멘트: $M_B=10\times4-10\times2=20\ \mathrm{kN\cdot m}$
B에서 x 떨어진 BC 단면: $M(x)=20+15x-5x^2$
전단력 0인 $x=1.5\ \mathrm{m}$에서 $M_{max}=20+22.5-11.25=31.25\ \mathrm{kN\cdot m}$로 B단 모멘트 20이 더해지는 점이 핵심이다.
31.5는 $M(x)$의 최댓값 31.25를 넘으므로 BC 어느 단면에서도 나올 수 없다.
31.75 역시 최댓값을 넘는 값이다.
32.0도 최댓값을 넘으며, B단 모멘트 20을 빠뜨리면 최댓값은 오히려 11.25로 작아진다.

C점의 휨모멘트는 14 N·m이다.
세로보 DE(경간 3 m)에서 9 N은 D에서 2 m, E에서 1 m 위치이므로 $R_D=\dfrac{9\times1}{3}=3\ \mathrm{N}$, $R_E=6\ \mathrm{N}$이 주보에 전달된다.
주보 AB(9 m): 3 N이 A에서 3 m, 6 N이 6 m에 작용한다.
$R_A=\dfrac{3\times6+6\times3}{9}=4\ \mathrm{N}$
$M_C=4\times5-3\times2=14\ \mathrm{N\cdot m}$로 간접하중은 격점 반력으로 바꿔 계산한다.
11은 격점 전달력으로 구한 $M_C=14$와 다르다.
12는 C가 아닌 D점의 휨모멘트 $4\times3=12$이다.
13은 D·E 전달력을 6 N·3 N으로 뒤바꿔 잡은 값($R_A=5$, $5\times5-6\times2=13$)이다.

A의 휨모멘트가 0이 될 수 있는 경우는 내민 끝에 P와 반시계 방향 M이 함께 작용하는 경우이다.
내민부 하중은 지점 B에 모멘트 $M_B$를 만들고, 고정단 A에는 그 절반이 반대 부호로 전달된다($M_A=-\dfrac{M_B}{2}$). 따라서 B의 모멘트가 0이면 A의 모멘트도 0이다.
끝단 P가 B에 만드는 시계 방향 모멘트 $Pa$를 반시계 방향 M이 상쇄하여 $M=Pa$일 때 $M_A=0$이 된다.
AB 경간 안에 P만 있으면 고정단에 항상 부모멘트가 생긴다.
내민 끝에 P만 있으면 $M_A=\dfrac{Pa}{2}$로 0이 아니다.
B 부근 시계 방향 M과 끝단 P는 B에서 같은 방향으로 더해지므로 상쇄되지 않는다.

최대 압축응력은 3.125 MPa이다.
편심은 400 mm 변 방향이므로 단면계수는 $Z=\dfrac{200\times400^2}{6}=5.333\times10^6\ \mathrm{mm^3}$이다.
축응력: $\dfrac{P}{A}=\dfrac{100\times10^3}{200\times400}=1.25\ \mathrm{MPa}$
휨응력: $\dfrac{Pe}{Z}=\dfrac{100\times10^3\times100}{5.333\times10^6}=1.875\ \mathrm{MPa}$
$\sigma_{max}=1.25+1.875=3.125\ \mathrm{MPa}$로 축응력과 휨응력을 더한다.
1.25는 축응력만 계산한 값이다.
2.188은 휨응력을 일부만 더한 값이다.
5는 편심을 200 mm 변 방향으로 잘못 보고 단면계수를 작게 잡은 값이다.

옳은 것은 트러스 A의 FG 부재력이 트러스 B의 FG 부재력의 1/2이라는 것이다.
대칭이므로 반력은 각각 P이다. FG를 지나는 단면에서 나머지 두 절단 부재의 교점에 대해 모멘트를 취한다.
트러스 A(교점 B): $F_{FG}\times4=P\times3$, $F_{FG}=\dfrac{3P}{4}$
트러스 B(교점 C): $F_{FG}\times4=P\times6$, $F_{FG}=\dfrac{3P}{2}$
AF 부재력은 지점 A 절점의 평형만으로 정해지므로 두 트러스에서 같다.
FB 부재력은 트러스 A에서 P(인장), 트러스 B에서 0이므로 다르다.
트러스 A의 BG는 압축이지만 트러스 B의 FC는 인장이다(크기 $\dfrac{5P}{4}$).

최소 두께는 15 mm이다. 바깥지름이 주어졌으므로 안쪽 반지름을 $r=150-t\ (\mathrm{mm})$로 두고, 가장 큰 응력인 원주방향(후프) 응력을 허용응력과 같게 놓는다.
공식: $\sigma_{\theta}=\dfrac{pr}{t}$
대입: $90=\dfrac{10\,(150-t)}{t}$
정리: $90t=1500-10t$ → $t=15\ \mathrm{mm}$
검산: $r=135\ \mathrm{mm}$이면 $\sigma_{\theta}=\dfrac{10\times135}{15}=90\ \mathrm{MPa}$로 허용응력과 정확히 같다. 축방향 응력은 이 값의 절반이므로 지배하지 않는다.
12 mm: $\sigma_{\theta}=\dfrac{10\times138}{12}=115\ \mathrm{MPa}$로 허용응력을 넘는다.
18 mm: 허용응력 이내이지만 필요 이상으로 두꺼워 최소 두께가 아니다.
20 mm: 마찬가지로 안전하지만 최소 두께보다 크다.

등분포하중의 크기는 40 kN/m이다.
최대 휨모멘트: $M_{max}=\sigma_{max}Z=40\times2\times10^6=80\times10^6\ \mathrm{N\cdot mm}=80\ \mathrm{kN\cdot m}$
단순보 등분포하중: $M_{max}=\dfrac{wL^2}{8}=\dfrac{w\times4^2}{8}=2w$
$2w=80$에서 $w=40\ \mathrm{kN/m}$이다.
10은 $\dfrac{wL^2}{2}$(캔틸레버식)로 계산한 값이다.
20은 $\dfrac{wL^2}{4}$로 계산한 값이다.
30은 최대 모멘트 식과 맞지 않는 값이다.

최대 휨응력은 10 MPa이다.
양단고정보 등분포하중의 최대 휨모멘트는 고정단에서 $M_{max}=\dfrac{wL^2}{12}=\dfrac{60\times8^2}{12}=320\ \mathrm{kN\cdot m}$이다.
단면계수: $Z=\dfrac{300\times800^2}{6}=32\times10^6\ \mathrm{mm^3}$
$\sigma=\dfrac{320\times10^6}{32\times10^6}=10\ \mathrm{MPa}$로 고정단 모멘트 $\dfrac{wL^2}{12}$를 써야 한다.
1은 단위 환산에서 자릿수를 하나 줄인 값이다.
80은 고정단 모멘트 320 kN·m와 단면계수로 구한 값과 맞지 않는다.
8은 고정단 모멘트 320 kN·m와 단면계수로 구한 값과 맞지 않는다.