11년 1회차

지점 A의 휨모멘트는 −12 kN·m이다.

내부힌지 B에서 BC는 단순보처럼 거동한다. 삼각형 분포하중의 합력은 $\dfrac{1}{2}\times3\times2=3\ \mathrm{kN}$이고 B에서 $\dfrac{4}{3}\ \mathrm{m}$ 위치에 작용하므로 힌지 B에 전달되는 힘은 $R_B=3\times\dfrac{2/3}{2}=1\ \mathrm{kN}$이다.

AB는 캔틸레버로서 2 m 위치의 4 kN과 끝단 B의 1 kN을 받는다.
$M_A=-(4\times2+1\times4)=-12\ \mathrm{kN\cdot m}$이며 부모멘트(상단 인장)이다.

• −10은 힌지 전달력을 0.5 kN으로 본 값이다.
• −14는 힌지 전달력을 1.5 kN(합력의 절반)으로 본 값이다.
• −16은 힌지 전달력을 2 kN으로 크게 잡은 값이다.

양단 고정 강봉의 열응력은 7.2 MPa(압축)이다.

양단이 고정되어 자유 신장이 완전히 구속되므로 길이와 무관하게 $\sigma=E\alpha\Delta T$이다.

$\sigma=200000\ \mathrm{MPa}\times1.2\times10^{-6}\times30=7.2\ \mathrm{MPa}$
온도 상승을 막으므로 압축응력이 생긴다.

• 3.6은 자유 신장의 절반만 구속된 것으로 본 값이다.
• 9.6은 온도변화를 40℃로 본 값이다.
• 14.4는 열응력을 두 배로 잡은 값으로, 열응력은 봉 길이 2 m와 무관하다.

반력 R의 크기는 W이다.

벽면이 수평면과 60°를 이루므로 각 벽면의 법선(반력 방향)은 연직선과 60°를 이룬다. 두 반력은 좌우 대칭이어서 수평성분은 서로 상쇄된다.

연직 평형: $2R\cos60^{\circ}=W$
$R=\dfrac{W}{2\times0.5}=W$이므로 반력은 구의 무게와 같다.

• W의 절반은 두 반력이 모두 연직 방향이라고 본 값이다.
• W에 √2/2를 곱한 값은 벽 경사가 45°일 때의 결과이다.
• W에 √3/2를 곱한 값은 연직 평형식 $2R\cos60^{\circ}=W$를 만족하지 않는다.

C점의 처짐은 $\dfrac{4PL^3}{243EI}$이다.

단순보에 집중하중이 a, b 위치에 작용할 때 하중점 처짐 공식은 $\delta_C=\dfrac{Pa^2b^2}{3EIL}$이다.

대입: $a=\dfrac{L}{3},\ b=\dfrac{2L}{3}$
$\delta_C=\dfrac{P\cdot\dfrac{L^2}{9}\cdot\dfrac{4L^2}{9}}{3EIL}=\dfrac{4PL^3}{243EI}$로 분자 계수는 4이다.

• 분자 계수 1은 $b^2=\dfrac{4L^2}{9}$의 4를 빠뜨린 값이다.
• 분자 계수 2는 $a^2b^2$ 대입 결과의 절반으로 공식과 맞지 않는다.
• 분자 계수 11은 하중점 처짐 공식에서 나올 수 없는 값이다.

회전체의 표면적은 30π cm²이다.

파푸스 정리에 따라 표면적은 선분 길이와 선분 도심이 그리는 원주의 곱이다. $A=2\pi\bar{x}L$

선분 길이: 수평 $5-1=4$, 연직 3이므로 $L=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{cm}$
도심의 Y축 거리: $\bar{x}=\dfrac{1+5}{2}=3\ \mathrm{cm}$
$A=2\pi\times3\times5=30\pi\ \mathrm{cm^2}$로 도심 반지름 3 cm가 핵심이다.

• 40π는 도심 반지름을 4 cm로 잡은 값이다.
• 50π는 B점 반지름 5 cm를 그대로 쓴 값이다.
• 60π는 도심 반지름을 6 cm(두 반지름의 합)로 잘못 잡은 값이다.

B점이 움직이지 않으려면 P$_B$=10 MN이어야 한다.

B점의 변위는 고정단 C와 B 사이 구간의 신장량과 같다. BC 구간의 축력은 $N_{BC}=P_A-P_B$이다.

$\delta_B=\dfrac{(P_A-P_B)L_2}{EA_2}=0$
따라서 $P_B=P_A=10\ \mathrm{MN}$이며 BC 구간 축력이 0이 되면 된다. AB 구간의 신장은 A점만 움직일 뿐 B 위치에는 영향이 없다.

• 20은 BC 구간을 반대로 압축시켜 B점이 C쪽으로 이동한다.
• 5는 BC 구간에 인장이 남아 B점이 A쪽으로 이동한다.
• 15는 BC 구간에 압축 5 MN이 남아 B점이 C쪽으로 이동한다.

D점에 소성힌지가 생기는 하중은 $w=\dfrac{2bh^2\sigma_y}{L^2}$이다.

AB 구간은 하중이 없고 양 끝이 핀·힌지이므로 힘을 전달하지 않는다. 따라서 BCE는 C·E를 지점으로 하는 경간 2L 단순보에 등분포하중 w가 실린 것과 같고, 중앙 D의 모멘트는 $M_D=\dfrac{w(2L)^2}{8}=\dfrac{wL^2}{2}$이다.

폭 b, 높이 2h 직사각형의 소성모멘트: $M_p=\sigma_y\dfrac{b(2h)^2}{4}=\sigma_ybh^2$
$\dfrac{wL^2}{2}=\sigma_ybh^2$에서 $w=\dfrac{2bh^2\sigma_y}{L^2}$이다.

• 분모가 $4L^{2}$인 값은 실제 붕괴하중의 1/8로, D점 모멘트 평형식을 만족하지 않는다.
• 분모가 $2L^{2}$인 값은 단면 높이를 h로 보고 소성모멘트를 $\dfrac{bh^2\sigma_y}{4}$로 잡은 결과이다.
• 분자 계수 4인 값은 중앙 모멘트를 $\dfrac{wL^2}{4}$로 잘못 잡은 결과이다.

이 트러스의 내적 부정정 차수는 5차이다.

절점 j=12(상·하현 각 6개), 부재 m=26(상현 5, 하현 5, 수직재 6, 각 패널 X형 사재 10), 반력 r=5(롤러 3개, 힌지 1개)이다.

전체 차수: $m+r-2j=26+5-24=7$
외적 차수: $r-3=5-3=2$
내적 차수: $7-2=5$이며 X형 사재가 있는 패널 5개마다 1차씩 생긴다고 봐도 같다.

• 4차는 패널 수를 하나 적게 센 값이다.
• 6차는 외적 차수를 1차로 잘못 보고 전체에서 뺀 값이다.
• 7차는 외적 차수까지 포함한 전체 부정정 차수이다.

옳지 않은 설명은 C점의 집중하중이 1.8 kN이라는 것이다.

전단력도에서 C점의 전단력은 5.8 kN에서 1.8 kN으로 떨어지므로 C의 집중하중은 $5.8-1.8=4.0\ \mathrm{kN}$이다. 1.8 kN은 C~D 구간의 전단력 값이다.

• 최대 휨모멘트는 전단력 부호가 바뀌는 D점에서 생기며, 전단력도 면적 $5.8\times3+1.8\times2=21\ \mathrm{kN\cdot m}$이므로 옳다.
• 양 끝 전단력이 반력이므로 지점반력이 5.8 kN과 4.2 kN이라는 설명은 옳다.
• 전단력도의 최댓값은 A~C 구간의 5.8 kN이므로 옳다.

곡률에 대한 처짐의 비는 $\dfrac{x^2-L^2}{6}$이다.

B의 모멘트하중 M$_0$에 대해 A의 반력은 $\dfrac{M_0}{L}$이고, 단면 모멘트는 x에 비례한다. 처짐을 아래 방향 +로 두면 $v''=\dfrac{M_0x}{EIL}$이다.

적분: $v=\dfrac{M_0x^3}{6EIL}+C_1x$
$v(L)=0$에서 $C_1=-\dfrac{M_0L}{6EI}$, 따라서 $v=\dfrac{M_0(x^3-L^2x)}{6EIL}$
$\dfrac{v}{v''}=\dfrac{x^3-L^2x}{6x}=\dfrac{x^2-L^2}{6}$로 분모는 6이다.

• $\dfrac{x-L}{2}$는 x에 대해 1차식이어서 3차 처짐식을 1차 곡률식으로 나눈 결과와 맞지 않는다.
• 분모가 4인 값은 적분 계수 6을 잘못 적용한 값이다.
• 세제곱 차를 24로 나눈 값은 등분포하중 처짐식과 혼동한 값이다.

C점의 수직응력은 64 MPa(인장)이다.

반력 $R_A=\dfrac{20\times2}{2}=20\ \mathrm{kN}$
x=0.4 m의 휨모멘트: $M=20\times0.4-\dfrac{20\times0.4^2}{2}=6.4\ \mathrm{kN\cdot m}$

단면2차모멘트: $I=\dfrac{36\times100^3}{12}=3\times10^6\ \mathrm{mm^4}$
C점은 하단에서 20 mm이므로 중립축에서 30 mm 아래이다.
$\sigma=\dfrac{6.4\times10^6\times30}{3\times10^6}=64\ \mathrm{MPa}$

• 42.7은 중립축 거리를 20 mm로 그대로 쓴 값이다.
• 106.7은 하단 연단(50 mm)의 응력이다.
• 128은 중립축 거리를 60 mm로 잘못 잡은 값이다.

포아송 비는 0.3이다.

포아송 비는 세로 변형률에 대한 가로 변형률의 비이다. $\nu=\dfrac{\varepsilon_{lat}}{\varepsilon_{long}}$

세로: $\varepsilon=\dfrac{0.02}{2}=0.01$
가로(두께 0.1 m): $\varepsilon'=\dfrac{0.0003}{0.1}=0.003$
$\nu=\dfrac{0.003}{0.01}=0.3$으로 변형률끼리 비교해야 한다.

• 0.4는 두 변형률의 비와 맞지 않는다.
• 0.6은 가로 변형률을 두 배로 잡은 값이다.
• 0.5는 체적 변화가 없는 이론 상한값으로, 주어진 변형량과 맞지 않는다.

BC 부재의 최대 휨모멘트는 31.25 kN·m이다.

반력: $H_A=10\ \mathrm{kN}$(좌향). $\sum M_A=0$: $4R_D=10\times2+40\times2$, $R_D=25\ \mathrm{kN}$, $R_A=40-25=15\ \mathrm{kN}$

B점 모멘트: $M_B=10\times4-10\times2=20\ \mathrm{kN\cdot m}$
B에서 x 떨어진 BC 단면: $M(x)=20+15x-5x^2$
전단력 0인 $x=1.5\ \mathrm{m}$에서 $M_{max}=20+22.5-11.25=31.25\ \mathrm{kN\cdot m}$로 B단 모멘트 20이 더해지는 점이 핵심이다.

• 31.5는 $M(x)$의 최댓값 31.25를 넘으므로 BC 어느 단면에서도 나올 수 없다.
• 31.75 역시 최댓값을 넘는 값이다.
• 32.0도 최댓값을 넘으며, B단 모멘트 20을 빠뜨리면 최댓값은 오히려 11.25로 작아진다.

C점의 휨모멘트는 14 N·m이다.

세로보 DE(경간 3 m)에서 9 N은 D에서 2 m, E에서 1 m 위치이므로 $R_D=\dfrac{9\times1}{3}=3\ \mathrm{N}$, $R_E=6\ \mathrm{N}$이 주보에 전달된다.

주보 AB(9 m): 3 N이 A에서 3 m, 6 N이 6 m에 작용한다.
$R_A=\dfrac{3\times6+6\times3}{9}=4\ \mathrm{N}$
$M_C=4\times5-3\times2=14\ \mathrm{N\cdot m}$로 간접하중은 격점 반력으로 바꿔 계산한다.

• 11은 격점 전달력으로 구한 $M_C=14$와 다르다.
• 12는 C가 아닌 D점의 휨모멘트 $4\times3=12$이다.
• 13은 D·E 전달력을 6 N·3 N으로 뒤바꿔 잡은 값($R_A=5$, $5\times5-6\times2=13$)이다.

A의 휨모멘트가 0이 될 수 있는 경우는 내민 끝에 P와 반시계 방향 M이 함께 작용하는 경우이다.

내민부 하중은 지점 B에 모멘트 $M_B$를 만들고, 고정단 A에는 그 절반이 반대 부호로 전달된다($M_A=-\dfrac{M_B}{2}$). 따라서 B의 모멘트가 0이면 A의 모멘트도 0이다.

끝단 P가 B에 만드는 시계 방향 모멘트 $Pa$를 반시계 방향 M이 상쇄하여 $M=Pa$일 때 $M_A=0$이 된다.

• AB 경간 안에 P만 있으면 고정단에 항상 부모멘트가 생긴다.
• 내민 끝에 P만 있으면 $M_A=\dfrac{Pa}{2}$로 0이 아니다.
• B 부근 시계 방향 M과 끝단 P는 B에서 같은 방향으로 더해지므로 상쇄되지 않는다.

최대 압축응력은 3.125 MPa이다.

편심은 400 mm 변 방향이므로 단면계수는 $Z=\dfrac{200\times400^2}{6}=5.333\times10^6\ \mathrm{mm^3}$이다.

축응력: $\dfrac{P}{A}=\dfrac{100\times10^3}{200\times400}=1.25\ \mathrm{MPa}$
휨응력: $\dfrac{Pe}{Z}=\dfrac{100\times10^3\times100}{5.333\times10^6}=1.875\ \mathrm{MPa}$
$\sigma_{max}=1.25+1.875=3.125\ \mathrm{MPa}$로 축응력과 휨응력을 더한다.

• 1.25는 축응력만 계산한 값이다.
• 2.188은 휨응력을 일부만 더한 값이다.
• 5는 편심을 200 mm 변 방향으로 잘못 보고 단면계수를 작게 잡은 값이다.

옳은 것은 트러스 A의 FG 부재력이 트러스 B의 FG 부재력의 1/2이라는 것이다.

대칭이므로 반력은 각각 P이다. FG를 지나는 단면에서 나머지 두 절단 부재의 교점에 대해 모멘트를 취한다.
트러스 A(교점 B): $F_{FG}\times4=P\times3$, $F_{FG}=\dfrac{3P}{4}$
트러스 B(교점 C): $F_{FG}\times4=P\times6$, $F_{FG}=\dfrac{3P}{2}$

• AF 부재력은 지점 A 절점의 평형만으로 정해지므로 두 트러스에서 같다.
• FB 부재력은 트러스 A에서 P(인장), 트러스 B에서 0이므로 다르다.
• 트러스 A의 BG는 압축이지만 트러스 B의 FC는 인장이다(크기 $\dfrac{5P}{4}$).

최소 두께는 15 mm이다. 바깥지름이 주어졌으므로 안쪽 반지름을 $r=150-t\ (\mathrm{mm})$로 두고, 가장 큰 응력인 원주방향(후프) 응력을 허용응력과 같게 놓는다.

공식: $\sigma_{\theta}=\dfrac{pr}{t}$
대입: $90=\dfrac{10\,(150-t)}{t}$
정리: $90t=1500-10t$ → $t=15\ \mathrm{mm}$

검산: $r=135\ \mathrm{mm}$이면 $\sigma_{\theta}=\dfrac{10\times135}{15}=90\ \mathrm{MPa}$로 허용응력과 정확히 같다. 축방향 응력은 이 값의 절반이므로 지배하지 않는다.

• 12 mm: $\sigma_{\theta}=\dfrac{10\times138}{12}=115\ \mathrm{MPa}$로 허용응력을 넘는다.
• 18 mm: 허용응력 이내이지만 필요 이상으로 두꺼워 최소 두께가 아니다.
• 20 mm: 마찬가지로 안전하지만 최소 두께보다 크다.

등분포하중의 크기는 40 kN/m이다.

최대 휨모멘트: $M_{max}=\sigma_{max}Z=40\times2\times10^6=80\times10^6\ \mathrm{N\cdot mm}=80\ \mathrm{kN\cdot m}$

단순보 등분포하중: $M_{max}=\dfrac{wL^2}{8}=\dfrac{w\times4^2}{8}=2w$
$2w=80$에서 $w=40\ \mathrm{kN/m}$이다.

• 10은 $\dfrac{wL^2}{2}$(캔틸레버식)로 계산한 값이다.
• 20은 $\dfrac{wL^2}{4}$로 계산한 값이다.
• 30은 최대 모멘트 식과 맞지 않는 값이다.

최대 휨응력은 10 MPa이다.

양단고정보 등분포하중의 최대 휨모멘트는 고정단에서 $M_{max}=\dfrac{wL^2}{12}=\dfrac{60\times8^2}{12}=320\ \mathrm{kN\cdot m}$이다.

단면계수: $Z=\dfrac{300\times800^2}{6}=32\times10^6\ \mathrm{mm^3}$
$\sigma=\dfrac{320\times10^6}{32\times10^6}=10\ \mathrm{MPa}$로 고정단 모멘트 $\dfrac{wL^2}{12}$를 써야 한다.

• 1은 단위 환산에서 자릿수를 하나 줄인 값이다.
• 80은 고정단 모멘트 320 kN·m와 단면계수로 구한 값과 맞지 않는다.
• 8은 고정단 모멘트 320 kN·m와 단면계수로 구한 값과 맞지 않는다.